RE Elektrische Resonanz

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1 RE Elektrische Resonanz Blockpraktikum Herbst 27 (Gruppe 2b) 24. Oktober 27 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Impedanz Phasenresonanz Serienschwingkreis Parallelkreis 1. Ordnung Parallelkreis 2. Ordnung Versuchsdurchführung und Auswertung Versuchsdurchführung Auswertung

2 1 GRUNDLAGEN RE 2 1 Grundlagen 1.1 Impedanz Legt man eine Wechselspannung U = U sin(ωt) an eine Schaltung, so erweist es sich sinnvoll, Strom und Spannung als Realteil komplexer Größen aufzufassen. Schwingungen lassen sich dann z.b. durch U = U exp(iωt) beschreiben. Misst man das Verhätltnis zwischen Spannung und Strom, so erhält man die Impedanz Z = U/I, die komplexwertig sein kann. Die Phase von Z steht dabei für die zeitliche Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom. Aufstellen und Lösen der zugehörigen Differentialgleichungen liefert für ohmschen Widerstand, Spule und Kondensator folgende Impedanzen: Bauteil Ohmscher Widerstand Spule Kondensator Impedanz Z R iωl i ωc 1.2 Phasenresonanz In Phasenresonanz bezeichnet man ein schwingendes System, wenn die Anregung des Systems und dessen Antwort mit gleicher Frequenz schwingen und um π/2 phasenverschoben sind (vgl. getriebenes Pendel). Es ist zu beachten, dass nur im ungedämpften Fall die Phasenresonanzfrequenz mit der Frequenz der Amplitudenresonanz (extremale Amplitude der Schwingung) übereinstimmt. Im Folgenden ist mit Resonanz stets die Phasenresonanz gemeint. In einem elektrischen Schwingkreis ist die Anregung die Wechselspannung U = U exp(iωt), als Antwort fasst man die Ladung Q = Q exp(i(ωt φ)) auf. Der Strom I = Q = Q iωe i(ωt φ) = Q ωe i(ωt φ)+ π 2 ist um i bzw. π/2 gegenüber der Ladung phasenverschoben. Bei Phasenresonanz, d.h. wenn Spannung und Ladung um φ = π/2 phasenverschoben sind, sind Strom und Spannung somit in Phase. Die Impedanz ist im Fall der Phasenresonanz also rein reellwertig. 1.3 Serienschwingkreis In Abb. 1 ist ein Serienschwingkreis aus in Reihe geschaltetem Widerstand, Spule und Kondensator abgebildet. Für die Gesamtimpedanz Z folgt Abbildung 1: Serienschwingkreis und Parallelschwingkreise 1. und 2. Ordnung. ( Z = R + i ωl 1 ) = R ωc 2 + ( ωl 1 ) 2, (1) ωc Version: 24. Oktober 27

3 1 GRUNDLAGEN RE 3 sowie für die Phase ϕ von Z tan ϕ = Im Z Re Z = ωl 1 ωc. (2) R Aus der Bedingung ϕ = erhält als man nötige Frequenz für Phasenresonanz 1.4 Parallelkreis 1. Ordnung ω = 1 LC f = 1 2π LC. (3) Ein Parallelkreis 1. Ordnung ist in Abb. 1 gezeigt. Hier addieren sich die einzelnen Admittanzen zur Gesamtadmittanz Y = 1/Z, Y = 1 R + 1 i ( ) 1 ωl ωc = 1 R 2 + ( ) 1 2 ωl ωc Z = 1 Y = (. (4) 1 R 2 ωl ωc) 2 Die Phase der Impedanz ist tan ϕ = Im Z Re Z = Im Y ( ) 1 Re Y = R ωl ωc. (5) Daraus ergibt sich bei Phasenresonanz wiederum die Resonanzfrequenz (3). 1.5 Parallelkreis 2. Ordnung Beim Parallelkreis 2. Ordnung (siehe Abb. 1 gilt für Admittanz Y bzw. Impedanz Z ( ) Y = 1 R + iωl + iωc = R iωl R 2 + ω 2 L 2 + iωc = R 2 ( R 2 + ω 2 L 2 + ωc ( ( Z = 1 ) Y = R 2 ( R 2 + ω 2 L 2 + ωc Für die Phase ϕ der Impedanz folgt tan ϕ = Im Y Re Y = ωc ωl R 2 +ω 2 L 2 R Für die Phasenresonanz (ϕ = ) erhält man aus ) ωl 2 R 2 + ω 2 L 2 ) ) ωl 2 1/2 R 2 + ω 2 L 2. (6) = ωl ωc(r2 + ω2l2 ). (7) R R 2 +ω 2 L 2 ω L ω C(R 2 + ω 2 L 2 ) = ω (L CR 2 ω 2 CL 2 ) = Version: 24. Oktober 27

4 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 4 die Triviallösung ω =, die Gleichstrom entspricht, bei welchem natürlich Strom und Spannung in Phase sind, und die Phasenresonanzfrequenz der gedämpften Schwingung ( ) 1 R 2 ω = LC f = 1 ( ) 1 R 2 L 2π LC. L Da hier der Widerstand R dämpfend wirkt, ist bei der Phasenresonanzfrequenz die Amplitude von Strom bzw. Spannung im Gegensatz zu den ersten beiden Schaltungen nicht extremal (vgl. gedämpftes angetriebenes Pendel). Die Amplitudenresonanz wird für eine Frequenz über f erreicht. 2 Versuchsdurchführung und Auswertung 2.1 Versuchsdurchführung Betrag und Phase der Impedanz Z werden für die drei beschriebenen Schwingkreise in Abhängigkeit von der Frequenz f der Wechselspannungsquelle gemessen. Dabei werden zwei verschiedene Messverfahren benutzt. Zunächst wird auf einem Analog-Oszilloskop eine Ellipse (Lissajous-Figur) erzeugt, indem Spannung und Strom (an einem bekannten Widerstand abfallende Spannung) auf den x- und y-kanal gelegt werden. Durch Einbeschreiben der Ellipse in ein Quadrat lässt sich aus den Halbachsen a und b der Ellipse mit die Phase und mit tan ϕ 2 = b a Z = U I = R p x p y der Betrag der Impedanz bestimmen. Dabei sind p x und p y die Spannungswerte, die 1cm auf der x- bzw. y-achse entsprechen. Als zweite Messmethode wird die Software Cassy verwendet, die bereits fertige Graphen für Betrag und Phase der Impedanz in Abhängigkeit von der Frequenz liefert. Zudem kann Cassy die Kurve Z(f) in der komplexen Zahlenebene darstellen. 2.2 Auswertung Serienschwingkreis Für die Messung mit dem Analog-Oszilloskop wird eine Fehlerrechnung für ϕ und Z durchgeführt. Mit geschätzten Fehlern a = b = 1mm erhält man als Fehler 1 für ϕ ϕ = ϕ a a + ϕ b b = 2 a + b a 2 (a a + b b) = 2mm + b2 a 2 + b 2. 1 Da a und b nicht mehrfach gemessen und gemittelt wurden, wird hier die einfache Fehlerfortpflanzung für systematische Fehler an Stelle der Gaußschen Fehlerfortpflanzung für zufällige Fehler verwendet. Version: 24. Oktober 27

5 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 5 Dabei wurde arctan(x) = 1/(1 + x 2 ) verwendet. Für den Fehler des Betrags der Impedanz folgt wegen Z = U = R p xx I p y Y für systematische Fehler X = Y = 1mm und R =, 1R Z = Z R R + Z X X + Z Y Y = R p x X + R p xx p y Y p y Y 2 Y + p xx, 1R p y Y = R p x p y X (2mm +, 1X ). Während der Messungen war X = Y = 3mm konstant. Parallelkreis 1. Ordnung Für den Parallelkreis 1. Ordnung mit R = 21, 94kΩ, L = 314, 8mH und C = 22nF ergeben sich mit Cassy folgende Kurven für Phase, Impedanz und Admittanz. Parallelkreis 2. Ordnung Für den Parallelkreis 2. Ordnung mit R = 1, 485kΩ, L = 314, 8mH und C = 22nF ergeben sich mit Cassy folgende Kurven für Phase, Impedanz und Admittanz. Version: 24. Oktober 27

6 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 6 (a) (b) Abbildung 2: Serienschwingkreis: Mit dem Analogoszilloskop gemessene Diagramme ϕ(f) und Z (f) für R = 3, 276kΩ, L = 314, 8mH und C = 5, 166nF. Theoretische Kurven nach (2) und (1). Version: 24. Oktober 27

7 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 7 CASSY Lab - Reihe1 - Phase ϕ Abbildung 3: Serienschwingkreis: Mit Cassy gemessene Abhängigkeit ϕ(f) für R = 3, 276kΩ, L = 314, 8mH und C = 22nF. Theoretische Kurve nach (2). Version: 24. Oktober 27

8 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 8 CASSY Lab - Reihe1 - Impedanz Z kω (a) CASSY Lab - Reihe1 - Ortskurve Z Z kω (b) Z / kω Abbildung 4: Serienschwingkreis: Mit Cassy gemessene Impedanz Z (f) und Ortskurve Z(f) für R = 3, 276kΩ, L = 314, 8mH und C = 22nF. Theoretische Kurve in a) nach (1). Version: 24. Oktober 27

9 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 9 CASSY Lab - Reihe1 - Admittanz Y 1/kΩ,3,2, (a) CASSY Lab - Reihe1 - Ortskurve Y Y 1/kΩ,3,2,1,1,2,3,3,2,1,1,2,3 (b) Y / 1/kΩ Abbildung 5: Serienschwingkreis: Mit Cassy gemessene Admittanz Y (f) und Ortskurve Y (f) für R = 3, 276kΩ, L = 314, 8mH und C = 22nF. Version: 24. Oktober 27

10 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 1 CASSY Lab - Parallel11v2 - Phase ϕ Abbildung 6: Parallelkreis 1. Ordnung: Phase ϕ(f), theoretische Kurve nach (5). Version: 24. Oktober 27

11 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 11 CASSY Lab - Parallel11v2 - Impedanz Z kω (a) CASSY Lab - Parallel11v2 - Ortskurve Z Z kω (b) Z / kω Abbildung 7: Parallelkreis 1. Ordnung: Impedanz Z (f) und Ortskurve Z(f). Theoretische Kurve in a) nach (4). Version: 24. Oktober 27

12 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 12 CASSY Lab - Parallel11v2 - Admittanz Y 1/kΩ (a) CASSY Lab - Parallel11v2 - Ortskurve Y Y 1/kΩ (b) Y / 1/kΩ Abbildung 8: Parallelkreis 1. Ordnung: Admittanz Y (f) und Ortskurve Y (f). Version: 24. Oktober 27

13 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 13 CASSY Lab - Parallel21v2 - Phase ϕ Abbildung 9: Parallelkreis 2. Ordnung: Phase ϕ(f), theoretische Kurve nach (7). Version: 24. Oktober 27

14 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 14 CASSY Lab - Parallel21v2 - Impedanz Z kω (a) CASSY Lab - Parallel21v2 - Ortskurve Z Z kω (b) Z / kω Abbildung 1: Parallelkreis 2. Ordnung: Impedanz Z (f) und Ortskurve Z(f). Theoretische Kurve in a) nach (6). Version: 24. Oktober 27

15 2 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG RE 15 CASSY Lab - Parallel21v2 - Admittanz Y 1/kΩ,7,6,5,4,3,2, (a) CASSY Lab - Parallel21v2 - Ortskurve Y Y 1/kΩ,7,6,5,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,7,7,6,5,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,7 (b) Y / 1/kΩ Abbildung 11: Parallelkreis 2. Ordnung: Admittanz Y (f) und Ortskurve Y (f). Version: 24. Oktober 27

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