Gekoppelte Schwingungen
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- Christian Fromm
- vor 7 Jahren
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1 iese Augabe gehört zu einer Gruppe von Versuchen, die neben einer Meßmethode vor allem mit einer typischen Grunderscheinung der Physik vertraut machen soll. spielen eine große Rolle in der Elektronik, der Molekül- und Festkörperphysik; in Analogie spricht man von Kopplung bei Wechselwirkung der Elementarteilchen, der Nukleonen, der Atomelektronen usw.. Zweck der vorliegenden Augabe ist es nun an dem einachen mechanischen System zweier gekoppelter Pendel die physikalischen Zusammenhänge der Koppelschwingungen durch quantitative Messungen zu verdeutlichen. Vorausgesetzt werden dazu generelle Kenntnisse über Lineare Schwingungen und rehbewegungen, die dazugehörigen ierentialgleichungen und Lösungen. einitionen Ein physikalisches Pendel ist ein an einer waagrechten Achse augehängter starrer Körper beliebiger Form und Massenverteilung mit Schwerpunkt in S, der unter dem Einluß der Schwerkrat Schwingungen um die Ruhelage (=0) ausührt. Ein mathematisches Pendel ist ein idealisiertes physikalisches Pendel, bei dem sich die gesamte Masse im Schwerpunkt beindet, die Verbindungsstange OS also als massenlos gedacht ist. Zwei Pendel heißen gekoppelt, wenn sie elastisch so miteinander verbunden sind, daß die Aus-lenkung eines Pendels auch Kräte au das andere bewirkt, also beide nicht mehr unabhängig von-einander schwingen. Physikalische Grundlagen. Einzelpendel: Es handelt sich bei der Schwingung des Pendels um eine rehbewegung, deren Bewegungsgleichung somit durch gegeben ist. Sie wird ür das physikalische Pendel mit bei Vernachlässigung der Reibung zu: M M mglsin mglsin 0. Für kleine Winkel dar sin () gesetzt werden. Es heißt dann also 0 mit dem irektionsmoment: mgl.
2 Hier ist das rägheitsmoment bezogen au die Achse O; es ergibt sich aus dem rägheitsmoment S bezogen au eine zu O parallele, durch den Schwerpunkt S gehende Achse aus dem Steinerschen Satz: ml S ie Lösung lautet demnach mit Acos( t ) oder. Amplitude A und Anangsphase sind die ntegrationskonstanten des Problems. Es ergibt sich so die bekannte Formel ür die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels: lo. g. Kopplung zweier Pendel: Zwei einander gleiche Pendel werden durch eine Kopplungseder F verbunden. ie Feder wirkt au beide Pendel, und zwar mit einem rehmoment, das bei Gültigkeit des Hookschen Gesetzes der ierenz der beiden Auslenkungen proportional ist. as gilt nur, solange die Feder gespannt wird. n der vorliegenden Anordnung ist die Feder deshalb etwas vorgespannt, die Pendel hängen in der Ruhelage schräg einander zugeneigt. n der olgenden Ableitung werden die Winkel und au diese Ruhelage bezogen. ie Gesamtmomente, die au die beiden Pendel wirken, sind ( ) ( ) ie beiden Gleichungen sind " gekoppelte ierentialgleichungen ": jede enthält die beiden Variablen und. Zur Lösung solcher Gleichungen versucht man immer, sie zu entkoppeln, also Gleichungen nur einer Variablen zu erhalten. a die beiden Pendel gleich sind ;, wobei das durch die Gravitaion und das durch die Feder hervorgeruene irektionsmoment ist, gelingt das leicht durch Substitution mit neuen Variablen.
3 Addition der beiden Gleichungen lieert: und Substraktion: mit der Substitution. iese beiden Gleichungen sind nicht mehr gekoppelt. Sie haben die Lösungsunktionen: A cos( t ) mit A cos( t ). A und A sind Amplituden, und Anangsphasen. abei ist die Kreisrequenz identisch mit. ie andere Kreisrequenz ist nur wenig davon verschieden, wenn man voraussetzt, daß <<, was bei der vorliegenden Apparatur erüllt ist. Es ist immer >. Macht man die Sustitution rückgängig, so erhält man ür die Bewegung der beiden Pendel: A cos( t ) A cos( t ) A cos( t ) A cos( t ) ieses Gleichungsystem beschreibt die allgemeine Bewegung jedes der beiden Pendel. Beide kommen durch die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenz zustande. n welchen Anteilen und mit welchen Phasenlagen sie autreten, ergibt sich aus den Anangsbedingungen. abei lassen sich einige typischen Fälle unterscheiden: Fall ie Anangsbedingungen (Zustand zur Zeit t = 0) dieses Falles seien: araus olgt: = = A, 0 A = A, = 0 A = A, =unbestimmt Experimentell wird dieser Fall verwirklicht, indem beide Pendel um den gleichen Winkel A ausgelenkt zur Zeit t = 0 losgelassen werden. ie Kopplung kommt experimentell nicht zur Geltung, da die Feder ihren Spannungs 3
4 zustand nicht ändert. Frequenz und Schwingungsdauer entsprechen denen des Einzelpendels. Man spricht in diesem Fall von symmetrischen Schwingungen. Fall ie Anangsbedingungen seien: 0,... Für diesen Fall erhält man: 0 A = A, = unbestimmt A = A,... = 0 Beide Pendel schwingen mit gleicher Amplitude A,die Schwingung des einen Pendels ist gegenüber der Schwingung des anderen um phasenverschoben. Man nennt solche Schwingungen, bei denen = - ist, antisymetrisch. Fall ie Anangsbedingungen seien: 0,... A, araus olgt dann: 0 A A A/, = = 0 amit werden die Gleichungen: A (cos cos t), t A (cos cos t). t ndem die Summen der Cosinusunktionen in Produkte umgewandelt werden, erhält man: Asin tsin t Acos t cos t Experimentell ist dieser Fall verwirklicht, wenn man das Pendel um einen Winkel A auslenkt, das Pendel aber in der Ruhelage esthält, und nun beide Pendel zur Zeit t = 0 losläßt, ohne ihnen einen Anangsimpuls zu erteilen. ie entstehende Schwingungsorm ist eine typische Schwebung, die Mischung zweier Schwingungen wenig verschiedener Frequenz. Anangs schwingt nur Pendel, allmählich wird durch die Kopplung Pendel mitgezogen, dabei wird dem Pendel Energie entzogen, bis schließlich nur noch Pendel schwingt und Pendel in Ruhe ist. arau beginnt dasselbe Spiel in umgekehrter Richtung. 4
5 Beide Pendel schwingen beinahe harmonisch mit der Frequenz = ( + )/ und die Amplituden sind einer langsamen periodischen Änderung der Frequenz = ( - )/ = /' unterworen. er Phasenunterschied zwischen den Bewegungen der Pendel ist /. Unter der Schwebungszeit versteht man die Zeit zwischen zwei Stillständen in der Ruhelage desselben Pendels. Es ist: r entspricht dann der beobachteten Schwebungszeit. Unter dem Kopplungsgrad versteht man das Verhältnis kann Werte von 0 (keine Kopplung) bis (starre Kopplung, >> ) annehmen. rückt man mit Hile der meßbaren Schwingungsdauern und aus, so ergibt sich. Beschreibung des Versuchsaubaues ie Apparatur besteht aus zwei durch eine Feder miteinander gekoppelten Pendeln. ie Pendel sind so justiert, daß die reie Schwingungsperiode ca. s beträgt. ie Masse einer Pendelscheibe beträgt 000g. ie Pendelauslenkungen sollten etwa 5 nicht überschreiten. urchührung der Versuche a) as reie Pendel. Zunächst werden die Schwingungsperioden der nicht gekoppelten Pendel überprüt und nötigenalls angeglichen.. Man bestimme den Radius der Pendelscheibe und berechne ihr rägheitsmoment. araus soll mit Hile des Steinerschen Satzes die Pendellänge l ür eine -s Periode hergeleitet werden. Nun messe man die Länge l ' (Pendelachse - Scheibenmittelpunkt) und diskutiere, ob bei der im Versuch erreichbaren Meßgenauigkeit die Vernachlässigung der Pendelstange bei der Berechnung des rägheitsmomentes nach dem Steinerschen Satz gerechtertigt erscheint. 3. Man bestimme die Länge l 0 eines mathematischen Pendels der Periode s und beweise, daß l 0 immer größer sein muß als die Länge l eines physikalischen Pendels. b) er symmetrische Fall 5
6 Koppeln Sie entsprechend Fall die Pendel und lassen Sie sie mit gleicher Anangsphase schwingen. Überzeugen Sie sich durch Messung, daß die Periode mit der eines einzelnen Pendels übereinstimmt. c) er antisymmetrische Fall Lenken Sie entsprechend Fall die beiden gekoppelten Pendel um denselben Winkel, jedoch in entgegengesetzter Richtung aus der Ruhelage aus und lassen Sie sie in Gegenphase schwingen. Bestimmen Sie die Periode und die Frequenz in diesem antisymetrischen Fall. d) er Schwebungsall. Entsprechend Fall wird eines der Pendel aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt. Beobachten Sie den Schwebungsall, den allmählichen Übergang der Schwingungsenergie von einem au das andere Pendel. Messen Sie mit Hile der Stoppuhr die Schwebungszeit. Vergleichen Sie sie mit dem oben abgeleiteten Ausdruck.. Aus den Messungen zu m antisymmetrischen Fall konnten zwei der zur vollständigen Beschreibung der Bewegung nötigen Parameter ermittelt werden, nämlich und. ie Schwebungszeit stellt dagegen keine unabhängige dritte Größe dar. Man benötigt also noch eine der anderen drei Größen. azu wird eine statische Bestimmung des Federrichtmomentes ausgeührt: ie Feder wird an einem au der linken Seite des Rahmens angebrachten Haken angehängt. hr reies Ende beschwert man mit einem Zusatzgewicht, dessen obere Kante als Bezugspunkt bei der ehnungsmessung dient. Ermitteln Sie die Federkonstante K aus F = K x mit Hile von zwei Gewichten (je 50g), wobei mehrere Messungen durchgeührt werden sollten. ie Feder lenkt ein Pendel um den Winkel aus. Sie übt somit ein rehmoment M des Betrages K x l aus, worin l der Abstand der Pendelauhängung vom Angrispunkt der Feder ist und x deren lineare Ausdehnung. Bei kleinen Pendelauslenkungen gilt x = l. Man erhält so das Richtmoment der Feder, : Es olgt dann: M Kl und l. Somit sind alle zur Beschreibung der Bewegung nötigen Parameter bekannt. Sie sollen tabellarisch dargestellt werden. Alle Messungen sollen mehrach durchgeührt werden (Fehlerbetrachtung). 6
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