Schwingungen spielen bei naturlichen Prozessen eine bedeutende Rolle. Aus einer Vielzahl von

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1 .1 Schwingungen Schwingungen pielen bei naturlichen Prozeen eine bedeutende Rolle. Au einer Vielzahl von Beipielen greifen wir hier lediglich da Horen und da Sehen herau. Auf da Ohr treende Schallwellen regen die Komponenten de Mittel- und de Innenohr an. Sowohl da Trommelfell, wie auch Hammer, Steigbugel und Ambo beginnen zu chwingen, ebeno wie die Bailarmembran (iehe Abchnitt.13.8 fur Detail), wo die Reize auf die Neuroenoren ubertragen werden. Radiowellen induzieren chwingende elektriche Strome in Antennen. Licht erzeugt elektriche Schwingungen in Atomen und Vibrationen in Molekulen { die phyikaliche Urache de Sehen. Im allgemeinen Sinne prechen wir dann von einer Schwingung, wenn eine phyikaliche Groe ich um einen Ruhewert herum zeitlich verandert. Schwingungen konnen periodich ein, zeitlich anwachen oder auklingen. Schwingungen konnen von ich au ablaufen oder erzwungen werden. Schwingungen konnen ich auch raumlich aubreiten. Dann prechen wir von Wellen. In dieem Abchnitt wollen wir un auf da rein zeitliche Verhalten bechranken. Den Wellen it der Abchnitt.13 gewidmet..1.1 Schwingungfahige Syteme { harmoniche Schwingungen Wir prechen immer dann von einer harmonichen Schwingung, wenn eine phyikaliche Groe eine harmoniche Funktion der Zeit it: f(t) =f 0 in(! 0 t ; ) Die Bezeichnungen der in dieem Audruck vorkommenden Groen ind un chon im Abchnitt begegnet. f it die fragliche phyikaliche Groe, f 0 die Amplitude der Schwingung,! 0 heit die Eigenfrequenz (eigentlich die dem Sytem eigene Kreifrequenz), die auch die Periode T ==! 0 betimmt, und it die Phaenkontante. Mit =0erhalt man eine reine in ;Funktion, mit = ;= eine reine co ;Funktion, im allgemeinen Fall it mit f(t) =f 0 co in! 0 t ; f 0 in co! 0 t A in! 0 t + B co! 0 t jede Kombination moglich. Berechnet man die erten und zweiten Ableitungen nach der Zeit, o kann man verizieren, da f(t) eine Loung der un chon bekannten Dierentialgleichung it: d f +! 0f =0 =! 0f 0 co(! 0 t ; ) =! 0 (A co! 0 t ; B in! 0 t) d f = ;! 0f 0 in(! 0 t ; ) =;! 0(A in! 0 t + B co! 0 t)=;! 0f Ein Sytem, welche durch eine olche Gleichung bechrieben wird, heit chwingungfahig. Charakteritich fur ein chwingungfahige Sytem it primar die Eigenfrequenz. In mechanichen Sytemen dieer Art tritt immer eine rucktreibende Kraft auf, die da Sytem, wenn e einmal au einer Ruhelage augelenkt wird, auf diee wieder zuruckzufuhren ucht. Die totale Energie eine harmonich chwingenden Sytem it kontant. In der Ruhelage nden wir in mechanichen Sytemen ein Minimum der potentiellen Energie..175

2 Wir rekapitulieren kurz ein paar Beipiele, die un au fruheren Abchnitten chon bekannt ind. An dieem Punkt der Vorleung ind e alle Beipiele au der Mechanik, der ogenannte Thomon'che Schwingkrei (Abchnitt : Wecheltrome) bietet dann pater eine fur die elektrichen Schwingungen ehr wichtige, mathematich nahezu identich zu behandelnde Anwendung. Bei den Beipielen intereiert un primar die charakteritiche Frequenz. Beipiel { linearer (eindimenionaler) Ozillator: Ein Maenpunkt m bewegt ich unter der Wirkung einer Federkraft F = ;kx in horizontaler x-richtung. Anwendung de. Newton'chen Prinzip ergibt m d x = ;kx d x + k m x =0 ) x f x 0 f 0! 0 = Die totale Energie ergibt ich zu E tot = T + U = m dx + k x = kx 0 = cont: Um zu zeigen, da nicht notwendigerweie immer eine Federkraft die rucktreibende Kraft liefert, betrachten wir kurz eine Situation, wo der Auftrieb die tut. Druckt man einen chwimmenden Holzklotz (Breite B, Lange L, Hohe H, Dichte H )etwa tiefer in Waer (Dichte W ) und lat ihn dann lo, o it der Auftrieb groer al im tatichen Fall und damit auch groer al da Gewicht und fuhrt zu einer Bechleunigung. Der Klotz chwingt, wobei die Amplitude abklingt. Da Abklingen wollen wir jetzt nicht beruckichtigen, ondern lediglich die Eigenfrequenz berechnen. Wir berechnen zunacht au dem tatichen Fall die Eintauchtiefe D: Oben : ma x =0=;A + G = mg ; W BLD H BLH +1 D D+x x k m ) D H = H W A S G A' S G Waer Waer Unten : ma x = ;A 0 +G =(;A 0 +A);A+G = ;A 0 +A+0 ) H BLH d x = ; W BLxg Die liefert un die Schwingunggleichung und die Eigenfrequenz: r ) d x + W g H H x =0! W g 0 = H H Beipiel { Fadenpendel: Ein Fadenpendel der Lange ` hat unabhangig von der Mae de hin und her pendelnden Objekt die Eigenfrequenz (iehe Abchnitt )! 0 = p g=` und erfullt fur kleine Aulenkwinkel um die Ruhelage die Schwingunggleichung Die totale Energie ergibt ich zu d = ;g` f f 0 0 E tot = mg`(1 ; co )+ m.176 `d = mg`(1 ; co 0 )

3 Beipiel { phyikaliche Pendel: Ein in einem Punkt O mit Abtand d zu einem Schwerpunkt aufgehangter tarrer Korper mit der Mae m und dem Tragheitmoment J O pendelt mit der Eigenfrequenz (iehe Abchnitt.8.4)! 0 = p mgd=j O und erfullt die Schwingunggleichung d = ;mgd J O f Beipiel { Torionpendel: Eine kreiformige Scheibe mit dem Tragheitmoment J O dreht ichumo unter der Wirkung eine Drehmoment M O = ;D, da durch eine Spiralfeder erzeugt wird. Au dem Drallatz folgt Da Torionpendel hat alo die Eigenfrequenz Fur die totale Energie ergibt ich J O d = ;D ) d + D J O =0 f E tot = J O! 0 = D J O d + D = D 0 Wir hatten diee Beipiel im Abchnitt.10.4 behandelt, wobei die Rolle der Spiralfeder (hier mit Federkontante D) von einem Draht derlange L mit Radiu R au einem Material mit Torionmodul G ubernommen wird. Die Verdrillung de Draht erzeugt da rucktreibende Drehmoment. Die entprechende Federkontante, die in die obige Formel fur die Eigenfrequenz eingeetzt werden kann, ergab ich zu:.1. Gedampfte Schwingung D = R4 G L Verliert ein frei chwingende Sytem Energie durch Reibung oder Abtrahlung, o nimmt fur kleine Dampfungen, auf die wir un bechranken wollen, die Amplitude im Laufe der Zeit ab. Stark gedampfte Syteme chwingen gar nicht. Wir rekapitulieren noch einmal die Reultate fur einen viko gedampften linearen Ozillator au dem Abchnitt Tritt neben der Federkraft F = ;kx auch eine vikoe Reibungkraft R V = ;(dx=) auf, o folgt au dem. Newton'chen Prinzip die Bewegunggleichung m d x dx = ;kx ; Verallgemeinert auf ein beliebige, chwingungfahige Sytem, da eine zur Ableitung der phyikalichen Groe f proportionale Dampfung erfahrt, gilt e dann die folgende Dierentialgleichung zu loen: d f + +! 0f =0.177

4 Fur eine genugend chwache Dampfung! 0 >(fur den viko gebremten Ozillator p k=m > =m) lautet die Loung f(t) =f 0 e ;t in(!t ; ) mit! =! 0 ; Die Amplitude der Schwingungen klingt exponentiell mit der Zeit ab. Die charakteritiche Abklingzeit = 1= it umo kurzer, je groer die Dampfungkontante () it. Die Kreifrequenz der Schwingung verchiebt ich. Mit teigender Dampfung wird ie kleiner. Der oben betrachtete chwimmende Holzklotz, der wie da Experiment zeigt, relativ chnell an Amplitude verliert, wird daher auch eine merkbare Frequenzverchiebung nach unten erleiden..1.3 Erzwungene Schwingung { Reonanz Unter erzwungener Schwingung verteht man die Reaktion eine Sytem auf einen periodichen Antrieb. Da Sytem kann chwingungfahig ein, wie die in Abbildung.98 gezeigte Schaukel oder auch nicht. It ein Sytem an ich nicht zu Schwingungen fahig, wie z. B. ein nae Bettlaken auf einem Wachbrett, o kann diee doch durch einen aueren Antrieb, wie z. B. da energiche Reiben der Wacherin, eine harmoniche Bewegung aufuhren. Da angetriebene Sytem folgt dem Takt de Antrieb, Frequenz und Periode von Antrieb und Reaktion timmen uberein. Die it auch o wenn wir eine Schaukel antoen. Nur wird auch den kleinten Kindern chnell klar, da man die groten Auchlage erhalt, wenn man dem naturlichen Takt der Schaukel folgt, alo zum Beipiel immer im hochten Punkt angibt. Phyikalich bedeutet die, da die Frequenz de Antrieb der Eigenfrequenz de chwingungfahigen Sytem angepat werden mu, um ich da Reonanzphanomen nutzbar zu machen, d. h. die gewunchte maximale Amplitude zu erreichen. Umgekehrt mu man, um unerwunchte Aufchaukeln einer Schwingung zu vermeiden, moglicht weit weg bleiben von den naturlichen Frequenzen eine chwingungfahigen Sytem, oder letztere o kontruieren, da die Eigenfrequenzen weit von den Anregungfrequenzen weg liegen. Da die nicht immer gelingt zeigt, Abbildung.99. Abbildung.98: Die Gartenchaukel al chwingungfahige Sytem mit auerem periodichen und eventuell harmonichem (erwunchtem) Antrieb..178

5 Abbildung.99: Die Bay-Bridge zwichen Oakland und San Francico al chwingungfahige Sytem mit auerem (unerwunchtem) Antrieb durch reonante Erdbebenwellen. Wir betrachten zunacht Syteme, die nicht in der Lage ind freie Schwingungen de harmonichen oder chwach-gedampften Typ auzufuhren (keine rucktreibende Kraft), die aber unter der Wirkung einer externen harmonichen Kraft F = A in!t tehen. Wir erwarten intuitiv, da nach genugend langer Zeit eine tationare Schwingung zutande kommt, deren Phae und Amplitude tark von der Frequenz der antreibenden Kraft abhangt. Ein Beipiel oll die illutrieren: Beipiel { erzwungene Schwingungen eine viko gebremten Korper: Ein Korper der Mae m mit vikoer Reibung wird in horizontaler Richtung durch die auere Kraft F = A in!t in Bewegung veretzt. Au dem. Newton'chen Prinzip folgt die Bewegunggleichung m d x dx = ; + A in!t Verallgemeinert auf ein beliebige Sytem, da eine zur Ableitung der phyikalichen Groe f proportionale Dampfung erfahrt und harmonich angetrieben wird, gilt e dann die folgende Dierentialgleichung zu loen ( = =m, F 0 = A=m, f x): d f + = F 0 in!t Diee Gleichung it eine inhomogene Dierentialgleichung zweiten Grade. Die Loung etzt ich additiv zuammen au derjenigen der homogenen Gleichung f h, bei der grotmogliche Freiheit in der Wahl der Integrationkontanten beteht (der ogenannten allgemeinten Loung), und irgendeiner peziellen (partikularen) Loung der inhomogenen Gleichung f p : f = f h + f p f p = f 1 in(!t ; ) f h = f h0 e ;t + C h Bei der Kontruktion von f h haben wir un von uneren Kenntnien au Abchnitt leiten laen. d f h =4 f h0 e ;t = ; h h = ;f h0e ;t f h0 und C h ind von den Anfangbedingungen abhangige Kontanten. Abgeehen von der Kontanten verchwindet dieer Teil der Loung nach genugend langer Zeit wegen der exponentiell abfallenden Zeitabhangigkeit. Man nennt dieen Beitrag den Einchwingvorgang..179

6 Die nachgenugend langer Wartezeit verbleibende erzwungene Schwingung hat die Amplitude f 1 (wir deuten mit dieer Notation an, da e ich um einen Zutand nach Abklingen de Einchwingvorgang handelt), die Frequenz!, und it in ihrer Phae gegenuber dem Antrieb um verchoben. Durch Einetzen in die Dierentialgleichung ergibt ich: F 0 f 1 = ; p und tan = ;!! +4! Bevor wir diee Ergebnie verizieren, interpretieren wir da Reultat. Wir nden, da owohl Amplitude wie Phae frequenzabhangig ind. Fur hohe Frequenzen (im Vergleich zur Dampfung, d. h.!>>) bekommen wir kleine Amplituden (f 1!;F 0 =!! 0). Wegen de negativen Vorzeichen und wegen der Phaenbeziehung! 0 ind die Anregung und die Bewegung 180 auer Phae (Gegentakt). Fur niedere Frequenzen (im Vergleich zur Dampfung, d. h.!<<) bekommen wir groe Amplituden (f 1!;F 0 =!). Wegen der Kombination de negativen Vorzeichen mit der Phae (!;=) ind jetzt die Anregung und die Bewegung in Phae (im Takt). Die Ergebnie erhalten wir mit den folgenden Schritten: p = f 1! co(!t ; ) =f 1!(co co!t +in in!t) d f p = f 1! (; co in!t +in co!t) d f p + p ; F 0 in!t =in!t (f 1!(;! co +in ) ; F 0 )+co!tf 1!(! in + co ) Da diee Gleichungen zu allen Zeiten gelten ollen, muen die Audrucke in den Klammern, die in!t und co!t multiplizieren eparat verchwinden, d. h.! in + co =0 ) tan = ;! f 1!(;! co + in ) ; F 0 =0 ) F 0 = ;f 1! (co ;! in ) =;f 1!! (co + tan in ) =;f 1 co F 0 ) f 1 = ; p!! +4 Auch bei den erzwungenen Schwingungen eine chwingungfahigen Sytem erwarten wir nach genugend langer Zeit, nachdem die freie Eigenchwingung abgeklungen it, einen tationaren Schwingungzutand. Die Lounganatze fur die Dierentialgleichung ind daher recht ahnlich wie vorher, nur wollen wir den Einchwingungvorgang ganzlich weglaen und gleich die harmoniche Schwingung nach deen Abklingen anetzen. Unere Dierentialgleichung lautet nun Wir machen einen Anatz d f + +! 0 f = F 0 in(!t) f = f h + f 1 in(!t ; ).180

7 f h it wieder die allgemeinte Loung der homogenen Dierentialgleichung (rechte Seite = 0), alo eben der Einchwingvorgang. Die Amplitude f 1 und Phae der verbleibenden erzwungenen Schwingung ind gegeben durch f 1 = q F 0 und tan =! (! 0 ;! ) +4!! 0 ;! Wieder nden wir, da Amplitude und Phae frequenzabhangig ind. Wenn die ogenannte Reonanzbedingung! =! 0 erfullt it und die Dampfung nur chwach it (! >>) it die Amplitude maximal und gro: Weit unterhalb der Reonanz (! <<! 0 ) gilt f 1 max = F 0! 0 = f 1! F 0! 0 << f 1 max! 0 Die Anregung und die Bewegung ind in Phae. Oberhalb der Reonanz (! >>! 0 )gilt f 1! 0! Die Anregung und die Bewegung ind 180 auer Phae. Diee Beziehungen konnen durch Einetzen in die Dierentialgleichung mit ahnlichen Schritten wie vorher veriziert werden. Beipiel { Erzwungene Schwingungen eine linearen Ozillator: Wird ein viko gedampfter, linearer Ozillator harmonich angetrieben, o konnen wir die obigen Loungen mit der Identikation k f x! 0 m m F 0 A m direkt ubernehmen. Abbildung.100 zeigt ein paar typiche Reonanzkurven, d. h. die Variation der Amplitude mit der Frequenz fur verchieden groe Dampfungen. Wichtig it auch die Phaenbeziehung zwichen der anregenden Kraft F (t) und der Gechwindigkeit v(t) de Ozillator, da da Produkt dieer Groen die Leitung der Kraft am Ozillator dartellt: P (t) =F (t) dx Je nach der relativen Phae von F und v it ie poitiv oder negativ. Uber die Zeit gemittelt liefert im tationaren Fall die auere Kraft gerade oviel Energie an den Ozillator, wie durch die Dampfung verloren geht. Fur kleine Frequenzen!<<! 0 it ' 0, und wir erhalten mit dx= = f 1! co(!t ; ) fur den Mittelwert P (t) / F 0!f 1 in!t co!t 0 Daelbe gilt fur den Fall!>>! 0. Dagegen it bei Reonanz! =! 0 mit = = und co(!t ; =) = in!t, d. h. e gilt fur alle Zeiten P (t) / F 0!f 1 in!t > 0 Die Kraft teckt zu allen Zeiten Energie in den Ozillator hinein. gedampft, o nimmt eine Schwingungamplitude tandig zu..181 It der Ozillator nicht

8 a = a =0.005 a =0.01 a =0.05 a =0.1 a =0.5 Abbildung.100: Frequenzabhangigkeit der Amplitude fur ein chwingungfahige Sytem in der Nahe der Reonanz!=! 0 =1. Von oben link nach unten recht reihenweie geordnet entprechen die ech Bilder ech verchiedenen Werten der Dampfung a =! 0, und zwar a =0:001 0:005 0:01 0:05 0:1 0:5 Zuammenfaung: Schwingungen Freie harmoniche Schwingung: Ein Sytem wird chwingungfahig genannt, wenn die da Sytem charakteriierende phyikaliche Groe f die Dierentialgleichung erfullt. Die Loung dieer Gleichung lautet d f +! 0f =0 f = f 0 in(! 0 t ; ) mit den Bezeichnungen f 0 = Amplitude,! 0 =Eigenfrequenz und T ==! 0 =Periode oder Schwingungdauer der harmonichen Schwingung..18

9 Zuammenfaung: Schwingungen Freie harmoniche Schwingung: Beipiele: Federozillator (au dem Newton'chen Aktionprinzip) f = x! 0 = k m x = Aulenkung k = Federkontante m = Mae Mathematiche Pendel oder Fadenpendel (au dem Newton'chen Aktionprinzip) r g f =! 0 = = Aulenkwinkel g = Erdbechleunigung ` = Pendellange ` Phyikaliche Pendel aufgehangt im Punkt 0 im Abtand d zum Schwerpunkt (au dem Drallatz) f =! 0 = mgd J 0 = Aulenkwinkel mg = Gewicht J 0 = Tragheitmoment Torionpendel mit Spiralfeder (au dem Drallatz) D f =! 0 = = Drehwinkel D = Federkontante J 0 = Tragheitmoment J 0 Torionpendel an verdrehbarem Draht mit Radiu R, Lange L und au einem Material mit Schubmodul G (au dem Drallatz) D f =! 0 = = Drehwinkel D = R4 G J 0 = Tragheitmoment J 0 L Gedampfte Schwingung: In der Dierentialgleichung tritt ein zuatzlicher Dampfungterm auf d f + +! 0 f =0 Die Loung lautet fur chwache Dampfung (! 0 > 1=) f = f 0 e ;t in(!t ; )! = q! 0 ; Die Amplitude klingt exponentiell ab, die Frequenz verchiebt ich. Fur! 0 = wird die Dampfung kritich, und fur! 0 < uberkritich. Die Loungen enthalten dann nur noch exponentielle Anteile. Beipiel: Linearer Ozillator mit vikoer Dampfung R V : R V = ; dx = m.183

10 Zuammenfaung: Schwingungen Erzwungene Schwingung in einem nicht-reonanten Sytem: Wird ein nicht chwingungfahige, gedampfte Sytem harmonich angeregt, o ergibt ich die Dierentialgleichung d f + = F 0 in(!t) mit der Loung f = f h + f 1 in(!t ; ) mit f h = f h0 e ;t + C h f h it die allgemeinte Loung der homogenen Dierentialgleichung (rechte Seite = 0), f h0 und C h ind von den Anfangbedingungen abhangige Kontanten. Man nennt dieen Beitrag den Einchwingvorgang, denn er kann nach genugend langer Zeit vernachlaigt werden. Die Amplitude f 1 und Phae der verbleibenden erzwungenen Schwingung ind gegeben durch F 0 f 1 = ; p und tan = ;!! +4! Amplitude und Phae ind frequenzabhangig. Wenn!>> gilt f 1!;F 0 =!! 0 und! 0. Die Amplitude it klein, die Anregung und die Bewegung ind 180 auer Phae. Wenn!<<gilt f 1!;F 0 =! und!;=. Die Amplitude it gro, die Anregung und die Bewegung ind in Phae. Beipiel:Bewegung eine Korper in einem vikoem Medium mit harmonichem Antrieb: R V = ; dx = m Erzwungene Schwingung in einem reonanten Sytem: Wird ein chwingungfahige, gedampfte Sytem harmonich angeregt, o ergibt ich die Dierentialgleichung d f + +! 0f = F 0 in(!t) mit der Loung f = f h + f 1 in(!t ; ) f h it die allgemeinte Loung der homogenen Dierentialgleichung (rechte Seite = 0) (Einchwingvorgang, iehe oben). Die Amplitude f 1 und Phae der verbleibenden erzwungenen Schwingung ind gegeben durch f 1 = q F 0 und tan =! (! 0 ;! ) +4!! 0 ;! Amplitude und Phae ind frequenzabhangig. Fur! =! 0 >> it die Amplitude maximal: Reonanz Wenn!<<! 0 gilt f 1! F 0 =! 0 >> f 1 max und! 0. Die Anregung und die Bewegung ind in Phae. Wenn!>>! 0 gilt f 1! 0 und!. Die Anregung und die Bewegung ind 180 auer Phae. Bei Reonanz: f 1 max = F 0 =(! 0 ), = =.184