Schwingungen. Harmonische Schwingungen. t Anharmonische Schwingungen. S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 1

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1 Schwingungen Harmonische Schwingungen x t Anharmonische Schwingungen x x t S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 1 t

2 ANHARMONISCHE SCHWINGUNGEN EHB : Kraft F = -k(x-x o ) Potentielle Energie: E p E p Parabel mit Scheitelpunkt an x o Bei Gesamtenergie E EHB (x 1 ; x ) x x x 1 o x Anharmonische Schwingung E p E p keine Parabel; min an x o Bei Gesamtenergie E Asymetrische Schwingung (x 1 ; x ) EHB nur bei kleine Energie x x x 1 o x S. Alexandrova FDIBA TU Sofia

3 GEDÄMPFTE SCHWINGUNGEN Schwingungen mit abnehmende Amplitude Dynamische Betrachtung: elastische Kraft + Dämpfungskraft Eine Reibungskraft in die Bewegungsgleichung einzuführen Die mathematisch einfachste Form der Reibungskraft ist d x m = F + dt F R = λυ = F R dx λ dt Immer der Geschwindigkeit entgegengerichtet Eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft tritt z.b. in Flüssigkeiten bei nicht zu schneller Bewegung auf Bei schneller Bewegung F R υ S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 3

4 GEDÄMPFTE SCHWINGUNGEN Die Bewegungsgleichung relative einfach zu lösen d x m dt dx + λ + kx dt hat als wichtigste phyzikalisch sinnvolle Lösung = 0 x = Ae γ t sin( ωt + α) Dämpfung γ = λ / m A A T t Ae γ t Kreisfrequenz Natürliche Frequenz eines Oszillators Frequenzabhanme ω = k / m γ Abnahme der Amplitude ω o = k m ω o < ω A / = Ae γ t S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 4

5 GEDÄMPFTE SCHWINGUNGEN Bei sehr starker Dämpfung Verhalten Qualitativ ( γ ωo ) gilt obige Lösung nicht mehr γ = ω o Aperiodische Grenzfall Sehr schnelle Rückkehr zu x= 0 γ ω o γ ω o Kriechfall: Rückkehr umso langsamer, je grösser γ Sehr stark gedämpfte Schwingung Um eine Schwingung trotz Reibung auf Dauer aufrecht zu erhalten, muss man sie dauernd durch eine periodische Kraft antreiben S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 5

6 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN Schwingungen mit einer äußeren periodischen Kraft anregenden: F( t) = F cosω t Kreisfrequenz der ausgeübten Kraft Elastische Kraft + Schwingungskraft Bewegungsgleichung o f ω f m d = kx cosω t Stationäne Lösung (nach Abklingen des komplizierten Einschwingvorgangs) dt ma x dx + λ + dt λυ + kx = F F o o cosω f f t x = Asin( ω t α) f A Amplitude der erzwungenen Schwingungen α Ursprungsphase hängen von ω f ab S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 6

7 Die Amplitude A( ω) = m o Resonanz Die Amplitude A hat ein Maximum: Abhängigkeit der Amplitude A von der Frequenz ( ω ω ) + ω f λ A Ares = Resonanzamplitude λ ωo λ Resonanzfrequenz ω ω λ F o f res = o Resonanz Der Schwingung wird von der periodischen Kraft dauernd Energie zugeführt Eigene Frequenz ω o = k m S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 7

8 Oszillatoren Freie Schwingungen Gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 8

9 Schwingende Systeme die untereinander wechselwirken. Illustriert am Beispiel eines gekoppelten Pendels mit zwei gleichen Massen S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 9

10 Wie die Schwingungen des einen Pendels auf das andere wirken, hängt von den Anfangsbedingungen ab, die herrschen, bevor man das System sich selbst überläßt Zwei typische Fälle Fall 1 - symmetrische Schwingungen: Pendel schwingen wie zwei Einzelpendeln. Fall - antisymmetrische Schwingungen: Pendel schwingen gegenphasig aufeinander zu beziehungsweise von einander weg S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 10

11 Die erste Normalschwingung oder Eigenschwingung des Systems. Schwingungen in Phase Lenkt man beide Massen um die gleiche Länge in dieselbe Richtung aus: die Massen schwingen in Phase. Relativabstand ändert sich nicht. Kopplungsfeder wird also nicht beansprucht. S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 11

12 Die zweite Normalschwingung oder Eigenschwingung des Systems Schwingungen gegenphasig Lenkt man die beiden Massen in entgegengesetzte Richtung aus, so schwingen sie gegensinnig oder gegenphasig. Schwerpunkt der beiden Massen bleibt immer am selben Ort Relativabstand variiert Kopplung wird maximal beansprucht S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 1

13 Jede Schwingung mit beliebigen Anfangsbedingungen lässt sich als Linearkombination der Normalschwingungen des gekoppelten Systems darstellen. Beispiele S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 13

14 Das H -Molekül ist linear. Seine Schwingungen sind beschreibbar durch ein gekoppeltes Pendel aus zwei gleichen Massen. Da es frei beweglich ist, sind die Federhärten der äußeren beiden Federn Null. S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 14

15 Das CO -Molekül ist linear. Seine Schwingungen sind beschreibbar durch ein gekoppeltes Pendel aus einer leichten Masse, einer etwas schwereren und einer zweiten leichteren Masse. Da es frei beweglich ist, sind die Federhärten der äußeren beiden Federn null. O C O S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 15

16 Festkörper bestehen aus sehr vielen Molekülen, die miteinander gekoppelt sind. Dies entspricht einer Kette von n Massen, die durch lauter gleiche Federn der Stärke D verbunden sind. Ein System aus n linear gekoppelten Massen hat: n longitudinale und n paarweise entartete transversale Eigenschwingungen. Die Eigenfrequenzen der Transversalschwingungen sind immer kleiner als die der entsprechenden Longitudinalschwingung S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 16

17 S. Alexandrova FDIBA TU Sofia 17