Didaktik des Sachrechnens

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1 Didaktik des Sachrechnens 9. Prozentrechnung 1

2 9. Prozentrechnung 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung 9.2 Die Grundaufgaben und ihre Lösungen 9.3 Methodische Orientierungen für die Einführung in die Prozentrechnung 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung 9.5 Aufgaben zur Prozentrechnung 2

3 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung a) Prozentrechnung als Spezialfall der Bruchrechnung G Grundwert (Größe) p Prozentsatz (Zahl) P Prozentwert (Größe) p/100 = p % Prozentoperator (Zahl) Der Ausdruck p % ist gleichbedeutend mit. 100 p % ist also eine Bruchzahl mit dem Nenner 100. p Der Prozentoperator [ ] ordnet einer Größe ihrem p- 100 fachen 100-ten Teil zu. p 3

4 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung Anmerkung: Der Begriff Prozentsatz wird in der Literatur unterschiedlich verwendet. Einige Autoren verwenden ihn für den Ausdruck p%, andere verwenden ihn für den Ausdruck für p. Einige Autoren verwenden um der besseren Unterscheidung willen die Begriffe Prozentfuß für den Ausdruck p und Prozentsatz für den Ausdruck p %. 4

5 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung Zuordnung: Größe [ ] 100 G p Größe P Beispielaufgabe: Berechne 4 % von [ ] 60 2,40 60 wird durch den Prozentoperator 4 % der Wert 2,40 zugeordnet. 5

6 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung b) Prozentrechnung als Spezialfall der Schlussrechnung Grundaufgaben der Prozentrechnung entsprechen einer speziellen direkten Proportionalität zwischen einem Größenbereich und der Menge Q + der positiven rationalen Zahlen Lösen von Aufgaben der Prozentrechnung bedeutet: Lösen einer Verhältnisgleichung bzw. Dreisatzrechnung P : G = p % : 100 % 6

7 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung Beispielaufgabe: Berechne 4 % von 60. Lösung mit Verhältnisgleichung: P : 60 = 4 % : 100 % 4 % 100 % P = 60 P = 2,40 7

8 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung Lösung mit Dreisatzrechnung: 100 % 60 :100 :100 1 % 0, % 2,40 8

9 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung c) Vom-Hundert-Rechnung Aufgreifen der im kaufmännischen Bereich und in der Bankrechnung üblichen Formulierung vom Hundert anstelle von 1 % Grundgedanke: Ein Hundertstel vom Grundwert bedeutet 1 %. Dieser Zusammenhang bildet den zentralen Orientierungspunkt bei Aufgaben der Prozentrechnung. 9

10 9.1 Begriffliche Grundlagen Zugänge zur Prozentrechnung Beispielaufgabe: Berechne 4 % von 60. Lösung: 1 % von 60 sind 0,60. Dann sind 4 % von 60 gleich (4 0,60 =) 2,40. 10

11 9.2 Die Grundaufgaben und ihre Lösungen Prozentwert = Grundwert (Prozentsatz % : 100 %) kurz: P = G (p % : 100 %) Grundwert = Prozentwert (100 % : Prozentsatz %) kurz: G = P (100 % : p %) Prozentsatz % = (Prozentwert : Grundwert) 100 % kurz: p % = (P : G) 100 % 11

12 9.2 Die Grundaufgaben und ihre Lösungen Didaktische Fragen: Sollen die SuS die drei sich ähnelnden Formeln auswendig lernen und formal anwenden? Ist nicht ein flexibles Anwenden einer Verhältnisgleichung lernfreundlicher und nachhaltiger? Sollte die Prozentrechnung nicht grundsätzlich nur mit der bereits bekannten Dreisatzrechnung durchgeführt werden, zumindest von schwächeren SuS? 12

13 9.2 Die Grundaufgaben und ihre Lösungen Quelle: Brinkmann 2016, S

14 9.2 Die Grundaufgaben und ihre Lösungen Hilfreiche Ergänzung: Ändert sich ein bestimmter Wert regelmäßig mit gleich bleibenden Prozentsätzen von jeweils p %, so verdoppelt bzw. halbiert sich der Wert nach d 70/p solchen Änderungsschritten. Anmerkung: SuS können diesen Zusammenhang experimentell, z. B. mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms, erfahren. Beweis für eine Zunahme, d. h. p > 0 (für p < 0 verläuft der Beweis analog): Es gilt: K n = K 0 (1+ p %) n. Wegen Verdopplung des Kapitals K 0 nach d Schritten folgt: K d = K 0 (1+ p %) d = 2 K 0 (1+ p %) d = 2 d ln(1+ p %) = ln2 Für kleine Werte von x gilt: ln(1 + x) x. Also folgt: d ln(1+ p %) d p %. Wegen ln2 0,7 folgt: d p % 0,7, also: d p

15 9.2 Die Grundaufgaben und ihre Lösungen Beispiele: Die Bevölkerungszahl eines Landes wächst jährlich um 2,5 %. Nach der p * d 70 -Regel wird sich die Bevölkerungszahl etwa alle 28 Jahre verdoppeln, in einem Jahrhundert also auf das 16-fache anwachsen! Der Ölverbrauch eines Landes kann jedes Jahr um 5 % gesenkt werden. Folglich kann man dadurch in einem Zeitraum von 14 Jahren eine Halbierung des derzeitigen Verbrauchs erreichen. 15

16 9.3 Methodische Orientierung für die Einführung in die Prozentrechnung Konkrete Vergleichsprobleme aus interessanten Sachkontexten so wählen, dass von der Sache her allein ein Bruchvergleich und nicht ein additiver Vergleich sinnvoll ist, durch große Zahlen und v. a. viele zu vergleichende Brüche die Festlegung auf den gemeinsamen Nenner 100 gut motiviert werden kann. 16

17 Beispiele: 9.3 Methodische Orientierung für die Einführung in die Prozentrechnung aus: Schnittpunkt 7, S. 144 aus: Mathematik 7 Denken und Rechnen, S

18 9.3 Methodische Orientierung für die Einführung in die Prozentrechnung Mögliche Stufenfolge im Unterricht (nach Krauter 2008, S. 27) 1) Einführung des Prozentbegriffs als andere Sprechweise für Hundertstel, Bedeutung des Begriffs beim relativen Vergleich (Verhältnisbegriff!) 2) Einführung des Begriffs Grundwert, intensive Einübung 3) Grafische Veranschaulichung, überschlägige Behandlung der Grundaufgaben (Prozentwert gesucht, Prozentsatz gesucht, Grundwert gesucht) 4) Prozentaufgaben werden näherungsweise gelöst (ohne Rechnen!), Verständnis steht im Vordergrund 5) Exakte Berechnung mit Hilfe des Dreisatzschemas, Überschlag vor jeder Rechnung empfohlen! 18

19 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung a) Promillerechnung wichtig für sehr kleine Prozentsätze Hundertstel-Brüche werden durch Brüche mit dem Nenner 1000 ersetzt. 1 1 Promille = = Anwendungen: Naturwissenschaften, Medizin (z. B. Blutalkohol-Gehalt), Versicherungswesen 19

20 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung b) Zinsrechnung Verwendung einer besonderen Terminologie: Grundwert G: Kapital K Prozentwert P: Zinsen (für ein Jahr) Z Prozentsatz p: Zinssatz p Anmerkung: Manchmal wird präzise Zinsfuß und Zinssatz wie folgt unterschieden: Zinsfuß p = Wert (z. B. 8) Zinssatz i = p/100 (z. B. 0,08 = 8 %) 20

21 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Zinseszinsen: Bei Sparkonten wird i. Allg. jeweils am Jahresende abgerechnet. Werden die Zinsen nicht abgehoben, sondern bei Jahresende dem Konto gutgeschrieben, so wächst ein Kapital K 0 um p p K auf insgesamt K 1 = K 0 (1 + )

22 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Wird kein Geld abgehoben, so hat man entsprechend nach 2 Jahren p p K K K K K0 1 p Die Zinsen des Vorjahres werden also mit verzinst. Deshalb spricht man von Zinseszinsen. 2 22

23 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Nach n Jahren ergibt sich als Kapital: n p Kn K Dies ist eine spezielle Exponentialfunktion in der Variablen n, n N. Zur Veranschaulichung des Anstieges eines Kapitals oder auch eines Kredits (!) durch Zinseszinsen eignen sich: Tabellenkalkulationsprogramme (z. B. Excel) Funktionsgraphen 23

24 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Anmerkung zur Berechnung durchschnittlicher Zinsen Beispielaufgabe: Ein Guthaben K 0 wird im ersten Jahr mit 2 % und im zweiten Jahr mit 16 % verzinst. Welcher über die zwei Jahre konstante Zinssatz hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben? Guthaben am Ende des zweiten Jahres: 2 16 KEnde 1 1 K0 1, 02 1,16 K Mit konstantem Zinssatz p ergibt sich am Ende des zweiten Jahres: K 1 p K Damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor 1+p über: also p = 8,77. 2 konst. Ende 0 1 p 1,02 1,16 1,0877 Geometrisches Mittel 24

25 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung aus: Mathematik, Kl. 7, S. 23 (Cornelsen & Volk und Wissen) 25

26 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Beispiel zur Veranschaulichung von Zinseszinsen mit Tabellenkalkulation aus: Mathe Netz 7, S

27 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung aus: Mathe Netz 7, S

28 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Begriffe im Zusammenhang mit Prozentrechnung Im Alltag treten im Zusammenhang mit Prozenten häufig folgende Begriffe auf: Rabatt: Unter Rabatt versteht man eine Preisermäßigung beim Kauf einer Ware, z. B. Mengenrabatt oder Mitarbeiterrabatt. Skonto: Skonto ist ein Preisnachlass, den man erhält, wenn man eine Ware innerhalb eines bestimmten Zeitraumes, z. B. 8 Tagen, bezahlt. Mehrwertsteuer: Auf Waren und Dienstleistungen erhebt der Staat eine gesetzliche Mehrwertsteuer (MwSt.). Diese beträgt zur Zeit in Deutschland 19 %. Für Lebensmittel, Bücher und Zeitungen gilt ein ermäßigter Steuersatz von 7 %. Vgl. z. B.: mathe live 7, S

29 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Aufgabenbeispiele: Der Preis für eine Fahrkarte wurde um 15 % erhöht auf 27,60. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? Auf dem Kassenzettel im Supermarkt steht: Zu zahlender Endbetrag 379,61. Dieser Betrag enthält 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Prozent des Endbetrags beträgt die Mehrwertsteuer? Welcher Betrag an Mehrwertsteuer ist im Endbetrag enthalten? 29

30 9.4 Spezielle Anwendungen der Prozentrechnung Brutto und Netto Durch die Mehrwertsteuer werden die meisten Nettopreise um 19 % erhöht. Wie kann man ganz einfach aus den Nettopreisen auf die Endpreise schließen, ohne Berechnung der Mehrwertsteuer? 30

31 9.5 Aufgaben zur Prozentrechnung 31

32 9.5 Aufgaben zur Prozentrechnung Veränderungen mit gleichen Absolutbeträgen entsprechen nicht unbedingt gleichen Prozentzahlen aus: Schnittpunk 7, S

33 9.5 Aufgaben zur Prozentrechnung Jeder Vierte jeder Zweite Werden dann die Anteile (Prozentsätze) auch halbiert? Jahr 2008 x % mehr gegenüber dem Vorjahr Jahr 2009 y % mehr gegenüber dem Vorjahr (x+y) % in 2009 mehr gegenüber 2007? Nein! aus: Schnittpunkt 8, S

34 Literaturverzeichnis Brinkmann, Astrid Lückenmap Dreisatz. In: Astrid Brinkmann (Reihenhrsg.). Astrid Brinkmann, Thomas Borys, Matthias Brandl (Bandhrsg.). Mathe vernetzt Anregungen und Materialien für einen vernetzenden Mathematikunterricht. Band 4, zweiter Buchteil: Materialien und Kopiervorlagen. Aulis Verlag, S Krauter, Siegfried Fachdidaktische Beiträge zum Sachrechnen im Mathematikunterricht. Verfügbar unter: 01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Sach rechnen.pdf [abgerufen am ] Strehl, R Grundprobleme des Sachrechnens. Freiburg: Herder Verlag, S Schulbücher mathe live 7. Mathematik für die Sekundarstufe I. Stuttgart: Klett, Mathematik 7. Denken und Rechnen. Hauptschule. Braunschweig: Bildungsverlag Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Mathe Netz 7 Gymnasium. Braunschweig : Westermann, Schnittpunkt 8, 1. Auflage. Stuttgart: Klett-Verlag, Schnittpunkt 7, 1. Auflage. Stuttgart: Klett-Verlag,