3.1 Affine Abbildungen, baryzentrische Koordinaten und das Teilverhältnis. In diesem Abschnitt betrachten wir affine Abbildungen in der Form

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1 Affine Geometrie 3 Eine erste Verallemeinerun der euklidischen Geometrie, bei der man auf die Orthoonalität der Transformationsmatrix verzichtet, führt auf den Beriff der affinen Geometrie. Eine wichtie invariante Eienschaft in dieser Geometrie betrifft die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes bezülich eines Simplexes (Dreieck oder Tetraeder für d = 2oder 3) und das Teilverhältnis. Beide Beriffe besitzen Anwendunen bei der Konstruktion und Beschreibun von polynomialen Kurven, die ein wichties Werkzeu im Computer Aided Desin (CAD) darstellen. Zum Abschluss dieses Kapitels werden Alorithmen zur Berechnun der konvexen Hülle einer Mene von Punkten vorestellt. 3.1 Affine Abbildunen, baryzentrische Koordinaten und das Teilverhältnis In diesem Abschnitt betrachten wir affine Abbildunen in der Form α p α(p)= a + Âp, (3.1) die bereits in (1.27) eineführt wurde. Dabei ist a R d ein Vektor und  eine d d-matrix. Falls diese Matrix reulär ist, so ist die affine Abbildun ebenfalls reulär und besitzt eine eindeuti bestimmte Umkehrabbildun. Andernfalls ist die affine Abbildun sinulär und besitzt keine Umkehrabbildun. Zunächst ermitteln wir die Anzahl der Freiheitsrade der affinen Abbildunen. Durch Einbettun der d(d + 1) Koordinaten des Vektors a und der Matrix  wie in (3.1) in den R d(d+1) lassen sich affine Abbildunen mit Punkten dieses Raumes identifizieren. Jeder Punkt dieses Raumes ist bijektiv einer affinen Abbildun zueordnet. O. Aichholzer, B. Jüttler, Einführun in die anewandte Geometrie, MathematikKompakt, DOI / _3, Spriner Basel

2 60 3 Affine Geometrie Satz Eine affine Abbildun α des E d besitzt d(d + 1) Freiheitsrade. Durch Vorabe der Bilder des Koordinatenurspruns u = (0,...,0) T und der d Einheitspunkte 1 e i =(δ0 i,...,δi d )T auf den Koordinatenachsen (i = 1,...,d) ist eine affine Abbildun eindeuti bestimmt. Beweis Die Anzahl der Freiheitsrade ist durch die Anzahl der frei wählbaren Koeffizienten in a und  festelet, diese beträt d(d + 1). Man überzeut sich weiter leicht davon, dass es eine eindeuti bestimmte affine Abbildun (3.1) ibt, die den Koordinatenursprun und die Einheitspunkte in voreebene Bildpunkte u und e i (i = 1,...,d) überführt. Die Abbildun ist eeben durch den Vektor a = u und durch die Matrix Â, deren Spalten die Differenzvektoren e i u sind. Definition Wir betrachten d + 1 beliebie, aber fest eebene Punkte v 0,...,v d im E d in allemeiner Lae. 2 Für einen beliebien Punkt x im E d ibt es eindeuti bestimmte Zahlen ξ 0,...,ξ d, die den Gleichunen x = d ξ i v i und d ξ i = 1 (3.2) enüen. Diese werden als baryzentrischekoordinatenvon x bezülich des durch die fest eebenen Punkte v i festeleten baryzentrischen Koordinatensystems bezeichnet. Durch (3.2) wird das lineare Gleichunssystem ξ 0 1 v 01 v 11 v d1 ξ 1 = x 1 v 0d v 1d v dd ξ d x d bestimmt, wobei v i =(v i1,...,v id ) T die Koordinaten der fest eebenen Punkte sind. Die Lösun des Systems sind die baryzentrischen Koordinaten des Punktes x. Die Lösun ist eindeuti bestimmt, da die Koordinatenmatrix reulär ist: Ihre Spalten sind die homoenen Koordinatenvektoren der fest eebenen Punkte v i und diese wurden als in allemeiner Lae vorausesetzt. 1 Hier ist δ i 1 falls i = j j = das Kronecker-Delta. 0 sonst 2 Dies bedeutet, dass diese Punkte nicht in einer Hyperebene enthalten sind. Entsprechend der Definition am Beinn des zweiten Kapitels lässt sich das durch die lineare Unabhänikeit der entsprechenden homoenen Koordinatenvektoren charakterisieren.

3 3.1 Affine Abbildunen, baryzentrische Koordinaten und das Teilverhältnis 61 Die Lösunen lassen sich mit der Cramerschen 3 Reel ermitteln, wobei wir die Abkürzun ξ i = det+ (v 0,...,v i 1, x, v i+1,...,v d ) det + (v 0,...,v i 1, v i, v i+1,...,v d ), (3.3) det + (p 1,...,p d )=det p 01 p 11 p d1 p 0d p 1d p dd (3.4) verwenden. Falls der Punkt x in der von v 0,...,v i 1, v i+1,...,v d aufespannten Hyperebene liet, so ilt det + (v 0,...,v i 1, x, v i+1,...,v d )=0 und follich ξ i = 0. Da die baryzentrischen Koordinaten linear von den Koordinaten x i des Punktes abhänen, ist jede Koordinate ξ i ein Vielfaches der Gleichun der Hyperebene durch die Punkte v 0,...,v i 1, v i+1,...,v d, wobei sich die Gleichunen aller d + 1Hyperebenen zu 1 summieren. Für d = 2 zeit Abb.3.1 die dabei entstehende Vorzeichenverteilun, durch die die Ebene in sieben Teilbereiche zerlet wird. Mit Hilfe der Darstellun (3.3) zeien wir den folenden Satz: Satz Die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes sind affin invariant: Ist α eine reuläre affine Abbildun, so stimmen die baryzentrischen Koordinaten eines beliebien Punktes x bezülich der Punkte v 0,...,v d mit denen des Punktes α(x) bezülich der Punkte α(v 0 ),...,α(v d ) überein. Beweis Für eine affine Abbildun der Form (3.1)ilt det + ( a + Âp 1,..., a + Âp d )=det(â) det + (p 1,...,p d ), (3.5) da die Beziehun 1 ( )=( a + Âp i a  )(1 ) p i 3 Der Genfer Mathematiker Gabriel Cramer ( ) veröffentlichte 1750 im Anhan eines Buches die nach ihm benannte Formel zur Lösun linearer Gleichunssysteme und ab damit den Anstoß zur Entwicklun des Beriffs der Determinante.

4 62 3 Affine Geometrie (,, +) v 2 v 2 (+,, +) (, +, +) x (+, +, +) v 0 v 1 v 0 v 1 (+,, ) (+, +, ) (, +, ) Abb. 3.1 Zur Definition der baryzentrischen Koordinaten (ξ 0, ξ 1, ξ 2) in der Ebene (links)undvorzeichenverteilun (rechts) ilt und die Matrix, mit der die Spaltenvektoren multipliziert werden, die Determinante det  besitzt. Aus dieser Beziehun folt unmittelbar die affine Invarianz der baryzentrischen Koordinaten, da sowohl Zähler als auch Nenner in (3.3) mitdetâ multipliziert werden. Bemerkun Teilt man den in(3.4) definierten Ausdruck durch d!, so erhält man das orientierte Volumen des durch die d +1 Punkte bestimmten Simplexes 4.Aus(3.5)foltunmittelbar, dass dieser Ausdruck eenüber volumentreuen affinen Abbildunen also insbesondere bei eientlichen Beweunen invariant ist und bei uneientlichen Beweunen sein Vorzeichen wechselt. Damit erhält man eine eometrische Interpretation der baryzentrischen Koordinaten als Verhältnisse der orientierten Volumen verschiedener Simplizes (vl. Abb. 3.1). Definition Sei x ein Punkt der Geraden durch zwei voneinander verschiedene Punkte p und q.wir eränzen p = v 0 und q = v 1 zu d + 1 Punkten in allemeiner Lae und ermitteln die baryzentrischen Koordinaten von x bezülich dieser Punkte. Das Verhältnis der ersten beiden baryzentrischen Koordinaten TV(p, q, x)=ξ 1 /ξ 0 wird dann als Teilverhältnisvon x bezülich des Geradensements [p, q] bezeichnet. 4 Für d = 1: Strecke oder Geradensement, für d = 2: Dreieck, für d = 3: Tetraeder.

5 3.2 Polynomiale Kurven 63 Man überzeut sich leicht davon, dass das Teilverhältnis nicht von der Wahl der d 1 zusätzlichen Punkte v 2,...,v d abhänt. Offenbar ilt ξ i = 0füri = 2,...,d,dadiePunkte p = v 0, q = v 1, v 2,...,v i 1, x, v i+1,...,v d, aufrund der Kollinearität von p, q und x stets in einer Hyperebene enthalten sind. Daraus folt ξ 0 + ξ 1 = 1unddieBeziehun(3.2) vereinfacht sich zu x = ξ 0 v 0 + ξ 1 v 1 = p + ξ 1 (q p). Lässt man ξ 1 in R variieren, so erhält man eine Parametrisierun der Geraden durch p und q. Da diese Parametrisierun bijektiv ist, ist für jeden Punkt x der Geraden der Wert von ξ 1 und damit das Teilverhältnis eindeuti bestimmt. Folerun Das Teilverhältnis TV(p, q, x) von drei kollinearen Punkten p, q und x mit p q ist eindeuti festelet und affin invariant. 3.2 Polynomiale Kurven In diesem Abschnitt werden wir verschiedene Mölichkeiten zur Beschreibun polynomialer Kurven untersuchen. Diese Klasse von Kurven (und ihre Verallemeinerun auf Flächen) wird zur Beschreibun von Freiformobjekten im Computer Aided Desin und in der Computerrafik einesetzt. Definition Eine polynomiale Kurve vom Grad ist eine Abbildun p R E d t p(t)=(p 1 (t),...,p d (t)) T, bei der die d Koordinatenfunktionen p i jeweils Polynome vom Grad in t sind. Schränkt man den Parameterbereich auf ein abeschlossenes Intervall [a, b] ein, so spricht man von einem polynomialen Kurvenstück. Ist(φ i ),..., eine Basis des Vektorraums der Polynome vomgrad, so besitzt die Kurve eine Darstellun p(t)= bezülich dieser Basis mit Koeffizientenvektoren c i R d. φ i (t) c i (3.6)

6 64 3 Affine Geometrie Affine Abbildun Darstellun (3.6) Kontrollpunkte (c i ),..., Kontrollpunkte (ĉ i ),..., Polynomiale Kurve t p(t) Polynomiale Kurve t ˆp(t) Abb. 3.2 Affine Invarianz einer Darstellun für polynomiale Kurven: Die Berechnun der Kurve entsprechend der Darstellun (3.6) und die Anwendun einer affinen Abbildun kommutieren miteinander Polynomiale Kurven und Kurvenstücke sind offensichtlich invariant unter affinen Abbildunen. Eine Darstellun (3.6) wird als affin invariant bezeichnet, falls für jede affine Abbildun α die Beziehun α(p(t)) = φ i (t) α(c i ) erfüllt ist. Dies ilt jedoch nicht für jede Basis des Raumes der Polynome! Interpretiert man die Koeffizienten c i als affine Koordinatenvektoren von +1Punkten, so bleibt im Falle einer affin invarianten Darstellun die Beziehun zwischen diesen Punkten undderkurve bei affinenabbildunen erhalten (vl.abb.3.2). In diesem Fall werden die Punkte c i als Kontrollpunkte der polynomialen Kurve bezeichnet. Für die Darstellun solcher Kurven ibt es jedoch mehrere Mölichkeiten, die nicht alle affin invariant sind. Beispielhaft werden wir drei möliche Basen des Vektorraums der Polynome vom Grad betrachten, die verschiedene Eienschaften besitzen: Die Basisder Monome (Potenzfunktionen) vom Grad ist eeben durch μ i (t)=t i, (i = 0,...,), siehe Abb Die Verwendun dieser Basis entspricht der üblichen Darstellun von Polynomen. Die Basis der Larane-Polynome 5 vom Grad zu eebenen paarweise verschiedenen Knoten τ i R (i = 0,...,) besitzt die Darstellun λ i (t)= 0 j, j i (t τ j ) 0 j, j i (τ i τ j ), i = 0,...,. 5 Joseph-Louis Larane ( ) war ein italienischer Mathematiker. Er beründete die analytische Mechanik und arbeitete u. a. zu Themen der Variationsrechnun, der Gruppentheorie und der Theorie komplexer Funktionen.

7 3.2 Polynomiale Kurven 65 Abb. 3.3 Monome, Larane-Polynome und Bernstein-Polynome vom Grad = 3für[a, b]=[0, 1] Dabei können die Knoten beliebi ewählt werden. Für ein Kurvenstück mit dem Parameterbereich [a, b] bietet es sich an, die Knoten äquidistant in diesem Intervall zu verteilen, τ i = ( i)a + ib. Die Larane-Polynome enüen den Gleichunen Daraus folt die Identität λ i (τ j )=δ i j, i, j = 0,...,. (3.7) λ i (t) 1 = 0. In der Tat ist ween (3.7) die linke Seite dieser Gleichun ein Polynom vom Grad mit den + 1 Nullstellen τ 0,...,τ, also identisch leich Null. Die Basis der Bernstein-Polynome 6 bezülich des Intervalls [a, b] wird durch die Funktionen β i (t)=( i )(t a)i (b t) i (b a) (i = 0,...,) ebildet. Das Bernstein-Polynom β i besitzt a und b als Nullstellen mit den Vielfachheiten i und i. Die Bernstein-Polynome enüen der Identität β i (t) 1 = 0, 6 Der russische Mathematiker Serej N. Bernstein ( ) führte 1911 die Bernstein-Polynome ein, um einen konstruktiven Beweis des Approximationssatzes von Weierstraß zu eben.

8 66 3 Affine Geometrie die sich leicht durch Anwendun des binomischen Satzes auf die rechte Seite der Gleichun (b a) =[(b t) (t a)] beweisen lässt. Darüber hinaus sind alle Bernstein-Polynome im Inneren des Intervalls [a, b] positiv, β i (t)>0 für a < t < b. Der folende Satz beschreibt den Zusammenhan zwischen den Eienschaften der Basen und den eometrischen Eienschaften der entsprechenden Kurvendarstellun: Satz Eine Darstellun (3.6) für polynomiale Kurven vom Grad ist enau dann affin invariant, wenn die Basisfunktionen (φ i ),..., eine Zerleun der Eins bilden, φ i (t)=1. (3.8) Falls zusätzlich dazu die Werte dieser Funktionen im Intervall [a, b] nichtneativ sind, so liet das polynomiale Kurvenstück mit dem Parameterbereich [a, b] in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte c i. Beweis Aus der Eienschaft (3.8) und der Darstellun (3.1) einer affinen Abbildun folt unmittelbar φ i (t) α(c i )= φ i (t)( v + Âc i )= v + Â( φ i (t)c i )=α(p(t)) und damit die affine Invarianz. Zum Nachweis der Eienschaft, dass jeder Kurvenpunkt in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte liet, beweist man mit Hilfe vollständier Induktion für n = 0,...,, dass jeder Punkt n ξ i c i mit n ξ i = 1undξ i 0 in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte c 0,...,c n liet. Mit ξ i = φ i (t) folt dann das ewünschte Resultat. Der Induktionsanfanfür n = 0 ist trivialerweise erfüllt. Für den Induktionsschritt betrachtet man die Zerleun n+1 n ξ i c i =( ξ j )ĉ + ξ n+1 c n+1 (3.9) j=0

9 3.2 Polynomiale Kurven 67 Abb. 3.4 Polynomiale Kurven in Darstellun bezülich der Larane-Polynome (links) und der Bernstein-Polynome (rechts) mit ĉ = n ξ i ˆξ i c i und ˆξi = n j=0 ξ. j Die Induktionsvoraussetzun arantiert, dass ĉ in der konvexen Hülle der Punkte c 0,...,c n liet. Der in (3.9) definierte Punkt liet auf der Verbindunsstrecke von ĉ und c n+1 und demnach in der konvexen Hülle der Punkte c 0,...,c n+1. Abbildun 3.4 zeit Kurven mit demselbem Kontrollpolyon in der Basisdarstellun bezülich der Larane- und der Bernstein-Polynome. Im ersten Fall interpoliert die Kurve ween (3.7) die eebenen Kontrollpunkte, während im zweiten Fall das Kurvenstück vollständi in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte enthalten ist. Bemerkun Zwischen affin invarianten Kurvendarstellunen und baryzentrischen Koordinaten besteht ein ener Zusammenhan: Falls die Dimension d des Raumes mindestens so roß wie der Grad der Kurve ist ( d) und falls sich die + 1 Kontrollpunkte c i in allemeiner Lae befinden ( = d)bzw.sichzud +1 Punkten in allemeiner Lae eränzen lassen ( < d), so handelt es sich bei den Werten der Basisfunktionen (φ i (t)),..., (eränzt durch (d )-fach den Wert Null) erade um die baryzentrischen Koordinaten des Kurvenpunktes p(t) bezülich der Kontrollpunkte c i. Sowohl Larane- als auch Bernstein-Polynome bilden eine Zerleun der Eins und liefern damit affin invariante Darstellunen für polynomiale Kurven. Für Bernstein- Polynome ist das Kurvenstück darüber hinaus in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte enthalten. Polynomiale Kurven, die bezülich der Basis der Bernstein-Polynome darestellt sind, werden auch als Bézier-Kurven 7 bezeichnet. Bézier-Kurven sind follich affin invariant und stets in der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte enthalten. Die letzte Eienschaft ist beispielsweise nützlich zur Ermittlun von Schnittpunkten zwischen Bézier-Kurven und Hyperebenen: Falls keine Schnittpunkte einer Hyperebene mit dem Kontrollpolyon einer Bézier-Kurve existieren, so kann es auch keine Schnittpunkte mit der Kurve eben. 7 Pierre Bézier ( ) war ein französischer Inenieur bei Renault und beschrieb in den 1960er Jahren die nach ihm benannten Kurven.

10 68 3 Affine Geometrie Abb. 3.5 Konstruktion einer kubischen Bézier-Kurve aus zwei Randpunkten und Ableitunsvektoren für [a, b]=[0, 1] b 2 p (0) b 3 b 1 b 0 p (1) Zum Abschluss dieses Abschnitts stellen wir einie nützliche Eienschaften von Bézier- Kurven zusammen. Bernstein-Polynome besitzen die Symmetrieeienschaft β i (a + t)=β i (b t), i = 0,...,. (3.10) Kehrt man die Reihenfole der Kontrollpunkte um, c i = c i, so erhält man dieselbe Kurve mit umekehrter Parametrisierun, p (a + t) =p(b t). Auch Kurven in Larane-Darstellun besitzen diese Eienschaft, falls die Knoten τ i symmetrisch bezülich des Mittelpunktes (a + b)/2 des Parameterbereiches ewählt werden. Für die Ableitunen einer Bézier-Kurve ilt ( dk k dt p)(t)= k β k i n! 1 (t) (n k)! (b a) k Δk c i, (3.11) wobei Δc i = c i+1 c i die ersten Vorwärtsdifferenzen der Kontrollpunkte sind und Δ k die k-te Vorwärtsdifferenz bezeichnet (k = 0,...,). Für die Randwerte einer Bézier-Kurve elten sowie ( dk dt p)(a)= n! k (n k)! ( dk dt p)(b)= n! k (n k)! 1 (b a) k Δk c 0 1 (b a) k Δk c k. Damit lassen sich beispielsweise leicht kubische Kurven konstruieren, die voreebene Randpunkte und Ableitunsvektoren interpolieren, siehe Abb. 3.5.

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