1. Klausur: Experimentalphysik III - Quantenmechanik WS 04/05 Bearbeitungszeit: 120 min

Transkript

1 . Klausur: Experimentalphysik III - Quantenmechanik WS 4/5 Bearbeitungszeit: min Aufgabe : Schwarzkörperstrahlung as Plancksche Strahlungsgesetz E.!; T /!3 4 c exp! gibt an, wie ie spektrale Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers von er Strahlungsfrequenz! abhängt. (a) Bei welcher Strahlungsfrequenz liegt as Maximum? (Wiensches Verschiebungsgesetz) Hinweis: Wenn Sie eine Bestimmungsgleichung in x! im Vergleich zu en aneren Termen vernachlässigen. erhalten, so können Sie e x (5 Punkte) (b) Zeigen Sie, ass ie gesamte Strahlungsleistung R! E.!; T / proportional zu T 4 ist. (Stefan-Boltzmann-Gesetz) (4 Punkte) (c) Zeigen Sie, ass man für große! näherungsweise as Wien sche Strahlungsgesetz E.!; T /!3 4 c e! erhält. (4 Punkte) Aufgabe : Photoelektrischer Effekt Eine Metallplatte were elektrisch auf ie Laung Q C aufgelaen. as Licht einer Quecksilberampflampe ( 35 nm) mit einer Lichtleistung von 5 W were auf ie Metallplatte gebünelt. ie Auslösearbeit für Elektronen aus em Metall betrage 3 ev. (a) Wie lange auert es, bis ie Platte vollstänig entlaen ist? (6 Punkte) (b) Warum misslingt as Experiment, wenn man eine Natriumampflampe ( 589 nm) benutzt? (3 Punkte) Aufgabe 3: Compton Rückstreuung Eine Möglichkeit, hochenergetische Photonen zu erhalten, besteht arin, ein hochenergetisches Elektron un ein Photon frontal (Winkel 8 ı ) aufeinaner stoßen zu lassen. as Elektron habe en Impuls p e in positive x-richtung. a wir avon ausgehen, ass as Elektron hochenergetisch ist, kann man seine Masse vernachlässigen un seine Energie ist E e p e c. as Photon habe ie Frequenz un fliege anfänglich in ie negative x-richtung. 37

2 Berechnen Sie ie Frequenz es Photons nach em Stoß. (8 Punkte) Aufgabe 4: Halbklassischer Potentialtopf Ein klassisches Teilchen bewege sich in einem (einimensionalen) unenlich hohen Potentialtopf er Breite a hin un her. Berechnen Sie ie erlaubten Energieniveaus unter en Quantisierungsbeingung H x p n h. H x beeutet abei ie Integration über eine Perioe (Bewegung von x : : : a un zurück). (8 Punkte) Aufgabe 5: Quantenmechanischer oppelspalt Ein Strahl von Elektronen mit er Geschwinigkeit v z in z-richtung were auf einen oppelspalt (Spaltabstan L, Spaltbreite a) gelenkt. z f(x) Schirm Q ( ) x x (a) Wir betrachten zuerst ie Zusammensetzung es Wellenpaketes in x-richtung. Im Ortsraum hat er Elektronenstrahl hinter em Spalt ie Amplitue 8 x < L a p ˆ< a L a < x < L C a f.x/ L C a < x < L a p a L a ˆ: < x < L C a x > L C a Um araus ie Amplitue im Impulsraum (Impulskomponente in x-richtung) zu erhalten, berechne Sie ie Fouriertransformation f Q.k/ p Z x f.x/ e ikx : Hinweis: Benutzen Sie e ix C e ix i cos.x/ un e ix Ergebnis als Proukt von Sinus un Cosinus zu schreiben. e ix i sin.x/, um as ( Punkte) (b) ie Wahrscheinlichkeits(ichte), einen bestimmten Impuls p x k zu messen, ist P.p x / jf Q.k/j. Aus p x un p z m e v z lässt sich ie Richtung bestimmen, in ie ie Elektronen fliegen, so ass sie am Punkte auf em Schirm auftreffen.= p x =p z /. Bestimmen Sie P.p x / un schreiben Sie as Resultat weiter als Funktion von. as Resultat ist as Beugungsmuster, as auf em Schirm zu sehen ist. Entwickeln Sie as Resultat für kleine Spaltbreiten a! (sin.x/ x für kleine x). (6 Punkte) 38

3 (c) Benutzen Sie as Ergebnis für kleine Spaltbreiten, um en Abstan es ersten Beugungsminimums zu bestimmen. (5 Punkte) () Bestimmen Sie en Ort es ersten Beugungsminimums auf ie klassische Weise (Wellen mit er e-broglie-wellenlänge, erstes Beugungsminimums beim Gangunterschie ). (7 Punkte) Aufgabe 6: Potentialtopf un Parität Wir betrachten einen unenlichen hohen Potentialtopf er Breite a: V.x/ für jxj < a= un sonst. ie erlaubten Wellenfunktionen haben entweer gerae oer ungerae Parität. (a) Welche Beingung müssen ie Wellenfunktionen mit ungeraer Parität am Ursprung x erfüllen? (4 Punkte) (b) Zeigen Sie urch Vergleich er Ranbeingungen, ass ie Energieniveaus mit ungeraer Parität ie gleichen sin, wie ie Energieniveaus (mit beliebiger Parität) eines Potentialtopfs er Breite a=. (4 Punkte) Aufgabe 7: Harmonischer Oszillator ie Wellenfunktion für en Grunzustan es harmonischen Oszillators ist m! 4 m! '.x/ e x : Zeigen Sie, ass man urch Anwenen es Erzeugens-Operators a p m! X ; x auf ' ie Wellenfunktion es ersten angeregten Zustans erhält: m 3! 3 4 x '.x/ p e m! 3 x : (5 Punkte) Aufgabe 8: Wasserstoffatom: rehimpuls Bestimmen Sie en Erwartungswert für ie z-komponente es rehimpulses L für ie Zustäne.l; m/.; /;.; /;.; /. (6 Punkte) Hinweis: r r r Y m l 4 cos ; Y 8 sin ei' ; Y 8 sin e i' : 39

4 Aufgabe 9: Wassserstoffatom: Raius ie Raialanteile er Wellenfunktion es Wasserstoffatoms für ie Zustäne n, l un n, l sin R.r/ a =3 e r a ; R.r/.a / 3 wobei a me =4" er Bohr-Raius ist. (a) Bestimmen Sie en Erwartungswert hr i für ie Zustäne n un n. ( Punkte) Hinweis: Substituieren Sie as Integral so, ass Sie im Integranen e x erhalten un benutzen Sie R x xn e x nš. (b) Bestimmen Sie r für ie beien Zustäne nach em Bohr-Moell (setzen Sie ie Coulombkraft mv e 4" gleich er Zentripetalkraft un benutzen Sie ie rehimpulsquantelung) un vergleichen Sie mit em obigen Resultat. (5 r r Punkte) r a e r a 4

5 Lösungsvorschlag. (a) Maximum er Schwarzkörperstrahlung E.!; T /!3 4 c exp! ; azu berechne man ie erste Ableitung E.!; T / 3!! 4 c exp! k B C!3 4 c T exp!! 4 c exp! 3! exp! e! e! Für ein Maximum muss ie erste Ableitung verschwinen,.h mit x! folgt 3 x e x e x, 3ex 3 xe x,.3 x/e x 3,.3 x/ 3e x Mit 3e x liegt as Maximum bei! 3, un somit! max 3 k BT : (b) Mit x! k B, berechne man ie totale Abstrahlung T E tot (c) große!: Z Z 4 c!!3 4 c exp! k B T 3 x x 3 kb T 4 c kb T 4 Z x 3 x T 4 e x ƒ unabhängigvont k BT e x e! ) E.!; T /!3 4 c e! : 4

6 . (a) Auslösearbeit es Kupfers: W A 3 ev. Energie es Photons: E h hc, Anzahl Photonen Sekune n W A E ; Anzahl er Elektronen N e Q, amit ist ie Zeit e t N e Q n e W hc e.3; 54 ev/ 5 J s 3; 54 5 s ; 7 s : (b) Beingung: hc > Auslösearbeit W A. Natrium, hc ; ev ; zu klein um Auszulösen. 3. Compton Back-Scattering Vorher Elektron Impuls p e Energie E e p e c Photon Impuls p h c Energie E h Nachher fliege as Elektron nach links,.h. pe p C h. c./ p e C h c p h e Impulserhaltung ; c./ h C p e c p ec C h Energieerhaltung : Aus () folgt jp ej, as Photon fliege nach rechts: p e p e C h c. C / ; eingesetzt in () ergibt h p e c C h C h p e c C h h p e c ) p ec : 4

7 4. Eine Perioe spaltet sich auf in eine Bewegung links! recht, p Cjpj Z a x p jpja ; un eine Bewegung rechts! links p somit jpj Z a x p jpja ; I x p jpja n h ; E jpj m ) E n m n h 4a : 5. (a) Es gilt f Q.k x / p Z x f.x/ e ik xx somit p p a Z LC a L a LC a x e ik xx C Z LC a L a LC a x e ik xx e ik p x x e ik x x C a ik x L ik a x L a p eik. a LC / e ik x. L a / e ik x.lc a / C e ik x. L a / ik x a ik p e x L e ik a x e ik x a ik x a ƒ C e ik x L e ik x a e ik x a a i sin.k x / a p sin k x e ikxl C e ik xl k x a ƒ cos.k x L/ a p sin k x cos.kl/ ; k x a f Q.k x / sin k x a cos.kx L/ p : k x a 43

8 (b) er Impuls Ep kann eine Komponenten p x k v x m e in x-richtung un eine Komponente p z v z m in z-richtung zerlegt weren. er Skizze entnimmt man mit em Strahlensatz p x p z : px α p z araus folgt p x p z k x v z m ) k x v zm : Es gilt P.p x / jf Q.k x /j mit f Q.k x / sin.k x a / cos.k xl/ p k x a aus (c) folgt P.p x / 4 sin a k x cos.k x L/ kx a mit k x v zm aus () P./ 4 av z m sin avz m cos vz m L Mit er Kleinwinkelnäherung: sin x x für a! folgt P./ 4 av z m a cos vz m L a v z m 4 cos vz m L ) P./ a cos vz m L (c) amit ein Minimum vorliegt, muss ie Wahrscheinlichkeit P./ verschwinen. Mit P./ cos ˇ aus (e) folgt cos ˇ 8 ˇ.n / ; as Minimum. Ornung somit für n,.h. v zm L ) v z m () Aus er Geometrie er Anornung folgt L tan ) tan ; 44

9 un L sin L. Mit für as erste Minimum un m e v z p z k z ) m e v z schließlich L m e v z ) L m e v z : 6. (a) Ranbeingung:. a /. a /. Ungerae Parität beeuet.x/. x/, für x!, somit././:./. (b) Aus (a) folgen ie neuen Ranbeingungen./ ^ a Entspricht einem Potentialtopf mti er Breite a. 7. Es gilt für ie Wellenfunktion mit X p m! x, '.x/ 4 r m! e m! x ) '.X/ 4 r m! e X ; anwenen es Erzeugungsoperators ergibt a '.X/ p r 4 X e X r 4 m! X e X un somit 8. Es gilt '.x/ 4 r m3! 3 hl z i Z 3 ' Z x p e m! x : sin Y m l.; '/ L z Y m l.; '/ : Für l ist mit OL z ' m W OL z Y m l )hl z i ; m W OL z Y m l.; '/ Y m l.; '/ ) hl z i m W hl z i : 45

10 9. (a) Für ie Kugelflächenfunktionen gilt Z Y lm.; '/Y lm.; '/ : n hr i n Z Z Z r r R.r/ r R.r/ r r 4 4 a 3 e r=a a 8 Z hr i r r R.r/ r R.r/ 4 Z r r 4 r C r.a / 3 a 4a Z Z a x x 4 e x x x 5 e x C 4 4a x x 4 e x 3a e r=a Z (b) Coulombkraft wirkt als Raialkraft un L mrv n ergibt x x 6 e x e 4" r mv r ) r n n m 4" e n a : somit für n : r a un für n : r 6a. 46