Experimentalphysik I: Mechanik

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1 Experimentalphysik I: Mechanik Prof. Dr. Thomas Müller, Dr. Frank Hartmann Vorlesung Wintersemester 2001/2002 Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 5. März 2004 Skript der Vorlesung Experimentalphysik I von Herrn Prof. Dr. Thomas Müller im Wintersemester 2001/2002 von Marco Schreck. Dieses Skript erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Kommentare, Fehler, Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an Marco.Schreck@gmx.de.

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Grundbegriffe der Physik Dimensionsbetrachtungen Messungen und Datenauswertung Zentraler Grenzwertsatz Fehlerfortpflanzung Physikalische Größen/Einführung in die Vektorrechnung Klassische Mechanik Mechanik von Massenpunkten Bewegung in einer Dimension dimensionale Bewegung Dreidimensionale Bewegung Sonderfall Kreisbewegung Sonderfall: Konstante Kreisbewegung Die Newtonschen Gesetze Anwendungen von Newtons Gesetzen Das Federpendel Reibung Rotationsdynamik Arbeit und Energie Systeme von Massenpunkten Schwerpunkt und Impuls (CM=center of mass) Elastische und unelastische Stöße Rotationen Rotationskinematik Rotationsdynamik Rotierende Bezugssysteme Rollen Mechanische Stabilität Gravitation Das Gravitationsgesetz Der historische Weg zum Gravitationsgesetz Das Newtonsche Gravitationsgesetz Das Gravitationspotential Planetenbahnen, Keplersche Gesetze Gravitation in Massenverteilungen Relativistische Mechanik Bewegte Bezugssysteme, Transformationen Relativistische Kinematik Spezielles Relativitätsprinzip Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit Wiederholung: Galileitransformationen Lorentztransformation Relativistische Effekte Relativistische Dynamik

4 5 Physikalische Eigenschaften fester Körper und Flüssigkeiten Physik fester Körper Elastische Verformung Härte eines Festkörpers Thermische Eigenschaften von Festkörpern Mechanik von Flüssigkeiten Hydrostatik Hydrostatischer Druck durch Gravitation Hydrodynamik Wellenausbreitung in der Mechanik Schwingungen (Wiederholung) Vergleich zwischen Pendel- und Federschwingung Wellen Anwendung: Akustik, Schallwellen Wellen von bewegten Quellen/Empfängern (Doppler-Effekt) Überlagerung von Wellen Licht und Materie - Korpuskel und Welle Licht als elektromagnetische Welle Licht als Korpuskel Materie als Welle Elektromagnetische Wellen im Vakuum im Dreidimensionalen Materiewellen

5 Kapitel 1 Einleitung Was ist Physik? Die Physik ist die mathematischste aller Naturwissenschaften. Durch sie wird die Natur in quantitativer, universeller Weise beobachtet und beschrieben. Die Beobachtungen werden auf fundamentale Gesetze zurückgeführt. Nur reproduzierbare Phänomene werden erfaßt! 1.1 Grundbegriffe der Physik a.) Internationale Konvention (SI (Système International)) Länge: Meter (m) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Länge Meter m Meter ist die Länge der Strecke, die Licht in Vakuum während der Dauer von Sekunden durchläuft. Zeit: Sekunde (s) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Zeit Sekunde s Sekunde ist das fache der Periodendauer, der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklides Cs 133 entsprechenden Strahlung. Masse: Kilo (kg) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Masse Kilogramm kg Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. Temperatur: Kelvin (K) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Temperatur Kelvin K Kelvin ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. elektrischer Strom: Ampère (A) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Stromstärke Ampère A Ampère ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stroms, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter 1 Leiterlänge elektrodynamisch die Kraft Kilogrammeter durch Sekundequadrat hervorrufen würde. 5

6 KAPITEL 1. EINLEITUNG Lichtstärke: Candela (Cd) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Lichtstärke Candela cd Candela ist die Lichtstärke, mit der Quadratmeter der Oberfläche eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck Kilogramm durch Meter und durch Sekundequadrat erstarrenden Platins senkrecht zu seiner Oberfläche leuchtet. Substanzmenge: Mol (mol) Basisgröße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Stoffmenge mol mol Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Kilogramm des Nuklides C12. b.) Abgeleitete Größen Größe Name der SI-Einheit Symbol, Zusammenhang (Basiseinheit bzw. mit Basiseinheiten abgeleitete Einheit Länge Meter m Zeit Sekunde s Masse Kilogramm kg Fläche Quadratmeter m 2 Volumen Kubikmeter m 3 Frequenz Hertz Hz= 1 s Geschwindigkeit Meter/Sekunde m s Beschleunigung Meter/Quadratsekunde m s 2 Kraft Newton N= kg m s 2 Druck Pascal Pa= N m 2 = kg m s 2 Arbeit, Energie, Wärmemenge Joule J=Nm= kg m2 s 2 Leistung Watt W= J s = kg m2 s 3 Dichte Kilogramm/Kubikmeter kg m 3 Temperatur Kelvin K Stromstärke Ampère A Ladung Coulomb C=As Stromdichte Ampère/Quadratmeter A m 2 Spannung Volt V= J C = kg m2 s 3 A Widerstand Ohm Ω = V A = kg m2 s 3 A 2 Fortsetzung... 6

7 1.1. GRUNDBEGRIFFE DER PHYSIK... Fortsetzung Größe Name der SI-Einheit Symbol, Zusammenhang (Basiseinheit bzw. mit Basiseinheiten abgeleitete Einheit Farad F= C V = s4 A 2 kg m 2 V elektrische Feldstärke Volt/Meter m = kg m s 3 A magnetische Feldstärke Ampère/Meter A m magnetische Induktion Tesla T= V s m 2 = kg s 2 A Induktivität Henry H= V s A Lichtstärke Candela cd = kg m2 s 2 A 2 Energiedosis Gray Gy= J kg = m2 s 2 Aktivität Becquerel Bq= 1 s Stoffmenge Mol mol Dimensionsbetrachtungen Beispiel: Formel für Schwingungsdauer eines Pendels Wir verwenden folgenden Ansatz: t m a l b g c a, b, c sind zu bestimmen. Dimensionen : T 1 M a L b L T 2 c = M a L b+c T 2c Durch Vergleich der Exponenten ergibt sich: 1 = 2c 0 = a 0 = b + c 7

8 KAPITEL 1. EINLEITUNG Aus diesen Gleichungen ergibt sich c = 1 2 und b = Damit erhalten wir weiter: t l 1 2 g 1 2 = l g Wir werden im Thema Schwingungen und Wellen feststellen, daß die Formel für die Schwingungsdauer t = l 2π g lautet. c.) Präfixe Zehnerpotenz Name Abkürzung Beispiel Peta P PByte Tera T TeV 10 9 Giga G GW 10 6 Mega M MW 10 3 Kilo k kg 10 2 Hekto h hl 10 1 Deka da Dekade 10 1 Dezi d dm 10 2 Zenti c cm 10 3 Milli m mm 10 6 Mikro µ µm 10 9 Nano n nv Piko p pf, pv Femto f fs d.) Definitionen Meter <1799: Umfang Erdquadrant <1960: Platin-Iridium-Stab: 1 m heute: Laufstrecke des Lichtes im Vakuum in 1 δl l s Sekunde 1964: 1s = Schwingungen des Cs-Atoms δt t Kilogramm Masse des Urkilogramms in Sèvres Kopie z.b. in Physikalisch-Technischer Bundesanstalt in Braunschweig δm m 10 9 e.) Beispiele Länge 1 cm = m Käfer 1µm Bakterie 1 nm Wellenlänge Licht 1 Å = m Atom 1 fm = m Proton 1 AE = km (Abstand Erde-Sonne) 1 Ly = 9, km 1 Ps (Parsec) = 3, 1 Ly Fortsetzung... 8

9 1.2. MESSUNGEN UND DATENAUSWERTUNG... Fortsetzung Zeit 1 Jahr=3, s π 10 7 s T Universum = Jahre T Topquark = s T Proton > Jahre Masse kg (!) Galaxie kg Sonne kg Erde kg Professor Müller 1, kg Proton 9, kg Elektron (e ) < kg 0 kg Photon(γ) < 3eV Elektronneutrino (ν e ) Achtung: Masse Gewicht f.) Winkeleinheiten 1 Grad des Umfangwinkels des Kreises Radian α Rad = L R, α Rad (360 ) = 2π Kreissegment Radius Steradian (Öffnungswinkel) Ω = S R 2 Kugelflächensegment Radius Messungen und Datenauswertung Messung einer physikalischen Größe durch Instrumente, die Messwerte in Basiseinheiten wiedergeben. Die Genauigkeit ist begrenzt. Man unterscheidet zwischen 2 Fehlertypen (Unsicherheiten): Systematischer Fehler Statistischer Fehler a.) Systematischer Fehler: Verfälschung der Messung durch unbekannte apparative Effekte (z.b. falsche Kalibration) b.) Zufällige Fehler: Wahrscheinlichkeit und Statistik 9

10 KAPITEL 1. EINLEITUNG Mittelwert einer gemessenen Größe x berechnet sich nach: Der x = x = 1 N 1 x w = lim N N N x i = 1 N (x 1 + x x N ) i=1 N i=1 x i σ x ist dabei ein Maß für die Breite: σ x = 1 N N 1 (x i x ) 2 i=1 Vertauschbarkeit: δ ( x ) = σ x N Zentraler Grenzwertsatz Vertrauen von großer Anzahl von Zufallszahlen (Messungen): P (x; µ; σ) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ Im Intervall: µ ± 1σ 68% µ ± 2σ 95% µ ± 3σ 99, 7% Mathematischer Einschub: f = f(x 1, x 2,..., x N ) Die Ableitung f ( ) f(x1, x 2,..., x i + x,..., x N ) f(x 1, x 2,..., x N ) = lim x i x 0 x nach x i (analog x N ). heißt partielle Ableitung Beispiel: v(x, t) = x t v x = 1 t ; v t = x t Fehlerfortpflanzung Beispiel: v = x t ; σ v = ( ) 2 v σx x 2 + ( ) 2 v σt 2 t 10

11 1.3. PHYSIKALISCHE GRÖSSEN/EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG Es sei t = 15 s, σ t = 0, 5 s, x = 100 m und σ x = 10 cm. Damit ergibt sich: v = 6, 6 m s ± 0, 2m s Allgemein gilt: σ G = ( ) 2 G σx x 2 i i i Statistischer und systematischer Fehler werden getrennt behandelt. Die Alternative ist folgende einfachere Rechnung (Größtfehler-Addition). f(x + x, y + y, z + z) Das 1.Glied der mehrdimensionalen Taylor-Entwicklung lautet: f = f x x + f y y + f z z Beispiel: R = x a y b z c R x = axa 1 y b z c ; R y = xb y b 1 z c Damit folgt: R = ar x x + b R y y + c R z z Für den relativen Fehler ergibt sich: R R = a x x + b y y + c z z Darstellung: Wert=(Bestwert ± Unsicherheit) Maßeinheit Signifikante Stelle: g = (9, 82 ± 0, 02) m s 2 g = (9, 8 ± 0, 2) m s Physikalische Größen/Einführung in die Vektorrechnung Skalare: Wie schwer ist etwas? Angabe der Masse m Wie lang ist etwas? Angabe der Länge l Wie komme ich nach München? Die Angabe der Entfernung ( 200 km) reicht NICHT! Man muß auch noch die Richtung wissen! Infolgedessen benötigt man Vektoren. 11

12 KAPITEL 1. EINLEITUNG Vektoren: Unter anderem können Verschiebungen durch Vektoren dargestellt werden. Außerdem werden beispielsweise folgende Größen durch Vektoren angegeben: r v a F p e Addition: Kommutativgesetz: a + b = b + a Assoziativgesetz: a + ( b + c) = ( a + b) + c Neutrales Element ( o = Nullvektor): a + o = o + a = a Inverses Element: a + ( a) = a a = o Unter der Identität versteht man einen Vektor mit gleicher Länge (BETRAG) und gleicher Richtung. Zusammenfassung: a.) Vektoren im 2d: a a x c + a y d ax e x + a y e y [a x, a y ] ( ax a y ) Für den Betrag (Länge) eines Vektors im Zweidimensionalen ergibt sich: a = a = a 2 x + a 2 y Die Beträge der normierten Basisvektoren der Ebene ist gleich 1: e x = e y = 1 Für die Normierung eines allgemeinen Vektors a ergibt sich: a 0 = a a = 1 a 0 = a a = 1 In Polarkoordinaten kann man die x- und y-komponente eines Vektors folgendermaßen formulieren: a x = a cos θ a y = a sin θ 12

13 a = a 1.3. PHYSIKALISCHE GRÖSSEN/EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG ( ) cos θ sin θ Damit läßt sich der Vektor a schreiben als: a = a cos θ e x + a sin θ e y Bei Addition zweier Vektoren a und b addieren sich deren Komponenten einzeln: a + b = a x e x + a y e y + b x e x + b y e y = (a x + b y ) e x + (a y + b y ) e y a + b = (a x + b x ) 2 + (a y + b y ) 2 ( ) a + ax + b b = x a y + b y Bei Multiplikation eines Vektors a mit einer Konstante n werden die einzelnen Komponenten von a mit n multipliziert. ( ) nax n a = na y a + b + c + d = (a x + b x + c x + d x ) e x + (a y + b y + c y + d y ) e y b.) Vektoren im 3d: Analog gilt dies für Vektoren im R 3 : a = a = a 2 x + a 2 y + a 2 z a = a x e x + a y e y + a z e z a = [a x, a y, a z ] a x a 1 a 2 a 3 a y oder a z a x b x a x + b x a + b = a y + b y = a y + b y a z b z a z + b z Für die S-Multiplikation (Skalar Vektor) ergibt sich: sa x s a = sa y sa z a x b x a b = a y b y a b cos θ = a x b x + a y b y + a z b z a z b z a x e x b x e x + a x e x b y e y + a x e x b z e z a z e z b z e z = a x b x e x e }{{ x +a } y b y e y e y +a z b z e z e }{{}}{{ z } c.) Produkte von Vektoren: Inneres Produkt (Skalarprodukt) a b = a x b x + a y b y + a z b z = a b cos ϕ Hieraus ergibt sich also ein Skalar. Kommutativgesetz: a b = b a 13

14 KAPITEL 1. EINLEITUNG Distributivgesetz: a ( b + c) = a b + a c Orthogonalität: Wenn a b ist, gilt a b = 0. Bei Gleichheit der Vektoren ( a = b) erhalten wir: a 2 = a a cos 0 = a 2 = a 2 Äußeres Produkt (Vektorprodukt) a b a b sin θ e a b Es ergibt sich also ein Vektor, der senkrecht sowohl auf a als auch auf b steht. e a b a, b Beispiel für Skalarprodukt: Arbeit=Kraft Weg W = F L = F L cos ϕ 14

15 1.3. PHYSIKALISCHE GRÖSSEN/EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG Beispiel für Vektorprodukt: Drehmoment=Radius Kraft M = r F M = r F = r F sin ϕ 15

16 KAPITEL 1. EINLEITUNG 16

17 Kapitel 2 Klassische Mechanik 2.1 Mechanik von Massenpunkten Bewegung in einer Dimension a.) Generell: ( m Geschwindigkeit s v = ) : x(t + t) x(t) t x(t + t) x(t) v(t) = lim = dx t 0 t dt Umgekehrt folgt: x 2 = x 1 + t 2 v(t) dt t 1 Beschleunigung ( m s 2 ) : a = b.) Spezialfall 1 v(t + t) v(t) t a(t) = dv dt = d2 x dt 2 Unbeschleunigte Bewegung: a(t) = 0 17

18 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK v(t) = v 0 const. x(t) = x 0 + v 0 t v(t) = v 0 a(t) = 0 c.) Spezialfall 2: Konstante Beschleunigung a(t) = a 0 = const. v(t) = a 0 t + v 0 x(t) = 1 2 a 0t 2 + v 0 t + x 0 Beispiel: Fallender Stein: a(t) = g v(t) = g t (v 0 = 0) x(t) = 1 2 gt2 + h Fallzeit : x(t) = g 2 t2 + h x(t 1 ) = 0 } t 1 = 2h g Bestimmung von g: Man messe t 1, h. Daraus folgt nun g = 2h t

19 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN Zahlenbeispiel: Unfall in der Stadt Jemand fahre mit 50 km h gegen die Wand! v = 13, 9 m s Vergleiche mit Fall aus Höhe h = 9, 9 m. {Aus t = vg folgt h = g2 } t2 = v2 2g Beispiel: Kind spielt Ball: 19

20 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK dimensionale Bewegung r(t) = v(t) = ( ) x(t) y(t) ( ) vx (t) = v y (t) {x(t) e x + y(t) e y } ( dx ) dt dy = d r dt dt a(t) = ( ) ax (t) = a y (t) ( ) d 2 x dt 2 d 2 y = d v dt = d2 r dt 2 dt 2 Beispiel: Fall vertikal/mit horizontaler Bewegung ( ) 0 1.) r(t) = g 2 t2 + h 2.) r(t) = ( v0 t ) g 2 t2 + h l = v 0 t = v 0 2h g t 1 t(y = 0) = t 1 t(y = 0) = 2h g 2h g Dreidimensionale Bewegung { } a dx df x (t) ẋ, dt dx f a(t) = a y (t) = a z (t) v x (t) x(t) v(t) = v y (t), r(t) = y(t) v z (t) z(t) dv x dt dv y dt dv z dt = d v dt = d2 r(t) dt 2 d2 r dt 2 Auch hier ist die Bewegung in x, y, z-richtung unabhängig! Beispiel: x(t) x 0 + v x t y(t) = y 0 + v y t z(t) z 0 + v z t g 2 t2 20

21 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN Beispiel: Affe im Baum } Bahn des Affen : r A (t) = r A g ( ) xa 2 t2 e y = y A g 2 t2 Bahn der Kugel: r K (t) = v 0 (t) g ( ) v0x t 2 t2 e y = v 0y t g 2 t2 Für t = t A trifft die Kugel den Affen: r A (t A ) = r K (t A ) Es gilt somit: x A = v 0x t A y A g 2 t2 A = v 0y t A g 2 t2 A 21

22 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Damit folgt: y A x A = v 0y v 0x = tan α Dies ist eine wahre Aussage. Der Affe ist wohl kein guter Physiker, da er von der Kugel getroffen wird Sonderfall Kreisbewegung r(t), v(t), a(t) ändern sich laufend! Einführung von Polarkoordinaten: r(t) = ( ) x(t) = r y(t) r(t) = r e r (t) v(t) = d r dt = r Kettenregel: df(g(x)) dt v(t) = r dθ dt v r a(t) = r d2 θ dt 2 Produktregel: d(f g) dt ( d(cos θ(t)) dt d(sin θ(t)) dt ( ) cos θ(t) r = r(t) = const. (> 0) sin θ(t) ) = dg(t) df dt dg ( cos(θ(t) + π 2 ) sin(θ(t) + π 2 ) ) ( ) sin θ(t) + r cos θ(t) = f dg dt + g df dt a(t) = r d2 θ dt 2 e θ(t) r ( dθ dt = r dθ(t) dt ( ) 2 dθ dt a θ (t) = Tangentialbeschleunigung ( ) sin θ(t) = r dθ cos θ(t) dt e θ(t) ( ) cos θ(t) sin θ(t) ) 2 e r (t) = a θ (t) + a r (t) a r (t) = Zentripetalbeschleunigung 22

23 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN Sonderfall: Konstante Kreisbewegung r(t) = r const. v(t) = v const. v = r dθ dt e θ = r dθ dt dθ dt = v r (Winkelgeschwindigkeit) θ(t) = v r t + θ 0 Mit der Umlaufzeit T folgt: v = 2πr T ω r; ω Winkelgeschwindigkeit/Kreisfrequenz (ω = 2π ν) Damit ergibt sich: θ(t) = ω t + θ 0 ( ) cos(ωt + θ0 ) r(t) = r sin(ωt + θ 0 ) ( ) sin(ωt + θ0 ) v(t) = r ω cos(ωt + θ 0 ) ( ) a(t) = r ω 2 cos(ωt + θ0 ) sin(ωt + θ 0 ) Zentripetalbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung=0) In Skalaren: r(t) = r v(t) = v = r ω a(t) = a r = rω 2 = v2 r mit ω = v r 23

24 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Illustration: Beispiele: a.) Unsere Geschwindigkeit am Äquator r = 6380 km, T = 24 h v = r ω = r 2π T = 6380 km 2π 24 h a = v2 r = 0, 034 m 0, 0034g s2 = 1670 km h = 464 m s Sie wiegen am Äquator 200 g weniger als am Nordpol! b.) Wie kurz wäre der kürzeste Tag, bei dem Sie noch nicht abheben? a r = g = rω 2 = r 4π2 T 2 r T = 2π g = 1, 4 h Dies entspricht der Umlaufzeit eines Satelliten im erdnahen Orbit. 24

25 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE 2.2 Die Newtonschen Gesetze N1: i F i = o a = 0 ( d p dt ) dp = o mit F = dt Solange keine resultierende Kraft auf einen Körper wirkt, verbleibt er in seinem Bewegungszustand. N2: a = F m ( F = m a) Eine Kraft, die auf einen Körper mit Masse m einwirkt, führt zu einer Beschleunigung des Körpers, die proportional zur Kraft ist. N3: F 12 = F 21 Zu jeder einwirkenden Kraft gibt es immer eine Gegenkraft. [F ] = 1 kg m s 2 1 N Auch: 1 kp = 9, 81 N ( Kilo ) Einheiten: 1 N = 1 kg m s 2 1 dyn = 1 g cm s 2 1 kp = 1 kg 9, 8 m = 9, 8 N (Gewicht von 1 kg auf der Erde) s2 1 lb = 1 slug 1 ft = 4, 45 N s2 1 slug = 14, 5 kg Beispiel: Kraft zwischen Sonne und Erde (m E = kg): a z = ω 2 R = 4π2 (1 Jahr) 2 1, m = m s 2, ( g) F z = m E a z = 3, N 25

26 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Anwendungen von Newtons Gesetzen a.) Kraft am Faden Seil hält: F mg = m G g Da sich der Körper im Kräftegleichgewicht befindet, ist die Vektorsumme aller Kräfte gleich 0: F i = o i Die einzigen Kräfte, die auftreten, sind die Gewichtskraft und die Seilkraft. Die Summe aller Kräfte am ruhenden Körper ist gleich Null: F S + F mg = o Damit folgt: F S = m G g Seil reißt: F i = m G g = m T a i a = m G m T g = g Träge und schwere Masse sind identisch! Äquivalenzprinzip! m G = m T m 26

27 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE b.) Beschleunigung im elektrostatischen Feld: Elektrostatische Kraft: F q = q E Kraft auf Elektron: F e = e E = m e a e Kraft auf Antiproton: F e = e E = m p a p a e a p = m p m e 2000 c.) Aufhängung an schräger Rampe Die allgemeine Betrachtung liefert: F i = F N + F S + m g = o i 27

28 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Körper ist punktförmig. Alle Kräfte, die auf Körper wirken, einzeichnen! Definiere optimales Koordinatensystem! Wenn nicht spezifiziert, wird Reibung vernachlässigt. Die Kräfte werden komponentenweise betrachtet: x-richtung: F S mg sin α = 0 y-richtung: F N mg cos α = 0 Dann ergibt sich folgende Lösung: F S = mg sin α; F N = mg cos α d.) Bewegung eines reibungsfreien Klotzes 28

29 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE F N + F S1 + m 1 g = m 1 a 1 F S2 + m 2 g = m 2 a 2 Vektoriell geschrieben lautet die Kräftebilanz: ( ) ( ) ( ) ( ) FS1 m1 a = und + F N m 1 g 0 m 2 g F S2 ( ) 0 = m 2 a 2 Wir betrachten nun die Kräfte komponentenweise und erhalten somit: 1 1.Körper: y-richtung: F N m 1 g = 0 x-richtung: F S1 = m 1 a Körper: y-richtung: F S2 m 2 g = m 2 a 2 Die beiden Körper erfahren die gleiche Beschleunigung, außerdem sind die beiden Seilkräfte gleich groß. a 1 = a 2 = a F S1 = F S2 m 1 a m 2 g = m 2 a m 2 a = g m 1 + m 2 ( ) 0 a = m2 Diskussion: m 1+m 2 g m 1 = 0 : a = g m 2 : a g m 1 : a 0 m 2 2m 2 : a 2a e.) Eisenbahn 29

30 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK 3.Waggon: F N3 + m 3 g + F S3 = m 3 a 2.Waggon: F N2 + m 2 g F S3 + F S2 = m 2 a 1.Waggon: F N1 + m 1 g F S2 + F S1 = m 1 a Die Kräfte in vertikaler Richtung, also die und die gleichen sich aus. Infolgedessen sind nur noch die waagerechten Kräfte von Bedeutung. Wir addieren die drei Gleichungen und erhalten so F S1 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a mit a = F Z m 1 + m 2 + m 3 Für die anderen Seilkräfte folgt: a.) F S3 = m 3 a b.) F S2 = m 3 a + m 2 a 30

31 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE F Z F S1 + m Z g + F NZ = m Z a f.) Die Geschichte vom faulen Pferd Für das Pferd gilt folgendes: F i = o a = o i i h.) Schubkräfte F i = F S + F P + F N + m g = o = m a Welche Kräfte wirken auf die Klötze? Klotz 1: Normalkraft F N1 Gewichtskraft F m1 = m 1 g Druckkraft F D Klotz 2: Normalkraft F N2 Gewichtskraft F m2 = m 2 g Druckkraft F D Die Schubkraft F wirkt auf das ganze System bestehend aus den beiden Klötzen. 1.) Beschleunigende Kraft F wirkt direkt auf Klotz 1 Die Kräftebilanz für das gesamte System lautet: F + m 1 g F D + F N1 + m 2 g + F D + F N2 = a(m 1 + m 2 ) Speziell für den Klotz 2 erhalten wir: F N2 + m 2 g + F D = a m 2 Die relevanten Komponenten sind diejenigen in x-richtung: F Dx = a x m 2 mit a x = F x m 1 + m 2 31

32 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Damit ergibt sich also: m 2 F Dx = F x m 1 + m 2 Diese Kraft ist gleich der Kraft F 2x, mit welcher der zweite Klotz beschleunigt wird. 2.) Beschleunigende Kraft F wirkt direkt auf Klotz 2 F x = F e x a x = a e x Damit ergibt sich für die Kraft F Dx auf den ersten Klotz: F x F Dx = m 1 a x mit a x = m 1 + m 2 Damit gilt also: m 1 F Dx = F x m 1 + m 2 h.) Kräfte im Aufzug 1. Aufzug steht: F N + m g = o F N = m g 2. Aufzug beschleunigt: F N + m g = m a y-richtung: F N mg = ma Beschleunigung nach oben: a > 0 F N = m (g + a) Beschleunigung nach unten: a = a F N = m (g a ) Spezialfall: a = g : F N = 0 32

33 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Das Federpendel Bis jetzt kennen wir: F = m g Gravitationskraft F = F N Normalkraft F = F Z Zugkraft F = F D Schubkraft Bis jetzt waren Kräfte konstant. Damit galt die Bewegungsgleichung: r(t) = a 2 t2 + v 0 t + r 0 Als Beispiel für eine Kraft, die nicht konstant ist, wollen wir die Federkraft näher betrachten: 33

34 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Das sogenannte Hookesche Gesetz lautet: F F = k x mit k = Federkonstante Es ergibt sich folgende Beschleunigung: a F = F F m = kx m a.) Bewegungsgleichung: a(t) = d2 x(t) dt 2 = k m x(t) }{{} Differentialgleichung 2.Ordnung Wir verwenden zur Lösung folgenden Ansatz: x(t) = x 0 cos(ωt + θ 0 ) Wir setzen dies in die Gleichung ein: ẍ(t) = ω 2 x 0 cos(ωt + θ 0 ) = k m x 0 cos(ωt + θ 0 ) ω = k m Wir haben folgende Randbedingungen: x(t = 0) = x 0 = x 0 cos(θ 0 ) θ 0 = 0 Die Lösung lautet dann: ( ) k x(t) = x 0 cos m t 34

35 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Aus ω = 2πν = 2π T folgt: T = 2π ω = 2π m k b.) Anwendung: Gewichtsmessung F F + m g = o Betrachten wir die y-komponente: ky = mg Damit ergibt sich: y = mg k Damit folgt das Gewicht des Massestücks: mg = ky 35

36 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Reibung 1 Haftreibung f H (v rel = 0) Verklebung zweier Körper durch Rauhigkeit oder elektrostatische Kräfte 2 Gleitreibung f G (v rel > 0) 3 (Reibung durch Viskosität) a.) Illustration : f H = µ H F N f G = µ G F N µ = Reibungskoeffizient Allgemein gilt µ H > µ G. F + f G + F N + m g = m a F + f H + F N + m g = o ( F > f ) G ( F f ) H Betrachten wir außerdem folgenden Sonderfall: F + f G + F N + m g = o Für F = f G gleitet der Körper mit konstanter Geschwindigkeit. b.) Beispiel: 36

37 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE x-richtung: mg sin α + f H = 0 y-richtung: F N mg cos α = 0 f H = mg sin α F N = mg cos α Mit f H = F N µ H und µ H = tan α, wobei α der maximal mögliche Wert ist (bevor m gleitet). Holz auf Holz : µ H = tan 26 = 0, 49 µ G = tan 10 = 0, 18 Sandpapier auf Holz: µ H = tan 33 = 0, 65 µ G = tan 28 = 0, Rotationsdynamik Ehedem: Kinematik der Drehbewegung Es wirkt die Zentripetalkraft: F z = m a z Es gilt für die Beschleunigung: a z = F z m Damit folgt dann für die Bewegungsgleichung: a z (t) = ω 2 R ( ) cos(ωt + φ0 ) sin(ωt + φ 0 ) mit ω = Kreisfrequenz Durch zweimalige Integration nach t erhalten wir r(t): ( ) cos(ωt + φ0 ) r(t) = R sin(ωt + φ 0 ) 37

38 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Mit a z = ω 2 R = F z m resultiert: Fz ω = m R Damit folgt also schließlich: ( ) ( ) F cos z mr r(t) = R t + φ F 0 ( ) F sin z mr t + φ und v(t) = R Fz mr sin z mr t + φ 0 ( ) F 0 cos z mr t + φ 0 Beispiele: a.) Drehpendel m g + F Zug = m a z x-richtung: F Zug sin α = ma z y-richtung: F Zug cos α = mg a z = g tan α = ω 2 R = ω 2 l sin α Hiermit folgt für die Kreisfrequenz ω und der Periodendauer T : g ω = l cos α T = 2π l cos α g Diskussion: Für α 0 l resultiert T 2π. Es handelt sich also um die Periodendauer eines Pendels. g 38

39 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Projektion: α 90 T 0 b.) Auto im Winter m g + F N = m a z Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel: v = 200 km h, R = 1 km, α =? 39

40 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK x-richtung: ma z = F N sin α = mg tan α Hiermit haben wir folgende Beschleunigung: a z = g tan α = v2 R tan α = v2 R g = ( ) m s m 9, 81 m = 0, 315 s 2 Damit ergibt sich folgender Winkel: α = 17, 5 c.) Straße mit Reibung f H + F N + m g = m a z x-richtung: a z = f H m = µ H g = v2 R Damit folgt für die Geschwindigkeit: v = R µ H g Solange v R µ H g rutscht das Auto nicht! Wenn v > R µ H g beginnt es zu rutschen! 40

41 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Arbeit und Energie (Oder seit Adam und Eva das Paradies verlassen mußten) Arbeit Kraft Weg Einfachster Fall: A = F d A = F S d Genereller: A = F d A = F Zugx d = FZug d cos α Allgemein: A a b = i A i = i F i r i b F ( r) d r a b A = (F x dx + F y dy + F z dz) a 41

42 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK [A] = 1 kg m2 s 2 1 Nm 1 Joule 1 Ws Illustration: a.) Klettern auf Stufe (v=const.) F + m g = o F = mg A = F h = ( ) 0 mg ( ) 0 = m g h h Professor Müller steigt die Stufe hinauf: A = 0, 5 m 9, 81 m 80 kg = 392 Nm = 392 Ws s2 Mit dieser Arbeit kann man eine 40 W-Glühbirne 10 s leuchten lassen! b.) Schiebe Kiste (v =const.) F N + m g + F S + f G = o Kraft, die Arbeit leistet: F S = f G A = F S d = f G (b a) c.) Dehnung einer Feder x-richtung: F Zug = k x 42

43 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE F Zug = k x b A = kx dx = k 2 b2 0 d.) Schiebe Schaukel an: Keine Beschleunigung: F Zug + F + m g = o x-richtung: F F Zug sin α = 0 y-richtung: F Zug cos α mg = 0 43

44 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK F = F Zug sin α = m g tan α A = b F ( r) d r = b b (F x dx + F y dy + F z dz) = m g tan α dx a a Mit tan α = dy dx folgt: a A = b a mg dy dx dx = b y a y mg dy = mg (b y a y ) = m g h 1 Arbeit A = b P a F d r Die Arbeit in konservativen Kraftfeldern ist unabhängig vom Weg: A = b P 1 a F d r = b P 2 a a F d r = b F d r A a a = F d r = 0 Beispiele: (Homogenes) Gravitationsfeld b A = mg dy = mg(b a) a 44

45 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE a A b a = + mg dy = mg(b a) b A a a = 0 Federkraft F = kx (Hookesches Gesetz) Für die Zugkraft ergibt sich: F Zug = +kx b a A a b = kx dx = 1 2 k(b2 a 2 ) = kx dx = A b a a b Nicht konservative Kraft: Reibung b A a b = f G dx = f G (b a) a A b a = Das heißt: A a a = a b f G dx = f G (b a) = A a b f G d r 0 45

46 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Definition von konservativen Kräften: Die Kraft ist konservativ, wenn es eine skalare Funktion gibt, für die gilt: F ( r)= }{{} V ( r) Nabla (arab.pfeil) x y z A a a = ( = partielle Ableitung ) a x = a x F d r = x x y z a y V ( r) dx dx V ( r) dy = dz }{{} d r a y y a z V ( r) dy a z z V ( r) dz = = ( V (a x ) V (a x ) + V (a y ) V (a y ) + V (a z ) V (a z ) ) = 0 2 Kinetische Energie: Wenn resultierende Kraft Arbeit leistet ( F = m a), bekommt das Objekt kinetische Energie: A = b a F d r = b a m a( r, t) d r = b a m d v(t) dt d r = v b v a m v d v = 1 2 m(v2 b v 2 a) = E k ( b) E k ( a) 3 Potentielle Energie: Potentielle Energie ist gespeicherte Energie, die vollständig umgewandelt werden kann in kinetische Energie. A = b F d r = E p ( b) E p ( a) a Energieerhaltungssatz: Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant. (Spezialfall: reibungslose mechanische Energie) E = E k ( a) + E p ( a) = E k ( b) + E p ( b) = const. E = E k + E p = 0 Illustrationen und Beispiele: a.) Fallender Gegenstand E = E p (a) + E k (a) = m g h + 0 = E p (b) + E k (b) = mv2 46

47 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Damit ergibt sich folgende Geschwindigkeit: v = 2gh b.) Beschleunigung eines Gleiters E = m 2 gh a + 0 = m 2 gh b m 2v m 1v 2 Hiermit folgt: v = 2m 2 g (h a h b ) m 2 + m 1 Betrachten wir wiederum folgendes Zahlenbeispiel: h = h a h b = 1, 47 m m 2 = kg m 1 = 0, 255 kg v theoretisch = 0, 81 m s v experimentell = 0, 77 m s c.) Kanonenschuß 47

48 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Energien: E = E p (a) + E k (a) = mgh mv2 a = E p (b) + E k (b) = mv2 b v b = 2gh + v 2 a d.) Illustration: Schwingendes Pendel E a = mgh a E b = 1 2 mv2 b + mgh b E c = mgh a e.) Federkraft E = E a = m g h a E b = m g h b mv2 b E = mgh c kx2 0 m g h a = m g h c kx2 0 2mg(ha h c ) x 0 = k 48

49 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Energiediagramme: 1.) Federpotential: E = E k + E p = const. 2.) Gravitationspotential: E p (r) = Gm 1m 2 r 3.) Elektrostatisches Potential: 49

50 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK E p (r) = q 1q 2 4πɛ 0 r Bisher: Es galten die Gesetze der Erhaltung mechanischer Energie, d.h. wir verzichteten auf dissipative Kräfte. E = E p ( a) + E k ( a) = E ( b) + Ek ( b) = const. E = E p + E k = 0 Jetzt: Beispiel: Die innere Energie ist eine Art Arbeit, welche nicht vollständig in kinetische Energie (im allgemeinen mechanische Arbeit) zurückgewandelt werden kann. Für Reibung, Wärmeenergie, Verformungsenergie, innere Energie gilt: E tot = E p ( a) + E k ( a) = E p ( b) + E k ( b) + E IN }{{} F 2 F IN d r F1 50

51 } 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Rechenbeispiel: Achterbahn mit Looping a.) Ohne innere Energie A.) E A = m g h + 0E B.) E B = mv2 0 C.) E C = m g (2R) mv2 1 Hiermit folgt: v 0 = 2gh v 1 = 2gh 4gR Zahlenbeispiel: Es sei h = 60 m, R = 20 m und m = 600 kg. Damit ergeben sich folgende Geschwindigkeiten: v 0 34, 29 m s v 1 19, 8 m s b.) Jetzt wollen wir auf der Strecke d bremsen. (REIBUNG AN!) A.) E A = m g h B.) E B = mv D.) E D = mv2 2 + x 0+d f G dx r 2 E IN = fg d r = x 0 x 0+d f G dx r 1 x 0 Zahlenbeispiel: Mit d = 40 m und µ = 0.5 erhalten wir: v 2 = 2gh 2f Gd m = 2gh 2µgd 28 m s (mit f G = m g µ) 51

52 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Zentral: Energieerhaltung Die Energie E ist eine mengenartige Größe. Energietransformationen in einem geschlossenen System: E tot = E p + E k + E IN = const. E = E p + E k + E IN = 0 Beispiel: 1.) E tot = m g y kd2 ; E k = 0; E IN1 = 0, E IN2 = 0 2.) E tot = m g y mv2 0; E IN1 = 0, E IN2 = 0 3.) m g y mv2 1 + E IN1 4.) m g y mv2 2 + E IN1 + E IN2 5.) m g (y 1 + h) + E IN1 + E IN2 Energietransformationen: 2.) 1 2 mv2 0 = 1 2 kd2 3.) E IN1 = 1 2 mv mv2 0 = 1 2 m ( v1 2 v0 2 ) 4.) E IN2 = 1 2 m(v2 2 v 2 1) 5.) mgh = 1 2 mv2 2 Zu jedem Zeitpunkt (Ort) kann man somit die Bewegung beschreiben. RECHNEN MIT ENERGIEN IST HÄUFIG EINFACHER ALS MIT BEWEGUNGSGLEICHUNGEN ODER KRÄFTEN! 52

53 2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE Leistung (engl. power): P = A t (Arbeit im Zeitintervall) P = da m2, [P ] = 1kg dt s 3 = 1W Nach James Watt (*1736): Entwickler der modernen Dampfmaschine (Auch 1 PS = 735, 4988 W) Versuch: Wir bestimmen die Leistung des Übungsgruppenleiters, Höhe: 3m P = m g h t = 80 kg 9, 81 m s 2 3 m t 3 PS 5 s = 3 5 PS Zusammenhang zwischen mechanischer und elektrischer Leistung: 1 W = 1 N m s = 1 VA Eine Lampe besitzt beispielsweise eine Leistung von W. Für einen Porsche gilt: 1200 kg, t = 5 s v = 0 v = 100 km h ( 28 m ) s P = 1 2 mv2 = t Schwerpunkt und Impuls: kg (28 ) m 2 s 94 kw = 126 PS t Bis jetzt haben wir Körper nur im geschlossenen System betrachtet. Jetzt wollen wir makroskopische Systeme, in denen N Teilchen miteinander wechselwirken, untersuchen. Unser Interesse gilt der Gesamtbewegung des Systems. Beispiel: Unsere Milchstraße besteht aus ungefähr Sonnen. Jeder Stern hat Eigenbewegung und außerdem bewegt sich das ganze. Also definieren wir: Massenmittelpunkt Schwerpunkt center of mass (CM) r CM = 1 m r(m) dm, m = dm für unendlich viele Teilchen (Sonnen) r CM = r CM N m i r i i für N Teilchen N i m i ist der massegewichtete Mittelwert der Ortsvektoren. 53

54 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Beispiel 1: r CM = ( ( ( ) ( ) m + 2m + 3m + 4m ( ) 0) 0) 1, 5 1, 5 1 = m + 2m + 3m + 4m 1, 05 Beispiel 2: Erde-Mond r CM = m E r E + m M r M m E + m M = m Er E + m M r M m E + m M Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel: = 0, d = r E + r M m E = kg; m M = kg r E = m Md m E + m M Der Impuls: Geschwindigkeit Masse [p] = kg m s p = v m gilt sowohl für Vielteilchensysteme als auch für massive Körper. m i r i i r CM = m i = m v CM i m i = d m i r i i dt m = 1 m p i Analog gilt dies für die Beschleunigung. a CM = d 1 m i a i i m i v i = dt m m = 1 F i m i Ohne äußeren Kräfte gilt: Ziehen wir das 1.Newtonsche Gesetz zu Rate: F i = 0 m a CM = o i i i i m a CM = m d v CM dt = d p CM dt 54

55 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN d p CM dt = i d p i dt = 0 oder p CM = const. Das Gesetz der Impulserhaltung folgt direkt aus Newton. Wenn keine externen Kräfte vorhanden sind, ist die Summe aller Momente im geschlossenen System konstant Ballistisches Pendel: m 1 v 1 = (m 1 + m 2 )v (m 1 + m 2 )v 2 2 = (m 1 + m 2 )g h v 2 = 2gh v 1 = m 1 + m 2 m 1 2gh Da es keine äußeren Kräfte gibt, ist r CM erhalten. 2.3 Systeme von Massenpunkten Schwerpunkt und Impuls (CM=center of mass) r CM m i r i i i m i Für unendlich viele Teilchen kann man dies verallgemeinern: r CM = 1 M r dm = 1 M r ρ( r) dv m i v i i v CM = M ; M v CM p CM = i p i 55

56 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK m i a i i a CM = M ; M a CM = F CM = i F i Der Impulserhaltungssatz: In einem geschlossenen System ohne resultierende (externe) Kraft ist der Gesamtimpuls erhalten: F i = o = i i d p i dt = o 1. Beispiele, Demonstrationen: Wenn keine äußeren Kräfte wirken, ist r CM erhalten. ODER: WIE ERFAHRE ICH DAS GEWICHT MEINES ÜBUNGSGRUPPENLEITERS? (funktioniert auch bei Frauen!) Ricardo, Carmelita in einem Boot: m R = 80 kg, m C =? m B = 30 kg l = 3 m Die beiden tauschen die Plätze. Dabei bewegt sich das Boot um 40 cm. Mx CM = m R x R + m B x B + m C x C 56

57 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN Auch gilt x C = x R + l und mit d = 0, 40 m folgt: Mx CM = m R x R + m B x B + m C x C = m R (x C d) + m B (x B d) + m C (x R d) = Mx CM m C = m R(l d) m B d l + d 57, 6 kg Beispiel: Sie stehen auf dem Eis, werfen Schuh von sich: m St = 73 kg v CM = 0 m Sch = 2 kg v Sch = 10 m s Keine resultierenden äußeren Kräfte: p CM = const. = p 1 + p 2 Hier gilt p CM = o = m St v St + m Sch v Sch. Wir betrachten die Bewegung in x-richtung: m Sch v Sch m St v St = 0 v St = m Sch v Sch = 2 kg m St 23 kg 10 m s 0, 26 m s Beispiele: CM-Bewegung mit externer Kraft: Betrachte Fall der Kugeln: 57

58 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK a.) Kugeln kleben zusammen M = m 1 + m 2 F CM = m 1 g + m 2 g = M g 0 d dt p CM = M g ( ) 0 p CM = ; v Mgt CM = ( ) 0 r CM = g 2 t2 + h ( ) 0 gt b.) Kugeln bewegen sich auseinander: r 1 (t) = ( ) ( ) v1 t v2 t h g ; r 2 (t) = 2 t2 h g 2 t2 r CM (t) = m 1 r 1 (t) + m 2 r 2 (t) M (m 1 v 1 m 2 v 2 = 0) ( ) 0 v CM (t) = gt p CM (t) = M v CM (t) = M g t d p CM (t) dt = M g = 1 M 2. Systeme mit variierender Masse: Raketen ( ) ( ) m1 v 1 t + m 2 v 2 t M ( 0 h g 2 t2) = h g 2 t2 p CM = (m R + m B ) v 0 = M v 0 t = t 0 + t 58

59 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN p CM = (m M)( v 0 + v) + M u = = (M M) ( v 0 + v) + M( v rel + v 0 ) = = M v 0 + M v M v 0 M v }{{} + M v rel + M v 0 = p CM = M v 0 klein Damit resultiert: M v + M v rel = 0 dm Für t 0 : dt v rel +M d v }{{} dt = 0 Schubkraft Wir zerlegen dies in Komponenten: dm v rel = M dv dt dt dm M = 1 v rel M = m R + m B v end v 0 dv Damit ergibt sich dann für die Endgeschwindigkeit: ( ) mr + m B v end = v rel ln + v 0 m R Beispiele: a.) Saturn V (Apollo): Der Brennstoff dieser Rakete besteht aus Kerosin und flüssigem Sauerstoff (O 2 (l)). v rel = 3, m s m R + m B = 2450 t (!) m B = 1700 t Die Brenndauer des Treibstoffs beträgt 100 s. Unter Vernachlässigung der Gravitation ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von: v end = 3700 m s Korrekt ist jedoch: v end = 3700 m s g 100 s = 2700 m s < m s (Fluchtgeschwindigkeit)! Dies ist viel zu wenig! Die Lösung dieses Dilemmas ist nun die Mehrstufenrakete, bei welcher im Laufe des Flugs m R reduziert wird! 59

60 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK b.) Reise zum nächsten Stern (α-centauri): v end! = c = m s Konventioneller Treibstoff: H 2 (l) + O 2 (l) v rel = m s m R = 10 5 kg ( ) mr + m B v end = v rel ln Damit gilt: ( m B = m R exp m R [ vend v rel ] ) 1 Für v end = c ergibt sich eine Masse des Brennstoffs von kg! Dies geht nicht! Kernfusion von D + T : v rel = m s m B = 2, t Geht auch nicht! Antimaterie: a.) Erzeugung: b.) Vernichtung von Materie und Antimaterie im Raumschiff: Rückstoß p + p π + π π 0 (typisch) ( [ ] ) c m B = 100 t exp c t 3 Muß mitgenommen werden zum Bremsen: ( ) c m B = 550 t exp c 2 = 2465 t 3 Allerdings wurde bislang nur ca. 0,1 mg an p hergestellt! 60

61 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN Elastische und unelastische Stöße 1.) Elastische Stöße: Kinetische Energie vor und nach dem Stoß sind gleich: E tot = E ki + E pi = E kf + E pf (i=initial, f=final) E ki = E kf 2.) Inelastische Stöße: E kf = E ki Q (Q=innere Energie) Beispiele von Stößen: 1.) Beim Billard: 2.) Gravitation: Kraftübertragung durch Kraftstoß: t f p 1 = p 1f p 1i = F2 1 dt t i t f p 2 = p 2f p 2i = F1 2 dt t i Aus dem 3.Newtonschen Gesetz F 21 = F 12 ergibt sich p 1 + p 2 = o und damit: p CM = p 1i + p 2i = p 1f + p 2f = const. Dies ist nichts anderes als der Impulserhaltungssatz. 61

62 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Spezialfall: Elastischer Stoß p CM = const. = m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1f + m 2 v 2f E k = const. = 1 2 m 1v 2 1i m 2v 2 2i = 1 2 m 1v 2 1f m 2v 2 2f Illustration: Im eindimensionalen Fall gilt: m 1 (v 1i v 1f ) = m 2 (v 2f v 2i ) 1 2 m ( 1 v 2 1i v1f 2 ) 1 = 2 m ( 2 v 2 2f v2i) 2 v 1i + v 1f = v 2i + v 2f v 1i v 2i = v 2f v 1f Einsetzen ergibt: ( ) ( ) ( ) ( ) m1 m 2 2m2 2m1 m2 m 1 v 1f = v 1i + v 2i, v 2f = v 1i + v 2i m 1 + m 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 Beispiele: m 1 = m 2 (Billard) v 1f = v 2i v 2f = v 1i m 1 = m 2 und v 2i = 0 v 1f = 0 v 2f = v 1i m 2 = und v 2i = 0 v 1f = v 1i + v 2i 2 }{{} =0 v 2f = 0 m 1 = und v 2i = 0 v 1f = v 1i v 2f = 2v 1i Inelastischer Stoß: p CM = const., E CM const.! E tot = E k1i + E k2i = 1 2 m 1v 2 1i m 2v 2 2i = E k1f + E k2f + Q (Q U int ) = 1 2 m 1v 2 1f m 2v 2 2f + Q 62

63 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN Illustration: Eindimensional, total inelastisch: Der Impuls ist erhalten: m 1 v 1i + m 2 v 2i = (m 1 + m 2 )v f = p CM (= const.) v f = m 1v 1i + m 2 v 2i m 1 + +m 2 Beispiel für Energie/Impulserhaltung: Man hat β-zerfälle untersucht: Hierbei wurde festgestellt, daß p Ki > p Kf + p e. Die Lösung des Problems ist nun folgende: Postulat von Pauli (1933): Neutrino Für die Energie bei einem total inelastischen Zusammenstoß gilt jedoch: E tot = 1 2 m 1v 2 1i m 2v 2 2i = 1 2 (m 1 + m 2 )v 2 f + Q Q = 1 m 1 m 2 (v 1i v 2i ) 2 2 m 1 + m 2 Allgemeine Anwendung von Stößen: Aus der Bewegung am Anfang und am Ende kann man Rückschlüsse über den Stoßprozess ziehen. 63

64 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Beispiele: m 1 = m 2, v 2i = v 1i v f = 0; E tot = m 1v 2 1i = Q m 1 = m 2, v 2i = 0 v f = 1 2 v 1i E tot = 1 2 m 1v 2 1i = 1 2 (m 1 + m 2 )v 2 if + Q = 1 4 m 1v 2 1i m 1v 2 1i m 2 =, v 2i = 0 v f = v 2i = 0, E tot = Q = 1 2 mv2 1i m 1 =, v 2i = 0 v f = v 1i, E tot =, Q = 1 2 m 2v 2 1i Stöße in 2 bzw. 3 Dimensionen: Es gibt 2 gebräuchliche Systeme, um Stöße zu beschreiben: 1 Schwerpunktsystem (CM-System, center of mass) Beobachter ruht im Massenschwerpunkt. 64

65 2.3. SYSTEME VON MASSENPUNKTEN p CM = m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1f + m 2 v 2f = o 2 Laborsystem Der Beobachter ruht im m 2 b ist der sogenannte Impaktparameter. p CM = m 1 v 1i = m 1 v 1f + m 2 v 2f In Komponenten läßt sich dies schreiben als: a.) x-richtung: m 1 v 1i = m 1 v 1f cos θ 1 + m 2 v 2f cos θ 2 b.) y-richtung: 0 = m 2 v 2f sin θ 2 + m 1 v 1f sin θ 1 E tot = m 1 2 v2 1i = 1 2 m 2v 2 2f m 1v 2 1f + Q Es ergeben sich 3 Gleichungen. Wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind, bleiben 2 Unbekannte. Spezialfall: m 1 = m 2 = m, Q = 0 65

66 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK m v 1i = m v 1f + m v 2f a.) v 2 1i = v 2 1f + v 2 2f + 2 v 1f v 2f = v 2 1f + v 2 2f + 2v 1f v 2f cos(θ 1 + θ 2 ) b.) 1 2 mv2 1i = 1 2 m ( v1f 2 + v2f 2 ) Wenn man diese beiden Bedingungen gleichsetzt, folgt: 2v 1f v 2f cos(θ 1 + θ 2 ) = 0 θ 1 + θ 2 = Rotationen Kinematik Rotationskinematik Bewegungen in 3 Dimensionen (Translationen) Drehbewegungen Dynamik Rotationsdynamik Bewegung unter Einfluß von Kräften Drehungen von Massenpunkten, Systemen von Massenpunkten, festen Körpern Masse Kraft Energie/Arbeit Impuls Trägheitsmoment Drehmoment Rotationsenergie/Rotationsarbeit Drehimpuls } {{ } kombinierte Dreh- und Translationsbewegung Rotationskinematik Jeder Punkt P dreht sich im Kreis mit gleichem Zentrum und gleicher Winkelgeschwindigkeit ω. Von oben betrachtet: 66

67 2.4. ROTATIONEN θ = 360 s 2πr = s r ( in Radian {1 rad = 57, 3 }) ω = dθ dt = 1 r ds dt = v r (Kreisfrequenz) Konstante Drehbewegung: θ(t) = ω 0 t + θ 0 Beschleunigte Bewegung: θ(t) = α 2 t2 + ω 0 t + θ 0 Richtung der Drehachse: ω = d θ v, r dt Für die Bewegungsgleichungen folgt: ( ) cos θ r(t) = r = r u sin θ r (t) r = r = const. v(t) = r ω(t) u θ (t) a(t) = r α u θ (t) }{{} v = ω r a T (Tangentialbeschleunigung) rω 2 (t) u r (t) }{{} a z(zentripetalbeschleunigung) 67

68 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK v(t) = d r dt = r a(t) = d v dt = r d2 θ }{{} dt 2 α ( ) d cos θ(t) dt d sin θ(t) dt = r ( sin θ(t) cos θ(t) Einschub: Vektorprodukt dθ dt }{{} ω(t) ) + r ( ) sin θ(t) cos θ(t) dθ dt }{{} ω ( Das Vektorprodukt ist folgendermaßen definiert: d sin θ(t) dt d cos θ(t) dt ) a b = a b sin( a, b) u a b Insbesondere gilt: e x e x = 0 e x e y = e z e y e x = e z a b = a x a y a z b x b y b z a y b z a z b y = a z b x a x b z a x b y a y b x Ein Beispiel aus der Kinematik ist v = ω r. a = α r + ω v = α r + ω ( ω r) = α r ω 2 r Rotationsdynamik 1 Trägheitsmoment M = i M = m i dm 68

69 2.4. ROTATIONEN Zu jedem Zeitpunkt gilt: E k = 1 2 m 1v m 2v m iv 2 i +... = 1 2 = 1 2 i N m i ri 2 ω 2 = 1 2 Jω2 i } {{ } J N J = m i ri 2 ; J = r 2 dm Beispiele: a.) Trägheitsmoment eines kreisenden Massenpunktes ( m1 r 2 1ω 2 + m 2 r 2 2ω m i r i ω ) = J = mr 2 b.) Trägheitsmoment einer Hantel J = 2mr 2 69

70 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK c.) Trägheitsmoment einer Hantel (2) J = 4mr 2 d.) Zylinder J = r 2 dm = e.) Hohlzylinder R 0 r 2 ρ 2πr h dr = R 0 ρ h π 2r 3 dr = π h ρ R 2 R2 }{{} 2 = M R2 2 M J = R 2 R 1 2πρhr 3 dr = R 1 πρh 2 ( R 4 2 R 4 1) R 2 ( M = ρ dv = 2πρhr dr = πgh R 2 2 R1) 2 70

71 2.4. ROTATIONEN J = 1 2 M ( R1 2 + R2 2 ) Extremfall: R 2 R 1 = R J = MR 2 Generell gilt J = κ M R 2. 2 Drehimpuls Der Impuls berechnet sich nach p = m v und für den Drehimpuls gilt L = J ω. Für ein Vielteilchensystem folgt außerdem: p = i m i v i Impuls und Drehimpuls sind erhalten ohne Einwirkung äußerer Kräfte, denn es gilt: a.) Person Eine Person halte zwei Kugeln mit jeweils m = 2 kg im Abstand r a = 0, 8 m vom Körper weg und drehe sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 3 1 s um ihre eigene Achse. Wir betrachten die Person näherungsweise als Zylinder der Masse M = 50 kg und Radius R = 0, 14 m. Die Kugeln werden aufgrund ihrer verhältnismäßig geringen Größe als Massepunkte behandelt. Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Systems bestehend aus Kugeln und Person: J a = 1 2 MR2 + 2 mr 2 a = kg (0, 14 m) kg (0, 8 m) 2 = 0, 5 kgm 2 + 2, 56 kgm 2 = 3, 06 kgm 2 Für den Drehimpuls folgt: L a = J a ω a = 3, 05 kgm s ω a = 2π T 9, 15 kg m2 s 71

72 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK Wir erhalten daraus die Periodendauer T : T = 2π ω a = 2π 3 1 s 2, 10 s Nun werde der Abstand der Kugeln auf r b = 0, 2 m verkleinert, indem die Person die Arme an den Körper heranzieht. Damit ergibt sich: J b = 1 2 MR2 + 2mr 2 b = 0, 5 kgm kg (0, 2 m) 2 = 0, 66 kgm 2 L b = J b ω b = 0, 66 kgm 2 ω b Aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses L gilt: ω b = ω a Ja 3, 06 s = J b 0, 66 s ω a = 4, 64 ω a T 2, 10 s = 0, 45 s 4, 64 Die Person dreht sich also schneller als vorher. b.) Das Foucault-Pendel ω s = ω sin θ In Karlsruhe gilt ω s 28 h. Zu Rotationskinematik: ω = d θ ist Vektor. dt θ nicht, da nicht immer θ 1 + θ 2 = θ 2 + θ 1 72

73 2.4. ROTATIONEN 3 Drehmoment Kraft: F = m a Drehmoment: M r F = J α F T = F sin φ M = r F = r F sin φ = r F T Es ist M = 0, wenn φ = 0 gilt. 73

74 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK F Ti = m i a Ti F Ti = m i α r i α = d2 θ(t) dt 2 ist die Winkelbeschleunigung. M i = r i F Ti = m i r 2 i α M = i m i r 2 i α = J α Demonstration: a.) Beschleunigung der Drehung eines Rades M = r F = J α m g F = m a Daraus folgt durch die Zerlegung in Komponenten: M = r F = J α mg F = m a Auch gilt α = a r und somit haben wir: mg J r 2 a = m a (i) a = g 1 + J mr 2 74

75 2.4. ROTATIONEN Wir führen einen Check mit Extremfällen durch: m : a = g m 0 : a = 0 J : a = 0 J 0 : a = g (ii) α = g r 1 + J mr 2 Für J mr 2 : α mgr J Mit α = d2 θ dt 2 θ(t) = α 2 t2 mgr 2J t2 Demonstration: 4 Umdrehungen: t 4 = 11, 5 s für Masse m 8 Umdrehungen: t 8 = 11, 0 s für Masse 2m 4 2π = m gr 2J t π = 2m gr 2J t2 8 b.) Drehschwingungen t 4 = t 8 Es gilt das Hookesche Gesetz: M = D θ = J α = J d2 θ dt 2 J d2 θ dt 2 = D θ Wir verwenden folgenden Ansatz θ(t) = θ 0 cos(ωt + φ) Durch Einsetzen folgt: J θ 0 ω 2 cos(ωt + φ) = D θ 0 cos(ωt + φ) D ω = J T = 2π ω = 2π J D mit J 2mr2 T 1 T 2 r 1 r 2 75

76 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK 4 Arbeit, Energie Lineare Arbeit: Rotationsarbeit: A = r 2 r 1 E p, E k F d r da = F d s = F r dθ A = F r dθ = M dθ Für resultierende Drehmomente: M = J α 0 M dθ = J α dθ = J d ω dt d θ = A = J ω d ω = 1 2 Jω Jω2 1 = E rot J ω d ω Allgemein gilt: E tot = E p + E k + E r + E int = const Rotierende Bezugssysteme 1 Zentripetalkraft F ZP = F Zug + m g = m a ZP ( F ZP = Zentripetalkraft) 2 Zentrifugalkraft F ZF + F Zug + m g = o F ZF = m ω ( r ω) 76

77 2.4. ROTATIONEN 3 Corioliskraft i.) Außen: F i = o i ii.) Innen: F C = 2m ( v ω) Gegenüberstellung: Lineare Bewegung Rotationsbewegung Translationen s v a F p F = m a E kin = 1 2 mv2 Drehbewegungen ϕ ω α M = r F L = r p M = J α E rot = 1 2 Jω Rollen 1 Rollen: Kombination aus Translation und Drehung 77

78 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK a.) Über Energieerhaltung E tot = m g h = 1 2 mv2 + m g y Jω2 Wie hängen v und ω zusammen? Mit ω = v R E tot = 1 2 mv2 f Jω2 f = 1 (m + JR ) 2 2 vf 2 erhält man die Geschwindigkeit am niedrigsten Punkt: 2gh v f = 1 + J } mr {{ 2 } κ Für runde Objekte gilt J = κ mr 2. κ lautet für folgende spezielle geometrische Objekte: Objekt κ Kugel 2 5 massiver Zylinder 1 2 Ring 1 Massenpunkt 0 b.) Auf andere Weise f H : Haftreibung greift an Peripherie an. F N : Normalkraft m g: Gewichtskraft F i = F N + f H + m g = m a i 78

79 2.4. ROTATIONEN i M i = r f H = J α Betrachten wir das ganzen in Komponenten: x-richtung: f H + mg sin θ = m a y-richtung: F N mg cos θ = 0 z-richtung: ( f H ) ( R) = J α Es liegt eine kombinierte Bewegung vor: α = a R. f H = mg sin θ ma ( g sin θ = a 1 + J ) mr 2 f H = J α R = J a R 2 a = g sin θ 1 + κ x = a 2 t2 + v 0 t + x 0 2 Jojo ( Maxwellsches Rad ) Energieerhaltung beim Jojo E tot = m g h = 1 2 mv2 f Jω2 f Mit ω = v R erhält man: 2gh v f = 1 + κ Drehmomente beim Jojo M i = r F Zug = J α i m g + F Zug = m a In Komponenten zerlegen: g a = (r = äußerer Radius, R = innerer Radius) 1 + κ r2 R 2 79