Discontinuous-Galerkin-Verfahren

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1 Discontinuous-Galerkin-Verfahren Dr. Gregor Gassner Institut für Aerodynamik und Gasdynamik der Universität Stuttgart. Stuttgart, 2013

2 Variationsformulierung 1 Ziel dieser Vorlesung ist es, das DG Verfahren mathematisch zu formulieren. Die ersten Veröentlichungen des DG Verfahrens behandelten die Diskretisierung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Hier wurde insbesondere im Vergleich zum klassischen Finite-Elemente-Verfahren (auch stetiges oder engl. continuous Galerkin Verfahren) Vorteile des DG Verfahrens aufgezeigt und hervorgehoben. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen Eine skalare hyperbolische Erhaltungsgleichung hat die Form bzw. u t + f(u) = 0, x Ω R d (allg. mehr-d) mit = x 1., (1) x d u t + div f(u) = 0 mit u = u( x, t) R. (2) Die Unbekannte u = u( x, t) ist die Erhaltungsgröÿe und f := (f 1 (u),..., f d (u)) T ist der Vektor der sogenannten physikalischen Flüsse. Wir betrachten in dieser Vorlesung streng hyperbolische Systeme f u = a(u) Rd 0, (3) wobei a(u) die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit des Systems ist. Um das Problem eindeutig zu denieren, benötigen wir noch Anfangsbedingungen und Randbedingungen Ω a Ω n u( x, t = 0) = u 0 ( x), (4) a(u) n Ω < 0 BC (Boundary Condition), (5) wobei hier Ω den Rand des Gebietes Ω bezeichnet und n nach auÿen orientiert deniert ist. Ist das Vektorskalarprodukt von a und n negativ, wird der Zustand u ins Gebiet transportiert (Inow) und muss entsprechend vorgegeben sein. Das Discontinuous Galerkin Verfahren für hyperbolische Erhaltungsgleichungen Variationsformulierung Ähnlich zu den Finite-Elemente-Verfahren ist die Variationsformulierung Ausgangspunkt des DG- Verfahrens. Ausgehend von der partiellen Dierentialgleichung u t + f = 0, (6)

3 Schwache Formulierung 2 werden wir diese im Folgenden herleiten. Dazu betrachten wir zunächst die sogenannte räumliche Testfunktion φ = φ( x), welche in einem Teilgebiet Ω beliebig oft dierenzierbar deniert ist. Das Teilgebiet ist beim DG Verfahren zum Beispiel eine Gitterzelle. Die Variationsformulierung hat verschiedene Interpretationsmöglichkeiten. Eine davon ist die Interpretation als Projektion. Wir fordern, dass die L 2 -Projektion der partiellen Dierentialgleichung (Residuum) u t + f auf die Testfunktion φ( x) Null ist. Man kann also sagen, dass das Residuum orthogonal bezüglich der Testfunktion sein soll. Für die Projektion multiplizieren wir die Gleichung mit der Testfunktion φ und integrieren räumlich über das Gebiet ( u t + f ) φ( x) d x = 0. (7) In kompakter Schreibweise ergibt sich: u t + f, φ = 0. (8) L 2 () Nützen wir die Linearität der Projektion in ihren Argumenten, kann man die Gleichung (8) umformulieren um eine neue Interpretationsmöglichkeiten darzustellen: u t, φ L2 () = f, φ L 2 (). (9) Diese Gleichung beschreibt, dass die Projektion der Zeitableitung gleich der Projektion der Flussdivergenz ist. Schwache Formulierung Der Ausgangspunkt des DG Verfahrens ist die Variationsformulierung, welche in die sogenannte schwache Formulierung entwickelt werden kann. In der bisherigen Variationsformulierung muss die Funktion u ableitbar sein, da die Divergenz des von u abhängigen Flusses benötigt wird. Dies ist eine starke Forderung an die Lösung u, welche insbesondere für (nichtlineare) hyperbolische Gleichungen nicht garantiert werden kann, da bei diesen Gleichungen Unstetigkeiten (Stöÿe) als Lösungen auftreten können. Für die schwache Formulierung verwenden wir eine räumliche partielle Integration für den Flussterm, um die räumliche Ableitung auf die Testfunktionen zu bringen u t φ d x + f n φ( x) ds f φ d x = 0. (10) fφ(x) d x Die räumliche Testfunktion wurde als beliebig glatt vorrausgesetzt und kann entsprechend abgeleitet werden. Der Vorteil dieser Formulierung ist, dass die Unbekannte u nicht mehr abgeleitet werden muss die Anforderungen an u sind also schwächer. Die Konsequenzen dieser Formulierung sind allerdings, dass die Lösung u eventuell nicht mehr eindeutig deniert ist. Man braucht zusätzliche (physikalische) Bedingungen (z.b.: Entropie darf nur anwachsen), um die Lösung des Problems eindeutig und physikalisch sinnvoll zu machen. Auf Details wird in dieser Vorlesung nicht weiters eingegangen, der interessierte Leser ndet Informationen in Büchern über partielle Dierentialgleichungen.

4 Das DG-Verfahren 3 Das DG-Verfahren Basis des DG-Verfahrens ist die schwache Formulierung. Das Grundlegende eines jeden Verfahrens zur Lösung/Approximation von partiellen Dierentialgleichungen ist die Denition des Ansatzraumes. Beim DG Verfahren unterteilt sich die Diskretisierung in zwei Schritte: Im ersten Schritt wird das Gebiet in nichtüberlappende Gitterzellen (beliebige Formen erlaubt) unterteilt. Innerhalb der Gitterzelle wird dann zusätzlich noch eine Approximation für die Lösung u( x, t) gewählt. In dieser Vorlesung betrachten wir Polynomansätze: u( x, t) u ( x, t) = N(p,d) j=1 a j (t) Freiheitsgrade φ j ( x), Basisfunktionen (11) (12) hierbei sind a j (t) die zeitabhängigen Polynomkoezienten (Unbekannte, Freiheitsgrade) und φ j ( x) die Basisfunktionen die den Polynomraum P p () aufspannen. Die Anzahl der Basisfunktionen hängt von dem Polynomgrad p, von der räumlichen Dimension d und von der Form der Gitterzellen ab. Der gesamte Approximationsraum beim DG-Verfahren besteht also aus stückweise Polynome, die exakte Lösung u wird durch die Vereinigung dieser stückweisen Polynome approximiert u( x, t) u h ( x, t) = u ( x, t), u h : Aproximation an u. (13) Beim Galerkin Verfahren werden die Testfunktionen gleich den Basisfunktionen gewählt, also gibt es N verschiedene Testfunktionen φ {φ j }N j=1. Setzt man jetzt diesen Ansatz in die schwache Formulierung ein, erhält man u t φ i d x + f(u) n φ i ds f(u ) φ i d x = 0. (14) Diese Formulierung besteht aus zwei Teilen: dem Volumenintegral, welches nur von den eigenen Gitterzellenwerten abhängt und dem Oberächenintegral, welches direkt am Gitterzellenrand deniert ist. Problem hierbei ist, dass die DG-Approximation u h im Allgemeinen unstetig (discontinuous) an den Gitterzellrändern ist. u h ( x, t) ist also nicht eindeutig deniert. Entsprechend ist der Normalenuss f(u) n, der für das Oberächenintegral benötigt wird, nicht eindeutig deniert. Um das Verfahren eindeutig zu denieren, muss man diesen Normalenuss approximieren. Dieses Problem tritt auch bei den Finite-Volumen-Verfahren auf, welche ebenfalls auf unstetigen Ansatzräumen basieren. Die Approximation wird typischerweise als numerischer Fluss bezeichnet und ist im Allgemeinen eine Funktion vom linken (u ) und rechten (u + ) Zustand = f n g(u +, u ). Die numerischen Flüÿe hängen von der betrachteten partielle Dierentialgleichung ab und basieren typischerweise auf (approximativen) Riemannlösern. Ein bekanntes und weitverbreites Beispiel ist der lokale Lax-Friedrichs-Fluss (auch: Rusanov-Fluss): g(u +, u ) = 1 ( ) f(u + ) + f(u ) n max a(u) n u [u,u + ] [u+ u ]. (15)

5 Das DG-Verfahren 4 Ersetzt man nun den Normalenuss durch den numerischen Fluss g, erhält man die mathematische Formulierung des DG-Verfahrens in schwacher Form u t φ i d x + g(u +, u )φ i ds f(u ) φ i d x = 0, i = 1,..., N(p, d). (16) } {{ } Oberächenintegral } {{ } Volumenintegral Für jede Gitterzelle gibt es N Unbekannte {a j (t)}n j=1. Wählt man für die Testfunktionen jede Basisfunktion, ergibt sich für jede dieser Testfunktionen eine Gleichung zur Bestimmung der Unbekannten. Man erhält mit N Testfunktionen N Bestimmungsgleichungen für die N Unbekannten und damit ein quadratisches Gleichungssystem, welches man lösen kann. Starke Formulierung des DG-Verfahrens Für das Volumenintegral in der schwachen DG Formulierung wird angenommen, dass dies nur durch innere Werte bestimmt ist! Mit dieser Annahme ist es nun möglich, das DG-Verfahren umzuformulieren. Wir betrachten den Volumenintegral-Term und machen eine partielle Integration f(u ) φ i d x = f nφ i ds + f(u )φ i d x. (17) Hierbei entsteht jetzt wieder ein Oberächenterm, welcher die Denition eines Normalenusses benötigt. Mit unserer Annahme, dass das Volumenintegral nur von inneren Werten bestimmt wird, wählt man den Normalenuss zu f n f(u ) n =: f n. (18) Eingesetzt in Gleichung (16) ergibt: (u t + f(u ))φ i d x = g(u +, u ) f n φ i ds. (19) =0 für u =u + Da nun in dem Volumenintegral die ursprüngliche partielle Dierentialgleichung steht, also Ableitungen der DG-Lösung u h benötigt werden, spricht man hier von der starken Formulierung des DG-Verfahrens. Im Vergleich zu der ursprünglichen Gleichung sieht man, dass die Projektion des Residuums auf den Polynomraum P p () nicht mehr orthogonal gefordert wird, sondern gleich dem Unterschied (Sprung) der DG-Lösung am Gitterzellenrand. Dieser Sprung in der DG-Lösung gibt also die Genauigkeit (Orthogonoalität) der Projektion an und kann verwendet werden um eine Aussage über den Fehler des Verfahrens zu erhalten. Dieser Sprungterm entsteht durch die Denition des numerischen Flusses und man kann zeigen, dass dieser Term direkt für die Stabilität des DG-Verfahrens verantwortlich ist und typischerweise numerische Viskosität erzeugt. Beim stetigen Galerkin-Verfahren (klassische Finite-Elemente) fehlt dieser Mechanismus, da der Ansatzraum stetig konstruiert wird. Der Sprungterm ist also hier immer Null. Dadurch fehlt dem Finite-Elemente-Verfahren die Stabilisierung, was der Grund für dessen schlechte Stabilitätseigenschaften bei hyperbolischen (advektionsdominierten) Problemen ist.

6 Parabolische Terme 5 Parabolische Terme Für die Strömungsmechanik benötigt man parabolische Terme in der partiellen Dierentialgleichung um etwa Diusion und Dissipation zu beschreiben. Formal, verändert sich bei solchen Problemen die Flussfunktion f, da diese jetzt noch vom Gradienten der Lösung abhängt u t + f(u, u) = 0. (20) Dadurch ändert sich der mathematische Charakter der Gleichung, entsprechend muss man für eine sinnvolle Problemstellung auch die Anzahl und Art der Randbedingungen anpassen. Als Startpunkt für das DG-Verfahren wird diese skalare partielle Dierentialgleichung zweiter Ordnung in ein System erster Ordnung umgeschrieben. Dazu führt man die Gradienten der Lösung als neue Unbekannte ein u t + f(u, q) = 0, (21) q u = 0. (22) Diese System erster Ordnung, kann man nun mit der gleichen Methodik wie oben diskretisieren. Für die erste Gleichung erhält man damit direkt u t φ i d x + g(u +, u, q +, q )φ i ds f(u ) φ i d x = 0, i = 1,..., N(p, d). (23) Der einzige Unterschied zu der vorherigen Diskretisierung ist, dass nun der numerische Fluss g nicht nur von den Lösungswerten u links und rechts abhängt, sondern auch von den linken und rechten Gradienten q. Zur Bestimmung der Gradienten wendet man direkt wieder die Schritte aus den vorherigen Abschnitten an und erhält dann folgende DG-Formulierung q φ i d x + û(u +, u ) n φ i ds u φ i d x = 0, i = 1,..., N(p, d). (24) Hierbei bezeichnet û im Prinzip wieder den numerischen Fluss, wobei in diesem Fall dies eine Approximation an den Wert der Lösung an der Zellkante ist. Ähnlichen wie bei den hyperbolischen Riemannlösern gibt es auch für die parabolischen numerischen Flüsse eine Vielzahl an Möglichkeiten. Die erste und einfachste Variante beruht auf dem arithmetischen Mittelwerten. Ein wichtiger Punkt ist die eziente Umsetzung des DG-Verfahrens. Dazu muss man entscheiden welche Elementtypen man verwenden will (Vierecke, Dreiecke,...), welche Integrationsregeln man verwendet und welche Basisfunktionen man verwendet. Diese Entscheidungen haben direkten Einuss auf die Genauigkeit, die Robustheit und die Ezienz des resultierenden DG-Verfahrens. Details dazu werden in der Discontinuous-Galerkin-Verfahren Vorlesung besprochen.