Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet WS 2016/2017 Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

2 Studienlexikon: Zeitangabe an der Universität (Student lexicon: time at german universities.) Vorlesungszeit / vorlesungsfreie Zeit: Ein Semester gliedert sich in Vorlesungszeit und vorlesungsfreie Zeit. In der Vorlesungszeit finden regelmäßig Lehrveranstaltungen statt. Sie enden mit Beginn der vorlesungsfreien Zeit. c.t.: c.t. (Abk. cum tempore, lat. für: mit Zeit) steht für den Beginn einer Lehrveranstaltung mit akademischem Viertel, z. B. 9 Uhr c.t. = 09:15 Uhr. Die meisten Lehrveranstaltungen an der Universität beginnen c.t. s.t.: s.t. (Abk. sine tempore, lat. für: ohne Zeit) steht für den Beginn einer Lehrveranstaltung ohne akademisches Viertel, z. B. 9 Uhr s.t. = 09:00 Uhr. Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

3 Notenschlüssel an deutschen Universitäten Academic grading at German universities Note Prozent (%) verbal sehr gut sehr gut gut gut gut befriedigend befriedigend befriedigend ausreichend ausreichend 5.0 < 50 nicht ausreichend Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

4 Übungen (exercises sessions) Übungen: Mo. oder Di., 16:15 Uhr -17:45 Uhr, Seminarraum 2.21, Geb. E2. 6 Exercises: Monday or Tuesday, 4:15 pm-5:45 pm, Room 2.21, Building E2.6 Jeden Donnerstag wird ein neues Übungsblatt verteilt. Each thursday the exercises sheets will be distributed Außerdem können Sie die Übungsblätter auf folgender Webseite herunterladen: They are available for download on the website: Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

5 Literatur (Literature) Die SULB ist die Saarländische Universitäts- und Landesbibliothek (University Library) und besitzt einen Online-Katalog. Als Einstieg: Vorkurs Mathematik, E. Cramer (Hoch)Schulmathematik: Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni. Tobias Glauser Basiswissen Mathematik, 2. Auflage, Jürgen Schmidt Vorkurs Mathematik für Nebenfach-Studierende, Marcel Klinger Als Studierende der Universität können Sie diese Bücher herunterladen. (Zugriff nur aus dem Universitätsnetz). Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

6 Vorlesung 2 (Lecture 2) Einführung in der Aussagenlogik Introduction to sentential logic Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

7 Aussage (Statement) Definition: Eine logische Aussage ist eine Behauptung, die entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. A logical statement is a mathematical statement, which is either true (w) or false (f). Bsp: 7 ist eine gerade Zahl (even number): (f ) Saarbrücken ist eine Stadt (city): (w) Die Sonne scheint. Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

8 Negation (Negation) Sei A eine Aussage: Definition: Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation (Verneinung) von A. Bezeichnung A ( nicht A, not A ). Das Zeichen ist der Junktor (connective) der Negation. A A w f f w Bsp.: A: der Schnee ist weiß. A: der Schnee ist nicht weiß. Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

9 Konjunktion (Conjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch und heißt Konjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A und B, A and B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind. A B A B f f f f w f w f f w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) A B: 2 ist eine gerade Zahl und 3 ist eine gerade Zahl (f) Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

10 Disjunktion (Disjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch oder heißt Disjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A oder B, A or B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden Teilaussagen wahr ist. A B A B f f f f w w w f w w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) A B: 2 ist eine gerade Zahl oder 3 ist eine gerade Zahl (w) Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

11 Implikation (Implication) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch wenn A, dann B heißt Implikation. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen wenn A dann B, aus A folgt B, if A then B ). A B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist. A B A B f f w f w w w f f w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) A B: Wenn 2 eine gerade Zahl ist, dann 3 ist eine gerade Zahl (f) B A: Wenn 3 eine gerade Zahl ist, dann 2 ist eine gerade Zahl (w) Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

12 Äquivalenz (Equivalence) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch (A B) (B A) heißt Äquivalenz. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A genau dann, wenn B ; A äquivalent zu B, A if only if B ). A B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. A B A B f f w f w f w f f w w w Bsp.: A: 8+7=15 (w), B: 49-9=40 (w) A B: Genau dann ist 8+7=15, wenn 49-9=40 (w) C: 2+3=6 (f), D: 1+1=3 (f) C D: Genau dann ist 2+3=6, wenn 1+1=3 (w) Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

13 Beispiele (Examples) Vorsicht: die inhaltliche Bedeutung wird nicht betrachtet! Wenn der Mond (Moon) aus Käse (cheese) besteht, dann ist Berlin die Hauptstadt (capital) von Deutschland. (w) Genau dann ist 49 eine Quadratzahl, wenn sin(π/6) = 1/2. (w) Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

14 Komplexere Aussagen P(x): x ist eine gerade Zahl. P(x) ist keine Aussage, sie ist weder wahr noch falsch (neither... nor). Sie ist eine Aussageform. Sie wird in eine Aussage übergehen, sobald man einen Wert einsetzt. Bsp.: P(2) (w), P(3) (f). A B C? Operatorrangfolge (Order of operations) 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) Klammer setzen, um die Operationenreihenfolge zu ändern. Bsp.: A (B C). Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

15 Tautologie & Kontradiktion (Tautology, contradiction) A A A A A A ( A) w f w f w f w w f f A A ist immer wahr, sie stellt eine Tautologie dar. A A ist immer falsch, sie stellt eine Kontradiktion (Widerspruch) dar. Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig (at the same time) wahr oder falsch sein. A und ( A) haben dieselbe Wahrheitstabelle: A ist logisch äquivalent zu ( A) (A ( A)). Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

16 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetzte der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) b) A (B C) (A B) C, A (B C) (A B) C (Assoziativität) c) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (Distributivität) d) ( A) A (Doppelte Negation) e) (A B) A B, (A B) A B (De Morgansche Regeln) f) (A B) ( B A) (Kontraposition) g) (A B) (B C) (A C) (Transitivität der Implikation) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

17 Beispiel (Example). Zeigen Sie, dass: B A A B A B 1 A B A B ( ) A B A B A A B f f w w w f w w w w w f f f f w w w f w 2 A B B A A B A B ( ) B A (Kommutativität) ( B) A (Doppelte Negation) B A ( ) (q.e.d.) Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

18 In Worten (With words) A= Es regnet., B= Ich habe meinen Regenschirm. Folgende Formulierungen sind äquivalent: 1 A B: Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm 2 A B: Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm 3 B A: Wenn ich meinen Regenschirm nicht habe, dann regnet es nicht. Man sagt, dass A eine hinreichende Bedingung (sufficient condition) für B ist. B ist eine notwendige Bedingung (necessary condition) für A. Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

19 Exkurs: Quantoren (Quantifiers:) 1 für alle (Elemente) (for all) 2 es existiert ein (Element) (there exists) 3! es existiert genau ein (Element) Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20

20 Exkurs: Um A B zu beweisen: (Prove A B:) 1 Direkter Beweis (Direct proof): B wird unter Annahme von A schrittweise gezeigt. (A B) 2 Indirekter Beweis (Indirect proof): a) Beweis durch Kontraposition (Proof by contraposition) : A wird unter Annahme von B schrittweise gezeigt. ( B A) b) Beweis durch Widerspruch (Proof by contradiction): Wir negieren A B: (A B) A B. Wir nehmen A und B an und kommen dann zu einem Widerspruch Vorlesung 2 MINT Mathekurs WS 2016/ / 20