Oktaeder. Bernhard Möller. 22. Dezember 2010

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1 Oktaeder Bernhard Möller. Dezember 00 Ein Oktaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Oberfläche aus acht kongruenten, gleichseitigen Dreiecken besteht. Jedes Oktaeder kann einem Würfel so einbeschrieben werden, dass die Ecken des Oktaeders in den Mittelpunkten der Seitenflächen des Würfels liegen. Von dem in der Abbildung dargestellten Okateder ABCDS S sind die Eckpunkte A(3 5 3), B( 3 ), C(5 3 7) und S (3 9) gegeben. Dieses Oktaeder ist auf die oben genannte Art dem abgebildeten Wüfel mit den Ecken P bis P 8 einbeschrieben. a) Den Abstand zweier paralleler Seitenflächen eines Oktaeders nennt man Dicke des Oktaeders. Berechnen Sie die Dicke des abgebildeten Oktaeders als Abstand des Punktes C von der Ebebe ABS. b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte P 6 und P 8. c) Der Mittelpunkt der Strecke AB sei M AB, der Mittelpunkt der Strecke CD sei M CD ; g sei die Gerade, die durch diese Punkte M AB und M CD verläuft. Das Oktaeder wird um die Gerade g als Drehachse so gedreht, dass sich der Punkt A(3 5 3) in die neue Position A ( + + ) bewegt. Zeigen Sie, dass der zugehörige Drehwinkel α = 90 beträgt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes B als neue Koordinaten des Punktes B nach der Drehung. d) Durch E a : x + x + x 3 + 9(a 5) = 0, a R

2 sei eine Schar von Ebenen E a gegeben; h sei die Gerade, die durch die Punkte S und S (5 3 ) verläuft. Zeigen Sie, dass jede Ebene E a der Schar orthogonal zur Gerade h verläuft. Bestimmen Sie den Schnittpunkt P a der Ebene E a mit der Geraden h. [Zur Kontrolle: P a (3 4a a 9 4a)] Für 0 < a schneidet die Ebene E a von dem abgebildeten Oktaeder eine Pyramide mit der Spitze S ab (siehe Abbildung ). Ermitteln Sie das Volumen V a der abgeschnittenen Pyramide.

3 Musterlösung Benötigte Vektoren: Ortsvektoren: Vektoren: OA= 3 5, 3 OS = 3, 5 3, OB= OA = OC= 5 3, 7 OS = AB = OB OA= = 8 3 BC = OC OB= = AS = OS OA= = BS = OS OB= 3 3 = 9 8 CS = OS OC= = 9 7 a) Berechnen Sie die Dicke des abgebildeten Oktaeders als Abstand des Punktes C von der Ebebe ABS. n = AS AB= Sei n := n, dann ist = 0 = n = 3

4 Die Ebene ABS ist dann gegeben durch E ABS : ( x OS ) n = 0. Die Gerade g ist gegeben durch g : x = λ n+ OC. Berechnung des Schnittpunktes von E ABS und g: Die Geradengleichung von g in die Ebenengleichung einsetzen, um λ zu bestimmen. (λ n+ OC OS ) n = 0 λ = ( OS OC) n n n CS n = n n Einsetzen in die Gerade g ergibt den Schnittpunkt P s : Der Abstand d ergibt sich durch d = OP s OC = OP s = CS n n n n+ OC CS n n n n = CS n n n = CS n n Einsetzen ergibt d = 8 5 = = Die Dicke des Oktaeders beträgt d = 4 3. b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte P 6 und P 8. OP 6 = OS + AB= = OP 8 = OS AB= = 7 9 Die gesuchten Punkte haben die Koordinaten P 6 ( 9 7) und P 8 (5 7 ). c) Zeigen Sie, dass der zugehörige Drehwinkel α = 90 beträgt. 4

5 Falls der Drehwinkel α = 90 ist, muss das Skalarprodukt der sie einschließenden Vektoren verschwinden. Zu zeigen ist also ( OM AB OA) ( OM AB OA ) = 0. Nun ist OM AB = OA + AB. Dies setzen wir ins obige Skalarprodukt ein und erhalten ( ) ( OA 0 = + AB OA OA + 0 = ( ) OA AB + AB OA AB ) OA Einsetzen der Werte ergibt = = 4 = ( + 4 ) = 0. Die Gleichung ist also erfüllt. Daraus folgt α = 90. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes B Punktes B nach der Drehung. als neue Koordinaten des Sei AA der Vektor, der von OA auf OA zeigt. Dann gilt AA OB = OB OB = OB + OA mit OA AA = OA OA Einsetzen ergibt 3 + OB = = Die neuen Koordinaten sind also B ( ). d) Zeigen Sie, dass jede Ebene E a der Schar orthogonal zur Gerade h verläuft. Die Gerade h hat die Form h : x = OS +λ S S, λ R. 5

6 Sei ferner n a der zugehörige Normalenvektor auf E a. Zu zeigen ist also n a S S a R. Die beiden Vektoren sind genau dann (anti)parallel, falls es ein λ R gibt, so dass λ n a = S S gilt. Bestimmung der Vektoren n a und S S : E a : x + x + x 3 + 9(a 5) = 0 n a = =: n Da der Normalenvektor invariant bzgl. des Scharparameters a ist, sind alle Ebenen E a zueinander parallel. S S = OS OS 5 3 = 3 = 4 9 Es ist offensichtlich, dass es ein λ R mit λ = gibt, denn =. Aus n E a a R und n S S folgt unmittelbar, dass h E a für alle a R ist. Bestimmen Sie den Schnittpunkt P a der Ebene E a mit der Geraden h. P a = E a h. Die Gerade h ist durch die Gleichung h : x = OS +λ S 3 S = λ +, 9 λ R gegeben. Um λ a zu bestimmen, setzen wir Die Geradengleichung von E a in die Ebenengleichung ein und erhalten 0 = (λ a + 3) + λ a + + (λ a + 9) + 9(a 5) 0 = 9λ a + 8a λ a = a. Dies setzen wir in die Geradengleichung ein und erhalten 3 3 4a OP a = a + = a a Die Koordinaten des Schnittpunktes sind gegeben durch P a (3 4a a 9 4a). Ermitteln Sie das Volumen V a der abgeschnittenen Pyramide. Da die Oberfläche eines Oktaeders aus gleichseitigen Dreiecken besteht und E a h für alle a R ist, folgt 6

7 . die Schnittfläche von E a und dem Oktaeder ist ein Quadrat.. der Mantel der durch E a abgeschnittenen Pyramide besteht aus gleichseitigen Dreiecken. Sei nun v a die Seitenlänge der abgeschnittenen Pyramide. Dann gilt für das Volumen V a = 3 v a h a mit h a = OS OP a. Folgend werden die Vektoren v a und h a bestimmt. Wir betrachten uns die Gerade g : x = λ AS + OS = λ( OS OA)+ OS 0 3 = λ Nun muss der Schnittpunkt P der Geraden g mit der Schnittebene E a ermittelt werden. Wir setzen die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und bestimmen λ a : 0 = 6 + 3λ a + + (3λ a + 9) + 9(a 5) 0 = 9λ a + 8a λ a = a Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt OP OP = a 3 + = 6a a Nun ist und v a := S P = OP OS = 3 3 6a = 9 6a 9 0 6a 6a ha := P a S = OS OP 3 3 4a 4a a = a = a 9 9 4a 4a Dies setzen wir nun in die Volumenformel ein und erhalten V a = 3 v a h a = 36a a }{{ 6a } + 4a + 6a }{{} 7a 6a = 44a 3 Das Volumen der Pyramide beträgt V a = 44a 3. 7

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