1. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 12 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen

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1 1. Mthemtik Olympide. Stufe (Bezirksolympide) Klsse 1 Sison 1961/196 Aufgen und Lösungen 1

2 OJM 1. Mthemtik-Olympide. Stufe (Bezirksolympide) Klsse 1 Aufgen Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Neenrechnungen soll deutlich erkennr in logisch und grmmtiklisch einwndfreien Sätzen drgestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herngezogene Aussgen sind zu eweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussge us dem Schulunterricht oder us Areitsgemeinschften eknnt ist, genügt es ohne Beweisnge, sie ls eknnten Schverhlt nzuführen. Aufge 0111: Zwei Ziegeleien produzieren 6 Millionen zw. 1 Millionen Ziegel. Sie sollen vier Bustellen versorgen, die einen Bedrf von 5,;,0; 5,7 zw. 4,1 Millionen Ziegel hen. Die Entfernungen (in km) zwischen den zwei Ziegeleien und den vier Bustellen sind us der folgenden Telle ersichtlich: Bustelle 1 4 Ziegelei Ziegelei Wieviel Ziegel müssen von der 1. zw.. Ziegelei zu den einzelnen Bustellen trnsportiert werden, dmit die Gesmttrnsportkosten möglichst gering sind? Es wird ngenommen, dß die Trnsportkosten der Entfernung proportionl sind. Die Bustelle soll dei nur von der Ziegelei eliefert werden. Aufge 011: Aus Aluminiumlech von mm Stärke sollen Werkstücke nch der eigefügten Zeichnung 1 gestnzt werden. (Sämtliche Innenwinkel sind gleich groß, = 4 mm, = 8 mm.) s s 1 s s 1 s 1 s Zeichnung 1 Zeichnung ) Wie lng und wie reit muß der Blechstreifen sein, us dem gestnzt wird? Dei ist zu echten, dß die Stegreite (Astnd der Teile voneinnder zw. vom Rnd) s 1 = mm etrgen muß. Wieviel Qudrtmeter Blech werden verrucht? Wieviel Qudrtmeter eträgt der Afll? ) Es wird der Veresserungsvorschlg gemcht, nch Zeichnung zu stnzen, um Mteril zu spren. Wie lng und wie reit muß nunmehr der Blechstreifen genommen werden? Wieviel Qudrtmeter Blech wird verrucht? Wieviel Qudrtmeter eträgt der Afll? Wieviel Prozent eträgt die Mterilersprnis gegenüer dem unter ) ngegeenen Verfhren? (Stegreite hier s = mm.)

3 Aufge 011: Einem Würfel von der Kntenlänge werden ein Tetreder und ein Okteder eineschrieen. ) Wie verhlten sich die Volumin der Körper zueinnder? ) Dem Tetreder wird noch eine Kugel eineschrieen. Begründen Sie, dß diese Kugel gleichzeitig ds Okteder erührt, und drücken Sie ds Volumen dieser Kugel ls Funktion von us! Aufge 0114: Bemerkung 0114 = Gegeen sei eine Strecke AB = = 6 cm. M sei der Mittelpunkt der Strecke. Schlgen Sie mit AM um M den Hlkreis üer AB! Hlieren Sie AM und MB und schlgen Sie üer eiden Strecken mit AM die eiden Hlkreise, die innerhl des großen Hlkreises liegen! Es ist der Mittelpunkt des Kreises zu konstruieren, der den großen Hlkreis von innen und die eiden kleinen Hlkreise von ußen erührt! Die Konstruktion ist zu egründen! Aufge 0115: Es ist zu eweisen, dß x + y, wenn x + y = und 0 ist!

4 OJM 1. Mthemtik-Olympide. Stufe (Bezirksolympide) Klsse 1 Lösungen Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Neenrechnungen soll deutlich erkennr in logisch und grmmtiklisch einwndfreien Sätzen drgestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herngezogene Aussgen sind zu eweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussge us dem Schulunterricht oder us Areitsgemeinschften eknnt ist, genügt es ohne Beweisnge, sie ls eknnten Schverhlt nzuführen. Lösung 0111: Zur Bestimmung der optimlen Belieferung muss die Kostenfunktion in Ahängigkeit von den eeinflussren Prmetern usgedrückt werden. Diese Funktion ist die Summe der Trnsportkosten zu den einzelnen Bustellen zw. (ufgrund der Proportionlität) die Entfernung, üer die hinweg die Ziegel trnsportiert werden. Wenn mn die Lieferungen von Ziegelei (Z) - in Millionen Ziegeln - n die Bustellen 1, und 4 (B1 usw.) mit x, y und z ezeichnet (B rucht nicht echtet zu werden), erhält mn K(x, y, z) = 8(5, x) + 6x + 0(,0 y) + 6y + 1(4,1 z) + 0z = 1,7 x + 6y z. Als Neenedingung gilt dei x + y + z = 6,, d.h. Z liefert 6, Millionen Ziegel n B1, B und B4; die restlichen 5,7 Millionen gehen n B. Die Funktion K soll miniml werden. Ds ist der Fll, wenn x und z möglichst große, y dfür einen kleinen Wert nnimmt, wie mn n den Vorzeichen sieht. Die Neenedingung fügt mn ein, in dem mn K(y, z) = K(6, y z, y, z) = 09,1 + 8y + z festlegt. Zu echten sind weiterhin 0 y,0 und 0 z 4,1 (nur dieser Bereich ist für Lieferungen der Z n B zw. B4 sinnvoll), sowie 1,1 y + z 6, (B1 knn höchstens 5, Millionen Ziegel von Z ekommen). In K hen sowohl y ls uch z positive Vorzeichen, eide müssen lso so klein wie möglich werden. Den kleinsten Wert für K(y, z) erhält mn für y = 0 und z = 1,1, d y den größeren Vorfktor ht. Es folgt x = 5,. Zusmmengefsst: Z1 liefert je Millionen Ziegel n B und B4, Z liefert 5, Millionen n B1 und 1,1 Millionen n B4. Hinweis: Ds us der Schule eknnte Verfhren, (lokle) Minim mittels Aleitungen zu estimmen, funktioniert hier nicht. Grund dfür ist, dss die Funktion K (zw. K) in ihren Argumenten liner ist. Extrem treten in diesem Fll nur glol uf n den Rändern der durch die Ungleichungen festgelegten Bereiche. Aufgeschrieen und gelöst von Crsten Blleier Lösung 011: D ds Werkstück ein Sechseck mit gleich großen Innenwinkeln ist, eträgt jeder Innenwinkel 1 6 (6 ) 180 = 10. Wir erechnen nchfolgend die Länge (in Längsrichtung des Blechstreifens) und Breite (in Querrichtung) eines Werkstücks und drus die erforderlichen Amessungen. 4

5 ) s 1) s s s 1 s 1 s ) (Bild ) Die Länge eträgt cos(0 ) + cos(0 ) = ( + ) = 6,7 mm, für Werkstücke lso 6,70 m zuzüglich 0,00 m für Astände s 1. Der Blechstreifen muss somit insgesmt 8,7 m lng sein. Die Breite des Werkstücks ist + sin(0 ) = + = 4 mm, zusmmen mit zwei Aständen s 1 muss der Blechstreifen 46 mm reit sein. Seine Fläche eträgt 8,7 m 0,046 m = 17,65 m. Die Fläche eines Werkstücks ist gleich der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge + züglich der Fläche dreier gleichseitiger Dreiecke der Seitenlänge, lso 4 ( + ) 4 = 999,4 mm. Die Werkstücke enspruchen somit eine Fläche von 9,994 m, worus sich der Afll zu 7,658 m erechnet. ) (Bild ) D die Werkstücke jetzt um 90 gedreht werden, ist die Breite gleich der Länge us ), zusmmen mit der doppelten Stegreite s ergit sich eine Breite des Blechstreifens von 4,4 mm. Zur Berechnung der Länge wird zunächst s = 0 ngenommen. Die Schwerpunkte zweier Werkstücke sind dnn entfernt. Die gesmte Länge des Blechstreifens ist hier = 1 ( + ) = 9,0 mm [9,0 mm + s cos(0 )] + 1,0 mm + s = 15,997 m, der Verruch 1,98 m sowie der Afll,404 m. Die Mterilersprnis eträgt gegenüer ) 4,1 %. Aufgeschrieen und gelöst von Eckrd Specht Lösung 011: D der Würfel sechs Qudrte ls Oerfläche esitzt und ds Tetreder sechs Knten ht, nehmen wir sechs geeignete Oerflächendigonlen ls Knten des Tetreders (Bild ), die selstverständlich gleich lng sind und dmit ttsächlich ein regelmäßiges Tetreder ilden. Ds Okteder ht sechs Eckpunkte, so dss die Mittelpunkte der Oerflächen des Würfels ls Eckpunkte eines regelmäßigen Okteders gewählt werden können (Bild ). 5

6 ) Ds Tetreder schneidet vom Würfel mit dem Volumen V W = vier dreiseitige Pyrmiden, woei ds Volumen jede dieser Pyrmiden mittels V = 1 Ah erechnet werden knn. Dzu wählen wir ds gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck mit der Kthetenlänge ls Grundfläche, lso A = 1. Die Höhe eträgt eenflls h =, so dss V = 1 6 folgt. Drus ergit sich ds Volumen des Tetreders zu V T = = 1. Für ds Okteder ergit sich eine Kntenlänge von ; es knn us zwei vierseitigen Pyrmiden zusmmengesetzt werden. Die Grundseiten dieser Pyrmiden (ein Qudrt) hen einen Flächeninhlt von A = 1, somit ht ds Okteder ein Volumen von V O = = 1 6. Die Volumin stehen lso im Verhältnis V W : V T : V O = 6 : : 1. ) ) ) Um den Rdius der dem Tetreder eineschrieenen Kugel zu estimmen, etrchten wir zunächst die Umkugel des Tetreders. Diese ist offenr mit der Umkugel des Würfels identisch, so dss die hle Rumdigonle des Würfels gleich dem Umkugelrdius ist: R =. Die Inkugel mit dem Rdius r erührt dgegen die Tetrederflächen von innen, woei jede Tetrederfläche eine Tngentileene n die Inkugel im Berührungspunkt ufspnnt. Somit liegen Würfeleckpunkt, Berührungspunkt und Mittelpunkt uf einer Gerden, und es gilt R = h + r zw. r = R h mit h ls Höhe der unter ) etrchteten dreiseitigen Pyrmiden mit dem (jetzt gleichseitigen) Dreieck ls Grundfläche. Diese Höhe erechnet sich us der oigen Volumenformel mit Alterntive Berechnung des Inkugelrdius: V = 1 6 zu h = V A = / / =. Drus folgt r = 1 = 1 R. Betrchte ds sog. Seitenmittentetreder, ds die Schwerpunkte der Seitenmitten des ursprünglichen Tetreders miteinnder verindet. Dessen Umkugel ist gleich der gesuchten Inkugel, d die Inkugel die Tetrederflächen in den Schwerpunkten der gleichseitigen Dreiecke, die die Oerfläche des Tetreders ilden, erührt. Mit Hilfe des eknnten Stzes, dss der Schwerpunkt die Seitenhlierenden im Verhältnis 1 : teilt, folgt r = 1 R. Mithin ht die Inkugel ein Volumen von 4 πr = 1 4. Aufgeschrieen und gelöst von Eckrd Specht 6

7 Lösung 0114: Bemerkung 0114 = I. Anlyse: Der Berührungspunkt des Hlkreise üer AM zw. üer M B mit dem zu konstruierenden Kreis k sei K zw. L, der Berührungspunkt des Hlkreise üer AB mit k sei N. Die Mittelpunkte von AM zw. BM werden mit P zw. Q ezeichnet. D die Tngenten von k und den Hlkreis üer AM in K identisch sind und die Tngenten senkrecht uf den Rdien stehen, geht die Strecke zwischen dem Mittelpunkt R vom Kreis k und P durch K. Anlog folgt, dss L uf RQ liegt. D RP = AM dem Stz des Pythgors + RK = RQ gilt, ist P MR = 90 und es gilt nch ( ) ( AM AM + (AM RN) = + RK). Aus RN = RK folgt 1 4 (AM) + (AM) (AM)(RN) + (RN) = 1 4 (AM) + (AM)(RN) + (RN). Also ist (AM) = (AM)(RN), d. h. II. Konstruktionseschreiung: RN = 1 AM = = 1 cm und 6 MR = MT RN = cm. (1) Konstruiere die Mittelsenkrechte von AB und ezeichne den Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten und den Hlkreis üer AB mit N. () Nun konstruiere einen Punkt S uf der Verlängerung von AM üer A hinus mit SM = AM. Konstruiere die Senkrechte zu SM in A, ezeichne den Schnittpunkt dieser Senkrechten und SN mit T. Dnn ist nch Strhlenstz T N = 1 SN. () Konstruiere nun ds Lot von T uf MN und ezeichne den Lotfußpunkt mit R, so ist nch Strhlenstz NR = T N SN MN = 1 cm, d. h. R ist nch oiger Voretrchtung der Mittelpunkt des Kreises k, der die kleinen Hlkreise ußen und den großen Hlkreis innen erüht. (4) Schlge einen Kreis um R mit den Rdius RN. III. Konstruktion: N T k K r R L S A P M Q B Aufgeschrieen und gelöst von Steffen Weer 7

8 Lösung 0115: Die kürzeste Vrinte ist diejenige mit der Ungleichung üer ds qudrtische und rithmetische Mittel, flls x, y positive Zhlen sind: x + y x + y = = = x + y. Wegen 0 gilt die Behuptung erst recht für nichtpositive x, y. Die Ungleichung selst knn einfch wie folgt gezeigt werden: (x y) 0 x + y xy Aufgeschrieen und gelöst von Eckrd Specht (x + y ) x + xy + y = (x + y) x + y ( ) (x + y) x + y = 4 x + y x + y. 8