3 Polytope. 3.1 Polyeder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3 Polytope. 3.1 Polyeder"

Transkript

1 28 3 Polytope 3.1 Polyeder Polytope in der Ebene und im Raum standen neben Kreis und Kugel schon während der griechischen Antike im Mittelpunkt des mathematischen (und philosophischen) Interesses. Durch ihre spezielle Seitenstruktur kann man relativ einfach Volumen und Oberfläche berechnen, man kann durch Polytope beliebige konvexe Körper approximieren und sie spielen in anderen Bereichen wie Linearer Optimierung oder Spieltheorie eine wichtige Rolle. Im folgenden werden wir die üblichen Bezeichnungen Ecke für eine 0-Seite, Kante für eine 1-Seite und Facette für eine (dim K 1)-Seite einer konvexen Menge K verwenden. Weiter bezeichnen wir mit vertk die Eckenmenge der konvexen Menge K. Anschaulich lassen sich die bekannten Polytope im IE 2 und IE 3 auch als Durchschnitte von endlich vielen Halbräumen darstellen. Deshalb betrachten wir in diesem Abschnitt zuerst solche Mengen: Definition Der Durchschnitt endlich vieler abgeschlossener Halbräume heißt Polyeder. Speziell betrachten wir und IE d als Polyeder. Bemerkungen (1) Die Lösungsmenge von endlich vielen linearen Ungleichungen mit d Unbekannten ist ein Polyeder im IE d. (2) Ein Polyeder ist abgeschlossen und konvex, aber i.a. nicht beschränkt. (3) Endliche Durchschnitte von Polyedern sind wieder Polyeder. Beispiele (1) Jede Hyperebene H, jeder Halbraum H und jeder affine Unterraum von IE d ist ein Polyeder. (2) Ist {e 1,...,e d } die kanonische Basis des IE d, dann sind P 1 := {(ξ 1,...,ξ d ); ξ i 0}, P 2 := {(ξ 1,...,ξ d ); ξ i 0, d ξ i 1}, P 3 := {x; 1 xe i 1} Polyeder. Der nächste Satz beschreibt, wie man die Facetten eines Polyeders erhält und wie diese die Seitenstruktur des Polyeders festlegen:

2 3. Polytope 29 Satz Sei n IN, H i := {x IE d ; a i x α i }, 1 i n, Hyperebenen im IE d, K ein Polyeder mit n K := Hi (aff K) und F i := K H i, 1 i n. Weiter sei K weder ein affiner Unterraum noch kann man bei der Durchschnittsbildung einen der Halbräume weglassen. Dann gilt (a) relintk = {x K; a i x < α i, 1 i n}. (b) relbdk = n F i. (c) F 1,...,F n sind Facetten von K und es gibt keine weitere. (d) Für jede eigentliche Seite A von K gilt A = A F i F i. (e) K hat eine endliche Anzahl von Seiten, und jede eigentliche ist exponiert. (f) Jede Seite von K ist ein Polyeder. (g) Ist A j eine j-seite von K, A k eine k-seite von K mit 0 j k 2 und A j A k, dann gibt es Seiten A j+1,...,a k 1 von K, so daß A i Facette von A i+1, j i k 1. Allgemein folgt Satz Sei K ein Polyeder. Dann gilt: (a) K hat nur endlich viele Seiten und jede der eigentlichen Seiten ist exponiert und wieder ein Polyeder. (b) Jede eigentliche Seite ist Durchschnitt aller Facetten von K, die die Seite enthalten. (c) relbd K ist die Vereinigung aller Facetten (in aff K). (d) F 1,...,F n sind Facetten von K und es gibt keine weitere. (e) Hat K eine nichtleere j-seite, dann hat K auch k-seiten für jedes k mit j k dimk. Der nächste Satz gibt ein Kriterium dafür, wann eine beliebige konvexe Menge ein Polyeder ist. Satz Sei K eine abgeschlossene konvexe Menge. (a) Hat K nur endlich viele exponierte Seiten, dann ist K ein Polyeder. (b) Hat K nur endlich viele Seiten, dann ist K ein Polyeder.

3 3. Polytope Die Seiten eines Polytops Polytope wurden als konvexe Hüllen von endlich vielen Punkten definiert. Damit ergibt sich für Linearkombinationen konvexer Polytope: Satz Sind α i IR, P i Polytope, 1 i n, dann ist n α i P i ein Polytop. Bemerkung Die Summe von endlich vielen Strecken im IE d ist also ein Polytop, das man Zonotop nennt. Spezielle Zonotope sind die Parallelotope und damit die Quader und Würfel im IE d. Als Summe der 3 Strecken in der Ebene links ergibt sich das Zonotop rechts: Bei der Betrachtung der endlichen Punktmenge, die ein Polytop erzeugt, kann man sich auf die Eckenmenge von P beschränken und die Seiten eines Polytops sind konvexe Hüllen von Teilmengen der Eckenmenge vert P: Satz Sei P = conv ( {x 1,...,x n } ) ein Polytop und W V = vertp. Es gilt: (a) vertp {x 1,...,x n }. (b) P = conv(vertp). (c) Jedes Polytop hat nur endlich viele Seiten, und jede Seite ist ein Polytop. (d) convw ist Seite von P genau dann, wenn aff W conv(v \W) =. Bemerkungen Ist V = {v 0,...,v d } die Eckenmenge eines d-simplexes S = convv, dann ist für jede Teilmenge W V convw eine Seite von S. Polytope sind spezielle Polyeder, denn es gilt: Satz X IE d ist ein Polytop genau dann, wenn X ein beschränktes Polyeder ist. Bemerkungen Damit folgt speziell: (1) Der Durchschnitt zweier Polytope ist wieder ein Polytop. (2) Der Durchschnitt eines Polytops mit einem affinen Unterraum ist wieder ein Polytop. (3) Es gelten die Aussagen von Satz

4 3. Polytope 31 (4) Jede (dimp 2)-Seite eines Polytops P ist Durchschnitt von genau 2 Facetten von P. (5) Ist F 1 exponierte Seite eines Polytops P und F 2 exponierte Seite von F 1, dann ist F 2 exponierte Seite von P. Für konvexe Mengen gilt das nicht immer. Wir wollen nun die kombinatorische Struktur der Seiten eines festen Polytops untersuchen. Definition Seien P und P Polytope mit Eckenmengen V bzw. V. P und P heißen kombinatorisch äquivalent, wenn es eine bijektive Abbildung f : V V gibt, so daß für jede Menge W V gilt: convw ist Seite von P genau dann, wenn conv ( f(w) ) Seite von P ist. Beispiele (1) Alle Strecken sind zueinander kombinatorisch äquivalent. (2) Zwei Polygone sind zueinander kombinatorisch äquivalent genau dann, wenn sie dieselbe Eckenzahl haben. (3) Würfel, Quader, Parallelotope im IE 3 sind kombinatorisch äquivalent, ein Würfel und eine Pyramide über einem n-eck im IE 3 sind nicht kombinatorisch äquivalent. Bemerkung Sind zwei Polytope kombinatorisch äquivalent, dann müssen Sie dieselbe Eckenzahl haben. Andererseits haben eine Pyramide über einem Viereck und eine Doppelpyramide über einem Dreieck im IE 3 jeweils 5 Ecken, sind aber nicht kombinatorisch äquivalent. Eine Möglichkeit, die kombinatorische Struktur der Seiten eines d-polytops im IE d 1 darzustellen, ergibt sich aus folgendem Satz: Satz Sei P ein d-polytop mit Facetten F i und zugehörigen Stützhyperebenen H i, 1 i n. Dann gibt es zu jedem F i ein x i mit x i inth + i und x i H j für alle j i. Definition Sei P ein d-polytop mit Facette F, x wie im vorigen Satz, dann heißt das Bild von P unter der Zentralprojektion von x auf F Schlegel-Diagramm von P. Beispiele Tetraeder Würfel Oktaeder

5 3. Polytope 32 Für den zu einem Polytop polaren Körper gilt: Satz Sei P ein Polytop mit 0 intp, S(P) der Seitenverband von P, d.h. die Menge aller Seiten von P, und F S(P). Dann gilt: (a) P ist ein Polytop. (b) F ( ) := {y P ;yx = 1 für alle x F}. Dann ist F ( ) Seite von P und es gilt F ( )( ) = F. (c) f : S(P) S(P ) mit f(f) = F ( ) ist eine bijektive, inklusionsumkehrende Abbildung. Beispiele Das polare Polytop zu einem Würfel ist ein Kreuzpolytop, zu einem d-simplex ist ein d-simplex. Definition Zu P P d heißt das Polytop Q dual, falls es eine bijektive, inklusionsumkehrende Abbildung f : S(P) S(Q) gibt. Satz Zu jedem P P d existiert ein duales Polytop. 3.3 Spezielle Polytope und der Satz von Euler Wir bezeichnen im folgenden mit f i (P), 1 i dimp, die Anzahl der i-dimensionalen Seiten eines Polytops und setzen f i (P) := 0 für i < 1 und i > dimp. Definition Sei Q P d mit dimq d 1. (a) Ist x IE d, x aff Q, dann heißt P = conv{q,x} d-pyramide (über Q). Q heißt Basis von P, x heißt Spitze von P. (b) Jedes P P d heißt 0-fache Pyramide mit Basis P. Für r = 1,...,d heißt P P d r-fache Pyramide, falls P Pyramide über einer (r 1)-fachen Pyramide Q ist. (c) Sei I eine Strecke mit dim(relintq relinti) = 0. Dann heißt P = conv(q I) Doppelpyramide über Q. (d) Eine r-fache Doppelpyramide wird analog zur r-fachen Pyramide definiert. Beispiele (1) Ein d-simplex ist eine d-fache Pyramide. (2) Sei{e i ;1 i d}diekanonischebasisdesie d.dasd-kreuzpolytopx d = conv{±e 1,...,±e d } ist eine d-fache Doppelpyramide.

6 3. Polytope 33 Satz (a) Für eine r-fache Pyramide P mit Basis Q gilt f k (P) = Für ein d-simplex gilt f k (P) = ( ) d+1. k +1 (b) Für eine Doppelpyramide P mit Basis Q gilt { fk (Q)+2f k 1 (Q) 0 k d 2 f k (P) = 2f d 2 (Q) k = d 1 ( ) d Für das d-kreuzpolytop gilt f k (X d ) = 2 k+1, 1 k d 1. k +1 r i=0. ( ) r f k i (Q). i Satz (a) Sei P P d eine (d 1)-fache oder d-fache Pyramide. Dann ist P ein Simplex. (b) Sei P P d eine (d 1)-fache Doppelpyramide und dimp = d. Dann ist P eine d-fache Doppelpyramide. Definition Sei Q P d und x aff Q. Dann heißt P = Q +conv{ x,x} Prisma mit Basis Q. Das r-fache Prisma wird analog zur r-fachen Pyramide definiert. Ein d-faches Prisma heißt Parallelotop oder Parallelepiped. Ist P Parallelotop und Vektorsumme von d gleichlangen paarweise orthogonalen Strecken, dann heißt P Würfel. Analog zu den Pyramiden gilt Satz (a) Für ein Prisma P mit Basis Q gilt { 2f0 (Q) für k = 0 f k (P) = 2f k (Q)+f k 1 (Q) für 1 k d. Für ein d-parallelotop C gilt ( ) d f k (C) = 2 d k, 0 k d. k (b) Sei P P d ein (d 1)-faches Prisma und dimp = d. Dann ist P ein d-faches Prisma. Betrachtet man die Seitenverbände von Doppelpyramiden und Prismen, dann ergibt sich folgender Zusammenhang: Satz Sei {e i ;1 i d} die kanonische Basis des IE d, H die Hyperebene durch 0 orthogonal zu e d und Q,Q H polare Polytope mit 0 relintq. Weiter sei P = Q+conv{ e d,e d } das Prisma mit Basis Q, P = conv{q, e d,e d } die Doppelpyramide mit Basis Q. Dann sind P und ˆP polar, d.h. es gilt ˆP = P.

7 3. Polytope 34 Korollar Sind Q,Q P d dual, und ist P Prisma über Q, P Doppelpyramide über Q, so sind P und P dual. Speziell sind d-würfel und d-kreuzpolytop dual. Bemerkungen (1) Ist S ein d-simplex mit 0 ints, dann ist das polare Polytop S ebenfalls ein d-simplex. Je zwei d-simplices sind zueinander dual. (2) Als weitere besondere und für die kombinatorische Theorie wichtigen Beispiele betrachtet man folgende Polytopklassen: Ein Polytop P heißt simplizial, wenn jede eigentliche Seite von P ein Simplex ist. Beispiele simplizialer Polytope sind die d-simplices, die d-doppelpyramiden über einer simplizialen Basis und (speziell) das d-kreuzpolytop. EinPolytopP heißteinfach,wennjedeeckevonp ingenaudfacetten vonp liegt. Beispieleeinfacher Polytope sind die d-prismen über einer einfachen Basis und (speziell) das d-parallelotop. Es gilt: Ein zu einem simplizialen Polytop duales Polytop ist einfach und umgekehrt. Der folgende Satz gibt eine Beziehung zwischen den Seitenzahlen eines Polytops Satz (Satz von Euler) Sei P ein d-polytop und f i (P), i = 1,...,d, die Anzahl der i-seiten von P. Dann gilt d ( 1) i f i (P) = 0 i= 1 bzw. d 1 ( 1) i f i (P) = 1 ( 1) d. i=0 Der Satz von Euler gibt die einzige lineare Identität für die f i an, der alle Polytope genügen: d 1 Satz Für alle Polytope P P d gelte λ i f i (P) = µ, µ,λ i IR, 0 i d 1. Dann gibt es ein c IR mit λ i = c( 1) i, 0 i d 1, µ = c (1 ( 1) d ). i=0 Bemerkung Für simpliziale Polytope gelten die Dehn-Sommerville-Gleichungen d 1 ( ) i+1 ( 1) i f i (P) = ( 1) d 1 f k (P), k+1 i=k 0 k d 1. Für k = 1 hat man die Euler-Gleichung. Je [ 1 2 (d+1)] (mit Gauß-Klammer [ ]) dieser Gleichungen (zusammen mit der Euler-Gleichung) sind linear unabhängig.

4 Affine Koordinatensysteme

4 Affine Koordinatensysteme 4 Affine Koordinatensysteme Sei X φ ein affiner Raum und seien p,, p r X Definition: Nach ( c ist der Durchschnitt aller affinen Unterräume Z X, welche die Menge {p,,p r } umfassen, selbst ein affiner

Mehr

GEOMETRIE DER POLYEDER

GEOMETRIE DER POLYEDER GEOMETRIE DER POLYEDER Das Polyeder P sei gegeben durch P = x R n Ax b. Definition. (i) Die Hyperebene H = x R n c T x = d,c, heißt Stützhyperebene von P, falls die Ungleichungc T x d redundant ist bzgl.

Mehr

Polytope Eine Einführung in die Diskrete Geometrie Vorlesungsnotizen

Polytope Eine Einführung in die Diskrete Geometrie Vorlesungsnotizen Polytope Eine Einführung in die Diskrete Geometrie Vorlesungsnotizen Luca Gugelmann Thomas Rast Mathias Graf SS 2005 Alexander Rudyk Dozentin: Eva Maria Feichtner (feichtne@math.ethz.ch) www.math.ethz.ch/~feichtne/polytopes/

Mehr

Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version)

Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version) Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version) Def. Affiner Raum der Dimension n über Körper K ist nach Definition K n. Bemerkung. Man könnte Theorie von affinen Raumen auch axiomatisch aufbauen mit

Mehr

EULER-CHARAKTERISTIK KONVEXER POLYEDER

EULER-CHARAKTERISTIK KONVEXER POLYEDER MINI-IKM 1998 EULER-CHARAKTERISTIK KONVEXER POLYEDER Eberhard-Karls-Universität Tübingen, März 1998 Richard Bödi Inhalt 1. Der euklidische Raum, affine Räume...........................................1

Mehr

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis

Mehr

Teil I. Lineare Optimierung

Teil I. Lineare Optimierung Teil I Lineare Optimierung 5 Kapitel 1 Grundlagen Definition 1.1 Lineares Optimierungsproblem, lineares Programm. Eine Aufgabenstellung wird lineares Optimierungsproblem oder lineares Programm genannt,

Mehr

Proseminar Konvexe Mengen: Der Satz von Carathéodory

Proseminar Konvexe Mengen: Der Satz von Carathéodory Proseminar Konvexe Mengen: Der Satz von Carathéodory Gerrit Grenzebach 26. Otober 2004 In diesem Referat werden der Begriff der onvexen Hülle einer Menge eingeführt und einige Eigenschaften der onvexen

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

M. Pester 29. Ein konvexes d-polytop ist eine begrenzte d-dimensionale polyedrale Menge. (d = 3 Polyeder, d = 2 Polygon)

M. Pester 29. Ein konvexes d-polytop ist eine begrenzte d-dimensionale polyedrale Menge. (d = 3 Polyeder, d = 2 Polygon) M. Pester 29 6 Konvexe Hülle 6.1 Begriffe Per Definition ist die konvexe Hülle für eine Menge S von lich vielen Punkten die kleinste konvexe Menge, die S enthölt (z.b. in der Ebene durch ein umspannes

Mehr

Körper zum Selberbauen Polydron

Körper zum Selberbauen Polydron Körper zum Selberbauen Polydron Was versteht man unter Polydron? Polydron ist ein von Edward Harvey erfundenes intelligentes Spielzeug, mit dem man verschiedene geometrische Figuren bauen kann. Es ist

Mehr

Polyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper

Polyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper Unter einem Polyeder verstehen wir einen zusammenhängenden Teil des dreidimensionalen Raumes der durch Polygone begrenzt wird. Seine Oberfläche besteht also aus Punkten (Ecken genannt), Strecken (Kanten

Mehr

6 Beispiele von Polytopen

6 Beispiele von Polytopen U. BREHM: Konvexgeometrie 6-1 6 Beispiele von Polytopen Die 0-imensionalen Polytope sin genau ie Punkte. Die 1-imensionalen Polytope sin genau ie abgeschlossenen Intervalle (= Strecken). Die 2-imensionalen

Mehr

Konvexe Mengen. Def. Eine Teilmenge A R n heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten x,y auch stets deren Verbindungsstrecke

Konvexe Mengen. Def. Eine Teilmenge A R n heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten x,y auch stets deren Verbindungsstrecke Konvexe Mengen Def. Eine Teilmenge A R n heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten x,y auch stets deren Verbindungsstrecke xy = {x + t xy 0 t 1} = {(1 t)x + ty 0 t 1} enthält. konvex nicht konvex Lemma

Mehr

Konvexe Mengen. Kanglin,Chen. Universität Bremen, Proseminar WS 04/05

Konvexe Mengen. Kanglin,Chen. Universität Bremen, Proseminar WS 04/05 Konvexe Mengen Kanglin,Chen Universität Bremen, Proseminar WS 04/05 Satz. (Satz von Kirchberger) Sei P, Q E n kompakt und nicht leer. Dann gilt: P, Q sind durch eine Hyperebene streng trennbar. Für jede

Mehr

3 Trennungs- und Stützeigenschaften, sowie elementare Hilfssätze

3 Trennungs- und Stützeigenschaften, sowie elementare Hilfssätze U BREHM: Konvegeoetrie 3-1 3 Trennungs- un Stützeigenschaften, sowie eleentare Hilfssätze Zunächst einige Hilfssätze, in enen Begriffe aus er Konveität it topologischen Eigenschaften zusaengebracht weren

Mehr

Basis und Dimension. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Basis und Dimension. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren Basis und Dimension Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren aus V. 1) (v i ) i I heißt ein Erzeugendensystem von V, wenn Span(v i ) = V. 2) (v i ) i I heißt Basis von

Mehr

Lineare Algebra I. - 9.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Korrektur: 2. Klausurtermin:

Lineare Algebra I. - 9.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Korrektur: 2. Klausurtermin: Lineare Algebra I - 9.Vorlesung - rof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Korrektur: 2. Klausurtermin: 09.02.2017 Linearkombination von Vektoren lineare Hülle Erzeugendensystem S lineare Unabhängigkeit

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $ $Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der

Mehr

1 Der Simplex Algorithmus I

1 Der Simplex Algorithmus I 1 Nicoletta Andri 1 Der Simplex Algorithmus I 1.1 Einführungsbeispiel In einer Papiermühle wird aus Altpapier und anderen Vorstoffen feines und grobes Papier hergestellt. Der Erlös pro Tonne feines Papier

Mehr

Definition Sei V ein Vektorraum, und seien v 1,..., v n V. Dann heißt eine Linearkombination. n λ i = 1. mit. v = v i λ i.

Definition Sei V ein Vektorraum, und seien v 1,..., v n V. Dann heißt eine Linearkombination. n λ i = 1. mit. v = v i λ i. Kapitel Geometrie Sei V ein Vektorraum, z.b. V = R 3. Wenn wir uns für geometrische Eigenschaften von R 3 interessieren, so stört manchmal die Ausnahmerolle des Nullvektors, die es ja in V gibt. Beispielsweise

Mehr

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden

Mehr

Affine und projektive Räume

Affine und projektive Räume Affine und projektive Räume W. Kühnel Literatur hierzu: G.Fischer, Analytische Geometrie, 7. Aufl., Vieweg 2001 Zur Motivation: Wenn man in einem Vektorraum die Elemente nicht als Vektoren, sondern als

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben

Mehr

Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene. Schrägbild

Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene. Schrägbild Mathematik Bl Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene Schrägbild Das Bild bei einer schrägen Parallelprojektion heisst Schrägbild und wird durch folgende Merkmale bestimmt: - Zur Zeichenebene

Mehr

11. Geometrische Extremalprobleme I

11. Geometrische Extremalprobleme I 11. Geometrische Extremalprobleme I Die hier behandelten geometrischen Extremalprobleme beruhen auf der Dreiecksungleichung Satz 1. Sind A, B, C drei Punkte der euklidischen Ebene mit A B, dann ist (1)

Mehr

Oktaeder. Bernhard Möller. 22. Dezember 2010

Oktaeder. Bernhard Möller. 22. Dezember 2010 Oktaeder Bernhard Möller. Dezember 00 Ein Oktaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen Oberfläche aus acht kongruenten, gleichseitigen Dreiecken besteht. Jedes Oktaeder kann einem Würfel so einbeschrieben

Mehr

Serie 6: Lösungen Wir erinnern uns daran, dass für die Anzahl Elemente konvexer Polyeder die folgenden dualen Beziehungen gelten: e j, f =

Serie 6: Lösungen Wir erinnern uns daran, dass für die Anzahl Elemente konvexer Polyeder die folgenden dualen Beziehungen gelten: e j, f = Serie 6: Lösungen Wir erinnern uns daran, dass für die Anzahl Elemente konvexer Polyeder die folgenden dualen Beziehungen gelten: e = e j, f = j=3 j e j = 2k = j=3 f j (1) j=3 j f j (2) j=3 e k + f = 2

Mehr

Symmetrien. Transformationen. Affine und euklidische Räume

Symmetrien. Transformationen. Affine und euklidische Räume Symmetrien Transformationen Der Gruppenbegriff entwickelte sich aus dem Begriff der Transformationsgruppe. In dieser Form tauchen auch die meisten Gruppen in der Mathematik, Physik, Chemie, Kristallographie,

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

Vektorräume und lineare Abbildungen

Vektorräume und lineare Abbildungen Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten

Mehr

Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt.

Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Kapitel 3 Konvexität 3.1 Konvexe Mengen Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Definition 3.1 Konvexer Kegel. Eine Menge Ω R n heißt konvexer Kegel, wenn mit x

Mehr

Polyeder und Platonische Körper

Polyeder und Platonische Körper Polyeder und Platonische Körper Ausarbeitung zum 30.11.2016 Linus Leopold Boes Matrikelnummer: 2446248 Algorithmen für planare Graphen Institut für Informatik HHU Düsseldorf Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 7 11. Mai 2010 Kapitel 8. Vektoren Definition 76. Betrachten wir eine beliebige endliche Anzahl von Vektoren v 1, v 2,..., v m des R n, so können

Mehr

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau 312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

2 Die Dimension eines Vektorraums

2 Die Dimension eines Vektorraums 2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,

Mehr

σ-algebren, Definition des Maßraums

σ-algebren, Definition des Maßraums σ-algebren, Definition des Maßraums Ziel der Maßtheorie ist es, Teilmengen einer Grundmenge X auf sinnvolle Weise einen Inhalt zuzuordnen. Diese Zuordnung soll so beschaffen sein, dass dabei die intuitiven

Mehr

1 Linearkombinationen

1 Linearkombinationen Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch

Mehr

Basen von Schnitt und Summe berechnen

Basen von Schnitt und Summe berechnen Basen von Schnitt und Summe berechnen 1 / 8 Voraussetzung Es seien U 1, U 2 Untervektorräume von K n. Wir wollen Basen des Schnittes U 1 U 2 und der Summe bestimmen. U 1 + U 2 2 / 8 Bezeichnung Der Einfachheit

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr

Reguläre Polyeder und ihre Symmetriegruppen. Teilnehmer: Gruppenleiter: Humboldt-Universität zu Berlin

Reguläre Polyeder und ihre Symmetriegruppen. Teilnehmer: Gruppenleiter: Humboldt-Universität zu Berlin Reguläre Polyeder und ihre Symmetriegruppen Teilnehmer: Anna Bobenko Aymara Fehéri Mehdi Hassan Hamzé Pascal Gussmann Tuyen Vu Xuan Herder-Oberschule Heinrich-Hertz-Oberschule Herder-Oberschule Heinrich-Hertz-Oberschule

Mehr

16. Platonische Körper kombinatorisch

16. Platonische Körper kombinatorisch 16. Platonische Körper kombinatorisch Ein Würfel zeigt uns, daß es Polyeder gibt, wo in jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenlaufen, und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird. Das Tetraeder

Mehr

Konvexe Mengen und konvexe Funktionen

Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Teilnehmer: Moritz Butz Franziska Ihlefeldt Johannes Jendersie Marie Lambert Eike Müller Gregor Pasemann Konstantin Rohde Herder-Gymnasium Herder-Gymnasium Georg-Forster-Gymnasium

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Kapitel 2 Analytische Geometrie 21 Vektoren Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d h die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,, a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen

Mehr

Triangulierungen von Punktmengen und Polyedern

Triangulierungen von Punktmengen und Polyedern Triangulierungen von Punktmengen und Polyedern Vorlesung im Sommersemester 2000 Technische Universität Berlin Jörg Rambau 21.06.2000 Flipdefizit 10 In diesem Kapitel starten wir die Untersuchung von Triangulierungen,

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Vektoren in der Ebene Zwei Punkten P, Q in der Ebene

Mehr

Grundlagen der Mathematik 1

Grundlagen der Mathematik 1 Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch WS 2010/2011 14. Januar 2011 Geometrie mit Übungen Übungsblatt 9, Musterlösungen Aufgabe 33. Es werden Kreise in der Euklidischen

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kopiervorlagen Geometrie (3) - Stereometrie

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kopiervorlagen Geometrie (3) - Stereometrie Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Kopiervorlagen Geometrie (3) - Stereometrie Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Inhaltsverzeichnis Stereometrie

Mehr

Skalarprodukt, Norm & Metrik

Skalarprodukt, Norm & Metrik Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1

Mehr

Flächeninhalt, Volumen und Integral

Flächeninhalt, Volumen und Integral Flächeninhalt, Volumen und Integral Prof. Herbert Koch Mathematisches Institut - Universität Bonn Schülerwoche 211 Hausdorff Center for Mathematics Donnerstag, der 8. September 211 Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen [ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen

Mehr

Lineare Abbildungen - I

Lineare Abbildungen - I Lineare Abbildungen - I Definition. Seien V und W K-Vektorräume (über demselben K). Eine Abbildung F : V W heißt K-linear, wenn L1) F (v + w) = F (v) + F (w) v, w V L2) F (λv) = λf (v) v V, λ K. Somit

Mehr

6.2 Basen. Wintersemester 2013/2014. Definition Seien V ein K-Vektorraum, n N 0 und v 1,..., v n V. (a) Man nennt

6.2 Basen. Wintersemester 2013/2014. Definition Seien V ein K-Vektorraum, n N 0 und v 1,..., v n V. (a) Man nennt Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 213/214 Markus Schweighofer Lineare Algebra I 6.2 Basen Definition 6.2.1. Seien V ein K-Vektorraum, n N und v 1,..., v n V. (a)

Mehr

Über die regelmäßigen Platonischen Körper

Über die regelmäßigen Platonischen Körper Hermann König, Mathematisches Seminar Studieninformationstage an der Universität Kiel Über die regelmäßigen Platonischen Körper Winkelsumme im n-eck Zerlegung eines ebenen n-ecks in (n-2) Dreiecke, oben

Mehr

3 Das n-dimensionale Integral

3 Das n-dimensionale Integral 3 Das n-dimensionale Integral Ziel: Wir wollen die Integrationstheorie für f : D R n R entwickeln. Wir wollen den Inhalt (beziehungsweise das Maß ) M einer Punktmenge des R n definieren für eine möglichst

Mehr

3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen

3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen 3.5. DUALE VEKTORRÄUME UND ABBILDUNGEN 103 3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen Wir wollen im Folgenden auch geometrische Zusammenhänge mathematisch beschreiben und beginnen deshalb jetzt mit der Einführung

Mehr

1 2. Körpererweiterungen

1 2. Körpererweiterungen 1 2. Körpererweiterungen 1 2. 1. Definition: Sind K, L Körper und i: K L ein Ringhomomorphismus, so ist i injektiv, wir fassen K vermöge i als Unterkörper von L auf, schreiben dafür L K und nennen L eine

Mehr

4. Vektorräume und Gleichungssysteme

4. Vektorräume und Gleichungssysteme technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume

Mehr

Anhang A. Etwas affine Geometrie. A.1 Die affine Hülle

Anhang A. Etwas affine Geometrie. A.1 Die affine Hülle Anhang A Etwas affine Geometrie In diesem Anhang stellen wir die wichtigsten Grundbegriffe aus der affinen Geometrie zusammen, soweit sie eben für uns von Nutzen sind. Für weiterführende Ergebnisse sei

Mehr

5. Äquivalenzrelationen

5. Äquivalenzrelationen 5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum,

In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum, 2 Vektorräume In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa Unterraum, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.

Mehr

Stereometrie. Rainer Hauser. Dezember 2010

Stereometrie. Rainer Hauser. Dezember 2010 Stereometrie Rainer Hauser Dezember 2010 1 Einleitung 1.1 Beziehungen im Raum Im dreidimensionalen Euklid schen Raum sind Punkte nulldimensionale, Geraden eindimensionale und Ebenen zweidimensionale Unterräume.

Mehr

9 Vektorräume mit Skalarprodukt

9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden

Mehr

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II Fachbereich Mahemaik Prof. J. Bokowski Dennis Frisch, Nicole Nowak Sommersemeser 27 5., 8. und 2. Mai 5. Übungsbla zur Linearen Algebra II Gruppenübung Aufgabe G (Hüllen) In dieser Aufgabe soll es darum

Mehr

3.2 Unabhängigkeitsstrukturen

3.2 Unabhängigkeitsstrukturen 80 3.2 Unabhängigkeitsstrukturen Unser Ziel ist der Nachweis, daß in Vektorräumen, also in Moduln über Körpern, Basen existieren und zwei endliche Basen gegebenenfalls von derselben Ordnung sind. (Basen

Mehr

2 Euklidische Vektorräume

2 Euklidische Vektorräume Sei V ein R Vektorraum. 2 Euklidische Vektorräume Definition: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung σ : V V R, (v, w) σ(v, w) mit folgenden Eigenschaften ( Axiome des Skalarprodukts) (SP1) σ ist bilinear,

Mehr

Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla

Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla Sätze über Konvexität von Kapitel 4.7 bis 4.10 Theorem 4.7-1. Sei U ein konvexer Unterraum eines normierten Vektorraums. Dann

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

Vektorräume. Kapitel Definition und Beispiele

Vektorräume. Kapitel Definition und Beispiele Kapitel 3 Vektorräume 3.1 Definition und Beispiele Sei (V,,0) eine abelsche Gruppe, und sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. Beachten Sie, dass V und K zunächst nichts miteinander zu tun haben, deshalb sollte

Mehr

Übungen zur Linearen Algebra 1

Übungen zur Linearen Algebra 1 Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem

Mehr

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω 5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 28. November 2011 Definition Beispiel: Wassermengen und Konzentrationen in einem Fluss Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Anhang

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

4.3 Affine Punkträume

4.3 Affine Punkträume 4.3. AFFINE PUNKTRÄUME 185 4.3 Affine Punkträume Es wird jetzt der Übergang von der linearen Algebra zur analytischen Geometrie beschrieben. 4.3.1 Definition (affiner Punktraum) Sei V ein K-Vektorraum,

Mehr

3.1 Polytope und polyedrische Mengen

3.1 Polytope und polyedrische Mengen Diskrete Geoetrie (Version 3) 12. Dezeber 2011 c Rudolf Scharlau 203 3.1 Polytope und polyedrische Mengen In diese Kapitel bezeichnet E ier einen endlich-diensionalen reellen Vektorrau. Die folgende Definition

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung In der linearen

Mehr

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen. 1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben von Prof. Dr. Karl Bosch 14., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mengenlehre 1 1.1

Mehr

Proseminar: Konvexe Mengen

Proseminar: Konvexe Mengen Proseminar: Konvexe Mengen Varianten vom Satz von Kirchberger Trennung von Mengen mit einer Kugeloberfläche Trennung von Mengen mit Zylindern Jens Siewert Vortrag vom 14.12.04 und 04.01.05 1 Varianten

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Schrägbilder von Körpern Quader

Schrägbilder von Körpern Quader Schrägbilder von Körpern Quader Vervollständige die Zeichnung jeweils zum Schrägbild eines Quaders. Bezeichne die für die Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts notwendigen Seiten und bestimme

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

F B. Abbildung 2.1: Dreieck mit Transversalen

F B. Abbildung 2.1: Dreieck mit Transversalen 2 DS DREIECK 16 2 Das Dreieck 2.1 Ein einheitliches Beweisprinzip Def. Eine Gerade, die jede Trägergerade der Seiten eines Dreiecks (in genau einem Punkt) schneidet, heißt Transversale des Dreiecks. Eine

Mehr

Summen und direkte Summen

Summen und direkte Summen Summen und direkte Summen Sei V ein K-Vektorraum. Wie früher erwähnt, ist für beliebige Teilmengen M, N V die Teilmenge M +N V wie folgt definiert M +N = {v+w : v M, w N}. Man sieht leicht, dass i.a. M

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Die Dimension eines Vektorraumes

Die Dimension eines Vektorraumes Die Dimension eines Vektorraumes Ist (b 1, b 2,..., b n ) eine Basis des Vektorraums V, so heißt n die Dimension von V. Die Möglichkeit dieser Definition beruht auf dem folgenden nichttrivialen Satz. Je

Mehr

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.) 3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent.

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent. Definition der Basis Def. Es sei (V,+, ) ein nichttrivialer Vektorraum. Die Menge A V heißt eine Basis-Menge, falls sie (a) linear unabhängig ist und (b) span(a) = V. Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen

Mehr