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1 Serie 6: Lösungen Wir erinnern uns daran, dass für die Anzahl Elemente konvexer Polyeder die folgenden dualen Beziehungen gelten: e = e j, f = j=3 j e j = 2k = j=3 f j (1) j=3 j f j (2) j=3 e k + f = 2 (3) 1. Wie besprochen werden die regulären Polyeder seit Schläfli durch die Symbole {m, n} charakterisiert, wobei n die Anzahl Ecken einer Seitenfläche bezeichnet und m die Anzahl Kanten bezeichnet, die in einer Ecke zusammentreffen. Dadurch sind die Anzahl Elemente des betreffenden Polyeders bestimmt und sollen nun berechnet werden. Auf Grund der Eigenschaft (2) und der Definition (1) gelten wegen der Regularität des Polyeders die dualen Eigenschaften m e = 2k = n f Daraus erhält man durch Auflösen die Beziehungen e = 2k m, f = 2k n Setz man nun diese beiden Ausdrücke in die Eule sche Formel (3) ein, erhält e k + f = 2k m k + 2k n = 2 Nun muss die zweite Gleichung noch nach k aufgelöst werden. Multiplikation mit m n liefert und daher 2k n k m n + 2k m = (2n m n + 2m)k = 2m n k = 2mn 2m + 2n m n Setzen wir nun diesen Wert oben ein, erhalten wir für die Anzahl der restlichen Elmente e = 4n 2m + 2n m n, f = 4m 2m + 2n m n Man beachte, die Symmetrie der gefundenen Formeln. Sie ist eine Folge der Dualität.

2 Einsetzen der fünf möglichen Paare liefert die bekannten Werte: m n e k f Name Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Tetraeder, Oktaeder und Hexaeder kennen wir das letzte auch als Würfel. Die zwölf Ecken des Ikosaeders mit dem Zentrum im Ursprung können durch die Koordinaten (0, ±1, ±Φ), (±1, ±Φ, 0), (±Φ, 0, ±1) beschrieben werden. Dabei bezeichnet Φ = den goldenen Schnitt. Für diese irrationale Zahl gilt definitionsgemäss Φ = Φ. Deshalb erfüllt sie die quadratische Gleichung Φ 2 Φ 1 = 0. Sie liefern je die Ecken von drei orthogonalen, goldenen Rechtecken, die kongruent zueinander sind. Weil das Ikosaeder dual zum in einer früheren Übung angetroffenen Dodekaeder ist, haben diese beiden regulären Polyeder die selben Symmetriegruppe Symm(I) mit 120 Elementen:

3 (a) Sechs fünfzählige Drehachsen durch gegenüberliegende Ecken. (b) Zehn dreizählige Drehachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seitenflächen. (c) Fünfzehn zweizählige Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten. (d) Fünfzehn Symmetrieebenen durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten. Die Untergruppe der orientierungserhaltenden Drehungen Symm + (I) ist isomorph zur kleinsten einfachen Gruppe A 5. Wegen der vorhandenen fünfzähligen Symmetrie ist die Symmetrie des Ikosaeders nicht mit einer periodischen Gitterstruktur verträglich. Deshalb kann es keine Kristalle mit Ikosaedersymmetrie geben. Die Capside vieler Viren haben Ikosaedersymmetrie. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren ihre Nukleinsäure optimal verpacken. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht günstig, weil das Ikosaeder von allen regelmässigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das grösste Volumen besitzt. 2. Auf Grund der vorhandenen chemischen Bindungen ist jede Ecke eines Fullerens dreizählig und daher gilt e = e 3. Damit liefert die eine Hälfte der Eigenschaft (2) die Beziehung 3e = 2k Weil ein solches Polyeder aus lauter Fünf- und Sechsecken bestehen soll, gilt ferner f = f 5 + f 6 Damit liefert die duale Eigenschaft (2) die Beziehung 5f 5 + 6f 6 = 2k Um ganzzahlig rechnen zu könen, multiplizieren wir die Euler sche Beziehung (3) mit 6 und setzen die gefundenen Beziehungen ein. Dabei erhalten wir die folgende Bedingung für k: 6e 6k + 6f = 4k 6k + 6f 5 + 6f 6 = 12 Subtrahiert man davon die vorangehende Gleichung, erhält man 4k 6k + f 5 = 12 2k und daraus die behauptete Bedingung f 5 = 12.

4 Für die Anzahl Sechsecke muss damit gelten. 6f 6 = 2k 60 Damit diese Zahl positiv ist, muss 2k 60 0 d.h k 30 sein. Der kleinste mögliche Wert für f 6 = 0 liefert k = 30 und damit e = 20 und wird vom Dodekaeder realisiert. Damit das entstehende Fulleren chemisch möglichst stabil ist, sollten die 5-Ecke nicht aneinander grenzen, sondern von 6-Ecken umgeben sein. Das kleinste Fulleren mit dieser Eigenschaft besteht neben den f 5 = 12 regulären Fünfecken aus f 6 = 20 regulären Secksecken als Seitenflächen. Es hat also k = 90 Kanten und e = 60 Ecken und kann als Ikosaederstumpf realisiert werden und hat deshalb die Ikosaedersymmetrien. Seine Ecken können durch die Koordinaten auf den orthogonalen Rechtecken (0, ±1, ±3Φ), (±1, ±3Φ, 0), (±1, ±3Φ, 0, ±1) auf den orthogonalen Quadern (±2, ±(1 + 2Φ), ±Φ), (±(1 + 2Φ), ±Φ, ±2), (±Φ, ±2, ±(1 + 2Φ)) und auf den orthogonalen Quadern (±1, ±(2 + Φ), ±2Φ), (±(2 + Φ), ±2Φ, ±1), (±2Φ, ±1, ±(2 + Φ)) beschrieben werden. Dabei bezeichnet Φ = wiederum den goldenen Schnitt. Dieses Polyeder hat die selbe Struktur wie

5 der europäische Fussball. Es liefert das am besten erforschte Fulleren C 60 und wird im Labor beispielsweise dadurch hergestellt, dass man mit einem Lichtbogen in einer Helium-Atmosphäre Graphit verdampft. 3. Weil alle Seitenflächen des fraglichen Polyeders Rhomben sind, so gilt f = f 4. Weil ferner das Polyeder nur Ecken der Ordnung drei oder fünf besitzt, gilt e = e 3 + e 5. Auf Grund der Beziehung (2) gilt damit für die Anzahl Kanten 4f 4 = 2k, 4f = 2k, 2f = k Die Anzahl der spitzen Flächenwinkel kann man auf zwei Arten zählen und erhält 5e 5 = 2f Analoges gilt für die stupfen Flächenwinkelt und man erhält 3e 3 = 2f

6 Damit erhalten wir für die Anzahl Ecken des Polyeders e = e 3 + e 5 = 2f 3 + 2f 5 Damit haben wir die Anzahl Elemente mit f allein ausgedrückt und die Beziehung (3) liefert die lineare Bedingung e k + f = 2f 3 + 2f 5 2f + f = 2 aus der wir sofort die eindeutige Lösung f = 30 erhalten. Damit ergibt sich für die Anzahlen der restlichen Elemente e 3 = 2f 3 = 20, e 5 = 2f 5 = 12, k = 2f = 60. Dieses Polyeder kann als sogn. Rhombentriakontaeder realisiert werden, was auf Deutsch soviel wie Rhombendreissigflächner heisst. Dabei handelt es sich um ein konvexes Polyeder, das als Vereinigung der Durchdringung eines Doekaeders und eines Ikosaeders erhalten werden kann. Alternativ findet man dieses Polyeder, indem man gerade Pyramiden so auf ein Dodekaeder oder auf ein Ikosaeder aufsetzt, dass sich je zwei Seitenflächen zu einer einzigen ergänzen. Es stellt sich heraus, dass das Längenverhältnis der Diagonalen der Rhomben der goldene Schnitt ist. Um die Form der goldenen Rhomben zu bestimmen, gehen wir von einem Rhombus aus, dessen kürzere Diagonale die Länge e = 1 und dessen längere die Länge f = Φ hat. Daher gilt für den stumpfen Winkel β die Beziehung ( β ) tan = f 2 e = = Φ 2 und damit β Für den spitzen Winkel erhalten wir damit α = 180 β Diese Rhomben sind also nicht kongruent zu jenen des früher betrachteten Rhombendodekaeders.

7 4. Konvexe Polyeder liefern in vieler Hinsicht keine natürliche Theorie der kombinatorischen Raumformen. Eine Möglichkeit, um zu einer befriedigenderen Theorie zu gelangen besteht darin, dass man sich auf die einfachsten konvexen Polyeder beschränkt. Lässt man beispielsweise als Seitenflächen nicht beliebige n-ecke zu, sondern beschränkt sich auf die einfachsten solche mit einer minimalen Anzahl Ecken, d.h. auf 3-Ecke, erhält man die sogn. simplizialen Polyeder, die als Vorstufe der simplizialen Komplexe aufgefasst werden können. Dabei handelt es sich um geometrische Objekte, die aus Punkten, Strecken, Dreiecken etc. zusammengeklebt und als Verallgemeinerung der Graphen auf höhere Dimensionen aufgefasst werden können. Objekte dieser Art können auf rein kombinatorische Art beschrieben werden und mit ihnen lässt sich ein grosser Teil der algebraischen Topologie kombinatorisch entwickeln. Die konvexe Hülle einer Menge von k Punkten in R n in allgemeiner Lage 1 bildet ein simpliziales Polyeder. Allgemeinere Polyeder lassen sich durch simpliziale approximieren, indem man sie trianguliert. Dual dazu sind die einfachen Polyeder, bei denen jede Ecke in einer minimalen Anzahl Seitenflächen enthalten ist und daher die Ordnung 3 hat. Eine Menge von k generischen 2 Ungleichungen in R n beschreibt ein einfaches Polyeder, falls es beschränkt ist. (a) Unter den regulären Polyedern sind das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder simplizial. Weil das aber auch für die n-seitigen Doppelpyramiden (n 3) gilt, existieren unendlich viele simpliziale Polyeder. Für die Anzahl Elemente der erwähnten Beispiele gilt bekanntlich Name e k f Tetraeder Oktaeder Ikosaeder n-seitige Doppelpyramide n + 2 3n 2n (b) Weil für simpliziale Polyeder definitionsgemäss jede Seitenfläche an drei Kanten und umgekehrt jede Kante an zwei Seitenflächen stösst, gilt für sie 3f = 2k. Daraus folgt, dass einerseits die Anzahl Kanten k eines simplizialen Polyeders durch 3 teilbar sein muss. Andererseits muss deshalb die Anzahl f Seitenflächen eines solchen Poyeders gerade sein. Insbesondere kommt deshalb k = 16 für ein simpliziales Polyeder nicht in Frage. Falls die Kantenzahl k jedoch durch 3 teilbar ist, kann k als simpliziales Polyeder nämlich als Doppelpyramide realisiert werden. 1 D.h. keine n von ihnen liegen in einer gemeinsamen Hyperebene. 2 D.h. kein Ecke erfüllt mehr als n von ihnen als Gleichheit. Die zugehörigen Hyperebenen sind in allgemeiner Lage.

8 Insbesondere können die Kantenzahlen k = 12 und k = 24 so realisiert werden. (c) Ein Spezialfall simplizialer Polyeder sind die konvexen Deltaeder, deren Seitenflächen aus lauter (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken besteht. Die Aufgabe suggeriert, dass es nur wenige solche Polyeder gibt. In der Tat gehören auf obiger Liste simplizialer Polyeder unter den regulären Polyedern nur das Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder zu den Deltaedern. Damit eine n-seitige Bipyramide ein Deltaeder ist, muss 3 n 5, weil 6 gleichseitige Dreiecke eine ebene Eckenfigur ergeben. Neben dem Oktaeder für n = 4 kommen also nur noch die Werte n = 3 und n = 5 in Frage. Die dann entstehenden Deltaeder heissen entsprechend triangulare Bipyramide und pentagonale Bipyramide und können dadurch konstruiert werden, dass man ein Tetraeder bzw. eine fünfeckige Pyramide an ihrer Grundfläche spiegelt. Diese beiden Polyeder sind nicht regulär und zeigen, dass man reguläre Polyeder nicht einfach dadurch definieren darf, dass man verlangt, dass alle Seitenflächen reguläre Polygone der selben Sorte sind, wie das Euklid seinerzeit gemacht hat 3. Zur korrekten Definition eines regulären Polyeders ist also mehr erforderlich nämlich dass nicht nur alle Seitenflächen, sondern dass auch alle Ecken gleich aussehen! Die Aufgabe behauptet also neben der Einschränkung für simpliziale Polyeder 3f = 2k und dem zugehörigen Umstand, dass die Anzahl Seitenflächen gerade sein muss, für Deltaeder weitere Einschränkungen. Weil die Dreiecke sogar gleichseitig sind, können in jeder Ecke nicht mehr als 5 gleichseitige Dreiecke zusammentreffen. Daher lautet die Beziehung (1) hier und wegen der Beziehung (2) gilt e = e 3 + e 4 + e 5 3e 3 + 4e 4 + 5e 5 = 2k Damit gilt also für Deltaeder zusätzlich die Abschätzung 3f = 2k = 3e 3 + 4e 4 + 5e 5 5e 3 + 5e 4 + 5e 5 = 5e Damit liefert die Eulersche Beziehung (3) nach Multiplikation mit 10 in der Tat 20 = 10e 10k + 10f 6f 15f + 10f = f 3 Ein konvexes Poyeder heisst Johnson-Polyeder, falls es aus lauter regulären Polygonen zusammengebaut werden kann. Nach einer nicht ganz einfachen Arbeit von Zalgaller aus dem Jahr 1969 gibt es genau 92 solche Polyeder und die meisten können aus einfacheren zusammengebaut werden.

9 wie behauptet wurde. Diese Bedingung hat aber für die Anzahl Kanten und Ecken sofort die Bedingungen k 30, e 12 zur Folge. Daher muss also das Ikosaeder das grösste Deltaeder sein. Selbstverständlich muss andererseits für die Anzahl Seitenflächen eines Deltaeders f 4 sein, so dass also für diese Anzahl nur die ganzen Zahlen aus der endlichen Liste 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 in Frage kommen. Anschaulich kann man alle Deltaeder zu konstruieren versuchen, indem man ausgehend von einem gleichseitigen Dreieck jedem bereits konstruierten Deltaeder durch Hinzufügen einer weiteren Ecke und drei Kanten ein neues zu erhalten. Dieses Konstruktionsschema wird einmal durchbrochen. Es zeigt sich nämlich, dass kein Deltaeder mit f = 18 und damit mit e = 11 und k = 27 existiert 4! Insgesamt gibt es nach einer Arbeit von Freudenthal und van der Waerden aus dem Jahr 1947 genau die 8 konvexen Deltaeder der folgenden Liste: Name e k f Tetraeder triangulare Bipyramide Oktaeder pentagonale Bipyramide Trigondodekaeder dreifach gekapptes Prisma zweifach gekapptes Antiprisma Ikosaeder Die Deltaeder zu den Flächenzahlen f = 4, 6, 8, 10, 20 haben wir bereits konstruiert. Das dreifach gekappte Prisma (f = 14) konstruiert man, indem man von einem dreieckigen Prisma ausgeht, das also aus zwei parallelen gleichseitigen Dreiecken besteht und dessen Seitenflächen drei Quadrate sind. Auf diese drei Quadrate wird dann je eine quadratische Pyramide aufgesetzt. Das zweifach gekappte Antiprisma (f = 16) konstruiert man, indem man von einem quadratischen Antiprisma ausgeht, das also aus zwei parallelen Quadraten besteht, die gegeneinander um 45 verdreht sind. 4 Ein solches Deltaeder müsste aus einem Ikosaeder entstehen, indem man zwei benachbarte Dreiecke entfernt und das entstehende Loch schliesst. Dabei entsteht jedoch eine Ecke, in der sich sechs Dreiecke treffen würden, was nicht zu einem konvexen Polyeder führen kann.

10 Die Verbindungsstücke dieser beiden Quadrate sind acht gleichseitige Dreiecke, deren eine Seite eine Quadratseite und deren Spitze eine gegenüberliegende Quadratecke ist. Schliesslich wird auf die beiden Quadrate am Boden und am Deckel dieses Antiprismas je eine quadratische Pyramide aufgesetzt. Die anspruchsvollste Konstruktion hat das Trigondodekaeder (f = 12), weil man dazu nicht von einem einfacheren Polyeder ausgehen kann. Am besten geht man von einer pentagonalen Bipyramide aus, öffnet dann an einer Ecke die Doppelpyramide wie eine Auster und baut drei Kanten ein. Der Körper muss neu ausgerichtet werden, damit zwei neue Dreiecke Platz haben und alle Dreiecke aussen gleichseitig werden. Spätestens hier unterstützt ein Modell die Anschauung. Um die Koordinaten der Ecken zu bestimmen, hat man beispielsweise das quadratische Gleichungssystem ( 1 2 )2 + x 2 + z1 2 = 1 (x 1 2 )2 + (z 3 z 1 ) 2 = 1 ( 1 2 )2 + x 2 + (z 3 z 2 ) 2 = 1 x 2 + x 2 + (z 2 z 1 ) 2 = 1 zu lösen. Seine Lösung erfordert die Lösung der kubischen Gleichungen 2x 3 3x 2 2x + 2 = 0 32z z4 1 22z2 1 1 = 0 16z z4 2 15z2 2 8 = 0 2z 6 3 z4 3 8z2 3 4 = 0 Weil das erste dieser Polynome keine rationale Nullstelle hat, ist es irreduzibel über Q und daher kann x und damit dieses Polyeder nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Dabei benutzt man folgendes fundamentales Resultat aus der Galoistheorie: Satz. Eine reelle Zahl x ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Galoisgruppe ihres Minimalpolynoms eine Zweierpotenz als Anzahl Elemente (Ordnung) hat.

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