Modulprüfung 2009 Klasse M+E p / M+E 1p. Mathematik: Lin Alg. + Geom.

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1 Modulprüfung 2009 Klasse M+E p / M+E p Mathematik: Lin Alg. + Geom. Zeit: 20 Minuten Teil : 30 Minuten, dann Abgabe Teil 2: 90 Minuten WIR-2009 / 24 / Burgdorf / E022 Mo /

2 2 Bedingungen: Alle Probleme sind selbständig zu lösen. Unehrenhaftes Verhalten hat einen sofortigen Ausschluss von der Prüfung zur Folge. Für die Schrift ist dokumentechtes Schreibgerät zu verwenden. Bleistift wird nur bei allfälligen Zeichnungen und Skizzen akzeptiert. Es wird eine saubere und klare Darstellung des Lösungsweges mit Angabe von Ideen und Zwischenresultaten verlangt. Resultate ohne Herleitung werden nicht akzeptiert. Bei Verwendung von Dezimalbrüchen darf die Abweichung der Schlussresultate vom exakten Resultat nicht mehr als 0.% betragen. Physikalische Einheiten dürfen generell weggelassen werden, sofern nicht anders vermerkt. Resultate sind doppelt zu unterstreichen. Ungültige Teile sind sauber durchzustreichen. Pro Aufgabe ist wenn möglich ein neues Blatt zu verwenden. Die Rückseiten der Schreibblätter müssen leer bleiben. Sie werden vielleicht nicht korrigiert! Erlaubte Hilfsmittel: Kursunterlagen (Kurzfassung), Formelbücher, Taschenrechner, Schreibpapier und Schreibzeug. Punkte: Pro mit Aufgabe bezeichnetes Problem sind 2 Punkte möglich, wenn nicht anders vermerkt oder wenn weitere Angaben fehlen. Ziel: Wenn an einer vollen Prüfung mehr als 4 Aufgaben gegeben sind, können 4 Aufgaben ausgewählt werden, die dann gelöst werden sollten.

3 3 Berner Fachhochschule, Hochschule für Technik und Informatik, Fachbereich Elektrotechnik und Fachbereich Maschinenbau, Burgdorf, 26. Januar 2009 Modulprüfung in lin. Alg. + Geo M+E p / M+E p Teil : Ohne Hilfsmittel, Zeitrahmen 30 Minuten, dann Abgabe Viel Glück! Löse die nachfolgenden Kurzaufgaben. (Alle Teilaufgaben werden gleich bewertet.) Probl. Angaben: Gegeben sei A = 0, B = 2 2 2, b =, b 2 =, b 3 = 0 z = i, z 2 = 2 2 i, z 3 =2 4 i (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Zeige von Hand die Berechnung von det(a) Zeige von Hand die Berechnung von det(b) Wie oft kann das Volumen des durch A definierten Spats im Volumen des durch B definierten Spats eingefüllt werden? Zeige von Hand die Berechnung von A B Zeige von Hand die Berechnung von B A Man vermutet, dass A = u gilt. Überprüfe die Vermutung und berechne allenfalls u. Berechne von Hand A b Berechne von Hand A b 2

4 4 (i) (j) (k) (l) (m) Berechne von Hand A b 3 x Löse von Hand ((A B ) (A ) T ) x 2 = b x 3 Berechne exakt von Hand z 3 z 2 Berechne von Hand (z 2 ) 2 z 2 z 3 (n) (o) (p) (q) Skizziere die Lösungen von z 4 = z Was ist der MATLAB-Output für den folgenden Befehl? x=0:0.:pi;y=2*cos(x);plot(x,y) (Bitte Output so notieren, wie er auf dem Bildschirm erscheinen wird.) Was ist der MATLAB-Output für den folgenden Befehl? (0:4)*0+2 (Bitte Output so notieren, wie er auf dem Bildschirm erscheinen wird.) Was ist der MATLAB-Output für die folgende Befehlsequenz? u=[3,2,];v=[u,-u,u ] (Bitte Output so notieren, wie er auf dem Bildschirm erscheinen wird.) Beschreibe, was Matlab hier für eine Operation ausführt: matpro=v*v

5 5 Berner Fachhochschule, Hochschule für Technik und Informatik, Fachbereich Elektrotechnik und Fachbereich Maschinenbau, Burgdorf, 26. Januar 2009 Modulprüfung in lin. Alg. + Geo M+E / M+E p Teil 2: Zeitrahmen 90 Minuten Viel Glück! Löse die nachfolgenden Aufgaben. (Alle Teilaufgaben werden gleich bewertet.) Probl. 2 (5 Punkte) Gegeben ist eine Ebene Φ durch die Punkte P (, 2, ), P 2 (, 3, ) und P 3 (0,, 2). Zudem kennt man einen Punkt Q(, 0, 8). O ist der Urprung. (a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks OP Q (b) Berechne den Normalvektor auf Φ mit der Länge. (c) Von Q wird das Lot auf Φ gefällt. Berechne den Lotfusspunkt S auf Φ. (d) Bestimme den Abstand von Q zu Φ. (e) Q soll um die x Achse um ±30 0 in die Punkte U und U 2 gedreht werden. Berechne die neuen Abstände der beiden möglichen Punkte von Φ. Was ist zu sagen betreffend der Vergrösserung und der Verkleinerung der Distanzen bezüglich der neuen Lage? Probl. 3 (24 Punkte) Sei A = und B (a) Berechne A A. (b) Berechne B B. Was stellt man fest? (c) Berechne A B. Was stellt man fest? (d) Berechne B A. Was stellt man fest? (e) Berechne A A B B. (f) Seien x = {, 2, 3, 4, 5}, x 2 = {2, 3, 4, 5, 6}, x 3 = {3, 4, 5, 6, 7},... Berechne A x, A x 2, A x 3,... Zeigt sich hier ev. ein allgemeines Gesetz? (Anmerkung: Probiere allenfals jeweils auch für A x k T.) (g) A = A +2B. Berechne A, falls möglich. (h) Löse die Gleichung A A + A x = A + A, falls möglich. (Anmerkung: Probiere allenfalls mit X statt x.).

6 6 Probl. 4 (8 Punkte) (a) Gegeben ist die Gleichung z 4 = i i. Skizziere die Löungen in einem Diagramm in der Ebene C qualitativ. Zeichne zum Vergleich in die Skizze auch den Einheitskreis um den Ursprung ein. ii. Berechne die Lösungen: A. Exakt. B. Numerisch auf 4 Stellen hinter dem Komma genau. (Die 5. Stelle ist gerundet.) (b) Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion q(x) = 84 p(x), p(x)=x4 + x 3 + x 2 +3x 6 i. Berechne die Nullstellen von p(x). Hinweis: Man kann auch probieren. Was fällt auf? ii. Die Nullstellen markieren die Ecken einer geradlinig begrenzten Figur in der komplexen Ebene. Berechne den Inhalt dieser Figur. iii. Berechne die Partialbruchzerlegung von q(x) inr. 7 3(x +5) iv. Berechne eine möglichst einfache Form von f(x) =q(x) ( x x 2 +3 ). Probl. 5 Zusatzaufgabe (wenn alle andern Aufgaben gelöst sind) (8 Punkte) Denkaufgabe: Gegeben ist ein Würfel W, der sich in Normallage befindet. Das heisst, das Zentrum liegt im Ursprung und die Ecke E hat die Koordinaten (; ; ). Der Würfel ist in eine Kugel K eingeschrieben, deren Zentrum ebenfalls der Ursprung ist. (a) In K wird ein Oktaeder O eingeschrieben. Berechne das Volumenverhältnis vom Oktaeder O zum Würfel W. (b) der Kugel K wird ein Oktaeder O 2 umgeschrieben. Berechne jetzt ebenfalls das Volumenverhältnis vom Oktaeder O 2 zum Würfel W. ENDE

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