Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

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1 ufgben zu Keisen und Keisteilen Keisfläche: ( Rdius des Keises) Keisumfng: U Keisingfläche: ( ußen innen ) Keisusschnitt / Keissekto: Öffnungswinkel, b Keisbogen α bzw. b 60 α α b Keisbschnitt / Keissegment: Keisussc hnitt Deieck ufgbe : Die Räde eines Fhds hben einen Duchmesse von 80 cm. ) Wie viele Umdehungen mcht ds Rd uf einem km? Runde ds Egebnis uf gnze Umdehungen. b) D die Räde nicht genügend ufgepumpt sind, veinget sich de Duchmesse um cm. Wie viele Umdehungen bucht ds Rd jetzt po km? c) De Kilometezähle des Rdes ist uf die Rdgöße von 80 cm geeicht. Du bist nch dem Kilometezähle 0 km gefhen. Welche Stecke hst du wiklich zuückgelegt, wenn m Duchmesse de Räde duch schlechtes ufpumpen cm fehlen? d) Wie viele km müsstest du nch dem Kilometezähle fhen, um mit dem schlecht ufgepumpten Fhd ttsächlich 0 km zuückzulegen? ufgbe : Die Ede ht einen Rdius von etw 670 km. ) Wie lng ist de Äquto? b) Nimm n, de Äquto sei km lng. Es wid ein Seil um den Äquto gespnnt. Wi velängen ds Seil um m. Wie beit ist jetzt de bstnd zwischen Ede und Seil? ufgbe : Beim usstechen von unden Weihnchtsplätzchen mit einem Duchmesse von 6 cm kommt Nin uf die Idee, us dem Teig von solchen Plätzchen einen goßen unden Keks zu fomen. Welchen Duchmesse wid e hben, wenn mn dvon usgeht, dss de Teig gleich bleibend dick usgeollt wid? ufgbe : n einem lten Webstuhl sind zwei Räde mit den Duchmessen d 6cm und d 9 cm übe einen Ledeiemen miteinnde vebunden. Wie oft muss sich Rd dehen, dmit Rd eine volle Umdehung mcht?

2 ufgbe 5: De goße Zeige eine Uh ist cm, de kleine cm lng. Beechne die Wege beide Zeigespitzen nch Stunden. ufgbe 6: ) De Umfng eines keisunden Teiches betägt 50 m. Wie goß ist seine Fläche? b) Um den Teich füht ein m beite Weg. Bestimme seine Fläche. ufgbe 7: Beechne die fehlenden Gößen bei einem Keisusschnitt: ) b) c) d) α cm b 8cm 50 cm 00 cm² 50 cm² 50 cm² ufgbe 8: De goße Zeige eine Uh ist cm, de kleine cm lng. ) Welchen Gesmtweg hben die beiden Zeigespitzen nch Stunde zuückgelegt? b) Welche Gesmtfläche übesteichen dbei die Zeige? ufgbe 9: Zeige, dss die schffiete Fläche denselben Flächeninhlt besitzt wie ) ds echtwinklige Deieck. b) ds Qudt ufgbe 0: De Rdius des goßen Keises betägt 0 cm, de des kleinen cm. ) Wie goß ist die schffiete Fläche? b) Beechne den Umfng des gnz goßen Keises und den Gesmtumfng de beiden kleinen Keise und vegleiche sie.

3 ufgbe : Ds bgebildete Osteei besteht us Keisbögen mit den Mittelpunkten, B, C und M (M ist de Mittelpunkt de Stecke B ). Bestimme die Fläche de Figu in bhängigkeit von M. ufgbe : Beechne den Flächeninhlt und den Umfng de folgenden Figu in bhängigkeit von. Die Mittelpunkte de Keisbögen sind, B, C und D. ufgbe : Beechne den Flächeninhlt de punktieten Sichel in bhängigkeit von s.

4 ufgbe : In de Figu ist (B) die Keistngente m K in B. De Keis K mit Mittelpunkt beüht den Keis K in C. Fene ist MB 6 cm, B 8 cm. Die Länge des Bogens von B nch C betägt 5,56 cm.

5 Mustelösung ufgbe : ) Umfng des Rdes 80 5, cm,5 m 000m nzhl Umdehungen 98Umdehungen,5m b) Umfng des Rdes 78 5, 0 cm,50 m 000m nzhl Umdehungen 08 Umdehungen,50m c) Wenn de Kilometezähle 0 km nzeigt, ht ds Rd bei einem Umfng von 0000m 80 cm dnn 595, Umdehungen zuückgelegt.,5m Bei einem Duchmesse von 78 cm (Umfng gemäß b) von,50 m) ist die ttsächliche Stecke 595,, m, lso nu knpp 9 km lng. 0000m d) Um ttsächlich 0 km zu fhen, müsste ds Rd 6, 9 Umdehungen,50m zuücklegen, lut Kilometezähle wüde dmit eine Stecke von 6,9,5m 06,9m km zuückgelegt. ufgbe : ) De Äquto ist U 670km 00, 9 km lng. b) Bei eine Länge des Äqutos von 0.000km gilt fü den Eddius 0000 E E 666,977km. Die Velängeung des Seils um m bewikt, dss de Umfng des Seils U 0000,00 km betägt. 0000,00 De zugehöige Rdius des Seilkeises betägt S 666, 9788 km. De bstnd betägt S E 666, ,977 0, 00059km 5,9 cm. Hinweis: De bstnd wüde uch 5,9 cm betgen, wenn ds Seil nsttt um die Ede z.b. um einen Tischtennisbll gelegt wüde. Die Lösung ist estunlicheweise unbhängig vom gegebenen Rdius de Kugel. ufgbe : Die Fläche von solchen Plätzchen betägt 6 cm². De unde Keks ht somit genu diese Fläche: 6 6 cm De Keks hätte einen Rdius von 6 cm bzw. einen Duchmesse von d cm. ufgbe : Fü den Umfng de Räde gilt U 6 cm und U 5,5 9 cm. U Es gilt, 5. Somit muss Rd,5 Umdehungen mchen, dmit sich Rd einml U deht. 5

6 ufgbe 5: Weg kleine Zeige Umdehung, 57 cm. Weg goße Zeige Umdehungen 6, cm. ufgbe 6: 50 ) U 50m,87m Fläche, m². b) Die Wegfläche entspicht de Fläche eines Keisinges: ( ußen innen ) (5,87,87 ),5 m². ufgbe 7: α 60 5 ) b 8 80, cm α 60 80, 67,8 cm² α 90 b) 00, 57 cm α,57 90 b 5,5 cm α α c) 50 0 α 57, α 0 57, b 0 cm d) b cm. α α 50 0 α 86, ufgbe 8: ) Weg goße Zeige Umdehung 5, cm Weg kleine Zeige Umdehung, 57 cm. Gesmtweg 5, cm,57 cm 6,7 cm. b) Fläche goße Zeige 50, 7cm². Fläche kleine Zeige, 6cm². Gesmtfläche 50,7 cm²,6 cm² 5,6 cm². ufgbe 9: ) Fläche des echtwinkligen Deiecks: b Schffiete Fläche Fläche des Hlbkeises übe b Fläche des Hlbkeises übe - (Segmentteil übe b Segmentteil übe ) 6

7 Hlbkeis übe b b b 8 Hlbkeis übe 8 Segmentteil übe Segmentteil übe b Hlbkeisfläche übe c Deiecksfläche c b c b (*) 8 Mit dem Stz des Pythgos folgt c b us (*) folgt ( b ) b 8 Schffiete Fläche b ( ( b ) b) b Dmit ist die schffiete Fläche gleich goß wie ds echtwinklige Deieck. b) Die Seitenlänge des Qudts sei. Fläche des Qudts. Schffiete Fläche Hlbkeise Fläche goße Keis Qudtfläche De Rdius de Hlbkeise ist, de Rdius des goßen Keises entspicht de hlben Digonle des Qudts (us Fomelsmmlung ode mit Pythgos) Schffiete Fläche Dmit ist die schffiete Fläche genuso goß wie die des Qudts. ufgbe 0: ) De goße Keis besitzt den Duchmesse d 6cm und dmit den Rdius cm. Schffiete Fläche 0 88, 5 cm². b) Umfng goße Keis 6 cm Umfng de kleinen Keise 0 6 cm Die Umfänge sind gleich goß. ufgbe : Ds Osteei besteht us folgende Flächen: Hlbkeis mit Rdius echtwinkliges Deieck BC Fläche CE Fläche BCD Keisusschnitt CDE Hlbkeis mit Rdius : Rechtwinkliges Deieck BC: Die Hypotenuse besitzt die Länge Fü die Kthetenlänge x gilt: x x () x 7 B.

8 8 Deiecksfläche: Fläche CE Fläche BCD Keisusschnitt bzüglich Deiecksfläche 60 5 () Keisusschnitt CDE: De Rdius des usschnitts lutet C D CD ) ( ) ( Gesmtfläche ) ( ),5 (0,5 ufgbe : Die Fläche setzt sich zusmmen us: Hlbkeise gleichseitiges Deieck Segmente Hlbkeis 8 () Deieck (Fomelsmmlung) () Segment Gesmtfläche Umfng 7 ) (

9 ufgbe : Fläche de Sichel Fläche des echtwinkligen Deiecks Fläche des Hlbkeises - Fläche des Keisusschnittes Deieck s Es gilt B s (entwede übe Fomel de Digonle eines Qudtes ode mit Pythgos). De Hlbkeis besitzt den Rdius M s. Hlbkeis s s s Keisusschnitt 90 s s 60 Sichelfläche s s s s ufgbe : Mit dem Stz des Pythgos folgt: M cm. D de Rdius von K de Stecke MB 6 cm entspicht, gilt fü den Rdius von K C M 6 cm. α 5,56 60 Weitehin gilt: b 5,56 α α 5, 60 6 Mit Hilfe de Winkelsumme des Deiecks MB knn de Winkel β des Keisusschnitts DC emittelt weden: β , 6, 9. Deieck 6 8 cm² 5, usschnitt _ MBC 6 6,68 cm² 60 6,9 usschnitt _ MBC 5,5 cm². 60 Schffiete Fläche 6,68 5,5,7 cm². 9