Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

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1 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält der Sack 4 Geschenke für 4 Kinder, denen jeweils genau ein Geschenk zusteht. (a) Formulieren Sie einen geeignenten Wahrscheinlichkeitsraum. (b) Sei X die Anzahl der Kinder, die das richtige Geschenk bekommen. Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines der Kinder das richtige Geschenk erhält? (c) Wie groß ist für ein Kind die Wahrscheinlichkeit das richtige Geschenk zu bekommen, wenn es weiß, dass bereits k (k,, 3) der anderen Kinder das jeweils richtige Geschenk bekommen haben? (a) Setze als Grundmenge Ω S 4 die Menge aller Permutation der vierelementigen Menge {,, 3, 4}. Zum Beispiel steht (,, 3, 4) Ω für den Fall, dass das erste Kind das Geschenk des zweiten, das zweite Kind das Geschenk des ersten und die anderen beiden Kinder ihre eigenen Geschenke bekommen. Auf Ω betrachten wir die Gleichverteilung, Ω hat Elemente. (b) Zunächst bestimmt man durch zählen die Werte P(X 0) 9 P(X ) 8 P(X ) P(X 3) 0 P(X 4). Für die Verteilungsfunktion F X ergibt sich 0 < 0 Gezeichnet sieht das so aus: 9 0 < F X () 7 < 3 < 4 4.

2 F X () F X () 4 Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kind das richtige Geschenk bekommt ist gerade P(X 0) 9 groß. (c) Für ein Tupel (k, k, k 3, k 4 ) Ω fiieren wir zukünftig den vierten Eintrag k 4. Dass wir das richtige Geschenk haben möchten heißt also, dass k 4 4 gelten soll. Zunächst widmen wir uns dem Fall, dass k 3 Kinder vor uns bereits richtige Geschenke bekommen haben, dann bleibt nur noch ein Geschenk übrig und auch das muss an das richtige Kind gehen. Formal heißt das P ( k 4 4 k k k 3 3 ) P ( k k k 3 3 ) und damit P ( k 4 4 k k k 3 3 ) P( k 4 4 k k k 3 3 ) P ( k k k 3 3 ). Für den Fall k nehmen wir o. B. d. A. k und k an. Dann gilt P(k k ) und P(k 4 4 k k ). Somit folgt P(k 4 4 k k ). Für den Fall k sei wieder o. B. d. A. k. Dann ist P(k ) und P(k 4 4 k ). Somit ist P(k 4 4 k ) 3. Aufgabe. Ein Weihnachtsengel lässt versehentlich seinen 0cm langen Stab fallen. Dieser zerbricht zufällig gleichverteilt in zwei Teile. (a) Sei X die Länge der kürzeren Strecke. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion, die Dichtefunktion, den Erwartungswert und die Varianz von X. (b) Sei Y der Quotient kürzere durch längere Strecke. Was ist E(Y )?

3 (a) Die Länge der kürzeren Strecke ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, ]. Es ergibt sich also { f X () [0, ], 0 sonst 0 0 F X () 0, E(X) (0 + )/, Var(X) ( 0) / /. (b) Es ist Y X/(0 X) : g(x). Also ergibt sich E(Y ) E(g(X)) 0 g() d 0 0 d ln(0 ) Aufgabe 3. Beim Kauf einer Lichterkette mit 00 Lichtern hat man die Wahl zwischen zwei Herstellern. Bei Hersteller H sind die Lampen unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von H beträgt diese Wahrscheinlichkeit nur 0.%, dafür ist die Kette teurer. (a) Muss man sich die teure Kette leisten, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von 90möchte, dass alle Lampen funktionieren? (b) Man lässt eine faire Münze entscheiden, welchen Hersteller man wählt. Zuhause stellt man fest, dass keine der Lampen kaputt ist; von welchem Hersteller die Kette stammt, hat man allerdings schon wieder vergessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Lichterkette von Hersteller H? (a) Wir modellieren das Problem mit der Binomialvertielung X B(, 00, 00 ) und X B(, 00, 000 ). Dabei sei P(X k) B(k, 00, 00 ) die Wahrscheinlichkeit, dass beim billigem Hersteller k Ω 00 : 0,,..., 00 Lampen der Kette kaputt sind. Dann ist P(X 0) (99/00) und P(X 0) (999/000) Wir müssen also die teure Lichterkette kaufen. (b) Sei nun der Wahrscheinlichkeitsraum Ω {, } Ω 00 mit P({(, k)}) P(X k) und P({(, k)}) P(X k) gegeben. Dann ist das Ereignis die Kette ist vom billigen Hersteller H {(, k) k Ω 00 } und das Ereignis alle Lampen sind in Ordnung E {(, 0), (, 0)}. Es ist nun die Wahrscheinlichkeit P(H E) gesucht. 3

4 Diese ergibt sich durch P(H E) P(H E) P(E) P({(, 0)}) P({(, 0), (, 0)}) P(X 0) P(X 0) + P(X 0) ( ( 99 ) ) 00 + ( Es ist also zu 8.8% wahrscheinlich, dass die Lichterkette vom billigem Anbieter stammt. Aufgabe 4. Ein fairer Würfel wird so oft geworfen bis zum ersten mal eine erscheint. Dabei sei X die Anzahl der Würfe. (a) Was ist die im Mittel zu erwartende Anzahl der Würfe? Wie groß ist die Streuung um den Mittelwert? (b) Beweisen und interpretieren Sie die Gleichung ) 00 P(X > k + m X > k) P(X > m) k, m N 0 (c) Das Würfeleperiment wird wiederholt. Sei Y die Anzahl der Würfe beim zweiten Durchlauf. Was ist E(X + Y ) und Var(X + Y )? (a) X ist geometrisch verteilt. Das heißt es gilt P(X n) ( ) n. Wir wissen bereits, dass dann E(X) und Var(X) ( ) 30 gilt. Folglich ist die Streuung σ Var(X) 30. (b) Die Gleichung lässt sich als diskrete Gedächtnislosigkeit interpretieren. Wir zeigen zuerst P(X > k) ( ) k für alle k N0 : (wobei k 0 schon richtig ist) P(X > k) P(X k) k ( i ) i ) k ( ( ) k + ( ) k. 4

5 Es gilt also P(X > k + m X > k) P(X > k + m X > k) P(X > k) P(X > k + m) P(X > k) ( k+m ) ( k ) ( ) m P(X > m). (c) Für den Erwartungswert gilt E(X + Y ) E(X) + E(Y ) E(X). Wegen der Unabhängigkeit foglt für die Varianz analog Var(X + Y ) Var(X) + Var(Y ) Var(X) 0.

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