Inhalt Dynamik Dynamik, Kraftstoß Dynamik, Arbeit Dynamik, Leistung Kinetische Energie Potentielle Energie

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1 Inhalt Dynamik Dynamik, Kaftstoß Dynamik, beit Dynamik, Leistung Kinetische Enegie Potentielle Enegie Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 1

2 Liteatu M. lonso, E. J. Finn: Physik; ditte uflage, Oldenboug Velag, 000. Paul. Tiple: Physik fü Wissenschaftle und Ingenieue; sechste uflage, Spinge Spektum Velag, 009. Heing, Matin, Stohe: Physik fü Ingenieue; Spinge Velag, 01. Wolfgang Demtöde: Expeimentalphysik 1, Mechanik und Wäme; sechste uflage, Spinge Velag, 013. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes;

3 Dynamik Die Dynamik befasst sich mit dem Einfluss von Wechselwikungen (Käften) auf eine ewegung. Isaac Newton ( ) schieb dazu die "Natualis, Pincipia Mathematica". nhand de Einfühung de Gavitationskaft beschieb e estmals die ewegungsgleichungen. Dies fühte zu escheibung de Infinitesimalechnung. Wi betachten ein Teilchen und eduzieen die Wechselwikung des Teilchens mit dem Rest des Univesums auf einen usduck, die Kaft F. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 3

4 Dynamik, Kaftstoß Wi betachten ein Teilchen und eduzieen die Wechselwikung des Teilchens mit dem Rest des Univesums auf einen usduck, die Kaft F. dp dt F Integation duchfühen p t p dp p0 t0 Fdt dp t p0 t0 Fdt p p 0 t t 0 Fdt I t t 0 Fdt Kaftstoß p p0 I Die Impulsändeung eines Teilchens ist gleich dem Kaftstoß I Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 4

5 Dynamik, Kaftstoß Ist die Kaft F konstant gilt: I t dt Ft 0 I F( t t0 ) Einheit [Ns] Eine stake Kaft in kuze Zeit kann genauso wiken wie eine schwächee Kaft die länge wikt. p p0 I v v0 I m mit d dt v d t 0 t0 v 0 + I m dt 0 + v 0 ( t t 0 ) + 1 m t t 0 Idt Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 5

6 Dynamik, Kaftstoß d t 0 t0 v 0 + I m dt 0 + v 0 ( t t 0 ) + 1 m t t 0 Idt In den meisten physikalischen zu lösenden ufgaben ist die Kaft F abhängig vom Ot und nicht als Funktion de Zeit gegeben. Um dieses Dilemma zu lösen, müssen noch egiffe wie beit und Enegie eingefüht weden. Mit diesen neuen egiffen beit und Enegie, befasst sich de nächste bsatz. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 6

7 Dynamik, Kaftstoß, eispiel Ein all fällt von eine Höhe h auf den oden. Nachdem e den oden eeicht, spingt e bis zu eine Höhe von h zuück. a) Zu bestimmen ist de Kaftstoß, den de all duch die Schwekaft efäht wähend e fällt. b) Zu bestimmen ist de Kaftstoß den de all efäht, wenn e auf dem oden auftifft. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 7

8 Dynamik, beit uf ein Teilchen wike eine Kaft F. Das Teilchen bewege sich entlang de Kuve C. Das Teilchen bewegt sich in de Zeit dt von nach '. d '. d F T ' θ C T Die beit die duch die Kaft F wähend de ewegung von nach ' geleistet wude ist: F dw F d us de Zeichnung geht hevo (mit ds als etag von d; und ds als zuückgelegte Entfenung): O dw Fds cosθ θ : Winkel zwischen F und d (Veschiebung). Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 8

9 Dynamik, beit F cosθ F T F T ist die Tangentialkomponente de Kaft F eispiele fü Käfte die keine beit leisten: F N, W C v Veschiebung F dw F T ds F N W Die beit ist das Podukt de Kaft längst de Veschiebung mit de Veschiebung selbe. Senkecht zu Veschiebung wid keine beit geleistet. Wenn die Kaft senkecht zu d steht, dann wid keine beit geleistet. eispiel fü Käfte die keine beit leisten: Zentipetalkaft, Schwekaft. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 9

10 Dynamik, beit Die geleistete beit dw fü eine infinitesimale Veschiebung: dw F d Die geleistete gesamte beit W wenn sich das Teilchen von nach bewegt, ist duch das Integal gegeben: W F d F T ds W F d1 + F d + F3 d F 1 d 3 d 4 d F 4 F 3 d F... Das Integal kann est gelöst weden, wenn F als Funktion von bekannt ist (F()). Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 10

11 Dynamik, beit Das ild zeigt F T als Funktion von de Entfenung s längst de Kuve. Die gesamte geleistete beit von nach ist duch die ddition de in schmalen Rechtecken unteteilten Flächen gegeben. Spezialfall fü die beit, wenn die Kaft konstant ist aus: F T dwf T ds W F d F T ds O W ds s W F ds Fs Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 11

12 Dynamik, Leistung In welche Zeit wid die beit geleistet? Die momentane Leistung P ist die beit wähend eines kleinen Zeitintevalls dt: P dw dt mit dw F d ewegung P d F dt F v s F Leistung P ist das Podukt von Kaft F mal Geschwindigkeit v. Mittlee Leistung P mit ist: W P mit t Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 1

13 Dynamik, beit, Leistung: Einheiten Einheiten de beit: [ W ] Nm J Joule ewegung F Ein Joule ist die beit, die von eine Kaft von einem Newton geleistet wid, wenn sich das Teilchen in Richtung de wikenden Kaft um einen Mete bewegt. s James Joule ( ) bitische Wissenschaftle, befasste sich mit den egiffen Wäme und Enegie. Zu Ehen von Joule, wude als Einheit de beit Joule gewählt. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 13

14 Dynamik, beit, Leistung: Einheiten Einheiten de Leistung: [ ] P W J s Watt ewegung F James Watt wa ein bitische Ingenieu ( ) de die Dampfmaschine vebesset hat. s Die Kilowattstunde beit die in eine Stunde von eine Maschine mit de Leistung von einem Kilowatt veichtet wid. 1 Kilowattstunde (10 3 W ) (3, s) 3, J Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 14

15 Dynamik, beit, Leistung: eispiele ewegung N F G α α G cosα G sinα Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 15

16 Dynamik, beit, Leistung: eispiele beit popotional zu Veschiebung F O F kx W kx x -kx O x X F kx Welche beit ist efodelich, um die Fede um eine Stecke x zu dehnen? Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 16

17 Dynamik: Kinetische Enegie Die geleistete beit dw fü eine infinitesimale Veschiebung. dv ds dw F T ds m ds m dv mvdv dt dt v v : : Geschwindigkeit des Teilchens bei Geschwindigkeit des Teilchens bei da v ds dt Das Integal fü die gesamte geleistete beit: W v FT ds v mvdv 1 mv 1 mv W ist die beit die am Teilchen geleistet wid. Sie ist die Diffeenz von (1/) mv gemessen am nfang und am Ende des Weges. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 17

18 Dynamik: Kinetische Enegie W ist die beit die am Teilchen geleistet wid. Sie ist die Diffeenz von (1/) mv gemessen am nfang und am Ende des Weges. Kinetische Enegie: E K 1 mv ode EK mit p mv p m W ist die beit die an einem Teilchen geleistet wid, sie ist die Ändeung seine kinetischen Enegie. W E K E, K, Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 18

19 Dynamik: Kinetische Enegie Das Egebnis ist unabhängig von de wikenden Kaft. Die egiffe von beit und Enegie sind wichtig, da seh oft in de Physik die wikende Kaft als Funktion des Otes bekannt ist. Einheiten de Enegie: Joule J, Elektonenvolt ev 1eV 1, J eispiel: eschleunigtes Elekton in eine Fensehöhe. Die Enegie des Elektons betägt 0000 ev. Wie goß ist die Geschwindigkeit des Elektons? Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 19

20 Dynamik: Kinetische Enegie eines Fede-Massesystems Quelle: Stöcke: Taschenbuch de Physik 1 mv x Fdx' ( kx' a x a )dx' 1 k( a x ) v ± ( k / m )( a x ) Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 0

21 Dynamik: beit eine konstanten wikenden Kaft Ein Teilchen mit Masse m bewegt sich unte Wikung de Kaft F. etag und Richtung von F seien konstant. Das Teilchen bewege sich von Punkt nach. W F d F d F ( ) m d Die beit W ist vom Weg unabhängig de und miteinande vebindet. W F F 0 F - () (1) Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 1

22 Dynamik: beit eine konstanten wikenden Kaft nwendung, Schwekaft als Kaft: W F F Y F mg u mg u x + u y y x y (x y ) - (x y ) y -y F mgy us de obeen eziehung fü W gilt dann: W mg( y y ) mgy mgy u y O u x mg X Die beit hängt nu von y - y zwischen den Höhen de beiden Endpunkte ab. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes;

23 Dynamik: beit eine konstanten wikenden Kaft: Potentielle Enegie Konsevative Käfte: Eine Kaft wid als konsevative Kaft bezeichnet, wenn sie vom Otsvekto des Teilchens so abhängt, dass die beit W, ausgedückt weden kann, als die Diffeenz de Göße E p (), gemessen an nfangs- und Endpunkt. W F d F d E p, E p, E p, (1) () (3) E p, Die potentielle Enegie, ist eine Funktion des Otes. Die Diffeenz zwischen ihen Weten am nfangspunkt () und am Endpunkt () ist gleich de beit, die von de Kaft F geleistet wid, wenn das Teilchen sich von nach bewegt, unabhängig vom duchlaufenden Weg. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 3

24 Dynamik: Unteschied zwischen potentielle Enegie und kinetische Enegie Kinetische Enegie: Die kinetische Enegie E k ist unabhängig vom Typ de wikenden Kaft. Potentielle Enegie: Die potentielle Enegie E p () ist von de Fom de Kaft F (Natu de Kaft) abhängig. Sie ist eine Funktion von. eispiel: E p F mgy E p Die Schwekaft ist eine konsevative Kaft, da sie die obige Definition efüllt. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 4

25 Dynamik: Potentielle Enegie Die beit eine konsevativen Kaft längs eines geschlossenen Weges ist Null. W geschlossen F d 0 Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 5

26 Dynamik: eziehung zwischen de Kaft und de potentiellen Enegie F d de p W F d F d de p ( E E ) E E p, p, p, p, Da de etag de Veschiebung d gleich ds, ist gilt fü F: F s dep Richtungsableitung von E p ds Man sagt: F ist de negative Wet des Gadienten von E p und scheibt: / x F gadep / y E p / z Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 6

27 Dynamik: eziehung zwischen de Kaft und de potentiellen Enegie Wenn die Kaft nu in eine Richtung zeigt, dann kann d duch d esetzt weden (Skala). Und es gilt dann fü die Komponente de Kaft F: F dep Richtungsableitung von E p d Die Kaft F hat keine tangentiale Komponente sonden nu eine Radiale. Ihe Richtung geht nach innen und zeigt zum Zentum hin. Diese Kaft wid Zentalkaft genannt. Ist die potentielle Enegie E p mit eine Zentalkaft vebunden, dann hängt die Enegie nu von dem bstand vom Zentum de Kaft ab. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 7

28 Dynamik: eziehung zwischen de Kaft und de potentiellen Enegie eispiel: Potentielle Enegie die mit folgenden Käften vebunden ist: F k F k E 1 k k kd k C Ep d C + p + Diese usduck wid bei de Schwingungsbewegung vewendet. Diese usduck wid bei de ewegung von Planetenbahnen vewendet. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 8

29 Dynamik: Ehaltung de Enegie Ist die wikende Kaft konsevativ so gilt: E k E p : : Kinetische Enegie Potentielle Enegie E k, E k, E p, E p, ( E + k + Ep ) ( Ek Ep ) Gesamtenegie des Teilchens 1 E Ek + Ep mv + E p Die Gesamtenegie des Teilchens bleibt konstant, wenn die wikenden Käfte konsevativ sind. Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 9

30 Dynamik: Ehaltung de Enegie Fü jede beliebige Position des Teilchens gilt (da und beliebig): E E Ek + Ep const 1 Ek + Ep mv + mgh const Unte den Einfluss von konsevativen Käften, bleibt die Gesamtenegie des Teilchens konstant. Diese Gleichung gilt auch fü Teilchen (Geschosse), die sich in einem Winkel mit de Hoizontalen bewegen. efand sich das Teilchen anfangs bei y 0 und wa die nfangsgeschwindigkeit v 0 0, dann gilt: 1 E mv + mgy0 mgy v g( y y ) gh 0 Höhe h Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 30

31 Dynamik: Ehaltung de Enegie eispiel: Geschwindigkeit eines Teilchens zum Eeichen eine bestimmten Höhe Quelle: lonso, Finn Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 31

32 Dynamik: Nichtkonsevative Käfte: eispiel Reibung Ein Teilchen kann sowohl gleichzeitig W' konsevative- und nichtkonsevative Käfte W unteliegen. Wenn zum eispiel ein Teilchen in eine Flüssigkeit fällt, wiken die Schwekaft (konsevative Kaft) und die flüssige Reibung (nichtkonsevative Kaft). : beit duch nichtkonsevative Käfte : beit duch konsevative Käfte W ( Ep, Ep, ) + W' Ek, Ek, ( Ep, Ep, ) + W' Die nichtkonsevative Kaft ist meistens ievesibel, da sie eine Molekülbewegung entspicht. Die beit kann nicht zuückgewonnen weden. ( E + Ep ) ( Ek + Ep ) k W' Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 3

33 Dynamik: eispiel fü mechanische beit : Elektisches Feld, kugelsymmetisches Feld Wenn man die Pobeladung q entlang eine Feldlinie von Punkt 1 zu Punkt veschiebt, dann leistet die elektische Feldkäfte E el an diesem Pobeköpe eine mechanische beit W F( )d q 1 1 E el ( )d d: adiales Wegelement +Q q 1 [W ] Vs E el ( )d V [ q ] s V [ E ] 1 m E, F Das Wegintegal von Punkt 1 zu Punkt liefet die elektische Spannung zwischen 1 und (ezugspfeil von 1 nach ) E ( )d 1 el U 1, Pof. D.-Ing. abaa Hippauf Hochschule fü Technik und Witschaft des Saalandes; 33