Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 9 3. Semester ARBEITSBLATT 9 TEXTAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN LEISTUNGSAUFGABEN

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1 ARBEITSBLATT 9 TEXTAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN LEISTUNGSAUFGABEN Beispiel: Wenn zwei Röhren gleichzeitig geöffnet sind, kann ein Wasserbecken in 40 Minuten gefüllt werden. Fließt das Wasser 20 Minuten nur durch die erste Röhre in das Becken ein und wird diese Röhre dann geschlossen, so muss das Wasser noch 80 Minuten durch die zweite Röhre zufließen, um das Becken zu füllen. Es ist zu berechnen, wie lange das Wasser durch jede Röhre allein zufließen müsste, um das Becken zu füllen. Lösung: Wir legen wieder die Variablen fest: Alleinige Fülldauer der 1. Röhre Alleinige Fülldauer der 2. Röhre ist also die Zeit, die man die 1. Röhre aufdrehen müsste, damit es ganz alleine das Becken füllt. Für gilt dies entsprechend. und müssen also beide positive Zahlen sein. Die Grundmenge lautet also: + + G = R R Nun überlegen wir uns Folgendes. Wenn die erste Röhre sagen wir 50 Minuten zum Füllen des Beckens braucht, wird pro Minute genau 50 1 des Beckens gefüllt. Allgemein gilt also, dass die erste Röhre pro Minute 1 1 des Beckens füllt, die zweite Röhre füllt pro Minute des Beckens. Ich stelle dies mittels einer Tabelle dar: Alleinige Fülldauer Relative Füllmenge pro Minute 1. Röhre 1 2. Röhre 1 So, nun können wir uns den Gleichungen widmen. Die erste Tetangabe gibt Folgendes an: Beim Öffnen beider Röhren wird das Becken laut Angabe in 40 Minuten gefüllt. Jede der beiden Röhren muss also 40 Minuten aufgedreht sein. In Minuten wird 40 = des Beckens mit dem Wasser aus der 1. Röhre 1

2 gefüllt. Das Wasser aus der 2. Röhre füllt = des Beckens. Dann ist 100 das Becken voll, es sind also = 1 des Beckens mit Wasser gefüllt. 100 Als Gleichung erhalten wir also: (Füllmenge 1.Röhre in 40min) + (Füllmenge 2. Röhre in 40min)=(Füllmenge des Beckens) Wir setzen unsere Ausdrücke ein und erhalten die erste Gleichung: I : + = 1 Für die zweite Gleichung haben wir folgende Angabe: Fließt das Wasser 20 Minuten nur durch die erste Röhre in das Becken ein und wird diese Röhre dann geschlossen, so muss das Wasser noch 80 Minuten durch die zweite Röhre zufließen, um das Becken zu füllen. 20 Die 1. Röhre ist nun 20 Minuten aufgedreht, sie füllt also des Beckens. 80 Die zweite Röhre ist 80 Minuten aufgedreht. Sie füllt in dieser Zeit des Beckens. Die zweite Gleichung lautet also: (Füllmenge 1.Röhre in 20min) + (Füllmenge 2. Röhre in 80min)=(Füllmenge des Beckens) Wir setzen unsere Ausdrücke ein: II : + = 1 Wir haben also folgendes Gleichungssstem erhalten: I : + = II : + = 1 Ich löse das Gleichungssstem mittels dem Eliminationsverfahrens: I : + = II : + = 1 / ( 2) I : + = 1 Wir addieren die beiden Gleichungen II : = = 1 / 120 = / ( 1) = 120 Zur Berechnung von setze ich in die erste Gleichung ein: + = 1 Ich kürze den zweiten Bruch = 1 / 3 3 2

3 40 2 = 3 / 2 40 = 3 / = 2 /: 2 = 60 Es müsste also die erste Röhre 60 Minuten oder aber die zweite Röhre 120 Minuten alleine geöffnet sein um das Becken zu füllen. Übung: Übungsblatt 9; Aufgaben BEWEGUNGSAUFGABEN Beispiel: Zwei Orte A und B sind 360 km voneinander entfernt. Startet ein PKW von A nach B und 1 Stunde später ein LKW von B nach A, so begegnen sie einander nach 2 Stunden Fahrt des LKW. Fährt der PKW von A in Richtung nach B und fährt der LKW 4h später von B aus in derselben Richtung wie der PKW, so überholt der PKW den LKW nach 6h Fahrt. Berechne a) die mittlere Geschwindigkeit des PKW in km/h, b) die mittlere Geschwindigkeit des LKW in km/h, c) in welcher Entfernung vom Ort A PKW und LKW einander begegnen, d) in welcher Entfernung von B der LKW vom PKW überholt wird. Lösung: Vorneweg sei zu den verschiedenen Fragestellungen gesagt: Sobald wir die Geschwindigkeit der Fahrzeuge ermittelt haben, lassen sich alle anderen Punkte leicht berechnen. Worauf wir also zunächst einmal abzielen ist die Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge. Für diese legen wir unsere Variablen fest: Geschwindigkeit PKW Geschwindigkeit LKW Da beide Werte wieder positiv sein müssen gilt für die Grundmenge: + + G = R R Nun befassen wir uns zunächst einmal mit der ersten Tetangabe: Zwei Orte A und B sind 360 km voneinander entfernt. Startet ein PKW von A nach B und 1 Stunde später ein LKW von B nach A, so begegnen sie einander nach 2 Stunden Fahrt des LKW. Wir stellen uns diesen Zusammenhang mittels einer Skizze dar: PKW LKW 3

4 A 360 km B Als Erstes legen wir gleich einmal den Gleichungsansatz fest: Wie wir an der Zeichnung hoffentlich erkennen, gilt für die erste Tetangabe, dass der zurückgelegte Weg des PKW s und der des LKW s zusammen die Strecke AB sein muss. Der Gleichungsansatz lautet also: (Weg PKW) + (Weg LKW) =360 km Nun müssen wir also zuerst die zurückgelegten Wegstrecken von PKW und LKW ermitteln. Dazu benötigen wir wieder den phsikalischen Zusammenhang Geschwindi gkeit = oder formal angeschrieben: s v = t Weg Zeit Sobald wir zwei Größen von diesen drei wissen, lässt sich die Dritte mittels dieses Zusammenhangs ausdrücken. Wir widmen unsere Überlegungen nun der Zeit: Laut Tet ist der LKW 2h bis zum Treffen unterwegs. Da der PKW 1h früher startet muss er folglich 3 Stunden unterwegs sein. Nun haben wir bereits zwei der drei Größen ausgedrückt. Ich stelle dies mittels einer Tabelle dar: Geschwindigkeit Zeit Weg PKW 3 LKW 2 s Den Weg s berechnen wir mittels unserer Formel v =. Ich forme diese t zunächst nach s um: s v = t / t s = v t Nun ergänzen wir unsere obige Tabelle, indem wir für PKW und LKW den Weg berechnen: Geschwindigkeit Zeit t Weg s = v t v PKW 3 3 LKW 2 2 Um den Zusammenhang deutlich zu machen, trage ich unsere Wegstrecken auf unserer Zeichnung ein: 3 PKW 4 2 LKW

5 A 360 km B Nun können wir in unseren Gleichungsansatz einsetzen und erhalten die erste Gleichung: (Weg PKW) + (Weg LKW) =360 km I : Für die zweite Gleichung betrachten wir die zweite Tetangabe: Fährt der PKW von A in Richtung nach B und fährt der LKW 4h später von B aus in derselben Richtung wie der PKW, so überholt der PKW den LKW nach 6h Fahrt. Wir stellen den Zusammenhang wieder mittels einer Skizze dar: PKW LKW A 360 km B Für den Gleichungsansatz betrachten wir wieder die zurückgelegten Wegstrecken. Zieht man von der Fahrstrecke des PKW s die Fahrstrecke des LKW s ab, so erhält man die Strecke AB. Der Gleichungsansatz lautet also: (Weg PKW) - (Weg LKW) Die benötigten Zeiten können wir wieder aus dem Tet ablesen. Der PKW ist 6h, der LKW 2h unterwegs. Damit lässt sich der Weg wieder mittels der Formel s = v t ausdrücken: Geschwindigkeit Zeit t Weg s = v t v PKW 6 6 LKW 2 2 Wir stellen den Zusammenhang wieder auf unserer Zeichnung dar: 6 PKW 2 LKW A 360 km B Wir erhalten also folgende zweite Gleichung: (Weg PKW) - (Weg LKW) II : 6 2 5

6 Folgendes Gleichungssstem ist nun zu lösen: I : II : 6 2 Ich wähle wieder das Eliminationsverfahren: I : Wir addieren die Gleichungen II : = 720 /: 9 = 80 Zur Berechnung von setze ich in die erste Gleichung ein: / = 120 = 60 Der PKW hat also eine Geschwindigkeit von 80km/h, der LKW 60km/h. Im Punkt c) ist nun gefragt, in welcher Entfernung von A sich PKW und LKW begegnen? Für die Lösung betrachten wir wieder unsere Zeichnung zur ersten Angabe des Tetes. Daraus ist ersichtlich, dass der PKW den Weg 3 bis zum Treffpunkt zurücklegen muss. Wir müssen also nur für entsprechend einsetzen: s = 3 = 3 80 = 240 Der Treffpunkt liegt 240 km von A entfernt. Im Punkt d ist gefragt, in welcher Entfernung von B der LKW vom PKW eingeholt wird. Wir blicken wieder auf unsere Zeichnung zur zweiten Tetangabe und erkennen, dass der LKW (dieser startet ja in B) den Weg 2 zurücklegen muss. Wir setzen wieder entsprechend ein: s = 2 = 2 60 = 120 Der LKW wird 120 km von B entfernt vom LKW eingeholt. Übung: Übungsblatt 9; Aufgaben

7 AUFGABEN AUS DER GEOMETRIE Als Erstes sei zur Erinnerung gesagt, dass bei geometrischen Aufgaben eine Skizze praktisch unumgänglich ist. Beispiel: Wenn man in einem Rechteck vom Umfang 128 cm die Länge verdoppelt und die Breite um 21 cm verkürzt oder die Breite verdoppelt und die Länge um 35 cm verkürzt, so erhält man flächengleiche Rechtecke. Berechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks. Lösung: Eigentlich wird hier von drei verschiedenen Rechtecken gesprochen. Wir legen am ursprünglichen Rechteck zunächst einmal die Variablen fest. Länge Breite Ich mache dies an einer Zeichnung deutlich: Ursprüngliches Rechteck Sowohl Länge als auch Breite müssen positive Werte sein. Wir haben also folgende Grundmenge: + + G = R R Der erste Gleichungsansatz ist nun aus dem Tet leicht zu ermitteln: Der Umfang des Rechtecks beträgt 128 cm. Es gilt also: I : = 128 /: 2 I : + = 64 Für die zweite Gleichung wird nun das ursprüngliche Rechteck verformt. Zuerst wird die Länge verdoppelt und die Breite um 21 cm gekürzt (1. Rechteck benannt). Dann wird die Breite verdoppelt und die Länge um 35 cm verkürzt (2. Rechteck benannt). Wir stellen uns die Abmessungen der Rechtecke an einer Skizze dar: Ursprüngliches Rechteck 7

8 Die verformten Rechtecke haben folgende Abmessungen: 1. Rechteck 2. Rechteck Der Tet sagt nun aus, dass diese beiden Rechtecke flächengleich sind. Es gilt also folgender Gleichungsansatz: (Fläche 1. Rechteck) = (Fläche 2. Rechteck) Die Fläche eines Rechtecks wird mittels Länge Breite berechnet. Wir setzen also entsprechend ein und erhalten die zweite Gleichung: II : 2 ( 21) = 2 ( 35) Wir vereinfachen die Gleichung: II : 2 ( 21) = 2 ( 35) Klammern ausmultiplizieren 2 42 = 2 70 / 2 42 = 70 / = 0 /: = 0 /: 7 II : = 0 /: 7-35 Wir haben also folgendes Gleichungssstem zu lösen: I : + = 64 II : = 0 Ich wähle das Eliminationsverfahren: I : + = 64 / 3 II : = 0 I : = 192 II : = 0 8 = 192 /: 8 = 24 Wir addieren die Gleichungen Zur Berechnung von setze ich in die erste Gleichung ein: + 24 = 64 / 24 = 40 Das ursprüngliche Rechteck ist 40 cm lang und 24 cm breit. Übung: Übungsblatt 9; Aufgaben