Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

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1 Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt. Die Konstruktion enfernt schrittweise Zustände us dem Automten und ersetzt die Beschriftungen der Knten durch reguläre Ausdrücke. Am esteht der Automt nur noch us einem Strt- und einem Endzustnd, zwischen denen eine Knte liegt, die mit dem gesuchten regulären Ausdruck eschriftet ist. Zuerst schuen wir uns n einem Beispiel n, wie ein Zustnd entfernt werden knn und sich ddurch die Beschriftung der Knten im endlichen Automten ändert. In diesem Beispiel wollen wir die Menge ller Wörter, mit denen mn von Zustnd zu Zustnd 4 kommt, durch einen regulären Ausdruck eschreien Zustnd 2 soll zuerst entfernt werden. Aus Zustnd gelngt mn üer Zustnd 2 zu Zustnd 3 zum Beispiel durch die Einge oder. Allgemein lssen sich lle Wörter, durch die mn von Zustnd üer Zustnd 2 zu Zustnd 3 gelngt, mit eschreien. Mit diesem regulären Ausdruck eschriftet mn die neue Knte von Zustnd zu Zustnd 3 nch Entfernen von Zustnd 2. Weitere Knten sind nicht etroffen. 3 4 Nun soll Zustnd 3 entfernt werden. Dvon sind zwei Wege etroffen. Von Zustnd kommt mn üer Zustnd 3 zu Zustnd 4, und von Zustnd 4 kommt mn üer Zustnd 3 wieder zu Zustnd 4. Betrchten wir zuerst den ersten etroffenen Weg. Bisher git es keine Knte von Zustnd zu Zustnd 4. Dmit diese Verindung uch nch dem Entfernen von Zustnd 3 erhlten leit, muss eine neue Knte von Zustnd zu Zustnd 4 eingefügt werden. Ihre Beschriftung setzt sich zusmmen us. der Beschriftung der Knte von Zustnd zu Zustnd 3 gefolgt von 2. der Beschriftung der Knte von Zustnd 3 zu Zustnd 3; d diese Knte elieig oft wiederholt durchlufen werden knn, wird diese Beschriftung mit einem versehen (ds hen wir oen uch so gemcht) gefolgt von 3. der Beschriftung der Knte von Zustnd 3 zu Zustnd 4 Insgesmt ergit ds die Beschriftung. Nun zum zweiten etroffenen Weg. Von Zustnd 4 knn mn einen Schritt zu Zustnd 3 mchen und von dort wieder in einem Schritt zu Zustnd 4 gehen. Deshl muss die Schleife üer Zustnd 4 eenflls neu eschriftet werden. Um von Zustnd 4 zu Zustnd 4 zu kommen, ht mn zwei Möglichkeiten. Entweder mn enutzt die Schleife üer Zustnd 4 sie ist mit eschriftet oder mn mcht den Astecher üer Zustnd 3 nch dem oigen Schem ergit der Astecher die Beschriftung. D mn zwischen diesen eiden Alterntiven wählen knn, ensteht die

2 Beschriftung der Knte us erste Alterntive zweite Alterntive, hier lso. Dmit ergit sich nch dem Entfernen von Zustnd 3 folgender Automt. 4 An den Knteneschriftungen knn mn lesen, mit welchen Wörtern mn von Zustnd zu Zustnd 4 kommt. Mit llen Wörtern, die durch eschrieen werden, kommt mn von Zustnd (erstmls) zu Zustnd 4, und mit llen Wörtern, die durch eschrieen werden, leit mn in Zustnd 4. Insgesmt eschreit dnn der reguläre Ausdruck ( ( ) ) die Menge ller Wörter, mit denen mn von Zustnd zu Zustnd 4 kommt. Ds steht kürzend für den regulären Ausdruck, der die Menge {} eschreit. Ds soll nun lles formler und dmit klr nchvollziehr und llgemein nwendr drgestellt werden. Wir ezeichnen die Beschriftung der Knte von Zustnd s zu Zustnd t mit R(s, t). Im letzten Beispiel ist R(, 4) = und R(4, 4) =. Wenn es keine Knte von s zu t git, dnn fssen wir ds ls Beschriftung R(s, t) = uf. Im letzten Beispiel ist R(4, ) = und R(, ) =. Beim Entfernen von Zustnd x muss mn für jedes Pr s, t von Zuständen eine neue Beschriftung R neu (s, t) estimmen. Die neue Beschriftung esteht us der Alterntive der lten Beschriftung R(s, t) und der Beschriftung eines Weges von s nch t mit einem Astecher üer x. Wie oen eschrieen ist diese Beschriftung R(s, x) R(x, x) R(x, t) lso zuerst ein Schritt von s zu x, dnn eine Schleife in x, und zuletzt der Schritt von x zu t. Forml eschreit mn ds wie folgt: R neu (s, t) = R(s, t) R(s, x) R(x, x) R(x, t) Aus einem Automten mit den Zuständen {z, z 2,..., z n } und den durch R gegeenen Knteneschriftungen erhält mn nch Entfernen von Zustnd z i einen Automten mit den Zuständen {z, z 2,..., z n } {z i } und den durch R neu estimmten Knteneschriftungen. Die Umwndlung eines endlichen Automten in einen regulären Ausdruck geschieht nun durch schrittweises Entfernen der Zustände und Bestimmung der neuen Knteneschriftungen. Am soll genu ein Strtzustnd und ein Endzustnd ürig leien, so dss die Beschriftung der Knte zwischen diesen eiden Zuständen der gesuchte reguläre Ausdruck ist. Ds geht nur, wenn der Strtzustnd m Anfng keine eingehende Knte und der Endzustnd keine usgehende Knte esitzt. Dzu muss mn den Automten nochml umuen. Zuerst fügt mn einen neuen Zustnd hinzu, der eine -Knte zum lten Strtzustnd ht. Dieser neue Zustnd ist dnn der Strtzustnd des umgeuten Automten. Dnn fügt mn einen weiteren neuen Zustnd hinzu, zu dem es eine -Knte von jedem Endzustnd git. Dieser neue Zustnd ist dnn der einzige Endzustnd des umgeuten Automten. Nun knn mn schrittweise lle Zustände is uf den Strt- und den Endzustnd entfernen. Die Reihenfolge, in der mn die Zustände entfernt, ist egl. Am leit ein Automt ürig, der us zwei Zuständen esteht: dem Strtzustnd und dem Endzustnd. Es führt eine Knte vom Strt- zum Endzustnd, die mit dem regulären Ausdruck eschriftet ist, der den ursprünglichen endlichen Automten eschreit, mit dem mn ml egonnen ht. 2

3 Erstes Beispiel Als Beispiel schuen wir uns einen Automten n, der lle Binärwörter kzeptiert, die keine durch 3 teilren Binärzhlen drstellen. (Wir erluen hier uch führende en.) Der Zustnd git n, welchen Rest mod 3 ds Binärwort ht, mit dem der Zustnd erreicht wurde. strt 2 Schritt : Füge einen neue Strtzustnd und einen neuen Endzustnd hinzu. Strt 2 Nun werden schrittweise lle Zustände is uf den Strt- und den Endzustnd entfernen. Schritt 2: Entferne Zustnd 2. Alle Knteneschriftungen müssen erneuert werden mittels der Regel R neu (s, t) = R(s, t) R(s, 2) R(2, 2) R(2, t). Wenn R(s, 2) = oder R(2, t) =, dnn ist R(s, 2) R(2, 2) R(2, t) = und folglich R neu (s, t) = R(s, t). In diesem Fll ändert sich die Beschriftung lso nicht. Dmit sieht mn, dss hier nur die Knte von Zustnd zu Zustnd und die Knte von Zustnd zu Zustnd neu eschriftet werden müssen.. R neu (, ) = R(, ) R(, 2) R(2, 2) R(2, ) = = 2. R neu (, ) = R(, ) R(, 2) R(2, 2) R(2, ) = = Die Beschriftung ller nderen Knten leit unverändert. Strt 3

4 Schritt 3: Entferne Zustnd. Von Zustnd Strt zu Zustnd muss eine neue Knte eingefügt werden, dmit mn von Strt zu mit einem Astecher üer Zustnd gehen knn. R neu (Strt, ) = R(Strt, ) R(Strt, ) R(, ) R(, ) = = Die Schleife üer Zustnd muss neu eschriftet werden. R neu (, ) = R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) = Die Knte von Zustnd zu Zustnd muss nicht neu eschriftet werden, d kein Astecher üer Zustnd die eiden Zustände verindet. Strt Schritt 4: Entferne Zustnd. Die einzige verleiende Knte muss neu eschriftet werden. Strt ( ) ( ) Dmit ergit sich, dss R neu (Strt, ) = ( ) ( ) der reguläre Ausdruck ist, der die vom ursprünglichen Automten kzeptierte Sprche eschreit lso die Menge ller Binärzhlen, die nicht durch 3 teilr sind. Zweites Beispiel Hier schuen wir uns einen recht kleinen endlichen Automten n, für den der reguläre Ausdruck recht groß wird. Der endliche Automt kzeptiert die Sprche A = {w {, } die Anzhl der in w ist gerde und die Anzhl der in w ist ungerde}. Die Bezeichnung der Zustände ist so gewählt, dss ds erste Zeichen (G oder U) ngit, o die Anzhl der isher gelesenen gerde (G) oder ungerde (U) ist. Ds zweite Zeichen der Zustndsezeichnung git ds entsprechende für n. Der Zustnd UG wird lso erreicht, wenn eine Ungerde Anzhl und eine Gerde Anzhl gelesen wurde. 4

5 strt GG UG UU Schritt : Füge einen neuen Strtzustnd und einen neuen Endzustnd hinzu. Strt GG UG UU Schritt 2: Zustnd UG wird entfernt. Folgende Beschriftungen sind etroffen.. R neu (GG, GG) = R(GG, GG) R(GG, UG)R(UG, UG) R(UG, GG) = = 2. R neu (GG, UU) = R(GG, UU) R(GG, UG)R(UG, UG) R(UG, UU) = = 3. R neu (UU, UU) = R(UU, UU) R(UU, UG)R(UG, UG) R(UG, UU) = = 4. R neu (UU, GG) = R(UU, GG) R(UU, UG)R(UG, UG) R(UG, GG) = = Strt GG UU Schritt 3: Zustnd UU wird entfernt. Alle Knten (mit Ausnhme der -Knten) werden neu eschriftet. 5

6 () Strt GG () () () Schritt 4: Zustnd GG wird entfernt. Eine Knte vom Strtzustnd zu wird hinzugenommen. Bei der Beschriftung ist zu echten, dss R neu (Strt, ) = R(Strt, ) R(Strt, GG)R(GG, GG) R(GG, ) = R(GG, GG) R(GG, ) d R(Strt, ) = und R(Strt, GG) =. Strt ( () ) R(GG,GG) ( () ) } {{ } R(GG,) () R(,) ( () ) ( () ) ) ( ()) R(,GG) R(GG,GG) R(GG,) Schritt 5: Zustnd wird entfernt. Strt ( () ) ( () ) R(Strt,) (() ( () )( () ) )( () )) R(,) Dmit ist der reguläre Ausdruck für den ursprünglichen Automten estimmt. 6

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