FORMALE SYSTEME. 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 27. Oktober Markus Krötzsch

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1 FORMALE SYSTEME 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 27. Oktober 2016

2 Rückblick Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 2 von 29

3 Wiederholung: Opertionen uf Automten A B 1 C D 1 E = A B 1 C D 1 E 0 A B 0 C 0 0, 1 = A, C B, C D 1 A, D 1 B, D A B 0 1 = A B 1 ɛ A B 1 C D 1 E = A B 0 1 C ɛ D 1 E 0 1 A B 1 C 0 = A 1 B 1 C q f ɛ Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 3 von 29

4 NFAs mit Wortübergängen Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 4 von 29

5 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 5 von 29

6 Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 6 von 29

7 Endliche Sprchen Eine einfche Beobchtung: Stz: Jede endliche Sprche ist regulär. Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 7 von 29

8 Endliche Sprchen Eine einfche Beobchtung: Stz: Jede endliche Sprche ist regulär. Beweis: Mn knn eine beliebige endliche Sprche {w 1,..., w n } durch einen NFA mit Wortübergängen erkennen: w 1 w 2 A... w n B Wie in der letzten Vorlesung gezeigt, knn dieser in einen NFA umgeformt werden. Jeder NFA kzeptiert eine reguläre Sprche. Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 7 von 29

9 Sprchen konstruieren? Wir hben gesehen: Jede endliche Sprche ist regulär. Durch Anwendung von,,, und entstehen us regulären Sprchen immer wieder reguläre Sprchen. Eine ntürliche Frge ist lso: Welche regulären Sprchen knn mn durch Anwendung von,,, und us endlichen Sprchen konstruieren? Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 8 von 29

10 Sprchen konstruieren? Wir hben gesehen: Jede endliche Sprche ist regulär. Durch Anwendung von,,, und entstehen us regulären Sprchen immer wieder reguläre Sprchen. Eine ntürliche Frge ist lso: Welche regulären Sprchen knn mn durch Anwendung von,,, und us endlichen Sprchen konstruieren? Alle! Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 8 von 29

11 Die kleinste (,, )-bgeschlossene Klsse Überrschender Weise sind und nicht einml nötig! Stz: Alle regulären Sprchen können durch Anwendung von, und us endlichen Sprchen konstruiert werden. Mit und knn mn jede endliche Sprche leicht us den Sprchen, {ɛ} und {} ( Σ) konstruieren. Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 9 von 29

12 Die kleinste (,, )-bgeschlossene Klsse Überrschender Weise sind und nicht einml nötig! Stz: Alle regulären Sprchen können durch Anwendung von, und us endlichen Sprchen konstruiert werden. Mit und knn mn jede endliche Sprche leicht us den Sprchen, {ɛ} und {} ( Σ) konstruieren. Mit den beknnten Abschlusseigenschften erhält mn lso: Stz: Die Klsse der regulären Sprchen ist die kleinste Klsse von Sprchen mit den folgenden Eigenschften: Sie enthält die Sprchen, {ɛ} und {} für lle Σ Sie ist bgeschlossen unter den Opertoren, und Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 9 von 29

13 Die kleinste (,, )-bgeschlossene Klsse Überrschender Weise sind und nicht einml nötig! Stz: Alle regulären Sprchen können durch Anwendung von, und us endlichen Sprchen konstruiert werden. Mit und knn mn jede endliche Sprche leicht us den Sprchen, {ɛ} und {} ( Σ) konstruieren. Mit den beknnten Abschlusseigenschften erhält mn lso: Stz: Die Klsse der regulären Sprchen ist die kleinste Klsse von Sprchen mit den folgenden Eigenschften: Sie enthält die Sprchen, {ɛ} und {} für lle Σ Sie ist bgeschlossen unter den Opertoren, und Beweispln: Definiere diese Klsse syntktisch: reguläre Ausdrücke Zeige, dss diese genu die regulären Sprchen drstellen Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 9 von 29

14 Reguläre Ausdrücke Ds motiviert die Einführung einer eigenen Syntx: Die Menge der regulärer Ausdrücke über einem Alphbet Σ ist induktiv wie folgt definiert: ist ein regulärer Ausdruck ɛ ist ein regulärer Ausdruck ist ein regulärer Ausdruck für jedes Σ Wenn α und β reguläre Ausdrücke sind, dnn sind uch (αβ), (α β) und (α) reguläre Ausdrücke D.h. die Menge der regulären Ausdrücke ist die kleinste Menge, welche die Bedingungen erfüllt. Anmerkung: Mnchml werden (α + β) sttt (α β) und (α β) oder (α β) sttt (αβ) verwendet Beispiele regulärer Ausdrücke sind ((b) ) oder uch (((ɛ ɛ)) ). Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 10 von 29

15 Reguläre Ausdrücke ls formle Sprche Mn knn die Menge der regulären Ausdrücke über dem Alphbet Σ = {σ 1,..., σ n } uch ls kontextfreie Grmmtik über dem Alphbet Σ {, ɛ, (, ),, } beschreiben: S ɛ A (SS) (S S) (S) A σ 1... σ n Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 11 von 29

16 Reguläre Ausdrücke ls formle Sprche Mn knn die Menge der regulären Ausdrücke über dem Alphbet Σ = {σ 1,..., σ n } uch ls kontextfreie Grmmtik über dem Alphbet Σ {, ɛ, (, ),, } beschreiben: S ɛ A (SS) (S S) (S) A σ 1... σ n Solche Nottionen werden in der Prxis oft weiter vereinfcht: Endliche Mengen ls Nichtterminle: S ɛ Σ (SS) (S S) (S) Mehrere Nichtterminle ls Hinweis uf unterschiedliche Ausdrücke: α ɛ Σ (αβ) (α β) (α) Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 11 von 29

17 Semntik regulärer Ausdrücke Reguläre Ausdrücke beschreiben die erwrteten Sprchen: Die Sprche eines regulären Ausdrucks α wird mit L(α) bezeichnet und rekursiv definiert: L( ) = L(ɛ) = {ɛ} L() = {} für jedes Σ L((αβ)) = L(α) L(β) L((α β)) = L(α) L(β) L((α) ) = L(α) Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 12 von 29

18 Semntik regulärer Ausdrücke Reguläre Ausdrücke beschreiben die erwrteten Sprchen: Die Sprche eines regulären Ausdrucks α wird mit L(α) bezeichnet und rekursiv definiert: L( ) = L(ɛ) = {ɛ} L() = {} für jedes Σ L((αβ)) = L(α) L(β) L((α β)) = L(α) L(β) L((α) ) = L(α) Beispiel: L(((b)) ) = (L((b))) = (L() L(b)) = ({} {b}) = {b} Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 12 von 29

19 Vereinfchte Klmmerung Reguläre Ausdrücke können durch Klmmerungsregeln vereinfcht werden: bindet stärker ls Konktention bindet stärker ls Beispiel: b bc ist kurz für (((b) ) (bc)) Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 13 von 29

20 Vereinfchte Klmmerung Reguläre Ausdrücke können durch Klmmerungsregeln vereinfcht werden: bindet stärker ls Konktention bindet stärker ls Beispiel: b bc ist kurz für (((b) ) (bc)) Konktention und Alterntive sind ssozitiv: L((α(βγ))) = L(((αβ)γ)) L((α (β γ))) = L(((α β) γ)) Dher ist es unproblemtisch, dss die Klmmerregeln die Reihenfolge nicht spezifizieren. Beispiel: könnte für genu 42 verschiedene reguläre Ausdrücke stehen, unter nderem für (((((10)1)0)1)0), ((10)((10)(10))) und (1((0((10)1))0)). Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 13 von 29

21 Kurzschreibweisen für reguläre Ausdrücke Mn knn eine Reihe von Kurzschreibweisen definieren: α + ist kurz für α(α) α? ist kurz für (α ɛ) α{n, m} mit 0 n m ist kurz für (α } {{... } α... α } {{... } α) n-ml m-ml Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 14 von 29

22 Kurzschreibweisen für reguläre Ausdrücke Mn knn eine Reihe von Kurzschreibweisen definieren: α + ist kurz für α(α) α? ist kurz für (α ɛ) α{n, m} mit 0 n m ist kurz für (α } {{... } α... α } {{... } α) n-ml m-ml Implementierungen regulärer Ausdrücke bieten uch Kurzformen für Alterntiven einzelner Symbole ( Chrcter Clsses ):.: beliebiges Symbol, d.h. σ 1... σ n flls Σ = {σ 1,..., σ n } [θ 1 θ l ]: beliebiges Symbol us einer Liste, d.h. θ 1... θ l [ˆθ 1 θ l ]: beliebiges Symbol nicht us einer Liste, d.h. σ 1... σ l mit {σ 1,..., σ l } = Σ \ {θ 1,..., θ l } Weitere Kurzformen für prktisch wichtige Fälle, z.b. \s oder [:blnk:] für Leerzeichen, \d oder [:digit:] für Ziffern Theoretiker meiden Kurzformen (mehr Formen = mehr Fälle in Beweisen und Definitionen) Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 14 von 29

23 Regexps in der Prxis Reguläre Ausdrücke sind von großer prktischer Bedeutung Mustererkennung in Texten (Pttern Mtching) Lexer/Tokenizer Suche nch Muster in Dtenbnken... Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 15 von 29

24 Regexps in der Prxis Reguläre Ausdrücke sind von großer prktischer Bedeutung Mustererkennung in Texten (Pttern Mtching) Lexer/Tokenizer Suche nch Muster in Dtenbnken... Unterschiede zur reinen Lehre: Pttern Mtching: (1) spezifiziere eine Sprche (Suchwörter) und (2) finde deren Vorkommen (Mtches) in einem längeren Wort (Text) Möglichkeiten zur Steuerung des zweiten Teils nötig (z.b. greedy vs. lzy mtching) Referenzen: prktische Implementierungen erluben es meist, Teile eines Mtches im Muster wieder zu verwenden keine reguläre Sprche mehr Escping: Unterscheidung von Steuerzeichen (Metzeichen) und Alphbetssymbolen ist prktisch ufwändig Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 15 von 29

25 Äquivlenz regulärer Ausdrücke Zwei reguläre Ausdrücke α und β sind äquivlent, in Symbolen α β, wenn L(α) = L(β). Typische Rechenregeln der Sprchopertionen gelten nlog: α β β α ɛα αɛ α α(β γ) αβ αγ α α (β γ)α βα γα α α α ɛ ɛ ɛ Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 16 von 29

26 Von Regulären Ausdrücken zu Automten Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 17 von 29

27 Zielstellung Behuptung: Eine Sprche L ist genu dnn regulär, wenn es einen regulären Ausdruck α gibt mit L(α) = L. Beweis (Pln): Teilbehuptung 1: Für jeden regulären Ausdruck α gibt es einen NFA M, so dss L(α) = L(M) Zwei mögliche Beweismethoden: (1) Kompositionelle Methode (2) Explizite Konstruktion Teilbehuptung 2: Für jeden NFA M gibt es einen regulären Ausdruck α, so dss L(α) = L(M) Zwei mögliche Beweismethoden: (1) Ersetzungsmethode (2) Dynmische Progrmmierung Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 18 von 29

28 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 19 von 29

29 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 19 von 29

30 Rekursive Komposition von ɛ-nfa Die Struktur regulärer Ausdrücke knn mit Opertionen uf Automten direkt bgebildet werden. Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 20 von 29

31 Rekursive Komposition von ɛ-nfa Die Struktur regulärer Ausdrücke knn mit Opertionen uf Automten direkt bgebildet werden. Für einen Ausdruck α definieren wir rekursiv den ɛ-nfa M(α): Grundfälle: Wenn α = dnn M(α) = A Wenn α = ɛ dnn M(α) = Wenn α = dnn M(α) = A B A Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 20 von 29

32 Rekursive Komposition von ɛ-nfa Die Struktur regulärer Ausdrücke knn mit Opertionen uf Automten direkt bgebildet werden. Für einen Ausdruck α definieren wir rekursiv den ɛ-nfa M(α): Grundfälle: Wenn α = dnn M(α) = A Wenn α = ɛ dnn M(α) = Wenn α = dnn M(α) = A B Rekursive Fälle: Wir bezeichnen mit elim ɛ (M) den NFA, der us einem ɛ-nfa M durch Eliminierung der ɛ-übergänge entsteht. Wenn α = (βγ) dnn M(α) = elim ɛ (M(β) M(γ)) Wenn α = (β γ) dnn M(α) = M(β) M(γ) Wenn α = (β) dnn M(α) = elim ɛ (M(β) ) Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 20 von 29 A

33 Beispiel Regulärer Ausdruck: b Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 21 von 29

34 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 21 von 29

35 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b b 3 4 Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 21 von 29

36 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b b Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 21 von 29

37 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b b 3 4 ɛ 5 6 q f Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 21 von 29

38 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b b 3 4 ɛ ɛ ɛ 5 6 q f b Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 21 von 29

39 Beispiel Regulärer Ausdruck: b b b b 1 2 b 3 4 b b ɛ ɛ ɛ 5 6 q f Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 21 von 29

40 Korrektheit der Kompositionsmethode Stz: Für jeden regulären Ausdruck α gilt L(α) = L(M(α)). Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 22 von 29

41 Korrektheit der Kompositionsmethode Stz: Für jeden regulären Ausdruck α gilt L(α) = L(M(α)). Beweis: Die Gleichheit folgt us der Definition von L(α) und der Korrektheit der Opertionen uf Automten und der ɛ-eliminierung. Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 22 von 29

42 Korrektheit der Kompositionsmethode Stz: Für jeden regulären Ausdruck α gilt L(α) = L(M(α)). Beweis: Die Gleichheit folgt us der Definition von L(α) und der Korrektheit der Opertionen uf Automten und der ɛ-eliminierung. Forml ist der Beweis eine strukturelle Induktion: wir konstruieren unsere Argumenttion entlng der Struktur regulärer Ausdrücke. Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 22 von 29

43 Korrektheit der Kompositionsmethode Stz: Für jeden regulären Ausdruck α gilt L(α) = L(M(α)). Beweis: Die Gleichheit folgt us der Definition von L(α) und der Korrektheit der Opertionen uf Automten und der ɛ-eliminierung. Forml ist der Beweis eine strukturelle Induktion: wir konstruieren unsere Argumenttion entlng der Struktur regulärer Ausdrücke. Induktionsnfng: Für die Grundfälle α =, α = ɛ und α = ist die Behuptung leicht zu sehen Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 22 von 29

44 Korrektheit der Kompositionsmethode Stz: Für jeden regulären Ausdruck α gilt L(α) = L(M(α)). Beweis: Die Gleichheit folgt us der Definition von L(α) und der Korrektheit der Opertionen uf Automten und der ɛ-eliminierung. Forml ist der Beweis eine strukturelle Induktion: wir konstruieren unsere Argumenttion entlng der Struktur regulärer Ausdrücke. Induktionsnfng: Für die Grundfälle α =, α = ɛ und α = ist die Behuptung leicht zu sehen Induktionshypothese (IH): Die Behuptung wurde bereits für β und γ gezeigt, d.h. L(β) = L(M(β)) und L(γ) = L(M(γ)) Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 22 von 29

45 Korrektheit der Kompositionsmethode Stz: Für jeden regulären Ausdruck α gilt L(α) = L(M(α)). Beweis: Die Gleichheit folgt us der Definition von L(α) und der Korrektheit der Opertionen uf Automten und der ɛ-eliminierung. Forml ist der Beweis eine strukturelle Induktion: wir konstruieren unsere Argumenttion entlng der Struktur regulärer Ausdrücke. Induktionsnfng: Für die Grundfälle α =, α = ɛ und α = ist die Behuptung leicht zu sehen Induktionshypothese (IH): Die Behuptung wurde bereits für β und γ gezeigt, d.h. L(β) = L(M(β)) und L(γ) = L(M(γ)) Induktionsschritt: Im Fll α = (βγ) gilt: L(α) Def. = L(β) L(γ) IH = L(M(β)) L(M(γ)) (1) = L(M(β) M(γ)) (2) = L(elim ɛ (M(β) M(γ))) Def. = L(M(α)). (1) Korrektheit der Opertion ; (2) Korrektheit der ɛ-eliminierung Die Fälle α = (β γ) und α = (β) sind nlog. Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 22 von 29

46 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 23 von 29

47 Explizite Konstruktion des NFA Idee: Beginne mit einem NFA mit RegExp-Übergängen, bei dem Knten mit regulären Ausdrücken beschriftet sind Eliminiere diese Übergänge schrittweise, ähnlich wie beim Eliminieren von Wortübergängen Es ist einfcher, ds für reguläre Ausdrücke zu tun, die kein enthlten Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 24 von 29

48 Eliminierung von Der folgende einfche Algorithmus erzeugt reguläre Ausdrücke ohne innere Vorkommen von : Eingbe: regulärer Ausdruck α Ausgbe: äquivlenter regulärer Ausdruck β ohne (flls L(α) ) oder (flls L(α) = ) Wende die folgenden Ersetzungsregeln erschöpfend uf Teilusdrücke von α n: (γ ) γ und ( γ) γ (γ ) und ( γ) ( ) ɛ Gib ds Ergebnis dieser Ersetzungen us. Die Korrektheit des Algorithmus folgt us der Korrektheit der ngewendeten Ersetzungsregeln Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 25 von 29

49 Explizite Konstruktion von NFAs Für den Ausdruck können wir einen NFA direkt ngeben (wie vorn); ndernflls gehen wir wie folgt vor: Gegeben: regulärer Ausdruck α ohne Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 26 von 29

50 Explizite Konstruktion von NFAs Für den Ausdruck können wir einen NFA direkt ngeben (wie vorn); ndernflls gehen wir wie folgt vor: Gegeben: regulärer Ausdruck α ohne α Initilisierung: M α = A B Solnge es in M α Übergänge q β p gibt, die mit einem Ausdruck β {ɛ} Σ beschriftet sind, wende eine der folgenden Regeln n: Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 26 von 29

51 Explizite Konstruktion von NFAs Für den Ausdruck können wir einen NFA direkt ngeben (wie vorn); ndernflls gehen wir wie folgt vor: Gegeben: regulärer Ausdruck α ohne α Initilisierung: M α = A B Solnge es in M α Übergänge q β p gibt, die mit einem Ausdruck β {ɛ} Σ beschriftet sind, wende eine der folgenden Regeln n: (γ 1 γ 2 ) Ersetze q p γ 1 γ 2 durch q r p Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 26 von 29

52 Explizite Konstruktion von NFAs Für den Ausdruck können wir einen NFA direkt ngeben (wie vorn); ndernflls gehen wir wie folgt vor: Gegeben: regulärer Ausdruck α ohne α Initilisierung: M α = A B Solnge es in M α Übergänge q β p gibt, die mit einem Ausdruck β {ɛ} Σ beschriftet sind, wende eine der folgenden Regeln n: (γ 1 γ 2 ) Ersetze q p γ 1 γ 2 durch q r p (γ 1 γ 2 ) Ersetze q p γ 1 durch q γ 2 p Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 26 von 29

53 Explizite Konstruktion von NFAs Für den Ausdruck können wir einen NFA direkt ngeben (wie vorn); ndernflls gehen wir wie folgt vor: Gegeben: regulärer Ausdruck α ohne α Initilisierung: M α = A B Solnge es in M α Übergänge q β p gibt, die mit einem Ausdruck β {ɛ} Σ beschriftet sind, wende eine der folgenden Regeln n: (γ 1 γ 2 ) Ersetze q p γ 1 γ 2 durch q r p (γ 1 γ 2 ) Ersetze q p γ 1 durch q γ 2 p γ (γ) ɛ ɛ Ersetze q p durch q r p Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 26 von 29

54 Beispiel Regulärer Ausdruck: b Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 27 von 29

55 Beispiel Regulärer Ausdruck: b b 1 2 Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 27 von 29

56 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 27 von 29

57 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b 3 Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 27 von 29

58 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b ɛ 3 4 ɛ Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 27 von 29

59 Beispiel Regulärer Ausdruck: b 1 2 b b ɛ b 3 ɛ 4 ɛ-übergänge können wie gewohnt eliminiert werden, um einen NFA zu erhlten Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 27 von 29

60 Vergleich NFA-Konstruktionen Ausdruck: b Kompositioneller Anstz Expliziter Anstz 1 2 b 3 4 b b 2 b 3 4 b b q f Liner viele Zustände Meist etws größer Korrektheitsbeweis us Abschlusseigenschften Fst ohne Löschen (ußer ɛ-übergänge) Liner viele Zustände Meist etws kleiner Korrektheitsbeweis erfordert neue Argumenttion Übergänge werden oft gelöscht ) Bzgl. Länge des reg. Ausdrucks bzw. bzgl. Anzhl seiner Opertionen Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 28 von 29

61 Zusmmenfssung und Ausblick Reguläre Ausdrücke sind eine prktisch wichtige Methode zur Beschreibung (beliebiger) regulärer Sprchen Die kompositionelle Methode wendet Automten-Opertionen n, um us einem regulären Ausdruck einen NFA zu erzeugen Die explizite Methode verwendet Übergänge mit regulären Ausdrücken, die schrittweise expndiert werden Offene Frgen: Wie kommt mn zurück von NFA zu regulärem Ausdruck? Welche Sprchen sind nicht regulär? Wie knn mn Automten systemtisch vereinfchen? Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 29 von 29

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