1 Reguläre Sprachen. 1.1 Reguläre Ausdrücke. Kai Sauerwald Zusammenfassung: GTI SS 12

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1 1 Reguläre Sprachen Definition 1.1 Alphabet Eine endliche, nicht leere Menge. Definition 1.2 Wort Ein Wort w über einem Alphabet Σ ist eine endliche Folge σ 1... σ n von Zeichen aus Σ. Definition 1.8 Wiederholung von Sprachen Ist L 1 eine Sprache so L 1 auch eine Sprache mit: L 1 = def {u 1... u n u 1,..., u n L 1, n N} Bemerkung Konventionen Griechischen Großbuchstaben stehen meist für Alphabete, Kleinbuchstaben hingegen für Worte oder Zeichen aus einem Alphabet. Definition 1.3 Wortlänge w Ist w=σ 1... σ n so ist w := n. ɛ ist das leere Wort mit ɛ = 0. Definition 1.4 Konkatenation von Worten Sind u und v Wörter, so bezeichnet u v das Wort, das entsteht, wenn v hinter u geschrieben wird. Definition 1.5 n-malige Wiederholung u n bezeichnet die n-malige Wiederholung von u. Induktiv also Definition 1.6 Sprache u 0 = ɛ, u n+1 = u n u Menge von Wörtern über einem Alphabet Σ. Definition 1.7 Konkatenation von Sprachen Seien L 1 und L 2 Sprachen, dann ist L 1 L 2 = def {u v u L 1, v L 2 } 1.1 Reguläre Ausdrücke Definition 1.9 Syntax Regulärer Ausdrücke Sei Σ ein Alphabet. Dann definieren folgenden Regeln induktiv die Menge der regulären Audrücke über Σ: 1. (a) Das Zeichen ist ein regulrärer Ausdruck. (b) Das Zeichen ɛ ist ein regulärer Audruck. (c) Für jedes σ Σ ist sigma ein regulärer Audruck. 2. Sind α und β reguläre Ausdrücke, so auch (a) (αβ), und (b) (α + β) 3. Ist α ein regulärer Ausdruck, so auch (α ) Bemerkung D ie Menger aller regulären Ausdrücke über Σ ist selbst auch wieder eine Sprache Σ {, ɛ, +,, ), (} 1

2 Definition 1.10 Semantik Regulärer Ausdrücke Für jeden regulären Ausdruck α sei die Sprache L(α) wie folgt definiert: L( ) = L(ɛ) = {ɛ} L(σ) = {σ}, für jedes σ Σ Sind α und β reguläre Ausdrücke so ist L((αβ)) = L(α) L(β) L((α + β)) = L(α) L(β) Ist α ein regulärer Ausdruck, so ist L((α )) = L(α) Satz 1.12 Äquivalenzen für + und Seien α, β, γ reguläre Ausdrücke: Assoziativität bezüglich + und α + (β + γ) (α + β) + γ α(βγ) (αβ)γ Kommutativität bezüglich + α + β β + α Neutrale Elemente bezüglich + und + α α α + ɛα α αɛ Nullement bezüglich α α Distributivität α(β + γ) αβ + αγ (α + β)γ αγ + βγ Indepotenz (α ) α ɛ ɛ ɛ Definition 1.11 Reguläre Sprache Eine Sprache L heißt regulär, falls es einen regulären Ausdruck α gibt mit L = L(α) 2

3 1.2 Endliche Automaten Definition 1.15 Nichtdeterministischer endlicher Automat Der NEA A = (Q, Σ, δ, s, F ) besteht aus a Zustandmenge Q, Definition 1.13 E ndlicher Automat A = (Q, Σ, δ, s, F ) endliche Menge Q von Zuständen Eingabealphabet Σ Überführungsfuntion δ : Q Σ Q einem Eingabealphabet Σ, einem Anfangszustand s Q, einer akzeptierenden Menge F von Zuständen, sowie einer Übführungsfunktion δ : Q Σ P(Q). a Bei NEAs sind δ(q, σ) Mengen von Zuständen. Startzustand s Q akzeptierende Zustände F Q Definition 1.14 Semantik endlicher Automaten Die erweiterte Überführungsfunktion δ : Q Σ Q eines Automaten A = (Q, Σ, δ, s, F ) ist wie folgt induktiv definiert: δ(q, ɛ) = def q, δ(q, uσ) = def δ(δ (q, u), σ, ) für u Σ, σ Σ A akzeptiert w def δ (s, w) F Von A entschiedene Sprache: Definition 1.16 Semantik von NEAs δ (q, w) = def Menge der Zustände, die A von q aus nach Lesen von w erreichen kann induktiv: δ (q, ɛ) = {q} δ (q, uσ) = p δ (q,u) δ(p, σ) A akzeptiert w, falls δ (s, w) F L(A) = def {w Σ A akzeptiert w} L(A) = def {w Σ A akzeptiert w} Bemerkung Notation # τ (w) : Häufigkeit des Vorkommes des Zeichens τ im String w k n : k ist ein Teiler von n Satz 1.17 Zu jeden nichtdeterministischen endlichen Automaten A gibt es einen (deterministischen) endlichen Automaten A D mit L(A D ) = L(A) 3

4 Definition 1.18 Nichtdeterministischer endlicher Automat Ein ein nichtdeterministischer endlicher Automat A = (Q, Σ, δ, s, F ) mit ɛ-übergängen besteht aus einer Zustandsmenge Q, einem Eingabealphabet Σ, einem Anfangszustand s Q, einer Menge F von akzeptierenden zustanden Satz 1.23 Für eine Sprache L Σ sind äquivalent: (a) L = L(α) für einen RA α (b) L = L(A) für einen EA A (c) L = L(A) für einen NEA A (d) L = L(A) für einen ɛ-nea A sowie einer Überführungsfunktion δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q) Definition 1.19 ɛ-closure(q) = def Menge aller von q aus ohne Lesen eines Symbols erreichbaren Zustände δ (q, ɛ) = def ɛ-closure(q) δ (q, uσ) = def q δ (q,u) ɛ-closure(δ(q, σ)) Satz 1.20 Zu jeden ɛ-nea A gibt es einen EA A D mit L(A D ) = L(A) Satz 1.21 Zu jeden RA α gibt es einen ɛ-nea A mit L(α) = L(A) Satz 1.22 Zu jeden EA A gibt es einen RA α mit L(α) = L(A) 4

5 Satz 12.1 Pumping-Lemma für Kontextfreie Grammatiken Ist L kontextfrei, so gibt es ein n N, so dass sich jeder String z L mit z n so in z = uvwxy zerlegen lässt, das gelten: (1) vx ɛ, (2) vwx n, (3) uv k wx k y L, für alle k 0 Bemerkung Umwandlungsalgorithmen Die folgenden Umwandlungen sind in linearer Zeit möglich und erzeugen Objekte linearer Größe: - kontextfreie Grammatik Kellerautomat - Kellerautomat mit leerem Keller Kellerautomat mit akzeptierenden Zuständen - Kellerautomat mit akzeptierenden Zuständen Kellerautomat mit leerem Keller Die Umwandlung eines Kellerautomanten A in eine Grammatik ist in Zeit O( A 4 ) möglich. (Dabei bezeichnet A die Größe der Überführungsfunktion, wobei jede Transition 1+ Länge des neuen Kellerstring beiträgt.) Korollar 12.2 Sei L eine Sprache Angenommen, für jedes n > 0 gibt es einen String z L mit z n so dass für jede Zerlegung z = uvwxy mit Die Umwandlung einer kontextfreien Grammatik G in eine CNF- Grammatik ist in Zeit O( G 2 ) möglich. Es gibt einen Algorithmus der eine Grammatik in eine Greibach- Normalform der Größe O( G 3 ) umwandeln kann. (1) vx ɛ, (2) vwx n ein k 0 existiert mit uv k wx k y / L Dann ist L nicht kontextfrei. Satz 12.4 Leerheitsproblem für kontextfreie Grammatiken Zu einer gegebenen kontextfreien Grammatik G lässt sich in linearer Zeit O( G ) entscheiden, ob L(G) gilt. Proposition 12.3 Die beiden folgenden Sprachen sind nicht kontextfrei: (a) L abc = {a m b m c m m 1} (b) L doppel = {ww w {a, b} } Satz 12.5 Endlichkeitsproblem für kontextfreie Grammatiken Das Endlichkeitsproblem für kontextfreie Grammatiken in CNF kann in linearer Zeit entschieden werden. 5

6 Bemerkung Unentscheidbare Probleme für kontextfreie Grammatiken Folgende Probleme sind nicht Algorithmisch lösbar: (1) Ist L(G) eindeutig oder inhärent mehrdeutig? (2) Ist G eindeutig? (3) Ist L(G) deterministisch kontextfrei? Satz 12.8 Weitere Abschlusseigenschaften Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist nicht abgeschlossen unter (a) Durchschnitt, (b) Komplement, (c) Mengendifferenz (4) Ist L(G) regulär? (5) Ist L(G 1 ) L(G 2 ) =? (6) Ist L(G 1 ) L(G 2 ) kontextfrei? (7) Ist L( 1 G) L(G 2 )? (8) Ist L(G 1 ) = L(G 2 )? (9) Ist L(G) = Σ? Satz 12.6 Abschlusseigenschaften von kontextfreien Sprachen Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter Vereinigung, Konkatenation, dem Operator und dem + Operator. Satz 12.7 (a) Ist L kontextfrei, so auch {w R w L} (b) Ist L Σ kontextfrei, h : Σ Γ ein Homomorphismus, so ist auch h(l) kontextfrei. (c) Ist L Σ kontextfrei, h : Γ Σ ein Homomorphismus, so ist auch h 1 (L) kontextfrei. Satz 12.9 Ist L 1 kontextfrei und L 2 regulär, so ist L 1 L 2 kontextfrei. Satz Die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter Komplementbildung. Satz Die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen nicht abgeschlossen unter Vereinigung und Durchschnitt. Bemerkung Die folgenden Sprachen sind kontextfrei, aber nicht deterministisch kontextfrei: - L doppel := {ww w {0, 1} } - L undoppel := L doppel Sprich L undoppel enthält alle String ungerader Länge sowie alle Strings aus L diff = {w 1 w 2 w 1 = w 2, w 1 w 2 } Satz L undoppel ist kontextfrei, aber nicht deterministisch kontextfrei. 6

7 Algorithmus 13.1 CYK-Algorithmus Eingabe: w Σ, G in CNF Ausgabe: ja, falls w L(G) 1 : f o r i := 1 TO n do 2 : V i,i := {X V X w[i, i] in P } 3 : f o r l := 1 TO n 1 do 4 : f o r i := 1 TO n l do 5 : V i,i+1 := {Teilstrings der Längel + 1} 6 : f o r k := i TO i + l 1 do 7 : V i,i+l := V i,i+l {X X Y Z, Y V i,k, Z V k+1,i+l } 8 : i f S V 1,n then 9 : Akzeptieren 1 0 : e l s e 1 1 : Ablehnen Algorithmus Tree Eingabe: X, i, j Ausgabe: Ableitungsbaum für w[i, j] aus X 1 : if i = jthen 2 : 3 : 4 : 5 : Bemerkung p k (v) Mit p k (v) bezeichnen wir das Präfix der Länge k eieingabene String v: { v 1 v k, falls k n p k (v) = def v 1 v n, falls k > n Definition LR(k)-Grammatik Sei k 0. Eine Grammatik heißt LL(k)-Grammatik, falls die folgenden Bedingung, für alle X V, z, x, y Σ und α, β, γ (Σ V ), erfüllt ist: Algorithmus 13.2 Erweiterter CYK-Algorithmus Eingabe: w Σ, G in CNF Ausgabe: Ableitungsbaum, falls w L(G) 1 : for i := 1 TO n do 2 : V i,i := {(X, i) V X w[i, i] in P } 3 : for l := 1 TO n 1 do 4 : for i := 1 TO n l do 5 : V i,i+1 := {Teilstrings der Längel + 1} 6 : for k := i TO i + l 1 do 7 : V i,i+l := V i,i+l {(X, k) X Y Z, m : (Y, m) V i,k, Z V k+1,i+l } 8 : if es gibt kein k mit (S, k) V 1,n then 9 : Ablehnen 1 0 : Konstruiere Ableitungsbaum rekursiv durch Aufruf von Tree(S, 1, n) - Falls * S l uxα l uβα l ux, * S l uxα l uγα l uy, und * p k (u) = p k (y) - so ist β = γ Bemerkung Für einen String α (V Σ) sei Für eine Variable X sei FIRST(α) = def {σ Σ α σv, v Σ } {ɛ α ɛ} FOLLOW(X) = def {σ Σ S uxσv, u, v Σ } 7

8 Satz 13.3 Eine kontextfreie Grammtik G ohne nutzlose Variablen und ohne Linksrekursion ist genau dann eine LL(1)-Grammatik, wenn für alle Variablen X von G und alle Regeln X α und X β mit α β gilt: - FIRST(α) FIRST(β)= - Falls α ɛ so ist FOLLOW(X) FIRST(β)= Satz 13.5 Folgerungen (a) Für jedes k 1 sind LR(k)-Grammatiken und LR(1)-Grammatiken gleich ausdrucksstark (b) Das Syntaxanalyseproblem für LR(k)-Grammatiken lässt sich in linearer Zeit lösen. Definition LR(k)-Grammatik Sei k 0. Eine Grammatik heißt LR(k)-Grammatik, falls die folgenden Bedingung, für alle X, Y V, z, x, y Σ und α, β, γ (Σ V ), erfüllt ist: - Falls * S r αxu r αβu, * S r γy u r αβu, und * p k (u) = p k (y) - so gelten: Satz 13.6 Folgerungen Jede deterministische kontextfreie Sprache hat eine eindeutige Grammatik. * x = y * α = γ, und * X = Y Bemerkung In den Bezeichnungen LL(k) und LR(k) steht der erste Buchstabe (L) für die Leserichtung des Worts. Der zweite Buchstabe für die Ableitungsrichtung (Links oder Rechts). Satz 13.4 Sei k 1, dann sind äquivalent: - L ist deterministisch kontextfrei - L = L(G) für eine LR(k)-Grammatik G Bemerkung zu LL(k)- und LR(k)-Grammatiken LR(0)-Grammatiken entsprechen gerade den deterministischen Kellerautomanten, die mit llrem Keller akzeptieren. Jede LL(k)-Grammatik ist auch eine LR(k)-Grammatik, jedoch nicht umgekehrt! LR(k)-Grammatiken sind eindeutig. 8

9 2 Berechenbarkeit 2.1 LOOP-Programme Definition Syntax von LOOP-Programmen Die Syntax von LOOP-Programmen ist wie folgt definiert: Wertzuweisung: x i := c x i := x j x i := x j + c x i := x j c sind LOOP-Programme. Reihung: Sind P 1 und P 2 LOOP-Programme, so auch P 1 ; P 2 Wiederholung: Falls P ein LOOP-Programm ist, so auch LOOP x i DO P END Definition Speicherinhalte Ein Speicherinhalt X ist eien Funktion (N 0) N, für die X(i) 0 nur für endliche viele i (N 0) gilt: Definition Semantik von LOOP-Programmen Ist X ein Speicherinhalt und P ein LOOP-Programm, so bezeichne P (X) den Speicherinhalt nach Bearbeitung von P Dabei ist X = P (X) induktiv wie folgt definiert: Falls P von der Form x i := x j + c ist, ist { X X(j) + c (k) = def X(k) Analog für x i := c und x i := x j für k = j sonst Falls P von der Form x i := x j c ist, ist { X max(x(j) c, 0) (k) = def X(k) Falls P von der Form P 1 ; P 2 ist, so ist P (X) = def P 2 (P 1 (X)) für k = i sonst Falls P von der Form LOOP x j DO P 1 END ist, so ist P (X) = def P X(i) 1 (X) (X(i)-malige Wiederholung). Die durch ein LOOP-Programm P berechnete Funktion f P ist wie folgt definiert: Für jedes b N ist f P (b) = def X (1) für die Speicherbelegung X = P (X b ) X(i) repräsentiert den Wert von x i Der Speicherinhalt X b bei Eingabe b N ist definiert durch: { b für i = 1 X b (i) = def 0 sonnst Definition LOOP-berechenbar Eine Funktion f : N N heißt LOOP-berechenbar, falls f = f P Programm P für ein LOOP- 9

10 2.2 WHILE-Programme 2.3 GOTO-Programme Definition WHILE-Programme Die Synatax von WHILE-Programmen entspricht der von LOOP-Programmen, mit der zusätzlichen Regel: Ist P ein WHILE-Programm, so auch WHILE x i 0 DO P END Proposition 15.1 f LOOP-berechnebar f WHILE-berechenbar Definition Semantik von WHILE-Schleifen Ist P von der Form WHILE x i 0 DO P 1 END und X ein Speicherinhalt, so sei { X falls X(i) = 0 P (X) = def P (P 1 (X)) sonst Die Funktion f P ist Analog zu LOOP-Programmen definiert Definition GOTO-Programm Ein GOTO-Programm besteht aus einer Folge von Anweisungen A i und Sprungmarken M i - M 1 : A 1 ; - M 2 : A 2 ; M k : A k ; Mögliche Anweisungen Wertzuweisungen: x i := c x i := x j x i := x j + c x i := x j c f : N N heißt WHILE-berechenbar, falls f = f P Programm P für ein WHILE- Bedingter Sprung: IF x j = c THEN GOTO M j Stopanweisung: HALT 10

11 Definition Konfiguration GOTO-Programme Eine Konfiguration eines GOTO-Programmes P ist ein (l; X), wobeil M l eine Sprungmarke von P und X ein Speicherinhalt ist. Start-Konfiguration bei Eingabe b : (1; X b ) Die Nachfolge-Konfiguration (l, X ) einer Konfigartion (l; X) ist wie folgt definiert: Ist A l eine Wertzuweisung, so ist l = l + 1 und X ist definert wie bei LOOP-Programmen Falls A l ein bedingert Sprung IF x i = c THEN GOTO M j ist, so ist { X = def X und l j falls X(i) = c = l + 1 sonst Halte-Konfiguration (l; X): l = k + 1 oder A l ist HALT f P (b) ist dann wieder X(1) GOTO-berechenbar: analog WHILE-berechenbar 2.4 Rekursionstheorie Definition primitiv rekursive Funktionen Basisfunktionen: Alle Funktionen c k : N k N mit c N, definiert durch c k (x 1,..., x k ) = def c sind primitiv rekursiv (konstante Funktionen) Alle Funktionen π k i : Nk N, definiert durch π k i (x 1,..., x k ) = def x i sind primitiv rekursiv (Projektionen) Die Funktion s : N N, definiert durch s(x 1 ) = def x ist primitiv rekursiv (Nachfolgerfunktion) Zusammengesetzte Funktionen: HIER FOLIE Sind h : N l N und g 1,..., g l : N k N primitiv rekursive Funktionen, so ist die durch f(x 1,..., x k ) = def h(g 1 (x 1,..., x k ),..., g l (x 1,..., x k )) Satz 15.2 Jede GOTO-berechenbare Funktion ist auch WHILE-berechenbar. Satz 15.3 Jede WHILE-berechenbare Funktion ist auch GOTO-berechenbar. definierte Funktion f : N k N primitiv rekursiv (Komposition) Sind h : N k+1 N und g : N k 1 N primitiv rekursive Funktionen, so ist die durch f(0, x 2,..., x k ) = def g(x 2,..., x k ) f(x + 1, x 2,..., x k ) = def h(f(x, x 2,..., x k ), x, x 2,..., x k ) definierte Funktion f : N k N primitiv rekursiv (Primitive Rekursion) 11

12 Satz 15.4 Eine Funktion f : N k N ist genau dann primitiv rekursiv, wenn sie durch ein LOOP-Programm berechnet werden kann. Definition µ-rekursive Funktionen Ist f : N k+1 N eine partielle Funktion, so sei die partielle Funktion µf : N k N, definiert durch µf(x 1,..., x k ) = def kleinstes n N, für das gilt: f(n, x 1,..., x k ) = 0 f(m, x 1,..., x k ), für alle m < n Die µ-rekursive Funktionen sind wie die primitiv rekursiven Funktioen definiert mit der zusätzlichen Regel: Ist f µ-rekursiv, so auch µf Satz 15.5 Eine Funktion f : N k N ist genau dann µ-rekursiv, wenn sie druch ein WHILE- Programm berechnet werden kann. 3 Komplexitätstheorie Definition RucksackO Geben: Gewichtsschranke G und m Gegenstände repräsentiert durch Werte w 1,..., W m und Gewichte g 1,..., g m Gesucht: I {1,..., m}, so dass i I w i maximal ist und i I g i G gilt Definition Col Geben: Ungerichteter Graph G, Zahl k. Frage: Lassen sich die Knoten von G mit k Farben zulässig färben, also so, dass durch Kanten verbundene Knoten verschiedene Farben haben? Definition EulerKreis Geben: Ungerichteter Graph G Frage: Gibt es eine geschlossen Kantenfolge in G, die jede Kante genau einmal besucht? Satz 15.1 [Euler] Ein zusammenhänender Graph G hat genau dann einen Euler-Kreis, wenn jeder Knoten geraden Grad hat Definition HamiltonKreis Geben: Ungerichteter Graph G Frage: Gibt es einen geschlossenen Weg in G, der jeden Knoten genau einemal besucht? Definition CliqueO Geben: Graph G = (V, E) Gesucht: Maximales C mit C G, so dass C ein K n. Sprich der größte vollständige Teilgraph von G Definition Sat Geben: Aussagenlogische Formel ϕ in KNF Frage: Ist ϕ erfüllbar? Definition 3-Sat Geben: Aussagenlogische Formel ϕ in KNF mit je 3 Literalen je Klausel Frage: Ist ϕ erfüllbar? Definition TSP Geben: Gesucht: Definition TSPO Geben: Gesucht: Definition TSPW Geben: Gesucht: Definition 3-Col Geben: Gesucht: 12

13 Definition NTIME Geben: Gesucht: Definition Nachfolgekonfiguration Sei K = (q, (w, z)) eine Konfiguration mit w[z] = σ und sei δ(q, σ) = (q, τ, d) mit τ Γ, d {,, } 3.1 Turingmaschinen Definition Turingmaschiene Eine Turingmascheine M = (Q, Γ, δ, s) besteht aus einer endlichen Menge Q, einem Alphabet Γ, mit, Γ, einer Funktion δ : Q Γ (Q {ja,nein, h}) Γ {,, } (Zustandsmenge) (Arbeitsalphabet) (Überführungsfunktion) Dann ist die Nachfolgekonfiguration K = (q, (w, z )) von K wie folgt definiert: (Schreibweise K M K ) z = z + 1, falls d =, z = z, falls d =, z = z 1, falls d =, w = w[z/τ], falls z < w oder d, w = w[z/τ], falls z = w und d =, Wir schreiben K M K, falls es Konfigurationen K 1,..., K m gibt mit K M K 1 M... M K m M K einem ausgezeichneten Zustand s Q, Definition Konfiguration von Turingmaschienen Eine Konfiguration von M ist eine Tupe (q, (w, z)) mit q Q {ja,nein, h} (aktueller Zustand) w der aktuelle String z die Position des Zeigers der TM (linker Rand ist 0) (Startzustand) Bemerkung String-Zeigerbeschreibung In der Konfiguration nenen wir (w, z) die String-Zeigerbeschreibung, mit String w Γ und Zeigerposition z N, z w, wobei w[0] = def. Eine alternative String-Zeigerbeschreibungs Notation ist (u, σ, v) anstelle von (w, z), mit w = wσv und u = z. Definition Semantik von Turingmaschienen Sei Σ Γ {, } (Ein-/Ausgabe-Alphabet) Die Startkonfiguration von M bei Eingabe u Σ ist K 0 (u) = def (s, (u, 0)) (q, (w, z)) heißt Haltekonfiguration, falls q {h, ja,nein} K 0, K 1,..., K t heißt Berechnung von M bei Eingabe u, falls K 0 = K 0 (u) K i M K i+1 für alle i < t, und K t eine Haltekonfiguration ist M akzeptiert u, falls K 0 (u) M (ja, (w, z)) M lehnt u ab, falls K 0 (u) M (nein, (w, z)), für gewisse w Σ, z < w M(u) = def die (endliche oder unendliche) Berechnung von M bei Eingabe u 13

14 Definition Sprachen von Turingmaschienen Eine TM M entscheidet eine Sprache L, falls für jedes u Σ gilt: u L M akzeptiert u u / L M lehnt u ab L(M) = def Menge aller von M akzeptierten Strings Definition Turing-berechenbar f M (u) = def v Σ, falls K 0 (u) M (h, (v, 0)) oder K 0 (u) M (h, (vτw, 0)) für ein τ Γ Σ, w Γ Eine Funktion f : Σ Σ heißt Turing-berechenbar, falls f = f M, für eine Turingmaschine M Mehrstring-Turingmaschinen Definition Syntax von Mehrstring-TM Eine Mehrstring-Turingmaschine M = (Q, Γ, δ, s) besteht aus einer Menge Q von Zuständen, einem Bandalphabet Γ mit Γ und Γ (wir nennen Blank und linker Rand ), Definition Semantik von Mehrstring-TM Sei M = (Q, Γ, δ, s) eine Mehrstring-TM Ein-/Ausgabealphabet: Σ Γ {, }, Konfiguration von M : k + 1-Tupel (q, s 1,..., s k ), wobei q Q s i String-Zeigerbeschreibung K 0 (u) von M bei Eingabe u Σ : (s, (u, 0), (ε, 0),..., (ε, 0)) (q, s 1,..., s k ) ist Haltekonfiguration, falls q {h, ja,nein} Sei K = (q, (u 1, z 1 ),..., (u k, z k )) eine Konfiguration von M und sei, für jedes i, σ i = def w[i] Ist δ(q, σ 1,..., σ k ) = (q, τ 1,..., τ k, d 1,..., d k ) so ist K = (q, (u 1, z 1 ),..., (u k, z k )) die Nachfolgekonfiguration von K, wenn für alle i gilt: z i = z i + 1, falls d i =, z i = z i, falls d i =, z i = z i 1, falls d i =, u i = u i [z i/τ i ], falls z i < u i oder d i, z i = u i [z i/τ i ], falls d i = u i und d i =, Schreibweise K M K (Spreichweise M erreicht K von K aus in einem Schritt) K M K : wie bei Turingmaschinen einem Anfangszustand s Q, und einer Zustandsübergangsfunktion δ : Q Γ k (Q {h, ja,nein}) Γ k {,, } k 14

15 3.2 NP-Vollständigkeit Definition Polynomielle Reduktion Eine Funktion f heißt polynomielle Reduktion von L auf L, falls (1) f in polynomieller Zeit berechenbar ist (2) und für alle w Σ gilt: w L f(w) L L heißt polynomiell reduzierbar auf L, falls es einen polynomielle Reduktion von L auf L gibt. Schreibweise: L p L Proposition 22.1 Seien L, L Σ, L p L Dann gelten: (a) wenn L P dann L P (b) wenn L NP dann L NP Lemma 22.2 Seien L, L Σ, L p L. Wenn L / P dann L / P Definition NP-schwierig Eine Sprache L heißt NP-schwierig, falls für alle L NP gilt: L L Definition NP-vollständigkeit Eine Sprache L heißt NP-vollständig, falls L NP-schwierig ist und L NP gilt. Satz 22.4 Sei L eine NP-vollständige Sprache (a) Falls L P, so ist P=NP. (b) Falls L / P, so ist P NP. Satz 22.5 [Cook 71] SAT ist NP-vollständig. Lemma 23.1 p ist Transitiv Seien L 1, L 2, L 3 Σ Sprachen Falls L 1 p L 2 und L 2 p L 3, so gilt auch L 1 p L 3 Lemma 23.2 Ist L NP und L p L für ein NP-vollständiges Problem L, so ist auch L NP-vollständig. Proposition 23.3 Lemma 23.4 Proposition 23.5 Proposition 23.6 SAT p 3-SAT 3-SAT ist NP-vollständig. 3-SAT p 3-COL 3-SAT p Clique Proposition 22.3 Das allgemeine Halteproblem H ist NP-schwierig. Proposition SAT p HamiltonKreis 15

16 Proposition 23.8 Proposition 23.9 HamiltonKreis p TSP 3-SAT p Rucksack Satz Die folgenden Probleme sind NP-vollständig: 3-SAT 3-COL Clique HamiltonKreis TSP Ruchsack 16

17 Index Alphabet, 1 Σ, 1 Endlichkeitsproblem Kontextfrei, 5 Grammatiken Kontextfrei Endlichkeitsproblem, 5 Leerheitsproblem, 5 Kellerautomaten Endlichkeitsproblem, 5 Leerheitsproblem, 5 Leerheitsproblem Kontextfrei, 5 Notation L 1 L 2, 1 u v, 1 ɛ (Semantisch), 2 ɛ (Syntaktisch), 1 ɛ (Wort), 1 L(α), 1 L, 1 α + β, 2 Σ, 1 L(α), 1 α + β, 2 Eigenschaften, 2 Semantik, 2 Syntax, 1 Reguläre Sprache, 2 Sprache, 1 Konkatenation, 1, 1 regulär, 2 Wiederholung, 1 L, 1 Wort, 1 Konkatenation, 1 Eigenschaften, 2, 1 Länge, 1 leeres, 1 ɛ, 1 u n, 1 Wiederholung, 1 Pumping-Lemma Kontextfrei, 5 Reguläre Ausdrücke ɛ (Semantisch), 2 ɛ (Syntaktisch), 1 17