Lösungshinweise zu Übungsblatt 1

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1 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Lösungshinweise zu Übungsblatt 1 Aufgabe 1: Duopol mit linearen Kostenfunktionen Gegeben ist eine Industrie, die aus zwei Unternehmen 1 und besteht, deren Technologie durch die linearen Kostenfunktionen C i x i ) = 10x i i = 1, ) beschrieben wird. Die Marktnachfrage sei p = x 1 + x ). a) Ermitteln Sie für das Cournot-Duopol das Marktgleichgewicht Preis und Menge), die individuellen Angebotsmengen und Gewinne der beiden Unternehmen, Produzenten- und Konsumentenrente sowie die Wohlfahrt. b) Ermitteln Sie die Größen aus Teilaufgabe a) für das Stackelberg-Duopol mit Unternehmen 1 als Stackelberg-Führer und Unternehmen als Stackelberg-Folger. c) Vergleichen Sie die in Teilaufgaben a) und b) ermittelten Größen mit den entsprechenden Werten, die sich bei vollständiger Konkurrenz und im Monopol-Fall ergeben würden. Lösungshinweis: a) Π 1 x 1, x ) = x 1 + x )) x 1 10x 1 Π 1 x 1 = 300 0x 1 10x 10 = 0 x 1 = R c 1x ) = x Π x 1, x ) = x 1 + x )) x 10x Π = x 1 0x 10 = 0 x = R x x c 1 ) = x 1 x 1 = R1R c x c 1 )) = ) x 1 x c 1 = 9 3 = xc x c = x c 1 + x c = 58 3 pc = x c = 30 3 ) 30 9 Π c 1 = = 8410 = Π c 9 P R = Π c 1 + Π c = 1680 KR = 1 9 ) W = P R + KR = =

2 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) b) x = Rx c 1 ) = x 1 aus a) Π 1 x 1, Rx c 1 )) = x )) x 1 x 1 10x 1 = 145x 1 5x 1 Π 1 = x 1 = 0 x s 1 = 9 x 1, xs = Rx c s 1) = 9 4 x s = x s 1 + x s = 87 4 pc = x s = 165 ) Π s 1 = 10 = 405 ) , Πs = 10 4 = P R = Π s 1 + Π s = KR = ) 87 4 = W = P R + KR = c) p w = MC = 10 x w = pw = 9 Π w = 10 10)9 = 0 = P R KR = ) 9 = 405 W = P R + KR = 405 Π m x) = x)x 10x = 90x 10x Πm x = 90 0x = 0 x m = 9 pm = x m = 155 Π m = ) 9 = 405 = P R KR = ) = W = P R + KR =

3 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Aufgabe : Duopol mit unterschiedlichen Kostenfunktionen Gegeben ist eine Industrie, die aus zwei Unternehmen 1 und besteht, deren Technologie durch die Kostenfunktionen C 1 x 1 ) = 5x 1 und C x ) = 1 x beschrieben wird. Die Marktnachfrage sei p = x 1 + x ). a) Ermitteln Sie für ein Cournot-Duopol das Marktgleichgewicht Preis und Menge), sowie die individuellen Angebotsmengen und Gewinne der beiden Unternehmen. b) Wie verändern der Marktpreis und die individuellen Angebotsmengen der beiden Unternehmen, wenn die Grenzkosten von Unternehmen 1 um 0% ceteris paribus) zunehmen? c) Ermitteln Sie die Größen aus Teilaufgabe a) für das Stackelberg-Duopol mit Unternehmen 1 als Stackelberg-Führer und Unternehmen als Stackelberg-Folger. d) Vergleichen Sie die in Teilaufgaben a) und c) ermittelten Größen mit den entsprechenden Werten, die sich bei vollständiger Konkurrenz und im Monopol-Fall ergeben würden. Lösungshinweis: a) Π 1 x 1, x ) = ) x 1 + x ) x 1 5x 1 Π 1 = 100 x 1 1 x 1 x 5 = 0 x 1 = R1x c ) = 95 1 x Π x 1, x ) = ) x 1 + x ) x 1 x Π = x x 1 x x = 0 x = Rx c 1 ) = x 1 x 1 = R1R c x c 1 )) = ) 4 x 1 x c 1 = 80, x c = xc 1 = 30 x c = x c 1 + x c = 110 p c = xc = 45 Π c 1 = = 300, Π c = = 900 P R = Π c 1 + Π c = 4100 KR = ) 110 = 305 W = P R + KR = 715 b) C 1 x 1 ) = 6x 1 x c 1, x c, p c, W 3

4 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) c) x = Rx c 1 ) = x 1 aus a) Π 1 x 1, Rx c 1 )) = x )) 4 x 1 x 1 5x 1 = 70x x 1 Π 1 = 70 3 x 1 4 x 1 = 0 x s 1 = 80 3, xs = Rx c s 1) = 80 3 x s = x s 1 + x s = 10 p c = xs = 40 Π s 1 = ) = , Πs = ) ) 80 = P R = Π s 1 + Π s = KR = ) 10 = 3600 W = P R + KR = d) p w = MC : p U1 = 5, p U = x p w = 5 = x w x w = 00 p w = 190 x w 1 = x w x w = 185 Π w 1 = 5 5)185 = 0, Π w = = 5 P R = 5 KR = ) 190 = 905 W = P R + KR = Π m x) = ) x 1 + x ) x 1 + x ) 5x 1 1 x = 95x x 1 x 1 x 1 x x Πm x 1 = 95 x 1 x = 0 Πm x = 100 x 1 x = 0 x m 1 = 90, x m = 5 x m = 95, p m = xm = 105 Π m = = 455 = P R KR = ) 95 = 4 W = P R + KR =

5 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Aufgabe 3: Allgemeines Oligopol Gegeben ist ein Cournot-Oligopol mit n symmetrischen Unternehmen, die jeweils mit der Kostenfunktion Cx i ) = 1 x i i = 1,..., n) für die variablen Kosten arbeiten. Zusätzlich treten in jedem Unternehmen Fixkosten in Höhe von f Geldeinheiten auf. Die Preis- Absatz-Funktion ist mit p = 100 n x i vorgegeben. i=1 a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht auf diesem Oligopolmarkt und geben Sie die Marktmenge, den Marktpreis und den Gewinn eines Unternehmens in diesem Gleichgewicht in Abhängigkeit von n an. b) Wieviele Unternehmen überleben d.h. produzieren mit nicht negativem Gewinn) in diesem Markt bei f = 4? c) Wieviele Unternehmen überleben bei f = 4 unter vollständiger Konkurrenz? Lösungshinweis: n a) Π i = 100 Π i n = 100 x i j=1,j i x j j=1,j i x j ) ) x i x i 1 x i f ) x i x i = 0 x i = 100 j i x j 3 Symmetrie-Annahme: x = x 1 =... = x n x = 100 n 1) x 3 x = 100 n + p c n) = 100 x c n) = n n + = 00 n + x c = 100n n + Π c n) = 00 n n + 1 ) 100 f = 0000 n + n + ) n + ) f = = n + ) f b) Πc n) = n + ) = = 4 m = 3750 m 61.4 m n = m 59.4 Π c 59) = ) > 0 Π c 60) = n = ) < 0 5

6 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) c) p = C x i ) = x i = x = 100 n x xn) = 100 n + 1 Πn) = xn) 1 xn) f = 1 xn) f = n + 1) f Πn) = n + 1) = = 4 m = 150 m m n = m Π34) = 1 x34) 4 = > 0 Π35) = 1 x35) 4 = < 0 n = 34 6

7 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Aufgabe 4: Duopol mit differenzierten Produkten Berechnen Sie die gleichgewichtigen Preise und Gewinne für ein Duopol aus zwei Unternehmen 1 und, die mit konstanten Grenzkosten von c 1 = und c = 5 arbeiten, für die folgenden beiden Situationen: a) im Modell horizontaler Produktdifferenzierung für ein Straßendorf der Länge 1 mit quadratischen Transportkosten mit einem Satz von 10 pro Längeneinheit. b) im Modell vertikaler Produktdifferenzierung mit zwei Qualitätsstufen s 1 = 1 und s = für Konsumenten mit der Nutzenfunktion { qs p für q > p/s Us, p) =, 0 sonst wobei die Qualitätspräferenz der Konsumenten zwischen 1 und gleichverteilt ist. Lösungshinweis: a) Indifferenter Konsument wohnt bei x, wenn sich Preis + Transportkosten für beide Güter entsprechen: p x = p x) p 1 = p x + x ) 10x = p x x = p p x) = p 1 p Π 1 p 1, p ) = p 1 c 1 )x = p 1 ) p p Π 1 p 1, p ) = p p p 1 = p p p p 1 = R h 1p ) = p + 1 Π p 1, p ) = p 1 p + 10 p 5 p 0 0 p = Rp h 1 ) = p = 1 p + 6 Π p 1, p ) = p c )x = p 5) p 1 p = p 1 p = 1 p Gleichsetzen der Reaktionsfunktionen: p 1 = R1 h R h p 1 ) ) = 1 1 p ) + 6 = 1p p h 1 = 13 = 0 = 0 p h = R13) h = = 14 Π h , 14) = 13 ) 0 Π h 13, 14) = 14 5) = = 6.05 = = 4.05 b) Indifferenter Konsument hat Qualitätspräferenz q bei gleichem Nutzen von Gut 1 und Gut : Us 1, p 1 ) = Us, p ) q s 1 p 1 = q s p q = p p 1 s s 1 = p, q u = 1 7

8 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Nachfrage nach beiden Gütern: D 1 p 1, p ) = q q u = p p 1 1, D p 1, p ) = q o q = p + p 1 q q Π 1 p 1, p ) = p 1 c 1 ) D 1 p 1, p ) = p 1 ) p p 1 1) Π 1 p 1, p ) = p p 1 1) p 1 ) = p p = 0 p 1 p 1 = R1p q ) = 1p + 1 Π p 1, p ) = p c ) D p 1, p ) = p 5) p + p 1 ) Π p 1, p ) = p + p 1 ) p 5) = p 1 p + 7 = 0 p p = Rp q 1 ) = 1p p 1 = R q 1 Rp q 1 )) = 1 1 p ) = 1p p q 1 = 3 p q = R q 3) = = 5 Π q 13, 5) = 3 )5 3 1) = 1 Π q 3, 5) = 5 5) 5 + 3) = 0 8

9 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Aufgabe 5: Kartellinstabilität Sommer 004) Eine bestimmte Anzahl von Unternehmen hat sich informell zu einem Kartell zusammengeschlossen, mit dem Ziel, die auf dem Markt abgesetzte Gesamtmenge gering und damit den Preis für das Gut hoch zu halten. a) Warum ist jedes Kartell potentiell instabil? Geben Sie eine kurze, verbal gehaltene Erklärung. b) Wenn sich alle Unternehmen an die Vereinbarung halten, beträgt der Gewinn des Kartells 10 Millionen e pro Periode und Unternehmen über einen unendlich langen Zeithorizont. Falls ein Unternehmen von der Kartellvereinbarung abweicht und sich alle anderen daran halten), kann es in der gegenwärtigen Periode einen Gewinn von 11 Millionen e erzielen. Anschließend wird dieses Unternehmen jedoch dadurch bestraft, dass das Kartell zerfällt und alle Unternehmen nur den Gewinn bei Wettbewerb in Höhe von 1 Million e realisieren können. Berechnen Sie den Gegenwartswert des Gewinns Diskontfaktor δ 0, 1) für das Unternehmen, wenn sich alle Unternehmen an die Vereinbarung halten und wenn das betrachtete Unternehmen von der Vereinbarung abweicht und anschließend bestraft wird. c) Lohnt es unter den in b) geschilderten Umständen von der Kartellvereinbarung abzuweichen, wenn δ = 0.9 gilt? Geben Sie eine ökonomische Begründung für Ihr Ergebnis. Welche Annahme ist entscheidend? Lösungshinweis: a) Ein Kartell ist deswegen instabil, da für jedes einzelne Unternehmen der Anreiz besteht, die Kartellvereinbarung zu brechen und mehr Output zu produzieren, solange die anderen Unternehmen ihre reduzierten Mengen beibehalten, da jedes einzelne Unternehmen mit seiner produzierten Menge nur einen geringen Einfluss auf den Preis ausübt. b) Gegenwartswert des Kartellgewinns: Π k = t=0 δ t 10 = 10 1 δ Gegenwartswert des Gewinns bei Abweichung und anschließender Bestrafung: Π ab = 11 + δ t 1 = δ 1 δ c) Abweichung lohnt sich, wenn t=1 Π ab > Π k 11 + δ 1 δ > δ) + δ > 10 δ < δ Dies ist hier nicht der Fall, da der Diskontfaktor mit 0.9 größer als 0.1 ist. Bei einem relativ großen Diskontfaktor fällt die langfristige Gewinnreduktion um 10 1 = 9 Millionen e während der unendlich langen) Bestrafungsperiode so stark ins Gewicht, dass der kurzfristige Gewinnzuwachs von = 1 Million e während der Abweichungsperiode überkompensiert wird. Die entscheidende Annahme besteht darin, dass von einem unendlichen Zeithorizont ausgegangen wird. 9

10 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Aufgabe 6: Optimale F&E-Tätigkeit Betrachtet werden 5 identische Unternehmen i = 1,..., 5), die auf einem Markt konkurrieren. Die Nachfragefunktion in diesem Markt sei: pq) = σq ε mit Q = 5 q i, σ, ε > 0 i=1 Jedes der 5 Unternehmen kann die Stückkosten durch Einsatz von F&E-Ausgaben senken. Die Stückkosten c i seien unabhängig von der Ausbringungsmenge q i und nur durch den Einsatz von F&E-Ressourcen r i reduzierbar. Es gelte: Der Faktorpreis für F&E sei 1. c i r i ) = βr α i, α, β > 0. a) Geben Sie die Bedingungen erster Ordnung für die Profitmaximierung eines Unternehmens j, j 1,..., 5), an und interpretieren Sie diese ökonomisch. b) Die Parameter der Nachfragefunktion und Kostenfunktion seien wie folgt gegeben: α = 0.1, β = 1, σ = 100 und ε = 1. Berechnen Sie das optimale Niveau der eingesetzten F&E-Ressourcen r j, das optimale Outputniveau q j, den Profit des Unternehmens j, den gesamten Marktoutput Q und den Marktpreis p. c) Berechnen Sie die F&E-Intensität des Unternehmens j und interpretieren Sie diese Größe. d) Interpretieren Sie die Parameter α und ε ökonomisch! Hinweis: Berechnen Sie die Elastizitäten der entsprechenden Funktionen.) Lösungshinweis: a) π j q j, r j ) = pq)q j c j r j )q j r j I. II. Interpretation: π q j = pq) + q j pq) Q π r j = c jr j )q j 1 = 0 Q q j }{{} =1 c jr j ) = 0 Der gewinnmaximale Output der Unternehmen wird so festgelegt, dass der Grenzerlös gleich den Grenzkosten entspricht, wobei die Grenzkosten vom F&E Einsatz r j abhängen. Die Unternehmen investieren so lange in F&E bis der zusätzliche Ertrag durch die Stückkostenreduktion den Kosten der F&E-Tätigkeit entspricht. Die Lösung dieser beiden Bedingungen erfolgt hierbei simultan. 10

11 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) aus I: pq) 1 + q ) j pq) Q c j r j ) = 0 pq) Q Q pq) 1 q ) j 1 = c j r j ) Q r j aus II: c jr j ) c j r j ) Einsetzen: pq) 1 q j Q Interpretation: 1 ε Q,p ε Q,p c j r j ) r j q j 1 = 0 ε c,r c j r j )q j r j 1 = 0 ) = r j q j 1 r j pq)q j = ε c,r ε c,r c j r j ) = r j q j 1 ε c,r 1 q j Q 1 ε Q,p ) Die Forschungsintensität eines Unternehmens, definiert als der Anteil der F&E- Ausgaben r j am Umsatz pq)q j, nimmt in dem Maße ab, wie die relative Unternehmensgröße zunimmt. Je größer die technologischen Möglichkeiten zur Kostenreduktion desto höher ist die Forschungsintensität. Je größer die Preiselastizität der Nachfrage, desto höher ist die Forschungsintensität. b) α = 0.1, β = 1, σ = 100, ε = 1 max πr j, q j ) = 100Q 1 q j r 0.1 j q j r j r j,q j I. II. π = 100Q 1 100Q q j r 0.1 j = 0 q j π = 0.1r 1.1 j q j 1 = 0 q j = 10rj 1.1 r j 100 Q = 5q j 100q j 5q j 5qj q j = 10r 1.1 j = r 0.1 j 0 4 = r 0.1 j q j q j 16 10r 1.1 j 16 = r 0.1 j q j = r 0.1 j r j = 1.6 q j

12 PD Dr. Holger Graf Mikroökonomik II Sommer 01) Einsetzen in die Gewinnfunktion: π j qj, rj ) = 100 5q j ) 1 q j r 0.1 j q j r j = πj =.4 Q = 5 q j = pq ) = c) F&E Intensität: r j 1.6 = pq)q j = 0.08 d) Preiselastizität der Nachfrage: ε Q,p = Qp) p p Qp) = 1 ε p,q ε p,q = pq) Q Q pq) = Q εσq ε 1 σq = ε ε ε Q,p = 1 ε ε ist die inverse Preiselastizität der Nachfrage. Elastizität der Stückkostenreduktion: ε c,r = cr) r NR: cr) = βr α r cr) = αβr α 1 r cr) = αβr α 1 cr) r = αβr }{{ α 1 } cr) = α =cr) α ist die Elastizität der Stückkostenreduktion. 1

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