Fehlerrechnung. 3. Genauigkeit von Meßergebnissen am Beispiel der Längenmessung

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1 1 Gie 11/000 Fehlerrechug 1. Physikalische Größe: Zahlewert ud Eiheit. Ursache vo Meßfehler 3. Geauigkeit vo Meßergebisse am Beispiel der Lägemessug 4. Messug eier kostate Größe ud Mittelwert 5. Messug eier Größe, die eie lieare Fuktio eier adere ist (Ausgleichsgerade) 6. Verteilug der Eizelwerte bei Messug eier kostate Größe 7. Fehlerfortpflazug

2 1. Physikalische Größe Messug, Meßergebis ud Fehlerrechug Das Ergebis jeder physikalische Messug ist die Agabe eier physikalische Größe G, die ei quatitatives Merkmal eies Körpers oder Vorgags beschreibt. Sie ist das Produkt aus eiem Zahlewert {G} ud eier Eiheit [G], also: G = {G}. [G] Eiheite sid vereibarte Vertreter der betreffede Größeart, vo dee es oft mehrere gibt; Eiheite der Größeart "Läge" sid z.b. 1 mm, 1 cm, 1 m. Zwar ädert sich beim Übergag vo eier Eiheit zu eier adere der Zahlewert, die physikalische Größe ist aber eie vo der Eiheitewahl uabhägige Größe, z.b. bezeiche s=1,50 m ud s=150 cm dieselbe Läge.. Ursache vo Meßfehler a. Systematische Fehler Sie etstehe hauptsächlich durch fehlerhafte Eichuge. So köe z. B. alle Skaleteile eies Maßstabes zu groß oder zu klei oder verschiede groß sei. b. Statistische (zufällige) Fehler Eie ihrer wesetliche Ursache liegt i der Perso des Beobachters: i dem begrezte Uterscheidugsvermöge seies Auges bei Ablesuge ud i de Greze der Geschicklichkeit seier Had, z.b. beim Alege des Maßstabsafags a de Streckeafag. Daher wird eie mehrfach wiederholte Messug icht immer geau das gleiche Ergebis liefer. 3. Agabe vo Meßergebisse Im Ergebis eier eizele Messug gibt ma ur die mit dem beutzte Meßgerät tatsächlich gesicherte Ziffer a ("geltede" Ziffer). Beachte: Zollstock Schieblehre Mikrometerschraube Meßbereich 0... m cm 0... cm kleiste meßbare Läge Beispiel Azahl der geltede Ziffer 1 mm 0,1 mm 0,01 mm 911 mm 91,1 cm 0,911 m 3 51,3 mm 5,13 cm 0,0513 m 3 13,45 mm 1,345 cm 0,01345 m Mit eiem Zollstock wurde s=7 mm gemesse; gleichbedeuted damit sid die Agabe s=7, cm, s=0,07 m ud s=0,00007 km, da sie ebefalls geltede Ziffer ethalte, die "führede" Nulle (uterstriche) sid keie geltede Ziffer! Die Agabe s=7,0 mm oder s=7,0 cm sid irreführed: sie täusche vor, es seie auch 1 och die 10 mm gemesse ud eie 0 gefude worde; dies wäre aber ur mit eier Schieblehre möglich gewese. Die Meßergebisse s=7, cm ud s=7,0 cm habe also eie verschiedee Bedeutug! Bei Messuge im Schuluterricht sid kaum mehr als 3 geltede Ziffer möglich! 4

3 3 4. Messug eier kostate Größe ud Mittelwert Es sei W der "wahre" Wert eier physikalische Größe, d.h. ihr absolut exakter Wert. Er läßt sich grudsätzlich iemals messe! Wiederholte Messuge liefer die Eizelwerte: s 1, s, s 3, s 4,..., s -1, s ( = Azahl der Messuge). Jede dieser Eizelmessuge s i ist mit eie Meßfehler behaftet. Defiitio 1: Der wahre Fehler eier Eizelmessug s i ist dere Abweichug vom wahre Wert W: w i = W - s i Der wahre Fehler ist wie der wahre Wert icht bestimmbar. Ziel der Messug ka daher ur sei, eie Wert L zu bestimme, der dem wahre Wert möglichst ahe kommt: ma et ih de "beste", "plausible" oder "wahrscheiliche" Wert der Größe. Defiitio : Der scheibare Fehler eier Eizelmessug s i ist die Abweichug vom beste Wert L: = L - s i Die folgede Überleguge beschäftige sich mit der sivolle Festlegug des Bestwertes. Beispiel: Gegebe seie die 4 Meßwerte: s i L 1 =1,4 L =1,9 L 3 =1,8 L 4 =1,7 s 1, s, s 3, s 4 Für de beste Wert L ehme wir 1,4 willkürlich vier Werte a. 1,9 a. Bereche für jedes L i die scheibare 1,8 Fehler. 4 1,7 b. Bereche dere Summe Σ = i=1 Feststellug: Es gibt ei L mit Soderstellug, das sich daher als Bestwert eiget. Axiom 1: Der Bestwert L der Größe ist derjeige Wert, für de Σ = 0 gilt. Wie berechet ma de Bestwert allgemei? s 1 + v 1 = L s + v = L : s + v = L Additio: Σ s i + Σ = L L = Σ s i + Σ L = Σ s i (da Σ = 0) Die Forderug Σ =0 ergibt als Bestwert de arithmetische Mittelwert der Eizelwerte s i. Ma et ih meist eifach "Mittelwert" ud schreibt s _ = Σ s i

4 4 5. Messug eier Größe, die eie lieare Fuktio eier adere ist (Ausgleichsgerade) gegebe: gesucht: Beispiel: (t 1 s 1 ), (t s )..., (t s ) ( Messuge) Steigug a ud Abschitt b der Gerade s = a t + b Zeiche i ei Koordiatesystem (t ach rechts, s ach obe): t s a. Bestimmug des Schwerpuktes der Meßpukte s i + = a t i + b = f(t i ) 1 + v 1 = 3a + b allgemei: s 1 + v 1 = a t 1 + b 3 + v = 3a + b s + v = a t + b 5 + v 3 = 7a + b : 7 + v 4 = 7a + b s + v = a t + b Σ = 0a + 4b :4 Σ s i + Σ = aσ t i + b : 4 = 5a + b s 0 = a t 0 + b Schwerpukt S(5 4) S(t 0 s 0 ) mit s 0 = Σ s i Der Schwerpukt S muß auf der gesuchte Gerade liege. b. Bestimmug der Steigug a ud t 0 = Σ t i Die Koordiate-Trasformatio x = t - 5 ud y = s - 4 verlegt S i de Ursprug. Wir lege verschiedee Ursprugsgerade y= ax mit (willkürlich gewählte Steiguge a) durch die Meßpukte ud suche die "beste" Gerade: t s x y =ax i - y i a=0 a=0,5 a=1 a=1,5 a= = (ax i - y i ) a a - 1a Σ Σ Σ 1. Für welche der Summe Σ, Σ, Σ gibt es ei a mit Soderstellug?. Q(a) = Σ ist eie Parabel; bestimme die Scheitelpuktsform ihrer Gleichug: Q(a) = A (a-a o ) + B; bei welchem a 0 hat sie ihr Miimum? 3. Bereche de Achseabschitt b ud zeiche die gefudee "Ausgleichsgerade" i das s-t-diagramm ei. Axiom : Die Steigug der gesuchte Fuktiosgerade erhält ma für: Σ = Miimum, Als Ausgleichsgerade wählt ma diejeige, für die Σ miimal ist (Gaußsche Methode der kleiste Fehlerquadrate)

5 5 6. Verteilug der Eizelwerte bei Messug eier kostate Größe Beispiel: Die Dauer x eies Vorgags wird mit eier mechaische Stoppuhr (Geauigkeit 0,1 s) 50 mal gemesse: x i x i x i x i x i 9,7 10,1 10,0 10, 9,9 10, 10,0 10,3 10,0 9,7 9,9 9,8 10,1 10,0 10,1 10,0 9,9 9,9 10,5 10,0 9,8 10, 10, 10,1 9,8 10,1 10,0 9,7 9,9 10, 9,6 9,5 10,0 10,4 10,0 10,0 9,9 9,6 10,1 10,3 10,4 10,3 9,8 9,8 9,9 10,1 10,0 9,9 10,0 10,1 a. Bereche de Mittelwert x _. b. Schreibe für jede Meßwert x i die Größe = (x i - x _ ) i die Tabelle. Uter derstadardabweichug σ der Eizelwerte versteht ma: σ = Σ - 1 (=Azahl der Messuge) c. Bereche σ ud die relative prozetuale Stadardabweichug (σ / x _ ). 100 %. d. Bestimme die Azahl N(x) der Meßwerte x ud trage N(x) gege x i eiem Diagramm auf: x 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 10,1 10, 10,3 10,4 10,5 N(x) e. Wieviel Prozet der Eizelwerte x i liege im Itervall 1. x _ - σ bis x _ + σ?. x _ - σ bis x _ + σ? 3. x _ - 3σ bis x _ + 3σ? Uter dem Fehler x _ des Mittelwertes versteht ma die Größe x _ = σ = Σ (-1) Der Mittelwert vo jeweils Messuge liegt mit 68% Wahrscheilichkeit im Itervall [x _ - x _ ; x _ + x _ ]. Ma gibt das Ergebis eier Messug zusamme mit dem absolute Fehler x _ ud dem relative prozetuale Fehler a i der Form: x = (x _ ± x _ ), ( x _ / x _ ). 100% =...

6 7. Fehlerfortpflazug 6 Bei de meiste Auswertuge ermittelt ma ei Resultat, das aus eier oder mehrere umittelbar gemessee Größe berechet wird. Beispiel 1: Die Kateläge eies Quadrats wird mit a o =5,0 cm ud a 1 =5,1 cm gemesse. a. Um wieviel Prozet weicht a 1 vo a o ab? b. Um wieviel Prozet weicht der mit a 1 berechete Flächeihalt A 1 vo dem mit a o berechete Flächeihalt A o ab? Beispiel : Die Kateläge eies Würfels wird mit a o =5,0 cm ud a 1 =5,1 cm gemesse. a. Um wieviel Prozet weicht a1 vo ao ab? b. Um wieviel Prozet weicht das mit a 1 berechete Volume V 1 vo dem mit a o berechete V o ab? Allgemei: y1 yo y x dy Tagete i (xo yo) Das Resultat y bereche sich aus dem Meßwert x gemäß y = f(x) = a x (a kostat). Die Meßwertes seie x 0 ud x 1 =x 0 + x Wie groß ist die (relative) Abweichug zwische de Resultate y 0 =f(x 0 ) ud y 1 =f(x 1 )? Die Steigug des Graphe a der Stelle x 0 sei m=f (x 0 ) Da gilt (siehe Steigugsdreieck): xo x1=xo+ x m = dy x dy = m. x = f (x 0 ). x Falls x klei ist, gilt y dy y = f (x 0 ). x = ax 0-1. x y y 0 = a x 0-1 a x 0 Verallgemeierug: x = x x 0 Ist das Resultat y eie Potezfuktio des Meßwertes x, also y=ax, so ist der relative Fehler des Resultats -mal so groß wie der relative Fehler des y x Meßwertes: y = x Ist das Resultat y ei Produkt mehrerer Poteze, z.b. y = a x m z, so addiere sich die Eizelfehler im ugüstige Fall: y x y = m x z + z (relativer Größtfehler) Mit eier gewisse Wahrscheilichkeit gleiche sich die Fehler gegeseitig aus, ud es gilt das Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz: y y = y = F. y Faustregel: (m x x ) + ( z z ) = F (mittlerer relativer Fehler des Resultats) (mittlerer absoluter Fehler des Resultats) Das Resultat hat höchstes so viele geltede Ziffer wie die ugeaueste der eigehede Größe.

7 Ergäzug zu 6: 7 Die Verteilug der Eizelwerte wird durch die Gaußsche Fehlerfuktio beschriebe: _ 1 (x-x f(x) = exp [ - ) σ π σ ] Beispiel: σ = 0, ud _ x =10 ± σ Für die Wahrscheileichkeit, eie Wert aus dem Itervall [x, x+ x] zu messe, gilt w(x) = f(x). x. Im Itervall [x _ - σ, x _ + σ] liege 68,3 % aller Eizelwerte, im Itervall [x _ - σ, x _ + σ] liege 95,4 % aller Eizelwerte, im Itervall [x _ - 3σ, x _ + 3σ] liege 99,7 % aller Eizelwerte Aufgabe zu 6: Es gelte für das Resultat: y = 3 x 100 z ud folgede Meßreihe für x ud y liege vor: x 35,7 35,8 35,5 35,6 35,6 35,9 35,5 35,4 35,7 35,7 z,4,41,40,38,40,4,39,38,37,43 1. Bereche die Mittelwerte x _ ud _ z ud damit das Resultat y.. Bereche die Stadardabweichuge σ x ud σ z. 3. Bereche die Fehler der Mittelwerte x _ = σ x ud z_ = σ z 4. Schreibe die Ergebisse x = x _ ± x _ ud z = z _ ± z _ mit passeder Stellezahl. 5. Bereche die relat. proz. Fehler der Mittelwerte ( x _ / x _ ). 100% ud ( z _ / z _ ). 100%

8 8 6. Bereche de mittlere relative ud absolute Fehler des Resultats y ud schreibe mit passeder Stellezahl i der Form: y = y ± y, ( y / y). 100% =....

9 9 Schriftliche Übug zur Fehlerrechug Aufgabe 1: Die beide Diagramme zeige dieselbe Meßpukte mit zwei verschiedee Ausgleichsgerade. Utersuche durch Rechug, welche der beide Gerade die Bedigug für die Ausgleichsgereade besser erfüllt. Aufgabe. a. Gib die Formel für die Stadardabweichug σ der Eizelwerte a b. Wie lautet die Formel für de Fehler des Mittelwertes x _?... x y b. Bereche die Mittelwerte ud die Fehler der Mittelwerte: x = x _ ± x _ =... x = x _ ± y _ =...

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