Spezielle stetige Verteilungen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Spezielle stetige Verteilungen"

Transkript

1 Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für eine exponentailverteilte Zufallsvariable X gilt EX = 1 k V (X ) = 1 k 2 P(X > t + s X > t) = P(X > s) für alle s, t > 0, d. h. die Exponentialverteillung ist gedächtnislos verteilungen2.pdf, Seite 1

2 Dichte und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung für verschiedene Parameterwerte k. verteilungen2.pdf, Seite 2

3 Anwendung Die Exponentialverteilung ist das stetige Gegenstück der geometrischen Verteilung. Sie modelliert die Wartezeit auf ein zufällig eintretendes Ereignis, wenn diese Wartezeit nicht davon abhängt, wie lange man bereits gewartet hat. Beispiele sind Lebensdauer eines Bauteils, das keinem Verschleiÿ unterliegt Wartezeit bis zum nächsten Anruf/auf den nächsten Kunden In einem PoissonProzess ist die Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Ereignissen exponentialverteilt. verteilungen2.pdf, Seite 3

4 Verallgemeinerung: Die WeibullVerteilung beschreibt die Lebensdauer von Bauteilen mit altersabhängiger Ausfallrate. Sie hat die Dichte mit den Parametern α, β > 0. f (x) = αβx β 1 e αxβ für x > 0 Die Verteilungsfunktion ist F (x) = 1 e αxβ für x 0. Mit β = 1 ergibt sich gerade die Exponetialverteilung mit dem Parameter α, für β > 1 nimmt die Ausfallrate mit zunehmendem Alter zu. verteilungen2.pdf, Seite 4

5 Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit Dichte f (x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 für x R heiÿt normalverteilt mit Parametern µ R und σ > 0, Notation X N(µ, σ 2 ). Eine StandardNormalverteilung liegt vor, wenn µ = 0 und σ = σ 2 = 1, also X die Dichte ϕ(x) = 1 2π e 1 x 2 2 hat. Eigenschaften der Dichte f (x) hat ein globales Maximum bei x = µ, ist streng monoton wachsend für x < µ und streng monoton fallend für x > µ. Die Dichte ist symmetrisch um µ, d. h. f (µ + x) = f (µ x) und sie hat zwei Wendepunkte bei x = µ ± σ. verteilungen2.pdf, Seite 5

6 Dichte der Normalverteilung verteilungen2.pdf, Seite 6

7 Eigenschaften normalverteilter Zufallsvariablen EX = µ und V (X ) = σ 2, falls X N(µ, σ 2 ), d. h. die Parameter µ und σ einer normalverteilten Zufallsvariable sind gerade Erwartungswert und Standardabweichung. Dabei wird in der Notation üblicherweise die Varianz σ 2 angegeben, d. h. X N(0; 4) bedeutet z. B. dass X normalverteilt ist mit Erwartungswert 0 und Varianz σ 2 = 4. Die Standarsabweichung ist somit σ = 2. Die lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable ergibt wieder eine normalverteilte Zufallsvariable: Ist X N(µ, σ 2 ) und a, b R mit a 0, so ist ax + b normalverteilt mit Erwartungswert aµ + b und Varianz a 2 σ 2, d. h. ax + b N(aµ + b, (aσ) 2 ). verteilungen2.pdf, Seite 7

8 Weitere Eigenschaften Ist X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2, so ist die standardisierte Zufallsvariable Z = X µ σ standardnormalverteilt. Ist umgekehrt Z standardnormalverteilt, so ist X = σ Z + µ N(µ, σ 2 ). Die Summe von zwei (oder mehr) unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt: Sind X und Y unabhängig mit X N(µ, σ 2 ) und Y N(ν, τ 2 ), so ist auch X + Y normalverteilt mit X + Y N(µ + ν, σ 2 + τ 2 ). verteilungen2.pdf, Seite 8

9 Verteilungsfunktion Für die Verteilungsfunktion F (x) = x f (t) dt einer N(µ, σ 2 )verteilten Zufallsvariable X lässt sich kein geschlossener Ausdruck angeben. X lässt sich durch Verschiebung und Streckung/Stauchung (Standardisierung) auf eine StandardNormalverteilung zurückführen: Ist X N(µ, σ 2 ), so gilt mit Z = X µ für die σ Verteilungsfunktion F von X : F (x) = P(X x) = P ( X µ σ wobei x µ σ Φ(z) = 1 2π z ) = P ( Z x µ σ e t2 2 die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. dt ) ( = Φ x µ ) σ, verteilungen2.pdf, Seite 9

10 Berechnung der Normalverteilung Allgemeiner gilt dann für eine N(µ, σ 2 )verteilte Zufallsvariable X P(a X b) = Φ ( b µ σ ) ( Φ a µ ) σ Ist nur eine untere Grenze gegeben, so erhält man P(X > a) = 1 P(X a) = 1 Φ ( ) a µ σ Die Werte von Φ(x) sind oft in Tabellen angegeben. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt Φ( x) = 1 Φ(x). Daher beschränken sich die Tabellen in der Regel auf Werte für x > 0. verteilungen2.pdf, Seite 10

11 Beispiel 1 Sei X N ( 1, 1 4), also σ2 = 1 4 σ = 1 2 Dann ist die standardisierte Zufallsvariable Z = 2(X 1) standardnormalverteilt und ( X) hat die Verteilungsfunktion x 1 F (x) = P(X x) = Φ = Φ ( ) 2(x 1). Z. B. gilt 1/2 ( ) ( ) P(1 X 1, 2) = Φ Φ 1,2 1 0, ,5 = Φ(0, 4) Φ(0) 0, , 5 = 0, 1554 = 15, 54% ( ) P(X > 0, 5) = 1 P(X 0, 5) = 1 Φ = 1 Φ( 1) = Φ(1) 0, 8413 = 84, 13% ( ) ( ) P(0 < X < 0, 6) = Φ Φ 0,6 1 0,5 = Φ( 0, 8) Φ( 2) = 1 Φ(0, 8) 0 1 0,5 0,5 1 0,5 ( 1 Φ(2) = Φ(2) Φ(0, 8) 0, , 7881 = 18, 91%. ) verteilungen2.pdf, Seite 11

12 Beispiel 2 mit µ = 3, σ 2 = 4 Gesucht sei ein möglichst kleines c > 0, so dass eine N(3; 4)verteilte Zufallsvariable X mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen 3 c und 3 + c liegt, also P(3 c X 3 + c) 0, 95 ) ( Φ 3 c 3 0, 95 Φ ( 3+c 3 σ = Φ(c/2) σ ( ) 1 Φ(c/2) Φ(c/2) 1 (1 + 0, 95) = 0, ) = Φ(c/2) Φ( c/2) = 2 Φ(c/2) 1 Da Φ streng monoton wachsend und stetig ist, erfüllt das kleinstmögliche c mit dieser Eigenschaft die Gleichung Φ(c/2) = 0, 975 Aus der Tablle entnimmt man Φ(1, 96) 0, 975, also ist die Bedingung erfüllt, wenn c/2 1, 96 c 3, 92. verteilungen2.pdf, Seite 12

13 Verteilung von X N (3; 4) Die N (3; 4)verteilte Zufallsvariable X nimmt somit mit 95prozentiger Wahrscheinlichkeit einen Wert zwischen 3 3, 92 = 0, 92 und 3 + 3, 92 = 6, 92 an. Umgekehrt ist P(X < 0, 92) = P(X > 6, 92) 2, 5% P( X 3 > 3, 92) 5% verteilungen2.pdf, Seite 13

14 Quantile Der Wert x 1, 96, für den Φ(x) = 0, 975 gilt, ist das 97, 5%Quantil z 0,975 der StandardNormalverteilung. Die wichtigsten Quantile sind in Tabellen aufgeführt. Das pquantil z p ist der (eindeutig bestimmte) Wert, für den gilt P(Z z p ) = p für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. Aus Symmetriegründen gilt z 1 p = z p sowie (für p > 0, 5 z p > 0) P( Z z p ) = P(Z z p ) + P(Z z p ) = 2 (1 p). verteilungen2.pdf, Seite 14

15 Anschauliche Bedeutung eines Quantils z p verteilungen2.pdf, Seite 15

16 Spezielle Werte der Normalverteilung Die Wahrscheinlichkeit, dass eine N(µ, σ 2 )verteilte Zufallsvariable einen Wert... gröÿer als µ + σ annimmt, liegt bei 1 Φ(1) 15, 9% gröÿer als µ + 2σ annimmt, liegt bei 1 Φ(2) 2, 3% gröÿer als µ + 3σ annimmt, liegt bei 1 Φ(3) 0, 13% zwischen µ σ und µ + σ annimmt, liegt bei Φ(1) Φ( 1) = 2Φ(1) 1 68, 3% zwischen µ 2σ und µ + 2σ annimmt, liegt bei Φ(2) Φ( 2) = 2Φ(2) 1 95, 5% zwischen µ 3σ und µ + 3σ annimmt, liegt bei Φ(3) Φ( 3) = 2Φ(3) 1 99, 7% verteilungen2.pdf, Seite 16

17 Standardnormalverteilung verteilungen2.pdf, Seite 17

18 Zentraler Grenzwertsatz Voraussetzungen Betrachtet wird die Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen X 1, X 2, X 3,..., die gegeben ist durch n S n = X k = X X n k=1 Die X k dürfen eine beliebige Verteilung haben, vorausgesetzt wird, dass der Erwartungswert EX k = µ und die Varianz V (X k ) = σ 2 existieren. Dann hat S n den Erwartungswert ES n = n µ, die Varianz V (S n ) = n σ 2 und die Standardabweichung n σ. Es folgt, dass Z n = S n ES n V (Sn ) = S n nµ n σ die für jedes n eine standardisierte Zufallsvariable ist, d. h. für alle n 1 gilt EZ n = 0 und V (Z n ) = 1 für alle n 1. verteilungen2.pdf, Seite 18

19 Zentraler Grenzwertsatz Die Folge (Z n ) n 1 konvergiert in Verteilung gegen die StandardNormalverteilung, d. h. für alle x R gilt lim P(Z n x) = lim F n (x) = Φ(x), n n wenn F n die Verteilungsfunktion von Z n und Φ die der Standardnormalverteilung ist. Folglich gilt für hinreichend groÿe n und b R mit x = b nµ n σ ( Sn nµ P(S n b) = P b nµ ) = P(Z n x) n σ n σ ( ) b nµ Φ(x) = Φ n σ Allgemeiner gilt für a, b R mit a < b ( ) ( ) b nµ a nµ P(a S n b) Φ Φ n σ n σ Dabei kann auch durch < ersetzt werden. verteilungen2.pdf, Seite 19

20 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel 1 Verteilung der Augensumme S 10 bei 10maligem Würfeln Mit der Augenzahl X k des kten Würfels ist µ = EX k = 7 = 3, 5 und 2 σ 2 = V (X k ) = 35 σ = 35 1, verteilungen2.pdf, Seite 20

21 Fortsetzung Beispiel 1 Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner als 30 ist, gilt (mit 10 µ = 35 und σ 10 = ) 12 ( ) P(S 10 < 30) Φ 10 35/12 = Φ( 0, 926) = 1 Φ(0, 926) 1 [0, 4 Φ(0, 92) + 0, 6 Φ(0, 93)] 1 0, , 7% Dabei wurde Φ(0, 926) = Φ(0, 4 0, , 6 0, 93) mit den Tabellenwerten für Φ(0, 92) und Φ(0, 93) linear interpoliert: Aus 0, 926 = 0, , 6 (0, 93 0, 92) = 0, 4 0, , 6 0, 93 erhält man Φ(0, 926) 0, 4 Φ(0, 92) + 0, 6 Φ(0, 93) 0, 4 0, , 6 0, , 8228 verteilungen2.pdf, Seite 21

22 Beispiel 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme bei 100 mal Würfeln zwischen 320 und 360 liegt, erhält man durch ( ) ( ) , ,5 P(320 S ) Φ Φ ( = Φ ) ( Φ / /12 ) = Φ(0, 343) Φ( 1, 029) = Φ(0, 343) 1 + Φ(1, 029) = 0, , 848 = 0, 482 = 48, 2% verteilungen2.pdf, Seite 22

23 Beispiel 3 Wie oft muss man würfeln, damit die Augensumme S n mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit um maximal 1% vom Erwartungswert n µ = 3, 5n abweicht? P ( S n nµ n µ ) ( ( ) 100 = P n µ Sn ( ) ) n µ) 100 ( ) ( ) ( 0,01nµ Φ 0,01nµ n σ Φ n σ = 2Φ 0,035 n ) 1 35/12 Damit dieser Ausdruck 0, 99 ist, muss mit dem 99, 5%Quantil z 0,995 = 2, 5758 der Standardnormalverteilung gelten Φ ( 0,035 35/12 n n ) 0, 995 0,035 35/12 n z 0,995 ( ) 35/12 z 0,995 n ,5758 0, , , 01 Also muss man mindestens mal würfeln. verteilungen2.pdf, Seite 23

24 Zentraler Grenzwertsatz Bemerkungen Der zentrale Grenzwertsatz gilt für beliebige Verteilungen von X k, so lange Erwartungswert und Varianz endlich sind. Auch bei diskreten Zufallsvariablen X k nähert sich die Verteilung von X X n für n einer stetigen Normalverteilung an. Die Approximation von S n durch eine Normalverteilung ist im allgemeinen besser, wenn die Verteilung der X k symmetrisch ist, d. h. wenn X k und µ X k die selbe Verteilung haben. Sind die X k diskret verteilt, so erhält man eine bessere Approximation durch eine Stetigkeitskorrektur (siehe Beispiel zur Binomialverteilung). Es gibt Varianten des zentralen Grenzwertsatzes, die unter schwächeren Voraussetzungen als unabhängig und identisch verteilt gelten. verteilungen2.pdf, Seite 24

25 Vergleich zentraler Grenwertsatz Gesetz der groÿen Zahlen Beide Sätze haben die gleichen Voraussetzungen: unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen X 1, X 2,... mit Erwartungswert EX k = µ R uns Varianz V (X k ) = σ 2 <. Mit S n = X X n und X n = 1 n S n betrachtet das Gesetz der groÿen Zahlen die Folge S n nµ n = X n µ, deren Verteilung sich zu einem Punkt zusammenzieht. Dagegen macht der zentrale Grenzwertsatz Aussagen über die Folge S n nµ = ( ) n X n µ, n die sich einer Normalverteilung mit Varianz σ 2 annähert. verteilungen2.pdf, Seite 25

26 Zentraler Grenzwertsatz für Binomialverteilung Ist X b(n, p), so ist X die Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen, die jeweils die Werte 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 p und 1 mit Wahrscheinlichkeit p annehmen. Nach dem zentralen Grenzwertsatz nähert sich die Verteilung von X EX = X np V (X ) np(1 p) für n der StandardNormalverteilung an. Folglich gilt für groÿe n (Faustregel np(1 p) 9 n 9 p(1 p) ) ( a np P(a X b) = P np(1 p) X np np(1 p) ( ) ( ) b np a np Φ Φ np(1 p) np(1 p) ) b np np(1 p) verteilungen2.pdf, Seite 26

27 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung verteilungen2.pdf, Seite 27

28 Steigkeitskorrektur Da die Binomialverteilung nur ganzzahlige Werte annimmt, gilt z. B. P(5 X 10) = P(4, 5 X 10, 5) = P(4 < X < 11), d. h. man kann verschiedene Werte für a und b wählen, um das gleiche Zufallsereignis zu beschreiben. Allgemeiner: Um P(α X β) mit α, β Z zu bestimmen, können a und b beliebig mit α 1 < a α und β b < β + 1 gewählt werden. Die beste Näherung mit dem zentralen Grenzwertsatz erhält man, wenn man die Werte in der Mitte a = α 1 und b = β + 1 wählt, also 2 2 ( β P(α X β) Φ np ) ( α 1 Φ np ) 2. np(1 p) np(1 p) verteilungen2.pdf, Seite 28

29 Beispiel 1 Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, beim 45 maligen Würfeln mehr als 4 und weniger als 11 Sechsen zu erhalten? Die Zahl X der Sechsen ist binomialverteilt mit mit n = 45 und p = 1. Mit np = 7, 5 und 6 np (1 p) = 75 = 25 = 5 = 2, 5 erhält man P(4 < X < 11) = P(5 X 10) = P(4, 5 X 10, 5) ( ) ( ) Φ Φ = Φ(1, 2) Φ( 1, 2) 10,5 7,5 2,5 4,5 7,5 2,5 = 2 Φ(1, 2) 1 = 2 0, , 0 %. Bemerkung: Die exakte Wahrscheinlichkeit liegt bei 77, 25 %. Obwohl die Faustregel nicht erfüllt ist (np(1 p) = 6, 25 < 9) liefert die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur schon eine gute Näherung. verteilungen2.pdf, Seite 29

30 Beispiel 2 Die Wahrscheinlichkeit, beim 1000maligen Würfeln zwischen 160 und 170 Sechsen zu werfen, erhält man durch P(160 X 170) = P(159, 5 X 170, 5) ( ) ( ) Φ Φ 35, 6%. 170, /36 Bemerkung 159, /36 Ohne die Stetigkeitskorrektur ist das Ergebnis ( ) ( ) Φ Φ , 6%. 5000/ /36 Die mit der Binomialverteilung berechnete exakte Wahrscheinlichkeit liegt bei b 1000; 1 6 (160) + b 1000; 1 (161) b 1000; 1 (170) 35, 7%. 6 6 verteilungen2.pdf, Seite 30

31 Bemerkung Ist eine Wahrscheinlichkeit der Form P(a < X < b) gefragt, so werden bei der Stetigkeitskorrektur die Grenzen nach innen verschoben. Im letzten Beispiel wäre P(160 < X < 170) = P(160, 5 X 169, 5) ( ) ( ) Φ Φ 169, /36 160, /36 Φ(0, 240) Φ( 0, 523) 29, 5%. Allgemein gilt also für Zufallsvariablen mit ganzzahligen Werten und α, β Z: Bei einer unteren Grenze der Form α X wird a durch α 1 2 und bei α < X durch α + 1 ersetzt. Die obere Grenze wird bei 2 X β durch β + 1 und bei X < β durch β 1 ersetzt. 2 2 verteilungen2.pdf, Seite 31

32 Beispiel 3 Eine Fluggesellschaft weiÿ aus Erfahrung, dass von den Kunden, die einen Flug gebucht haben, im Durchschnitt 95% tatsächlich erscheinen. Ein Flugzeug hat 300 Plätze. Wie viele Tickets kann die Fluggesellschaft maximal verkaufen, damit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit alle Passagiere, die erscheinen, einen Platz bekommen? Dabei wir für die Zahl X der erschienenen Passagiere eine Binomialverteilung mit p = 0, 95 angenommen. Ist n die Zahl der verkauften Tickets, so muss gelten P(X 300) 0, 95, wobei X b(n; 0, 95). verteilungen2.pdf, Seite 32

33 Rechnung im Beispiel Für welche n gilt für eine b(n; 0, 95)verteilte Zufallsvariable X, dass P(X 300) 0, 95? Die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur liefert mit dem 95%Quantil z 0,95 = 1, 6449 der Standardnormalverteilung ( ) 300,5 0,95n 0, 95 P(X 300) Φ n 0,95 0,05 z 0,95 300,5 0,95n n 0,95 0,05 300, 5 0, 95n 1, 6449 n 0, 95 0, 05 0, 3585 n Mit x = n und g(x) = 0, 95x 2 + 0, 3585x 300, 5 muss dann gelten g(x) 0 x 2 + 0, 3774x 316, x 17, 60 n = x 2 309, 76 Somit können bis zu 309 Tickets verkauft werden. verteilungen2.pdf, Seite 33

34 Approximation der PoissonVerteilung Eine Poissonverteilte Zufallsvariable X mit Parameter λ > 0 entspricht aufgrund der Summationseigenschaft einer Summe von n unabhängigen Poissonverteilten Zufallsvariablen mit Parameter λ/n. Daher kann für hinreichend groÿe λ (Faustregel λ 9) die PoissonVerteilung durch die Normalverteilung mit Erwartungswert µ = λ und Varianz σ 2 = λ approximiert werden. Mit Stetigkeitskorrektur erhält man dann für ganzzahlige α, β P(α X β) Φ ebenso P(X β) Φ ( β+ 1 λ 2 ( ) β+ 1 λ 2 λ λ ) Φ ( α 1 λ 2 λ ), und P(X α) 1 Φ ( α 1 λ 2 λ ). Bei < statt werden auch hier jeweils die Grenzen entsprechend nach innen verschoben. verteilungen2.pdf, Seite 34

35 Beispiel Ist X Poissonverteilt mit Parameter λ = 16, so ist P(X > 16) = λ k k=17 k! e λ = 1 16 λ k k=0 k! e λ 43, 4%. Mit der Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur erhält man ( ) ( ) 16, P(X > 16) 1 Φ = 1 Φ 45, 0% 4 8 Weiter ist z. B. ( ) ( ) 17, , 5 16 P(13 X 17) Φ 4 4 = Φ(3/8) Φ( 7/8) = Φ(3/8) 1 + Φ(7/8) 37, 1% verteilungen2.pdf, Seite 35

36 Die ChiQuadratVerteilung (χ 2 Verteilung) mit m Freiheitsgraden ist die Verteilung von X = m Zk 2 = Z Z Zm, 2 k=1 wenn Z 1,..., Z m unabhängig und standardnormalverteilt sind. Notation: X χ 2 (m) Additionseigenschaft Aus der Denition folgt: Sind X χ 2 (m) und Y χ 2 (n) unabhängig, so ist X + Y χ 2 (m + n). verteilungen2.pdf, Seite 36

37 Dichte der χ 2 Verteilung verteilungen2.pdf, Seite 37

38 Eigenschaften Ist X χ 2 (m), so ist EX = m und V (X ) = 2m. Dies folgt aus der Additionseigenschaft mit EZ 2 = 1 und V (Z 2 ) = E(Z 4 ) (E(Z 2 )) 2 = 3 1 = 2 für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. X χ 2 (m) hat die Dichte f (x) = 1 2 m/2 Γ ( m 2 ) x m 2 1 e x/2 für x > 0, wobei die Werte Γ ( m 2 ) der Gammafunktion mit einer Rekursionsformel berechnet werden können. Die Verteilungsfunktion der χ 2 (m)verteilung lässt sich (zumindest für ungerade m) nicht durch einen geschlossenen Ausdruck angeben. verteilungen2.pdf, Seite 38

39 Die Gammafunktion (Teschl/Teschl S ) ist deniert durch das uneigentliche Integral Γ(y) = 0 t y 1 e t dt, welches für alle y > 0 existiert. Mit partieller Integration erhält man die Rekursionsformel Γ(y + 1) = y Γ(y). Mit Γ(1) = 1 folgt Γ(n + 1) = n! für n N (Beweis durch vollständige Induktion!) Weiter ist Γ ( 1 2) = π, womit mit der Rekursionsformel weitere Werte der Gammafunktion bestimmt werden können: Γ ( 3 2 ) = 1 2 π, Γ ( 5 2 ) = 3 4 π, Γ ( 7 2 ) = 15 8 π,... verteilungen2.pdf, Seite 39

40 Beispiel Die χ 2 (3)Verteilung hat die Dichte f 3 (x) = 1 2 3/2 Γ( 3 2) x e x/2 = 1 2π x e x/2 für x > 0, für m = 6 erhält man f 6 (x) = Γ(3) x 2 e x/2 = 1 16 x 2 e x/2 Anwendungen der χ 2 Verteilung Die χ 2 Verteilung tritt in statistischen Testverfahren auf. Dabei spielen die Quantile χ 2 m;p für P(X < χ 2 m;p) = p für eine χ 2 (m)verteilte Zufallsvariable X eine Rolle. Diese Quantile sind oft in Tabellen aufgeführt. Ist F die Verteilungsfunktion von X, so gilt F (χ 2 m;p) = p χ 2 m;p = F 1 (p). verteilungen2.pdf, Seite 40

41 Beispiel: 80%Quantil der χ 2 (4)Verteilung verteilungen2.pdf, Seite 41

42 Grundlage für das Auftreten der χ 2 Verteilung als Testverteilung in der Statistik ist der Satz Sind Z 1,..., Z n N(µ, σ) unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen, so ist n ( ) 2 ( ) 2 ( Zk Z Z1 Z Zn Z = ) 2 k=1 σ σ σ mit Z = 1 n (Z Z n ) eine χ 2 verteilte Zufallsvariable mit m = n 1 (nicht n) Freiheitsgraden. verteilungen2.pdf, Seite 42

43 Die studentsche t-verteilung mit m Freiheitsgraden ist die Verteilung von T = Z X /m, wenn Z und X unabhängige Zufallsvariablen sind mit Z N(0; 1) und X χ 2 (m), Notation T t(m). Sie hat die Dichte Γ ( ) m+1 2 f (x) = (1 + x 2 mπ Γ(m/2) m ) m+1 2 für x R. verteilungen2.pdf, Seite 43

44 Spezielle Dichten f m der t(m)verteilung f 1 (x) = Γ(1) π Γ( 1 f 2 (x) = Γ( 3 2) 2π Γ(1) f 5 (x) = 2) (1 + x 2 ) 1 = 1 1 π 1+x 2 ( ) 3/2 1 + x 2 2 = 1 Γ(3) 5π Γ( 5 2) f 6 (x) = Γ( 7 2) 6π Γ(3) ( ( 1 + x x 2 6 (2+x 2 ) 3/2 ) 3 = 8 ( ) 3 5 π 1+ x ) 7/2 = 15 ( x 2 6 ) 7 verteilungen2.pdf, Seite 44

45 Dichte der tverteilung verteilungen2.pdf, Seite 45

46 Eigenschaften Die Dichte der tverteilung ist symmetrisch um 0 und breiter als die Normalverteilung. Für m nähert sie sich der Standardnormalverteilung an und kann für groÿe m (Faustregel m 30) durch diese approximiert werden. Der Erwartungswert der t(1)verteilung existiert nicht. Ist X t(m) mit m 2, so ist ET = 0. Die Varianz der tverteilung mit einem oder zwei Freiheitsgraden ist unendlich. Für T t(m) mit m 3 ist V (T ) = m. m 2 Für m = 1 entspricht die tverteilung der CauchyVerteilung. Sind Z 1 und Z 2 unabhängig und standardnormalverteilt, so ist der Quotient Z 1 /Z 2 Cauchyverteilt. verteilungen2.pdf, Seite 46

47 Die F Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) ist eine weitere in der Statistik wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat zwei ganzzahlige Parameter n, m 1 und die Dichte ) f (x) = m m 2 n n 2 Γ ( m 2 + n 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) x m 2 1 (mx + n) (m+n)/2 für x > 0. Die F Verteilung ergibt sich als Verteilung eines Quotienten ( 1 m X ) / ( 1 n Y ), wenn X und Y unabhängig und χ 2 verteilt sind mit m bzw. n Freiheitsgraden. verteilungen2.pdf, Seite 47

48 Dichten der F Verteilung verteilungen2.pdf, Seite 48

49 Erwartungswert und Varianz Für eine F verteilte Zufallsvariable mit Parametern m und n gilt: Ist n = 1 oder n = 2, so existiert der Erwartungswert nicht. Im Fall n 3 ist EX = unabhängig von m. n n 2 Die Varianz ist unendlich, falls n 4. Für n 5 ist V (X ) = 2n2 (m + n 2) m(n 2) 2 (n 4). verteilungen2.pdf, Seite 49

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

0, t 0,5

0, t 0,5 XIII. Die Normalverteilung ==================================================================. Der lokale Grenzwertsatz --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 1 Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 Aufgaben zu Kapitel 5 Zu Abschnitt 5.1 Ü5.1.1 Finden Sie eine maximum-likelihood-schätzung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler http://evol.bio.lmu.de/_statgen 7. Juni 2013 1 Binomialverteilung 2 Normalverteilung 3 T-Verteilung

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Grundlagen der Mathematik II (LVA U)

Grundlagen der Mathematik II (LVA U) Dr. Marcel Dettling 21.05.2010 Dr. Daniel Haase FS 2010 daniel.haase@math.ethz.ch Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U 11 Zur Übungsstunde vom 21.05.2010 Aufgabe 31 (Rechnen mit der Normalverteilung

Mehr

Normalverteilung und Standardisierung

Normalverteilung und Standardisierung Normalverteilung und Standardisierung N(0,1) z 0 z N(µ,) }{{}}{{} µ µ z z z µ+z Die Normalverteilungen N(µ, ) ergeben sich aus der Standardnormalverteilung N(0, 1) (Gaussche Glockenkurve) durch strecken

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt. Normalverteilung Diskrete Stetige f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Gauß 91 / 169 Normalverteilung Diskrete Stetige Satz: f aus (1) ist Dichte. Beweis: 1. f(x) 0 x R und σ > 0. 2. bleibt z.z. lim F(x)

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Übungsscheinklausur,

Übungsscheinklausur, Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 27 Prof. Dr. F. Liese Übungsscheinklausur, 3.7.27 Dipl.-Math. M. Helwich Name:...

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern. 10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

15.5 Stetige Zufallsvariablen

15.5 Stetige Zufallsvariablen 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven

Mehr

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Statistik III Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 1 1.1 Diskrete Zufallsvariablen........................... 1 1.2 Stetige Zufallsvariablen............................

Mehr

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen

Mehr

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel 3 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 3. Einleitung Wir hatten schon bemerkt, dass der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums nicht ausreicht, um das unendliche Wiederholen eines Zufallsexperiments

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte

Mehr

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik SS 2012 (Vorlesung von Prof. Reinhard Bürger) 1) Man gebe für die folgenden Experimente Wahrscheinlichkeitsmodelle an: (a) Wurf mit einer homogenen Münze,

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π 53 Allgemein gilt der folgende Satz. Satz 6.1 (Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace) Die Wahrscheinlichkeit P n (k) einer Binomialverteilung (mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelexperiment)

Mehr

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...

1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente... Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung 0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Intervallschätzung Motivation und Hinführung Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 009 war genau

Mehr

Varianz und Kovarianz

Varianz und Kovarianz KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]

Mehr

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4

Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Asymptotische Stochastik (SS 2010)

Asymptotische Stochastik (SS 2010) Institut für Stochastik PD. Dr. Dieter Kadelka Daniel Gentner Asymptotische Stochastik (SS 2010) Lösungen zu Übungsblatt 4 Aufgabe 1 (lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace und eine Verallgemeinerung)

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Georg Bol georg.bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de Stetige Verteilungen Definition: Sei

Mehr

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren. Definition Ist X X,...,X p ein p-dimensionaler Zufallsvektor mit E X j < für alle j, so heißt

Mehr

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 Empirische Softwaretechnik Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 Hypothesentesten, Fehlerarten und Güte 2 Literatur Kreyszig: Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 7.

Mehr

Stochastik für die Naturwissenschaften

Stochastik für die Naturwissenschaften Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 6. Ausgewählte Verteilungen (Distributions) * diskret: Bernoulli, Binomial, Geometrisch, Poisson * stetig: Uniform, Exponential, Normal, χ 2,

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen

Mehr

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)

Mehr

Tabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen

Tabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen Kapitel 11 Stichprobenfunktionen Um eine Aussage über den Wert eines unbekannten Parameters θ zu machen, zieht man eine Zufallsstichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit. Das Merkmal wird in diesem

Mehr

Wir gehen wieder von einem allgemeinen (parametrischen) statistischen Modell aus, (

Wir gehen wieder von einem allgemeinen (parametrischen) statistischen Modell aus, ( Kapitel 4 Konfidenzbereiche Wir gehen wieder von einem allgemeinen parametrischen statistischen Modell aus, M, A, P ϑ ; sei eine Funktion des Parameters gegeben, die einen interessierenden Teil-Parameter

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler

Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Hartmut Lanzinger Wintersemester 0/ Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeiten Einführung.......................................... Laplacesche Wahrscheinlichkeitsräume...........................

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr

k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p [T k] Φ. np(1 p) DWT 4.1 Einführung 359/467 Ernst W. Mayr Die so genannte Gütefunktion g gibt allgemein die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Test die Nullhypothese verwirft. Für unser hier entworfenes Testverfahren gilt ( ) k np g(n, p) = Pr p [T K] = Pr p

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R

Mehr

Demokurs. Modul Grundlagen der Wirtschaftsmathematik Grundlagen der Statistik

Demokurs. Modul Grundlagen der Wirtschaftsmathematik Grundlagen der Statistik Demokurs Modul 31101 Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Kurs 40601 Grundlagen der Statistik 13. Juli 2010 KE 1 2.4 Schiefe und Wölbung einer Verteilung Seite: 53 2.4 Schiefe und Wölbung

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/453

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/453 fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/453 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die

Mehr

Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung

Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XII - Gleichmäßig beste unverfälschte Tests und Tests zur Normalverteilung Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D.

Mehr

8 Die Exponentialverteilung

8 Die Exponentialverteilung 8 Die Exponentialverteilung 8.1 Einführung Modelle Zuverlässigkeitsmodelle Lebensdauermodelle Bedienungsmodelle. 277 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin Def. 26 (Exponentialverteilung) Sei X eine

Mehr

10. Die Normalverteilungsannahme

10. Die Normalverteilungsannahme 10. Die Normalverteilungsannahme Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher haben wir vorausgesetzt, daß die Beobachtungswerte normalverteilt sind. In diesem Fall kann man

Mehr

Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003

Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003 Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2003. Eine seltene Krankheit trete mit Wahrscheinlichkeit : 0000 auf. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein bei einem Erkrankten durchgeführter

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am 5..201 von 10:00 bis 11:00 Uhr Bearbeiten Sie zwei der drei folgenden Aufgaben! Sätze aus der Vorlesung und den Übungen dürfen Sie ohne

Mehr

Exponentialverteilung

Exponentialverteilung Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Mathematische Ökonometrie

Mathematische Ökonometrie Mathematische Ökonometrie Ansgar Steland Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum, Germany ansgar.steland@ruhr-uni-bochum.de Skriptum zur LV im SoSe 2005. Diese erste Rohversion erhebt keinen Anspruch

Mehr

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Jan Gertheiss LMU München Sommersemester 2011 Vielen Dank an Christian Heumann für das Überlassen von TEX-Code! Testen: Einführung und Konzepte

Mehr

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen

Mehr

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet.

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet. Statistik Grundlagen Charakterisierung von Verteilungen Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schätzen und Testen Korrelation Regression Einführung Die Einführung in grundlegende

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11.

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11. Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11 Namensschild Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer

Mehr

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen

Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen David Geier und Sven Middelberg RWTH Aachen, Sommersemester 27 Inhaltsverzeichnis Information 2 Aufgabe 4 Aufgabe 2 6 4 Aufgabe

Mehr

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36 Lösungsvorschläge zu Blatt ) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit Würfeln Mögl. Werte k des Produktes Wurfergebnis P X = k), ) /6, ),, ) /6, ),, ) /6, ),, ),, ) /6 5, 5), 5, ) /6 6, 6),,

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

Kapitel V - Erwartungstreue Schätzfunktionen

Kapitel V - Erwartungstreue Schätzfunktionen Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel V - Erwartungstreue Schätzfunktionen Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Punkt- und Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften Prof. Dr.

Mehr

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Prof. Dr. Matthias Schmid Institut für Statistik, LMU München Wichtig: ˆ Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur besteht aus fünf

Mehr

Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK

Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK. für Studierende der INFORMATIK Institut für Stochastik Prof. Dr. Daniel Hug Name: Vorname: Matr.-Nr.: Klausur zum Fach GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK Datum: 08. Februar 0 Dauer:

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 9. Dezember 2010 1 Konfidenzintervalle Idee Schätzung eines Konfidenzintervalls mit der 3-sigma-Regel Grundlagen

Mehr

Kapitel XI - Operationscharakteristik und Gütefunktion

Kapitel XI - Operationscharakteristik und Gütefunktion Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XI - Operationscharakteristik und Gütefunktion Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Bibliografie: Prof. Dr. Kück Universität Rostock

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Spezielle Eigenschaften der Binomialverteilung

Spezielle Eigenschaften der Binomialverteilung Spezielle Eigenschaften der Binomialverteilung Wir unterscheiden: 1) die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Variablen 2) die Verteilungsfunktion einer diskreten Variablen. 1) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 19. Januar 2011 1 Nichtparametrische Tests Ordinalskalierte Daten 2 Test für ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die

Mehr