Einführung in die Algebra und Diskrete Mathematik

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1 Einführung in die Algebra und Diskrete Mathematik Friedrich Pillichshammer 2008 Universität Linz, Institut für Finanzmathematik, Altenbergerstrasse 69, A-4040 Linz.

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3 Ich bedanke mich bei meinen Kollegen Roswitha Hofer, Gunther Leobacher und Christian Neumaier für das sorgfältige Durchlesen dieses Skriptums und für die Einbringung zahlreicher Korrektur- und Verbesserungsvorschläge. Abschnitt 2.5 wurde dankenswerterweise von Gunther Leobacher ausgearbeitet. 3

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5 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Einfache Eigenschaften von Z eine Wiederholung Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache Kongruenzen und der Ring Z m Die Multiplikativität der Eulerschen ϕ-funktion Lineare Kongruenzen Eine Anwendung, das RSA-Verfahren Gruppentheorie Motivation und Definition Untergruppen Normalteiler und Faktorgruppen Homomorphismen Die erste Fundamentalgruppe Die Abzähltheorie von Polya Nochmals die Gruppe S n Wirkung einer Gruppe Eine exakte Formulierung des Problems Eine Klasse von Abzählproblemen und der Satz von Polya Körper, Ringe und Polynome Ringe und Körper Polynome Körpererweiterungen Endliche Körper Elementare Zahlentheorie in allgemeinen Integritätsbereichen Teilbarkeit Die Normfunktion ZPE Ringe Der größte gemeinsame Teiler in Integritätsbereichen Zusammenfassung Quadratische Zahlenbereiche

6 Inhaltsverzeichnis 5 Graphentheorie Definition Eulersche Graphen Bäume Planare Graphen Färben von Landkarten Das Lemma von Sperner Abzählen isomorpher Graphen A Literaturempfehlungen 151 Index 152 6

7 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Mit Z bezeichnen wir die Menge der ganzen Zahlen, d.h. Z = {0, ±1, ±2,...}. Die Teilmenge der positiven ganzen Zahlen von Z bezeichnen wir mit N, die natürlichen Zahlen, und die Teilmenge der nichtnegativen ganzen Zahlen von Z bezeichnen wir mir N 0. Die Summe, das Produkt und die Differenz zweier Zahlen aus Z ist stets wieder eine Zahl in Z. Allerdings kann man in Z nicht uneingeschränkt dividieren, z.b. ist 7 nicht durch 3 teilbar. Wir werden uns hier mit Fragen zur Teilbarkeit in Z und weiteren damit zusammenhängenden Problemen beschäftigen. Die mathematische Disziplin, die sich mit solchen Themen befaßt, heißt Zahlentheorie (in Z). 1.1 Einfache Eigenschaften von Z eine Wiederholung Die gewöhnliche Addition auf Z ist eine Abbildung + : Z Z Z mit folgenden Eigenschaften: x, y, z Z gilt 1. x + (y + z) = (x + y) + z, 2. x + 0 = 0 + x = x, 3. x + ( x) = ( x) + x = 0 und 4. x + y = y + x. Die gewöhnliche Multiplikation auf Z ist eine Abbildung : Z Z Z mit folgenden Eigenschaften: x, y, z Z gilt 1. x (y z) = (x y) z, 2. x y = y x und 3. x 1 = 1 x = x. Schließlich gilt für alle x, y, z Z noch x (y + z) = x y + x z. Wir werden meist kurz xy anstatt x y schreiben. Weiters kann man auf Z eine natürliche Ordnungsrelation definieren. Seien x, y Z, dann ist x y genau dann, wenn y x N 0. Damit gilt: 7

8 1 Rechnen in den ganzen Zahlen 1. Falls x y und z Z, dann ist x + z y + z. 2. Falls x y und z N 0, dann ist xz yz. Die Menge N 0 ist mit der Ordnungsrelation sogar wohlgeordnet, d.h. jede nichtleere Teilmenge von N 0 besitzt ein kleinstes Element. Eine weitere wichtige Eigenschaft von Z ist folgende. Seien x, y Z; falls xy = 0 dann ist entweder x = 0 oder y = 0. Man sagt Z ist ein Integritätsbereich oder auch Z ist Nullteiler-frei. Aus dieser Eigenschaft folgt die sogenannte Kürzungsregel: Falls xy = xz und x 0, dann ist y = z. Aus xy = xz folgt nämlich xy xz = 0 und somit x(y z) = 0. Da Z ein Integritätsbereich ist und da x 0 folgt y z = 0 und somit y = z. Wir zeigen ein anschaulich völlig klares Resultat. Für x, y Z mit x y und x y schreiben wir kurz x < y. Lemma 1.1 Es gibt keine ganze Zahl x mit 0 < x < 1. Beweis. Angenommen x Z mit 0 < x < 1. Dann folgt 0 < x 2 < x und weiters 0 < x k < x k 1 < < x. Die Menge {x k : k N} N 0 ist nicht leer, hat aber kein kleinstes Element im Widerspruch zur Wohlordnung von N 0. Weiters werden wir folgendes Resultat sehr oft verwenden. Lemma 1.2 (Division mit Rest) Seien a, m N. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r N 0 mit 0 r < m und a = qm + r. Beweis. Wir beweisen zuerst die Existenz von q, r mit den angegebenen Eigenschaften. Sei M = {k N : km > a}. Da m 1, ist (a + 1)m = am + m a + m > a und somit folgt (a + 1) M. Also ist M. Wegen der Wohlordnung von N 0 besitzt M N 0 ein kleinstes Element k 0. Dann ist q := (k 0 1) M und somit gilt qm a < (q + 1)m. Wir setzen nun r = a qm. Dann ist a = qm + r und 0 r < m. Wir müssen nur noch zeigen, dass r, q eindeutig bestimmt sind. Angenommen a = qm + r = q m + r mit 0 r, r < m. Dann ist (q q )m = r r. Falls q q, dann ist q q 1 und daher (q q )m = q q m m. Andererseits ist r r m 1 und somit gilt m (q q )m = r r m 1 was offensichtlich einen Widerspruch darstellt. Also ist q = q und damit auch r = r. Bemerkung 1.3 Aus obigem Beweis sieht man, dass q a m < q + 1, d.h. q = a m. Korollar 1.4 Seien a Z und m N. Dann gibt es eindeutig bestimmte q Z und r N 0 mit 0 r < m und a = qm + r. Übung 1.5 Beweisen Sie Korollar

9 1.2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 1.2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Definition 1.6 Seien a, d Z. Wir sagen d teilt a, d a, wenn es eine Zahl b Z gibt mit a = bd. d nennt man dann einen Teiler von a. Beispiel , da 6 = 2 3, oder 2 10 aber 2 3. Bemerkung d Z gilt d Aus d a folgt natürlich d ( a). Wir werden uns darum im Folgenden meist auf Zahlen a N 0 beschränken. 3. Aus d a folgt natürlich ( d) a. Wir werden uns darum im Folgenden meist auf positive Teiler d N beschränken. Lemma 1.9 Seien a, b, c N Es gilt a a. 2. Aus a b und b c folgt a c. 3. Aus a b und c d folgt (ac) (bd). 4. Aus a b und a c folgt a (bx + cy) für alle x, y Z. Übung 1.10 Beweisen Sie Lemma 1.9. Übung 1.11 Zeigen Sie folgende Aussage: Falls a > 1 ein Teiler von b ist, dann ist a kein Teiler von b + 1. Seien a, d Z, a 0. Falls d a, so folgt 1 d a, denn a = bd = b d d 1. Damit folgt, dass es zu einer gegebenen ganzen Zahl a 0 nur endlich viele Teiler geben kann. Wir erhalten auch folgende Aussage. Lemma 1.12 Seien a, b N mit a b und b a. Dann gilt a = b. Beweis. Aus a b folgt a b und aus b a folgt b a. Zusammen gilt also a = b. Definition 1.13 Sei a Z. Dann nennt man ±1 und ±a die trivialen Teiler von a. Definition 1.14 Eine Zahl p N heißt Primzahl, wenn p 2 und aus d p folgt d = 1 oder d = p. Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl 2 welche nur triviale Teiler hat. Mit P bezeichnen wir die Menge aller Primzahlen, also P = {2, 3, 5, 7,...}. Wir werden nun zeigen, dass die Menge der Primzahlen nicht endlich ist. Dazu benötigen wir folgendes Resultat. 9

10 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Satz 1.15 Sei a N, a 2. Der kleinste positive Teiler von a der 2 ist, ist eine Primzahl. Beweis. Sei T(a) := {d N : d 2 und d a} N 0. Da a T(a) ist T(a). Sei nun p das kleinste Element in T(a) und sei d ein Teiler von p. Also gilt 1 d p. Angenommen es gilt 1 < d < p. Da d p und p a folgt aber d a und somit ist d T(a). Das ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von p in T(a). Also muss d = 1 oder d = p gelten und somit folgt p P. Satz 1.16 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen P ist endlich. Sei P = {p 1,...,p n } die Menge aller Primzahlen. Wir betrachten dann die Zahl P := p 1 p n + 1. Da P > p i für alle 1 i n ist also P P. Nach Satz 1.15 besitzt P einen Primteiler, es gibt also ein p P, sodass p P. Das ergibt aber einen Widerspruch, da p i P für alle 1 i n (siehe Übung 1.11). Bemerkung 1.17 Seien p 1, p 2, p 3,... die Primzahlen der Größe nach angeordnet. Dann besagt der Beweis von Satz 1.16, dass die n + 1-te Primzahl nicht größer sein kann als das Produkt der ersten n Primzahlen plus 1. Also für alle n N gilt p n+1 p 1 p n +1. Mittels vollständiger Induktion nach n erhält man daraus sehr einfach die Abschätzung p n 2 2n 1. (1.1) Für x R + sei π(x) die Anzahl aller Primzahlen kleiner oder gleich x, also π(x) = #{p P : p x}. Dann folgt zunächst aus Satz 1.16, dass lim x π(x) =. Sei x 2 und sei n N 0 so gewählt, dass 2 2n x < 2 2n+1. Dann erhalten wir nach zweimaligem logarithmieren die Ungleichungskette n log 2 + log log 2 log log x < (n+1) log2+loglog 2. Da π monoton wachsend ist erhalten wir nun aus (1.1) eine untere Schranke für die Anzahl aller Primzahlen kleiner oder gleich x 2, nämlich π(x) π(2 2n ) π(p n+1 ) = n + 1 > 1 log log x (log log x log log 2) > log 2 log 2. Diese Schranke ist sehr ungenau. Der erste Mathematiker der die Funktion π(x) genau untersuchte war Gauß. Er vermutete, dass π(x) x π(x), dh. lim log x x x log x Diese Aussage wurde erst 1896 von J. Hadamard und unabhängig von ihm von C. de la Valle Poussin mit Hilfsmitteln aus der komplexen Analysis bewiesen. Das Resultat ist heute bekannt als der Primzahlsatz. Erst 1948 konnten A. Selberg und P. Erdős einen elementaren Beweis, d.h., ohne komplexe Variablen, des Primzahlsatzes angeben. Aus dem Primzahlsatz folgt für die n-te Primzahl p n n log n. = 1. 10

11 1.2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Wir zeigen nun folgendes fundamentales Resultat. Lemma 1.18 Seien p P und a, b N 0. Falls p ab, dann folgt p a oder p b. Beweis. Falls a = 0 oder b = 0 ist die Aussage klar. Seien also a, b N und sei E(p) := {n N : p an}. Da p E(p) gilt oder auch b E(p), ist E(p) und besitzt somit als Teilmenge von N ein kleinstes Element c. Insbesondere gilt also p ac. Wir zeigen nun, dass c y für alle y E(p). Sei y E(p); nach Lemma 1.2 existieren d, r N 0 mit 0 r < c und y = dc + r. Also folgt ay = adc + ar. Da p ay und p adc folgt p ar und somit gilt r E(p) oder r = 0. Da 0 r < c folgt nun r = 0 und es gilt c y. Insbesondere ist auch p E(p) und es folgt c p. Da p P gilt, ist also c = 1 oder c = p. Falls c = 1 und da p ca gilt p a. Falls c = p gilt p b, da b E(p). Bemerkung 1.19 Es gilt auch die Umkehrung von obigem Lemma. Wenn für alle a, b aus p ab folgt p a oder p b, dann ist p P. Beweis. Wir schreiben p = ab mit a, b N. Nach Voraussetzung gilt p a oder p b. O.B.d.A. gelte p a, d.h. a = pk. Dann ist p = ab = pkb bzw. p(kb 1) = 0. Da p 0 folgt kb = 1 und somit b = 1 und a = p. Also hat p nur die Teiler 1 und p. Korollar 1.20 Seien p P und a 1,...,a n N 0. Falls p a 1 a n, dann gilt p a i für ein 1 i n. Beweis. Die Aussage folgt aus Lemma 1.18 mit vollständiger Induktion nach n N. Satz 1.21 Sei a N, a 2. Dann kann man a (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Beweis. Wir zeigen die Darstellbarkeit mit vollständiger Induktion nach a. Für a = 2 ist die Aussage klar, da 2 P. Sei a > 2. Angenommen für alle ã < a gelte die Behauptung. Nach Satz 1.15 ist der kleinste positive Teiler von a eine Primzahl p 1. Also ist a = p 1 ã mit ã < a. Falls ã = 1, dann sind wir fertig, da dann a P. Falls ã 2, dann gilt nach Induktionsannahme, dass ã = p 2 p n mit p i P für alle 2 i n. Also ist a = p 1 p 2 p n mit p i P für alle 1 i n. Es bleibt nur noch die Eindeutigkeit der Darstellung (bis auf die Reihenfolge) zu zeigen. Sei dazu M := {a N : a 2, a auf 2 Arten als Produkt von Primzahlen darstellbar}. 11

12 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Angenommen M. Dann besitzt M als Teilmenge von N ein kleinstes Element c. Für dieses c gilt nun c = p 1 p r = p 1 p s mit p i P, 1 i r und p j P, 1 j s. Also gilt z.b. p 1 p 1 p r und mit Korollar 1.20 folgt dann p 1 p i für ein 1 i r. Da p 1, p i P gilt aber dann p 1 = p i und somit c p i = p 1 p r p i = p 2 p s. Falls p 1,...,p i 1, p i+1,...,p r bis auf die Reihenfolge die gleichen Primzahlen sind wie p 2,...,p s und r = s, dann ist c M. Also ist c p i M und c p i < c. Das ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von c in M. Satz 1.22 (Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie) Jede ganze Zahl a Z ist entweder gleich 0 oder hat eine (bis auf die Reihenfolge) eindeutige Darstellung der Form a = εp α 1 1 pαs s wobei p i P (paarweise verschieden), α i N, 1 i s, s N 0 und ε { 1, 1}. Beweis. Falls a = ±1, dann ist a = ε. Falls a > 1, dann folgt aus Satz 1.21 a = p α 1 1 p αs s wobei gleiche Primzahlen einfach zu Potenzen zusammengefasst werden. Wir setzen dann a = ε a. Korollar 1.23 Sei a N mit a = p α 1 1 pαs s für gewisse s N, p i P, α i N für alle 1 i s. Dann ist b N genau dann ein Teiler von a, wenn b = p β 1 1 pβs s mit 0 β i α i für alle 1 i s. 1.3 Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache Definition 1.24 Seien a, b Z. Eine Zahl d Z, d 0, heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn d a und d b. Definition 1.25 Seien a, b Z. Eine Zahl d N heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b, wenn 1. d ein gemeinsamer Teiler von a, b ist und 2. falls t ein weiterer gemeinsamer Teiler von a, b ist, dann gilt t d. Man schreibt d = ggt(a, b). Satz 1.26 Seien a, b Z \ {0}. Dann existiert ggt(a, b) und ist eindeutig bestimmt. 12

13 1.3 Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache Beweis. Angenommen d 1 = ggt(a, b) und d 2 = ggt(a, b). Dann gilt d 1, d 2 N und d 1 d 2 und d 2 d 1. Dann gilt aber d 1 = d 2. Falls also ggt(a, b) existiert, dann ist er eindeutig bestimmt. Seien a = ε 1 p α 1 1 p αs s und b = ε 2 p β 1 1 p βs s mit 0 α i, β i, 1 i s und ε 1, ε 2 { 1, 1}. Für 1 i s sei γ i = min{α i, β i } und sei c := p γ 1 1 p γs s. Wir zeigen nun c = ggt(a, b). Wegen Korollar 1.23 ist natürlich c ein gemeinsamer Teiler von a und b. Sei t ein weiterer gemeinsamer Teiler von a und b. Da t p α 1 1 p αs s folgt wieder aus Korollar 1.23, dass t = p δ 1 1 pδs s mit 0 δ i α i für alle 1 i s. Da aber auch t p β 1 1 p βs s folgt, wieder aus Korollar 1.23, dass 0 δ i β i für alle 1 i s. Zusammen gilt dann aber δ i min{α i, β i } = γ i für alle 1 i s. Aus Korollar 1.23 folgt dann t d. Wir fassen einige einfache Regeln für den ggt zweier Zahlen zusammen. Proposition 1.27 Für alle a, b Z gilt 1. ggt(a, b) = ggt(b, a), 2. c Z \ {0}: ggt(ac, bc) = c ggt(a, b), 3. c Z \ {0} mit c a und c b: ggt ( a, ) b c c = 1 ggt(a, b). c Übung 1.28 Beweisen Sie Proposition Falls man die Primfaktorenzerlegung von a und b kennt, kann man ggt(a, b) sofort hinschreiben (siehe Beweis von Satz 1.26). I.a. ist es aber sehr aufwändig, die Primfaktorenzerlegung einer ganzen Zahl zu bestimmen. Der folgende Satz gibt nun einen Algorithmus mit dem man den ggt zweier Zahlen einfach bestimmen kann ohne deren Primfaktorenzerlegung kennen zu müssen. Satz 1.29 (Euklidischer Algorithmus) Seien a, b N, a b. Definiere a 0 = a, a 1 = b und a n, n 2 durch Dann gilt a s = ggt(a, b). a 0 = a 1 q 1 + a 2 mit 0 a 2 < a 1 a 1 = a 2 q 2 + a 3 mit 0 a 3 < a 2. a s 2 = a s 1 q s 1 + a s mit 0 a s < a s 1 a s 1 = a s q s. 13

14 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Beweis. Zunächst ist der Euklidische Algorithmus endlich, da a 1 > a 2 > 0 und alle a i N 0. Klarerweise gilt a s a s 1. Darum und wegen a s 2 = a s 1 q s 1 + a s folgt a s a s 2. Da a s 3 = a s 2 q s 2 + a s 1 folgt daraus a s a s 3. Wir setzen dieses Verfahren fort und sehen schließlich, dass a s a 1 = b und a s a 0 = a. Also ist a s ein gemeinsamer Teiler von a und b. Sei t ein weiterer gemeisamer Teiler von a und b. Dann gilt t a 0 und t a 1. Daraus folgt aber auch t a 2 und somit t a 3 usw. Schließlich sieht man, dass t a s und damit gilt a s = ggt(a, b). Beispiel 1.30 Sei a = 531 und b = 93. Dann gilt Also gilt 3 = ggt(531, 93). 531 = = = = = 4 3. Satz 1.31 Seien a, b N. Die kleinste positive Zahl der Form ax + by mit x, y Z ist der ggt(a, b). Die Menge aller ganzen Zahlen der Form ax + by mit x, y Z ist genau die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von ggt(a, b), d.h. {ax + by : x, y Z} = {k ggt(a, b) : k Z}. Beweis. Sei d die kleinste positive ganze Zahl der Form ax + by mit x, y Z, d.h. d = ax 0 + by 0 mit x 0, y 0 Z. Falls t ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, dann folgt t d. Wir müssen also nur noch zeigen, dass d ein gemeinsamer Teiler von a und b ist. Angenommen d a. Dann gilt nach Lemma 1.2, a = qd + r mit 0 < r < d. Also gilt r = a dq = a (ax 0 + by 0 )q = a(1 x 0 q) + b( y }{{} 0 q). }{{} Z Z Das ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von d. Also gilt d a und analog zeigt man d b. Damit gilt d = ggt(a, b). Klarerweise ist jede ganze Zahl ax + by ein Vielfaches von ggt(a, b). Andererseits ist jedes Vielfache von ggt(a, b) wieder von der Form ax + by, da md = a(mx 0 ) + b(my 0 ). Die Behauptung folgt. Die Aussage von Satz 1.31 ist ein reines Existenzresultat und nicht konstruktiv. Allerdings kann man x 0 und y 0 aus dem Beweis von Satz 1.31 einfach mit dem Euklidischen Algorithmus finden. 14

15 1.3 Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache Beispiel 1.32 Sei a = 531 und b = 93. Dann gilt 3 = = 27 2( ) = = 5(93 66) 2 66 = = ( ) = ( 7) Also ist x 0 = 7 und y 0 = 40. Wir erhalten folgendes sehr wichtige Resultat. Korollar 1.33 Der ggt zweier natürlicher Zahlen kann immer als Linearkombination dieser Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Definition 1.34 Man sagt zwei Zahlen a, b Z sind teilerfremd oder relativ prim, falls ggt(a, b) = 1. Korollar 1.35 Seien a, b, c N. Falls ggt(a, b) = 1 und a bc, dann gilt a c. Beweis. Da ggt(a, b) = 1, gibt es nach Korollar 1.33 Zahlen x, y Z mit ax + by = 1. Daraus folgt c = acx + bcy. Da a acx und a bcy folgt a c. Bemerkung 1.36 Seien a, b, c N. Falls a c, b c und ggt(a, b) = 1, dann gilt ab c. Übung 1.37 Beweisen Sie Bemerkung Definition 1.38 Seien a 1,...,a n Z\{0}, n 2. Eine natürliche Zahl d heißt größter gemeinsamer Teiler von a 1,...,a n, falls 1. 1 i n: d a i und 2. falls t a i für alle 1 i n, dann gilt t d. Man schreibt d = ggt(a 1,...,a n ). Wir fassen wieder einige Rechenregeln zusammen. Proposition 1.39 Seien a 1,..., a n Z \ {0}. 1. ggt(a 1,...,a n ) existiert und ist eindeutig bestimmt. 2. ggt(a 1,...,a n ) = ggt(a π(1),...,a π(n) ), wobei π : {1,...,n} {1,..., n} eine beliebige Permutation ist. 3. ggt(a 1,...,a n ) = ggt(a 1, ggt(a 2,..., a n )). 4. c Z \ {0}: ggt(ca 1,..., ca n ) = c ggt(a 1,...,a n ). 5. c Z \ {0} mit c a i 1 i n: ggt ( a 1 c,..., an c ) = 1 c ggt(a 1,...,a n ). 15

16 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Übung 1.40 Beweisen Sie Proposition Definition 1.41 Seien a, b Z \ {0}. Eine Zahl v N heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, falls 1. a v und b v, 2. falls c ein weiteres gemeinsames Vielfache von a und b ist, d.h. a c und b c, dann folgt v c. Man schreibt v = kgv(a, b). Satz 1.42 Seien a, b Z \ {0}. Dann gilt: 1. kgv(a, b) existiert und ist eindeutig bestimmt. 2. kgv(a, b)ggt(a, b) = ab. Übung 1.43 Beweisen Sie Satz Natürlich kann man analog zu obiger Definition auch kgv(a 1,...,a n ) für a 1,...,a n Z \ {0}, n 2, definieren. 1.4 Kongruenzen und der Ring Z m Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf Z. Definition 1.44 Seien m N und a, b Z. Man sagt a ist kongruent zu b modulo m, falls m ein Teiler von a b ist, d.h. m (a b) bzw. a b = km für ein k Z. In diesem Fall schreibt man a b (mod m) oder kurz a b (m). Übung 1.45 Zeigen Sie, dass durch obige Relation wirklich eine Äquivalenzrelation definiert ist. Eine Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge liefert immer eine Einteilung dieser Menge in Klassen, den sogenannten Äquivalenzklassen. Für a Z sei [a] m := {x Z : x a (mod m)} = {x Z : x = a + km, k Z} die durch a bestimmte Äquivalenzklasse. Man nennt diese Äquivalenzklassen hier Restklassen modulo m. Äquivalenzklassen bilden immer eine Partition, d.h. für a, b Z gilt stets [a] m = [b] m oder [a] m [b] m =. Die Menge aller Restklassen modulo m (die sogenannte Faktormenge) bezeichnet man mit Z m = Z/mZ = {[a] m : a Z}. 16

17 1.4 Kongruenzen und der Ring Z m Proposition 1.46 Seien m N und a Z. Dann existiert r {0,...,m 1} mit a r (mod m), d.h. [a] m = [r] m. Beweis. Die Aussage folgt aus Korollar 1.4. Also gilt Z m = {[0] m, [1] m,...,[m 1] m }. Diese Restklassen sind alle verschieden, denn angenommen es gibt 0 r, s < m mit [r] m = [s] m. Dann gilt r s (mod m) bzw. r s = km für ein k Z. Da 0 r, s < m folgt m < r s < m und somit muss k = 0 gelten. Also ist r = s. Es folgt daher Z m = m. Wir fassen einige Rechenregeln für Kongruenzen zusammen. Proposition 1.47 Seien m N und a, b, c, d Z. Falls a b (mod m), dann gilt (mod m) und c d 1. a + c b + d (mod m) und 2. ac bd (mod m). Übung 1.48 Beweisen Sie Proposition Seien m N und a, b Z mit a b (mod m). Aus Proposition 1.47 und mit Hilfe vollständiger Induktion nach n N folgt na nb (mod m) n N und a n b n (mod m) n N. Allerdings folgt aus na nb (mod m) i.a. nicht a b (mod m). Z.B. ist (mod 5) d.h (mod 5) aber 9 3 (mod 5). D.h. bei Kongruenzen darf man i.a. nicht durchkürzen! Proposition 1.49 Sei na nb (mod m) und sei d = ggt(n, m). Dann gilt a b (mod m d ). Beweis. Es gilt na nb (mod m) bzw. n(a b) = km für ein k Z. Daraus folgt n (a b) = k m und somit gilt n k m. Da ggt( n, ) m d d d d d d = 1 folgt aus Korollar 1.35, dass n kd k. Also gilt a b = m kd und Z. D.h. a b (mod m). d n d n d Bemerkung 1.50 Falls also na nb (mod m). (mod m) und ggt(n, m) = 1, dann gilt a b Auf Z m, der Menge aller Restklassen modulo m, definieren wir nun zwei binäre Operationen. 17

18 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Definition 1.51 Sei m N. Für a, b Z definieren wir und [a] m [b] m := [a + b] m [a] m [b] m := [a b] m wobei +, jeweils die herkömmliche Addition bzw. Multiplikation in Z bedeuten. Wir werden aber auch oft + bzw. anstatt bzw. schreiben. Wir müssen uns nur noch kurz überlegen, ob unsere Definition überhaupt Sinn macht, d.h. ob sie unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der Restklasse ist. Man sagt bzw. sind wohldefiniert. Seien also [a] m = [b] m und [c] m = [d] m. Wir müssen zeigen, dass [a] m [c] m = [b] m [d] m und [a] m [c] m = [b] m [d] m gelten. Nach Voraussetzung ist also a b (mod m) und c d (mod m). Dann folgt aus Proposition 1.47, dass a + c b + d (mod m) und somit ist [a + c] m = [b + d] m bzw. [a] m [c] m = [b] m [d] m. Analog geht man für vor. Mengen mit Operationen darauf bezeichnet man als algebraische Strukturen. Strukturen in denen man zwei binäre Operationen hat welche bestimmte, von Z mit + und abgeschaute Rechengesetzte erfüllen, nennt man Ringe. Definition 1.52 Sei R eine nichtleere Menge und + : R R R, : R R R zwei binäre Operationen auf R. Falls 1. 0 R x R: x + 0 = 0 + x = x, 2. x R y R: x + y = y + x = 0, 3. x, y, z R: (x + y) + z = x + (y + z), 4. x, y R: x + y = y + x, 5. x, y, z R: (x y) z = x (y z), 6. x, y, z R: (x + y) z = x z + y z und x (y + z) = x y + x z (beachten Sie die Punkt-vor-Strich Konvention), dann nennt man das Tripel (R, +, ) einen Ring. Das Element 0 aus 1. nennt man das neutrale Element bezüglich +. Man beachte, dass hier 0 ein spezielles Ringelement ist und nichts mit dem bekannten Nuller in Z zu tun hat! Das Element y aus 2. nennt man das inverse Element zu x bezüglich + und man bezeichnet dieses meist mit y = x. Falls zusätzlich 7. 1 R x R: x 1 = 1 x = x gilt, dann sagt man (R, +, ) ist ein Ring mit Einselement oder kurz mir Eins. Man beachte, dass 1 ein spezielles Ringelement ist und nichts mit dem bekannten Einser aus Z zu tun hat. Falls zusätzlich 18

19 1.4 Kongruenzen und der Ring Z m 8. x, y R: x y = y x gilt, dann sagt man (R, +, ) ist ein kommutativer Ring. Für x, y R schreiben wir meist xy anstatt x y und wir sprechen einfach von einem Ring R wenn klar ist welche binären Operationen auf R betrachtet werden. Bemerkung 1.53 Sei (R, +, ) ein Ring. Dann ist das neutrale Element bezüglich + eindeutig bestimmt. Weiters ist für alle x R das inverse Element zu x bezüglich + eindeutig bestimmt. Übung 1.54 Beweisen Sie Bemerkung Beispiel (Z, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins. 2. Sei M 2 (R) die Menge aller 2 2 Matrizen über R. Dann ist (M 2 (R), +, ) ein Ring mit Eins, wobei hier + und die herkömmlichen Matrizenoperationen sind. Das Einselement ist die 2 2 Matrix. Allerdings ist dieser Ring nicht kommutativ. Satz 1.56 (Z m,, ) ist ein kommutativer Ring mit Eins. Diesen Ring nennt man Restklassenring modulo m. Übung 1.57 Beweisen Sie Satz Wir fassen einige Rechenregeln für Ringe zusammen. Proposition 1.58 Sei (R, +, ) ein Ring. Dann gelten für alle x, y R folgende Eigenschaften: 1. 0x = x0 = 0, 2. x( y) = ( x)y = (xy). Beweis. Es gilt 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x und somit 0 = 0x. Analog zeigt man x0 = 0. Weiters gilt x( y) + xy = x( y + y) = x0 = 0, d.h. x( y) = (xy) wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes zu xy bezüglich + (siehe Bemerkung 1.53). Analog gilt ( x)y = (xy). Definition 1.59 Sei (R, +, ) ein kommutativer Ring mit Eins, R {0}. Man sagt (R, +, ) ist ein Integritätsbereich (oder (R, +, ) ist Nullteiler-frei), falls es keine Nullteiler gibt, d.h. falls für alle x, y R mit xy = 0 gilt x = 0 oder y = 0. Proposition 1.60 Der Ring (Z m,, ) ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn m P. 19

20 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Beweis. Sei m P und sei [a] m [b] m = [0] m. Dann ist [ab] m = [0] m bzw. ab 0 (mod m), d.h. m ab. Da m P folgt aus Lemma 1.18, dass m a oder m b. O.B.d.A. sei m a. Dann gilt a 0 (mod m) und somit [a] m = [0] m. Umgekehrt sei m = m 1 m 2 P, m 1, m 2 {2,..., m 1}. Also ist [m 1 ] m [0] m und [m 2 ] m [0] m, aber [m 1 ] m [m 2 ] m = [m 1 m 2 ] m = [m] m = [0] m. D.h. es existieren Nullteiler und damit ist (Z m,, ) kein Integritätsbereich. In einem Ring gibt es immer ein inverses Element bezüglich +. Bezüglich muss es das nicht geben, d.h. man kann in einem Ring i.a. nicht dividieren. Allerdings ist es nicht ausgeschlossen, dass es zu einzelnen Elementen inverse Elemente bezüglich gibt. Definition 1.61 Sei (R, +, ) ein Ring mit Eins. Dann heißt a R invertierbar, falls es ein b R gibt mit ab = ba = 1. Beispiel 1.62 Die invertierbaren Elemente in Z 6 sind [1] 6 und [5] 6, da [1] 6 [1] 6 = [1] 6 und [5] 6 [5] 6 = [1] 6. Alle anderen Elemente in Z 6 sind nicht invertierbar. In Z 5 sind ausgenommen [0] 5 alle Elemente invertierbar, da [1] 5 [1] 5 = [1] 5, [2] 5 [3] 5 = [1] 5 und [4] 5 [4] 5 = [1] 5. Folgender Satz gibt nun an, welche Elemente in Z m invertierbar sind. Satz 1.63 Seien m N und a Z. Dann ist [a] m genau dann invertierbar, wenn ggt(a, m) = 1. Beweis. Es ist [a] m genau dann invertierbar, wenn es ein b Z gibt mit [a] m [b] m = [b] m [a] m = [1] m. Das gilt genau dann, wenn es ein b Z gibt mit ab 1 (mod m). Das ist äquivalent zur Existenz von b, k Z mit ab + mk = 1, was wiederum äquivalent zu ggt(a, m) = 1 ist. Proposition 1.64 Seien [a] m und [b] m invertierbare Elemente in Z m, dann ist auch [a] m [b] m invertierbar. Übung 1.65 Beweisen Sie Proposition Diese Aussage gilt auch in allgemeinen Ringen mit Eins. Definition 1.66 Sei m N. Wir schreiben Z m := Z m \ {[0] m }. Die Menge aller invertierbaren Elemente in Z m bezeichnen wir mit U m, d.h. U m := {[a] m Z m : [a] m ist invertierbar} = {[a] m Z m : ggt(a, m) = 1}. Falls p P, dann ist natürlich U p = Z p. Weiters ist stets [1] m U m und falls [a] m, [b] m U m, dann ist nach Proposition 1.64 auch [ab] m U m. 20

21 1.4 Kongruenzen und der Ring Z m Definition 1.67 Die Eulersche ϕ-funktion ist definiert durch ϕ : N N, ϕ(1) = 1 und für m > 1 ist ϕ(m) die Anzahl der positiven ganzen Zahlen a m mit ggt(a, m) = 1. Also ist ϕ(m) = U m. Beispiel 1.68 Es ist ϕ(2) = 1 da nur 1 relativ prim zu 2 ist; ϕ(3) = 2 da 1 und 2 relativ prim zu 3 sind; ϕ(4) = 2 da 1 und 3 relativ prim zu 4 sind. Weiters ist für alle p P, ϕ(p) = p 1. Satz 1.69 (Satz von Euler) Seien m N, m 2, und a Z mit ggt(a, m) = 1. Dann gilt a ϕ(m) 1 (mod m). Beweis. Sei ggt(a, m) = 1 und n := ϕ(m). Sei U m = {[x 1 ] m,...,[x n ] m } Z m, also ggt(x i, m) = 1 für alle 1 i n. Betrachte nun die ganzen Zahlen ax 1,..., ax n. Natürlich gilt auch ggt(ax i, m) = 1 für alle 1 i n. Weiters gibt es nach Korollar 1.4 für alle 1 i n ganze Zahlen q i, r i mit 0 r i < m und ax i = q i m + r i, d.h. ax i r i (mod m). Angenommen es gibt 1 i, j n mit r i r j (mod m). Dann gilt ax i ax j (mod m) und wegen ggt(a, m) = 1 auch x i x j (mod m). Somit gilt i = j und r i = r j. Also gilt U m = {[r 1 ] m,...,[r n ] m } und somit n [x i ] m = i=1 n [r i ] m. i=1 Das bedeutet aber n x i i=1 n r i i=1 n n ax i a n i=1 i=1 x i (mod m). Da [x i ] m U m für 1 i n ist auch n i=1 [x i] m U m und somit gilt ggt ( n i=1 x i, m) = 1. Damit folgt nun 1 a n (mod m) und da n = ϕ(m) folgt die Behauptung. Korollar 1.70 (Kleiner Satz von Fermat) Seien p P und a Z mit ggt(a, p) = 1. Dann gilt a p 1 1 (mod p). Beispiel 1.71 Mit welcher Ziffer endet die Zahl im Dezimalsystem? Wir suchen also jenes x {0, 1,..., 9} mit x (mod 10). Da ϕ(10) = 4 und ggt(3, 10) = 1 folgt aus Satz 1.69, (mod 10). Es ist 119 = und damit folgt nun Die Einer-Ziffer der Zahl ist also = ( 3 4) = 27 7 (mod 10). 21

22 1 Rechnen in den ganzen Zahlen 1.5 Die Multiplikativität der Eulerschen ϕ-funktion Folgender Satz ist sehr wichtig in der Zahlentheorie und ihren Anwendungen. Satz 1.72 Seien m, n N mit ggt(m, n) = 1. Dann gilt ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Man sagt die Eulersche ϕ-funktion ist multiplikativ. Um obigen Satz zu beweisen müssen wir uns noch etwas genauer mit Ringen befassen. Satz 1.73 Seien (R 1, + R1, R1 ) und (R 2, + R2, R2 ) zwei Ringe mit Eins, 1 R1 bzw. 1 R2. Die neutralen Elemente bezüglich + R1 bzw. + R2 seien 0 R1 bzw. 0 R2. Dann ist (R 1 R 2, + R1 R 2, R1 R 2 ) wieder ein Ring mit Eins, wobei 1. (r 1, r 2 ) + R1 R 2 (s 1, s 2 ) := (r 1 + R1 s 1, r 2 + R2 s 2 ), 2. (r 1, r 2 ) R1 R 2 (s 1, s 2 ) := (r 1 R1 s 1, r 2 R2 s 2 ), 3. 0 R1 R 2 := (0 R1, 0 R2 ), 4. 1 R1 R 2 := (1 R1, 1 R2 ) und 5. R1 R 2 (r 1, r 2 ) := ( R1 r 1, R2 r 2 ). Den Ring R 1 R 2 nennt man das direkte Produkt von R 1 und R 2. Übung 1.74 Beweisen Sie Satz Definition 1.75 Seien (R, + R, R) und (S, + S, S) zwei Ringe mit Eins. Eine Abbildung f : R S heißt Ring-mit-Eins-Homomorphismus, falls für alle r 1, r 2 R gilt 1. f(r 1 + R r 2 ) = f(r 1 ) + S f(r 2 ), 2. f(r 1 R r 2 ) = f(r 1 ) S f(r 2 ) und 3. f(1 R ) = 1 S wobei 1 R bzw. 1 S die Einselemente in R bzw. S sind. Bemerkung 1.76 Es gilt dann auch f(0 R ) = 0 S und f( R r) = S f(r). Übung 1.77 Beweisen Sie Bemerkung Definition 1.78 Ein Homomorphismus f heißt Epimorphismus, falls f surjektiv ist. Monomorphismus, falls f injektiv ist. Isomorphismus, falls f bijektiv ist. 22

23 1.5 Die Multiplikativität der Eulerschen ϕ-funktion Man sagt zwei Ringe R und S sind zueinander isomorph, falls es einen Isomorphismus f : R S gibt. Beispiel 1.79 Die Abbildung f : Z Z 5, a [a] 5 ist ein Epimorphismus aber kein Isomorphismus da f nicht injektiv ist. Folgender Satz liefert uns den Schlüssel zum Beweis von Satz Satz 1.80 Seien m, n N mit ggt(m, n) = 1. Dann ist die Abbildung f : Z mn Z m Z n, [x] mn ([x] m, [x] n ) ein Ring-mit-Eins-Isomorphismus. Beweis. Wir haben drei Fragen zu beantworten. 1. f ist wohldefiniert. Sei [y] mn = [z] mn. Dann ist y z (mod mn) bzw. mn (y z). Dann folgt aber trivialerweise, dass m (y z) und n (y z) und somit gilt [y] m = [z] m und [y] n = [z] n. Also ist f([y] mn ) = f([z] mn ) und f ist wohldefiniert. 2. f ist ein Ring-mit-Eins-Homomorphismus. Es gilt f([x] mn [y] mn ) = f([x + y] mn ) = ([x + y] m, [x + y] n ) Analog geht man für vor. Weiters gilt = ([x] m, [x] n ) ([y] m, [y] n ) = f([x] mn ) f([y] mn ). f([1] mn ) ([x] m, [x] n ) = ([1] m [x] m, [1] n [x] n ) = ([x] m, [x] n ). Also ist f([1] mn ) das neutrale Element in Z m Z n. 3. f ist bijektiv. Da beide Mengen endlich und gleich groß sind reicht es aus zu zeigen, dass f injektiv ist. Sei also f([x] mn ) = f([y] mn ). Dann gilt ([x] m, [x] n ) = ([y] m, [y] n ) und somit x y (mod m) und x y (mod n). Also m (x y) und n (x y) und da ggt(m, n) = 1 folgt mn (x y). Also gilt x y (mod mn) und somit [x] mn = [y] mn. Damit ist f injektiv. Wir haben also gezeigt, falls ggt(m, n) = 1, dann sind Z m Z n und Z mn zueinander isomorph. Dann folgt aber, dass beide Ringe gleich viele invertierbare Elemente besitzen. Damit kann man nun die Multiplikativität von ϕ beweisen. Beweis von Satz Z mn besitzt ϕ(mn) invertierbare Elemente. 2. Wir bestimmen die Anzahl der invertierbaren Elemente in Z m Z n. Es ist (a, b) Z m Z n genau dann invertierbar, wenn a Z m und b Z n invertierbar sind. Denn sei (a, b) Z m Z n invertierbar, d.h. es gibt (c, d) Z m Z n, sodass (a, b) (c, d) = 1 Zm Z n = ([1] m, [1] n ). 23

24 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Dann ist aber a in Z m invertierbar und b in Z n. Sei umgekehrt a in Z m invertierbar und b in Z n. Dann gibt es c Z m und d Z n, sodass a c = [1] m und b d = [1] n. Dann ist aber (c, d) das inverse Element von (a, b) in Z m Z n. In Z m gibt es genau ϕ(m) invertierbare Elemente und in Z n genau ϕ(n) invertierbare Elemente. Also gibt es in Z m Z n genau ϕ(m)ϕ(n) invertierbare Elemente. Wegen Satz 1.80 gilt nun ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Bemerkung 1.81 Aus ϕ(p α ) = p α p α 1 und der Multiplikativität von ϕ folgt nun ϕ(n) = n ( 1 1 ) p p P p n für alle n N, n 2. Übung 1.82 Beweisen Sie Bemerkung Lineare Kongruenzen Eine lineare Kongruenz ist eine Gleichung der Form ax b (mod m) mit a, b Z, a 0, und m N. Gesucht sind Lösungen x Z. Satz 1.83 Die lineare Kongruenz ax b (mod m) ist genau dann lösbar, wenn d b wobei d = ggt(a, m). Im Falle der Lösbarkeit gibt es genau d inkongruente Lösungen modulo m. Beweis. Sei x 0 eine Lösung, d.h. m (ax 0 b). Da ggt(a, m) m folgt auch ggt(a, m) (ax 0 b) und somit ggt(a, m) b. Umgekehrt sei ggt(a, m) b, d.h. es gibt ein z Z mit z ggt(a, m) = b. Aus Satz 1.31 folgt die Existenz von u, v Z mit ggt(a, m) = au + mv. Somit gilt z(au + mv) = b bzw. a(uz) = b m(vz). Also ist x 0 = uz eine Lösung von ax b (mod m). Wir zeigen nun, dass die Lösungsmenge durch L = {x 0 + k m } d : k Z mit einer speziellen Lösung x 0 gegeben ist. Zunächst ist x 0 + k m für jedes k Z eine Lösung, da d ( a x 0 + k m ) ax 0 + k a d d m b (mod m). Sei nun x 1 eine Lösung. Wir zeigen, dass x 1 = x 0 + k m d für ein k Z bzw. m d (x 1 x 0 ). Es gilt ax 1 b (mod m) und ax 0 b (mod m). Somit ist a(x 1 x 0 ) 0 (mod m) 24

25 1.6 Lineare Kongruenzen bzw. m a(x 1 x 0 ). Daraus folgt nun m d a(x d 1 x 0 ). Da ggt ( m, a d d) = 1 folgt aus Korollar 1.35, dass m (x d 1 x 0 ). Wann sind nun zwei Lösungen aus L zueinander kongruent? Es gilt x 1 x 2 (mod m) m m m genau dann, wenn x 0 + k 1 x d 0 + k 2 (mod m) genau dann, wenn k d 1 k d 2 m d m (mod m) und somit folgt k 1 k 2 (mod ggt(m, m d ) ) bzw. k 1 k 2 (mod d) nach Proposition Also sind die Lösungen inkongruent z.b. für k = 0, 1,... d 1, d.h. { x 0, x 0 + m d, x m d,...,x 0 + (d 1) m } d ist ein vollständiges inkongruentes Lösungssystem. Bemerkung 1.84 Die spezielle Lösung x 0 kann man mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus finden. Beispiel 1.85 Die Kongruenz 3x 12 (mod 6) ist lösbar, da ggt(3, 6) = 3 und Es gibt 3 inkongruente Lösungen modulo 6. Diese sind {0, 2, 4}. Bemerkung 1.86 Falls ggt(a, m) = 1, dann ist ax b (mod m) immer eindeutig modulo m lösbar. Diese Lösung kann man einfach finden indem man die Gleichung mit a ϕ(m) 1 multipliziert. Dann erhält man a ϕ(m) x a ϕ(m) 1 b (mod m). Mit Satz 1.69 folgt dann x a ϕ(m) 1 b (mod m). Beispiel 1.87 Löse die lineare Kongruenz 3x 2 (mod 16). Da ggt(3, 16) = 1 und ϕ(16) = 8 gilt x (mod 16). Es ist 3 2 = 9 7 (mod 16) und ( 7) 2 = 49 1 (mod 16), also (mod 16). Damit folgt x = 54 6 (mod 16). Wir wollen nun nicht eine einzelne lineare Kongruenz lösen, sondern ein System von mehreren linearen Kongruenzen simultan lösen. Wir suchen also Lösungen x des Systems a 1 x b 1 (mod m 1 ) a 2 x b 2 (mod m 2 ). a s x b s (mod m s ) mit s N, a i, b i Z, a i 0 und m i N für alle 1 i s. Die Antwort nach der Lösbarkeit dieses Systems gibt der sogenannte Chinesische Restsatz. Der Beweis dieses Satzes liefert gleichzeitig ein Verfahren, wie man im Falle der Lösbarkeit Lösungen finden kann. 25

26 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Satz 1.88 (Chinesischer Restsatz) Seien s N, a i, b i Z, a i 0 und m i N für alle 1 i s. Falls ggt(a i, m i ) = 1 und ggt(m i, m j ) = 1 für alle 1 i, j s mit i j, dann ist das System eindeutig modulo m := m 1 m s lösbar. a 1 x b 1 (mod m 1 ) a 2 x b 2 (mod m 2 ). a s x b s (mod m s ) Beweis. Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit der Lösung im Falle der Lösbarkeit. Angenommen x, y Z sind zwei Lösungen. Für alle 1 i s gilt dann a i x b i (mod m i ) und a i y b i (mod m i ) und somit a i (x y) 0 (mod m i ). Also ist m i a i (x y) für alle 1 i s. Da ggt(a i, m i ) = 1 folgt m i (x y) für alle 1 i s. Da aber auch ggt(m i, m j ) = 1 für alle 1 i, j s mit i j folgt m (x y) (vgl. Bemerkung 1.36) und somit ist x y (mod m). Wir konstruieren nun eine Lösung. Die Kongruenz a i x b i (mod m i ) ist äquivalent zu x c i (mod m i ) mit c i a ϕ(mi) 1 b i (mod m i ) für alle 1 i s. Wir suchen also eine Lösung des Systems x c 1 (mod m 1 ) x c 2 (mod m 2 ). x c s (mod m s ). Für 1 i s sei M i := m m i = s j=1 m j. Dann gilt ggt(m i, m i ) = 1. Wir betrachten nun j i s neue Kongruenzen M i y 1 (mod m i ) 1 i s. Jede einzelne dieser s Kongruenzen ist nach Satz 1.83 eindeutig modulo m i lösbar. Seien y 1,...,y s diese Lösungen. Dann definieren wir x = M 1 c 1 y M s c s y s. Dieses x löst nun unser System x c i (mod m i ), denn für j i ist m i M j und somit gilt M j c j y j 0 (mod m i ). Weiters ist aber M i c i y i c i (mod m i ) da M i y i 1 (mod m i ). Also gilt M 1 c 1 y M s c s y s c i (mod m) für alle 1 i s. 26

27 1.6 Lineare Kongruenzen Beispiel 1.89 Löse das System x 2 (mod 3) 3x 2 (mod 5) x 1 (mod 7). Die Voraussetzungen von Satz 1.88 sind alle erfüllt und darum ist das System eindeutig modulo m = = 105 lösbar. Wegen ϕ(5) = 4 ist (mod 5) und somit ist 3x 2 (mod 5) äquivalent zu x 4 (mod 5). Wir lösen also das System x 2 (mod 3), x 4 (mod 5) und x 1 (mod 7). Es ist M 1 = 35, M 2 = 21 und M 3 = 15. Die Kongruenz 35y 1 (mod 3) hat als Lösung y 1 = 2, die Kongruenz 21y 1 (mod 5) hat als Lösung y 2 = 1 und die Kongruenz 15y 1 (mod 7) hat als Lösung y 3 = 1. Also ist x = = (mod 105) die Lösung des obigen Systems. Kann man die Voraussetzungen in Satz 1.88 abschwächen? Die Bedingung ggt(a i, m i ) = 1 garantiert uns, dass jede einzelne Kongruenz eindeutig modulo m i lösbar ist. Ohne diese Voraussetzung wird das Ganze sehr kompliziert. Aber es gilt Satz 1.90 Das System linearer Kongruenzen x c 1 (mod m 1 ) x c 2 (mod m 2 ). x c s (mod m s ) ist genau dann lösbar, wenn ggt(m i, m j ) (c i c j ) für alle 1 i, j s mit i j. Die Lösung ist dann modulo kgv(m 1,...,m s ) eindeutig bestimmt. Beweis. Wir geben den Beweis nur für s = 2. Es ist x Z genau dann eine Lösung, wenn x c i (mod m i ) für i {1, 2}. Das ist genau dann der Fall, wenn es k, l Z gibt mit x = c 1 + km 1 = c 2 + lm 2 und das ist genau dann der Fall, wenn k, l Z existieren mit c 1 c 2 = lm 2 km 1. Letzte Aussage ist aber äquivalent zu ggt(m 1, m 2 ) (c 1 c 2 ). Wir zeigen noch die Eindeutigkeit der Lösung. Angenommen x, y Z sind zwei Lösungen. Dann ist x y 0 (mod m 1 ) und x y 0 (mod m 2 ). Also ist (x y) ein gemeinsames Vielfache von m 1 und m 2 und somit gilt kgv(m 1, m 2 ) (x y). 27

28 1 Rechnen in den ganzen Zahlen Beispiel 1.91 Wir suchen das kleinste positive Vielfache von 7, das bei Division durch 2,3,4,5 und 6 den Rest 1 hat. Wir suchen also das kleinste positive x Z mit x 1 (mod 2) x 1 (mod 3) x 1 (mod 4) x 1 (mod 5) x 1 (mod 6) x 0 (mod 7). Nach Satz 1.90 ist dieses System lösbar. Da x 1 (mod 6) genau dann, wenn x 1 (mod 2) und x 1 (mod 3) kann man die ersten beiden Kongruenzen in obigem System weglassen. Weiters ist x 1 (mod 4) äquivalent zu 3x 3 (mod 12) und x 1 (mod 6) ist äquivalent zu 2x 2 (mod 12). Also sind die beiden Kongruenzen x 1 (mod 4) und x 1 (mod 6) äquivalent zu x 1 (mod 12). Wir lösen also das System x 1 (mod 5) x 1 (mod 12) x 0 (mod 7). Dazu verwenden wir die Methode aus dem Beweis von Satz Es ist m = , M 1 = 84, M 2 = 35 und M 3 = 60. Eine Lösung von 84y 1 (mod 5) ist y 1 = 1 und eine Lösung von 35y 1 (mod 12) ist y 2 = 1. Da c 3 = 0 wird y 3 nicht benötigt. Damit gilt nun x = 84( 1) + 35( 1) = (mod 420). 1.7 Eine Anwendung, das RSA-Verfahren Wir zeigen nun wie wir unsere bisher erworbenen Kenntnisse zur Verschlüsselung geheimer Nachrichten verwenden können. Das Verfahren heißt RSA-Verfahren und ist nach seinen Erfindern Rivest, Shamir und Adleman benannt. Zwei Personen A und B kommunizieren miteinander. B sendet geheime Nachrichten an A, die niemand lesen sollte. Darum muss B seine Nachrichten so verschlüsseln, dass nur A sie entschlüsseln kann. Die Vorgangsweise ist nun Folgende. A erzeugt sich einen sogenannten Schlüssel indem er Folgendes macht: 1. Er erzeugt zwei etwa gleich große, verschiedene Primzahlen p, q. Für praktische Anwendungen sollte pq eine Zahl mit etwa 1024 Bit sein (also etwa 300 Stellen in der Dezimalentwicklung haben). 2. Er berechnet damit die Zahl n = pq und ϕ(n) = (p 1)(q 1). 28

29 1.7 Eine Anwendung, das RSA-Verfahren 3. Er wählt eine Zahl e mit 1 < e < ϕ(n) und ggt(e, ϕ(n)) = Er berechnet mit dem Euklidischen Algorithmus die Zahl 1 < d < ϕ(n) mit ed 1 (mod ϕ(n)). Diese Kongruenz ist nach Satz 1.83 eindeutig lösbar. Der öffentliche Schlüssel von A ist nun das Paar (n, e), der private Schlüssel ist d. Jeder der (n, e) kennt, kann Nachrichten verschlüsseln, zum Entschlüsseln benötigt man aber d. B macht nun Folgendes: 1. Er holt den öffentlichen Schlüssel (n, e) von A. 2. Er stellt seine Nachricht m als Element der Menge {0, 1,..., n 1} dar mit ggt(m, n) = Er berechnet c m e (mod n). 4. Er sendet die verschlüsselte Nachricht c an A. Wie kann nun A die verschlüsselte Nachricht entschlüsseln? Mit Satz 1.69 gilt c d m ed = m 1+k ϕ(n) = m ( m ϕ(n)) k m (mod n). Die Annahme hierbei ist, dass man für n = pq, 1 < e < ϕ(n) mit ggt(e, ϕ(n)) = 1 und c Z die Zahl m Z mit c m e (mod n) ohne Kenntniss von p und q nicht effizient berechnen kann. Wenn man aber p und q kennt, dann kann man ϕ(n) berechnen und kann dann Satz 1.69 verwenden. Die Sicherheit beruht also auf der Annahme, dass eine Zahl n = pq nicht effizient in ihre Primfaktoren p, q zerlegt werden kann. Um die Schwierigkeit der Zerlegung einer Zahl zu erfassen versuchen Sie z.b. die Primfaktorenzerlegung der Zahl zu finden Man kann zeigen, dass das Verfahren auch ohne der Bedingung ggt(m, n) = 1 funktioniert. 2 Die Zahl ist das Produkt der beiden Primzahlen und

30 1 Rechnen in den ganzen Zahlen 30

31 2 Gruppentheorie 2.1 Motivation und Definition Wir beginnen mit einigen Beispielen. Beispiel 2.1 Für die gewöhnliche Addition + in Z gilt 1. x + y Z x, y Z, 2. x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z Z, 3. x + 0 = 0 + x = x x Z, 4. x Z x Z: x + ( x) = ( x) + x = 0, 5. x + y = y + x x, y Z. Beispiel 2.2 Für die Addition in Z m gilt 1. x y Z m x, y Z m, 2. x (y z) = (x y) z x, y, z Z m, 3. x [0] m = [0] m x = x x Z m, 4. x Z m x Z m : x ( x) = ( x) x = [0] m, 5. x y = y x x, y Z m. Bemerkung 2.3 Man beachte, dass Restklassen modulo m Mengen sind und mit diesen Mengen rechnen wir wie mit ganzen Zahlen. Beispiel 2.4 Sei C([0, 1]) = {f : [0, 1] R : f stetig}. Für f, g C([0, 1]) sei f + g definiert durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) für alle x [0, 1]. Dann gilt 1. f + g C([0, 1]) f, g C([0, 1]) (siehe VL Analysis), 2. f + (g + h) = (f + g) + h f, g, h C([0, 1]), 3. sei e(x) = 0 x [0, 1]. Dann ist f + e = e + f = f f C([0, 1]), 4. f C([0, 1]) f C([0, 1]): f + ( f) = ( f) + f = e, 31

32 2 Gruppentheorie 5. f + g = g + f f, g C([0, 1]). Bemerkung 2.5 Man beachte, dass wir hier mit Funktionen rechnen wie mit ganzen Zahlen. Beispiel 2.6 Sei GL(2, R) die Menge aller reellen, invertierbaren 2 2 Matrizen über R und sei die Matrizenmultiplikation. Dann gilt 1. A B GL(2, R) A, B GL(2, R), 2. A (B C) = (A B) C A, B, C GL(2, R), 3. E GL(2, R) mit A E = E A = A A GL(2, R), (E die Einheitsmatrix) 4. A GL(2, R) A 1 GL(2, R) mit A A 1 = A 1 A = E, 5. allerdings gilt i.a. nicht A B = B A A, B GL(2, R). Übung 2.7 Finden Sie A, B GL(2, R) mit A B B A. Bemerkung 2.8 Man beachte, dass wir hier mit Matrizen fast wie mit ganzen Zahlen rechnen. Die Beispiele führen uns nun zu folgender abstrakten Definition. Definition 2.9 Sei G eine nichtleere Menge und eine binäre Operation auf G G. Falls (G1) x y G x, y G, (G2) x (y z) = (x y) z x, y, z G, (G3) e G: e x = x e = x x G (e nennt man neutrales Element in G), (G4) x G x 1 G: x x 1 = x 1 x = e (x 1 heißt inverses Element zu x in G), dann nennt man das Paar (G, ) eine Gruppe. Falls zusätzlich gilt (G5) x y = y x x, y G, dann nennt man (G, ) eine kommutative oder abelsche Gruppe (oder man sagt die Gruppe (G, ) ist kommutativ bzw. abelsch). Man nennt G die Ordnung der Gruppe G. Eine Gruppe (G, ) heißt endliche Gruppe, falls G <, andernfalls ist (G, ) eine unendliche Gruppe. Beispiel 2.10 Weitere Beispiele für Gruppen sind (Q, +), (R, +), (C, +), (U p, ) die prime Restklassengruppe, (GL(n, Z p ), ) wobei GL(n, Z p ) die Menge aller invertierbaren n n Matrizen über Z p, p prim, ist, usw. Keine Gruppen sind z.b. (N, +), (N, ), (Z \ {0}, ). 32

33 2.1 Motivation und Definition Übung 2.11 Beweisen sie die Aussagen aus Beispiel Für die Bezeichnung der binären Operation kann natürlich jedes beliebiges Symbol gewählt werden. Meist schreibt man einfach + (üblicherweise für abelsche Gruppen) oder auch. Im ersten Fall schreibt man meist 0 für das neutrale Element und x für das inverse Element zu x. Im zweiten Fall schreibt man meist 1 für das neutrale Element und x 1 für das inverse Element zu x. Für x, y G schreibt man oft auch kurz xy anstatt x y und man spricht einfach von der Gruppe G, wenn klar ist welche Operation auf G betrachtet wird. Lemma 2.12 Sei (G, ) eine Gruppe. Dann ist das neutrale Element in G eindeutig bestimmt. Weiters gibt es zu jedem x G genau ein inverses Element x 1 G. Übung 2.13 Beweisen Sie Lemma Lemma 2.14 Sei (G, ) eine Gruppe. Dann gilt 1. (x 1 ) 1 = x x G, 2. (xy) 1 = y 1 x 1 x, y G, 3. a, b G besitzen die Gleichungen ax = b und ya = b eindeutig bestimmte Lösungen x, y G, 4. es gelten die sogenannten Kürzungsregeln: Aus ax = ay folgt x = y und aus xa = ya folgt x = y. Übung 2.15 Beweisen Sie Lemma Wir geben ein weiteres wichtiges Beispiel für eine Gruppe. Beispiel 2.16 Sei X eine nichtleere Menge, sei S(X) = {f : X X : f bijektiv} und sei die Zusammensetzung von Funktionen, d.h. (f g)(x) = f(g(x)) für f, g S(X) und x X. Dann ist (S(X), ) eine Gruppe, denn 1. f g ist bijektiv, falls f und g bijektiv sind, 2. die identische Abbildung ist bijektiv, 3. jede bijektive Funktion besitzt eine Umkehrfunktion und 4. die Zusammensetzung von Funktionen ist assoziativ. Falls X > 2, dann ist (S(X), ) nicht abelsch. 33

34 2 Gruppentheorie Definition 2.17 Sei n N und S n = {f : {1,...,n} {1,...,n} : f bijektiv} und sei die Zusammensetzung von Funktionen. Dann heißt (S n, ) die symmetrische Gruppe vom Grad n. Da S n die Menge aller Permutationen auf {1,..., n} ist, gilt S n = n!. Jedes Element f S n kann man darstellen als ( ) n f = S f(1) f(2)... f(n) n. Z.B. oder S 3 = {( ) ( 1 2 3, f = ( ) ( 1 2 3, ) S 5 ) ( 1 2 3, ) ( 1 2 3, Die Verknüpfung zweier Elemente geht dann so, ( ) ( ) ( = ) ( 1 2 3, Dabei wendet man zuerst die zweite Permutation an und dann die erste, z.b. hier: usw. Man kann eine Permutation aber auch anders darstellen. Jede Permutation läßt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge) als Produkt elementfremder Zyklen darstellen. Z.B. kann man obige Permutation aus S 5 als f = (13)(24)(5) schreiben (die ein-elementigen Zyklen werden oft weggelassen, man muss aber dann dazusagen aus welcher S n die Permutationen sind). Es ist dann z.b. S 3 = {(), (12), (13), (23), (123), (132)}. Man sieht nun einfach, dass S n für n 3 nicht abelsch ist, denn z.b. ist (12) (13) = (132) (123) = (13) (12). Man kann die Elemente einer endlichen Gruppe in eine sogenannte Gruppentafel eintragen. Z.B. für S 3 sieht das so aus: ). () (12) (13) (23) (123) (132) () () (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) () (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) () (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) () (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) () (132) (132) (23) (12) (13) () (123) )}. 34

35 2.2 Untergruppen Es gilt: Sei (G, ) eine endliche Gruppe, dann tritt in jeder Spalte und in jeder Zeile der Gruppentafel jedes Element von G genau einmal auf. Angenommen in der Zeile a G gibt es zwei gleiche Elemente und zwar die in Spalte b G und Spalte d G. Dann ist aber ab = ad und wegen Lemma 2.14 gilt b = d. Analog argumentiert man für Spalten. Wir geben ein weiteres Beispiel für eine Gruppe. Beispiel 2.18 Sei Q ein Quadrat in der Ebene R 2 mit Mittelpunkt im Ursprung. Wir betrachten all bijektiven, linearen Abbildungen von R 2 R 2 die das Quadrat in sich selbst abbilden. Wieviele solche Abbildungen gibt es? Sei G die Menge aller dieser Abbildungen und seien A, B, C, D die vier Ecken von Q gegen den Uhrzeigersinn. Die Ecke A kann höchstens auf 4 Ecken abgebildet werden, die Ecke B muß zur Ecke A benachbart sein, also gibt es für das Bild von B maximal 2 Möglichkeiten. Die Bilder von C und D sind aber damit auch festgelegt. Es gibt also höchstens = 8 Abbildungen in G, d.h. G 8. Sein nun a die Drehung von Q um 90 gegen den Uhrzeigersinn und sei b die Spiegelung von Q an der x-achse. Dann gilt G = {id, a, a 2, a 3, b, a b, a 2 b, a 3 b}. Da a 4 = id, b 2 = id und b a = a 3 b ist die Gruppentafel von G nun festgelegt. (G, ) bildet eine nicht-abelsche Gruppe (z.b. a b b a) und G = 8. Übung 2.19 Bestimmen Sie die vollständige Gruppentafel zu G aus Beispiel 2.18 Man kann Beispiel 2.18 natürlich auch verallgemeinern. Beispiel 2.20 Sei G die Menge aller Deckabbildungen eines regelmäßigen n-ecks Q n in der Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und sei die Hintereinanderausführung solcher Abbildungen. Sei a die Drehung von Q n um 360 gegen den Uhrzeigersinn und sei b die Spiegelung n an einer festen Achse. Man kann dann zeigen: 1. G = 2n und G = {id, a, a 2,...,a n 1, b, a b, a 2 b,...,a n 1 b}. 2. (G, ) ist eine nicht-abelsche Gruppe. 3. Die Gruppentafel von G ist durch a n = id, b 2 = id und b a = a n 1 b festgelegt. Die Gruppe (G, ) heißt Diedergruppe und wird meist mit (D n, ) bezeichnet. 2.2 Untergruppen Definition 2.21 Sei (G, ) eine Gruppe. Eine nichtleere Teilmenge H G heißt Trägermenge einer Untergruppe von (G, ), falls (H, ) selbst eine Gruppe ist. Kurz sprechen wir oft einfach von einer Untergruppe H von G und wir schreiben H G. 35