Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1

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1 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. Die Grundäche eines Spielplatzes liegt in der x - -Ebene. Auf ihm steht eine innen begehbare, senkrechte, quadratische Pyramide aus Holz mit den Eckpunkten A (3 8 ), B (2 ), C (9 2 ), D ( 7 ) und der Spitze S (6 4 ). Paralleles Sonnenlicht fällt in Richtung v = 4 3 auf den Spielplatz. a) Zeichne in einem Koordinatensystem das Schrägbild der Pyramide. (Querformat; Längeneinheit cm; Verkürzungsfaktor in x -Richtung 2 2; Zeichenbereich 8 8; 7, 5 x 3 7, 5) b) Berechne die Koordinaten des Punktes S, auf den der Schatten der Pyramidenspitze fällt. x x 3 35 Zeichne den Pyramidenschatten in das vorhandene Koordinatensystem ein. Auf dem Spielplatz wird ein Hang aufgeschüttet, der in der Ebene liegt. E : x x 3 4 = c) Veranschauliche die Ebene E mithilfe ihrer Spurgeraden. d) Der Schatten S der Pyramidenspitze fällt jetzt auf den Hang. Bestimme S. Zeichne den neuen Pyramidenschatten ein. 2. Vor einem gröÿeren Gebäude bendet sich ein Pavillon, der als gläserne Pyramide ausgeführt ist. Die Punkte A (4 2 ), B ( 6 ), C (8 ) und D (2 8 ) sind Ecken der Pyramidengrundäche. Die Spitze der Pyramide bendet sich im Punkt S ( ). a) Zeichne in einem Koordinatensystem das Schrägbild der Pyramide. (Längeneinheit, 5 cm; Verkürzungsfaktor in x -Richtung 2 2) Am Abend wird die Pyramide von auÿen mit einem punktförmigen Strahler beleuchtet, der sich im Punkt P (22 ) bendet. Die Vorderfront des benachbarten Gebäudes liegt in der x 3 -Ebene. Auf ihr ist dann der Schatten der Pyramide vollständig zu sehen. b) Bestimme die Koordinaten des Schattens S der Pyramidenspitze S. c) Der Strahler bendet sich nun im Punkt P (a ) mit a > 22. Bestimme die Koordinaten des Schattens S a der Pyramidenspitze S in Abhängigkeit von a. Untersuche, wohin der Schatten von S wandert, wenn der Strahler auf der x -Achse immer weiter von der Pyramide entfernt wird. x x 3 35

2 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. (Abitur Baden-Württemberg Lk Mathematik 998 II a) geg: A (3 8 ), B (2 ), C (9 2 ), D ( 7 ), S (6 4 ), v = 4, E : x x 3 4 = 3 a) Siehe unten! b) Schnitt von Gerade und Ebene: 6 g : x = 4 + k 4, 3 c) Siehe unten! d) Schnitt von g mit E. Setze g in E ein: E 2 : x 3 = 3k = k = 3 6 s = = 3 S ( ) (6) + 2 (4 4k) + 4 ( 3k) 4 = 2k = k R k = s = = 2 3 S (6 2 )

3 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A. Zu Aufgabe a) C B S F v D A E x 3 * S ' S x

4 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A. 2. (Abitur Baden-Württemberg Gk Mathematik 997 B 2d) geg: A (4 2 ), B ( 6 ), C (8 ), D (2 8 ), S ( ), P (22 ), P (a ) mit a > 22 a) Siehe unten! b) Schnitt von Gerade und Ebene: g: x = + k 22 = + k, k R E 23 : x = c) Schnitt von Gerade und Ebene: Im Grenzwert a 22 k = k = 2 22 s = + 2 = 2 2 S ( 2 2) a a g: x = + k a a = + k, k R E 23 : x = a + k ( a) = k = a a = a a a s a = + a a a = S a ( a a a a ) a a a a lim a a = lim a a a a a a }{{} a + a a a = lim = lim a a a a a }{{} a + Der Schattenpunkt bewegt sich für a gegen S ( ) =

5 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A. Zu Aufgabe 2 a) x 3 2 S' S 2 B' D' 2 2 A B F D C x P

6 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.2. In einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 sind die Punkte A ( 2 5 2), B ( 2 2) und C ( 5 ) sowie die Ebene E gegeben: E : x + 4x = a) Bestimme die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist, und berechne die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts M. b) Lege ein Koordinatensystem an (ganze Seite im Querformat, Koordinatenursprung in der Blattmitte) und trage das Parallelogramm ABCD sowie den Punkt M ein. [Zur Kontrolle: M (4 5, 5)] c) Zeige, dass das Parallelogramm ABCD in einer Parallelebene zur Ebene E liegt, die nicht mit E identisch ist. d) Die Parallelogrammäche schneidet die x - -Ebene in der Strecke [GH]. Berechne die Koordinaten der Punkte G ud H und trage die Strecke [GH] in die angelegte Zeichnung ein. [Zur Kontrolle: (4 7 ) und (7 4 )] Im Punkt L (5 6 4, 5) sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Die Parallelogrammäche sei lichtundurchlässig. Die Lichtquelle erzeuge von diesem Parallelogramm in der Ebene E das Schattenbild A B C D. e) Berechne die Koordinaten des Bildpunktes A von A. Trage ohne weitere Rechnung das Bildviereck A B C D in die Zeichnung ein. x 3 x 2. Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 die Ebenenschar mit k R als Scharparameter. E k : kx + k 2 + 2x 3 k 2 = a) Ermittle, für welche Werte von k die Ebene E k den Punkt P ( 2 3) und zugleich den Punkt Q ( ) enthält. b) Die beiden Ebenen E 2 und E 3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermittle eine Gleichung von g in Parameterform. 3. In einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 ist die Ebenenschar G k gegeben: G k : kx + 6 6k =, k R +. a) Bestimme soweit vorhanden die Koordinaten der Schnittpunkte der Scharebenen G k mit den Koordinatenachsen. b) Begründe ohne weitere Rechnung, dass alle Scharebenen G k eine gemeinsame Schnittgerade g haben und gib eine Gleichung von g an.

7 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.2. (Abitur Bayern Lk Mathematik 24 V ) a) geg: A ( 2 5 2), B ( 2 2), C ( 5 ), E : x + 4x = Bedingung für Parallelogramm ABCD: AB = DC 3 d 3 = 5 d 2 d 3 D (d d 2 d 3 ) = D (7 8 ) Diagonalenschnittpunkt bei der Hälfte einer Diagonale: m = a + 2 AC = = b) Siehe unten! c) Ebene E in Parameterform: E: x + 4x = x = 7 + 4x 3 = k x 3 = l 7 4 E: x = + k + l, k, l R Ebene E P des Parallelogramms: E P : x = a + r AB + s AD, r, s [ ; ] E P : x = 5 + r 3 + s 3, r, s R 2 3 Erster Richtungsvektor von E mit Richtungsvektoren von E P : = lin. abhängig 3 Zweiter Richtungsvektor von E mit Richtungsvektoren von E P : = lin. abhängig 3

8 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.2 Die Ebenen sind demnach parallel. Zeige, dass die Ebenen nicht identisch sind. Prüfe dazu ,, 2 auf lin. Abhängigkeit: 5 4 = 3 lin. abhängig 2 Die Ebenen sind nicht identisch. d) x - -Ebene: Setze E P ein: E 3 : x 3 = 2 + r + 3s = s = 2 3 Wieder in E P : 2 3 x = 5 + r = r E 3 : x = + r, r, s [ ; ] 7 3 Die Endpunkt der Strecke (k = bzw. ) liegen bei G (4 7 ) und H (7 4 ). geg: L (5 6 4, 5) e) Projeziere A: Gerade des Schattenstrahls: g S : x = a + k 2 7 LA = 5 + k, 2 2, 5 Schneide mit E. Setze dazu in parameterfreie Form von E ein: In g S : ( 2 7k) + (5 k) 4 ( 2 + 2, 5k) + 7 = 8 8k = a = 5 + = 4 2 2, 5, 5 A ( 9 4, 5) k = k R

9 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.2 Zu Aufgabe b) x 3 A' B' D' C' A B M H G D C x L

10 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.2 2. (Abitur Bayern Lk Mathematik 27 V a, b) geg: P ( 2 3), Q ( ), E k : kx + k 2 + 2x 3 k 2 = a) Setze die Koordinaten der Punkte jeweils ein: k + k ( 3) k 2 = k 2 + k 6 = () k + k k 2 = = allgemeingültig (2) Aus (): (k + 3) (k 2) = k = 3 k = 2 b) Mit Teilaufgabe a: Wenn sich zwei Ebenen in einer Geraden schneiden und zwei Punkte gemeinsam haben, so liegen diese auf der Schnittgeraden. Also: g = P Q g: x = q + QP = + r 3, r R 3. (Abitur Bayern Lk Mathematik 22 VI 2) geg: G k : kx + 6 6k =, k R +. a) Schnitt mit der x -Achse, d. h. = x 3 = : kx 6k = : k x 6 = x = 6 S (6 ) Schnitt mit der -Achse, d. h. x = x 3 = : 6 6k = = k S 2 ( k ) Schnitt mit der x 3 -Achse, d. h. x = = : 6k = Für k schneidet die Ebene die x 3 -Achse nicht. Für k = liegt die x 3 -Achse in der Ebene. b) Die x 3 -Koordinate kommt in den Ebenengleichungen nicht vor. Daher sind alle Ebenen parallel zur x 3 -Achse. Wegen S (6 ) E k k R + folgt, dass S (6 ) g Somit: 6 g: x = + r, r R

11 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.3. In einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 ist die Ebene H : x + + x 3 8 = sowie die Geradenschar g a wie folgt gegeben: a 2 3a g a : x = + λ 3a, a, λ R. a 2 8 a) Zeige, dass keine der Geraden g a parellel zur Ebene H verläuft. b) Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts S a von g a mit H. [Zur Kontrolle: S a (a 2 + 3a 3a 8 a 2 ) ] Die Punkte S a bilden in H eine Kurve. Diese wird parallel zu x 3 -Achse in die x - - Ebene projeziert, die Projektion heiÿt P. c) Fertige eine Zeichnung von P in der x - -Ebene an. d) Um welchen Kurventyp handelt es sich bei P vermutlich? e) Bestätige die Vermutung durch Aufstellen einer Koordinatengleichung von P. 2. In einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 sind die Ebene E : x x 3 36 =, der Punkt P (8 6 8) und die Geradenschar g t durch P gegeben: 8 2 2t g t : x = 6 + λ 4 + t, t, λ R 8 5 a) Zeige, dass alle Geraden g t in der Ebene E liegen. b) Weise nach, dass alle Geraden g t die x - -Ebene schneiden und gib eine Gleichung der Geraden s an, auf der diese Schnittpunkte liegen. Mögliches Teilergebnis: 8 2 s : x = 4 + σ, σ R c) Lege ein Schrägbild des Koordinatensystems an (ganze Seite, Ursprung in der Blattmitte, Maÿstab geeignet wählen) und trage den Punkt P, die Gerade s sowie drei beliebige Geraden der Geradenschar g ein. d) Gib eine Gleichung für die Gerade an, die durch P läuft, in der Ebene E liegt, aber nicht der Geradenschar g angehört. x 3 x

12 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.3. (Abitur Bayern Lk Mathematik 23 V c, e) a 2 3a geg: H : x + + x 3 8 = g a : x = + λ 3a, a, λ R. a 2 8 a) Parameterform der Ebene H: x = 8 x 3 = 8 k l = k x 3 = l 8 H: x = + k + l, k, l R Prüfe Richtungsvektoren auf lin. Unabhängigkeit: 3a 3a = 8 lin. unabhängig 8 Richtungsvektoren nicht komplanar. g a ist für kein a parallel zu H. b) Setze Gleichung von g in parameterfreie Gleichung von H ein: ( a 2 + 3λa ) + ( 3λa) + ( a 2 + 8λ ) 8 = Schnittpunkt: 8λ 8 = λ = a 2 3a a 2 + 3a s a = + 3a = 3a a 2 8 a ( S a a 2 + 3a 3a 8 a 2) c) Projektion der Punkte S a parallel zu x 3 -Achse in die x - -Ebene: P a ( a 2 + 3a 3a ) Berechnung einiger Punkte: a , 5 x , , 5 Zeichnung siehe unten! d) Es handelt sich wohl um eine (um 9 nach rechts gedrehte) Parabel. e) Parameterfreie Form: x = a 2 + 3a () = 3a a = 3 (2) Setze (2) ein in (): x = 9 x2 2 Der quadratische Ausdruck in bestätigt, dass es sich um eine Parabel handelt.

13 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.3 Zu Aufgabe c) - x -

14 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.3 2. (Abitur Bayern Lk Mathematik 2 VI ) geg: P (8 6 8) E : x x 3 36 =, 8 2 2t g t : x = 6 + λ 4 + t, t, λ R 8 5 a) Setzte dazu die Gerade g t in die Ebenengleichung von E ein: (8 2λ 2λt) + 2 (6 4λ + λt) + 2 (8 + 5λ) 36 = 8 2tλ 2λ + 2tλ 8λ λ = = Allgemeingültige Aussage. Somit g t E b) Schnitt von g t mit der Ebene x 3 = : t R 8 + 5λ = λ = 8 5 Eingesetzt in g t : 8 s: x = t t = t t = t = t, 5 t R c) Siehe unten! d) (P E ist erfüllt) Gerade die nicht der Geradenschar angehört: Wähle Gerade in E, die Parallel zur x - -Ebene liegt. Sie kann der Schar g t nicht angehören, da alle Geraden der Schar diese Ebene schneiden. Diese Gerade ist parallel zu s, kann also deren Richtungsvektor haben: 8 2 g P : x = 6 + λ, 8 λ R

15 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.3 Zu Aufgabe 2 c) x 3 p g - g g x s

16 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.4. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (5 ), B ( 4 2) und C ( t) mit < t < 6 gegeben. Ferner ist der Punkt S ( 6) gegeben. A, B und C sind die Spurpunkte der Geraden SA, SB, SC in der Koordinatenebene x 3 =. a) Berechne für die Gerade AB den Schnittpunkt mit der x - -Ebene. b) Bestimme die Koordinaten der Punkte A, B und C. [Teilergebnis: A (6 ), B ( 6 )] c) Lege ein Koordinatensystem an (ganze Seite im Querformat, Koordinatenursprung in der Blattmitte). Trage darin die Pyramide A B C S und das Dreieck ABC für t = 3 ein. Der Schnittpunkt von AB mit A B heiÿt P, der von AC mit A C heiÿt Q t und der von BC mit B C heiÿt R t (t und t 2). d) Bringe für t = 3 die genannten Geraden in der Zeichnung zum Schnitt. e) In der Zeichnung sollten P, Q 3 und R 3 auf einer Geraden liegen. Warum liegen die Punkte P, Q t und R t stets auf einer Geraden s t? (Begründung ohne Rechnung genügt.) x 3 x 2. Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssytem für x,, x 3 R. 3x d = 2d () ( a) 5x 3 = (2) ( + a) x 3 = 44 (3) a) Zeige, dass das System bei gegebenem d R für alle a R, a, eindeutig lösbar ist. b) in welchem der Fälle a = hat das System mehr als eine Lösung? Gib für diesen Fall (bei gegebenem d) eine geometrische Deutung. c) Bestimme a und d so, dass (x x 3 ) = (5 5 22) Lösung des Gleichungssystems ist. 3. a) Wann heiÿen n Vektoren v, v 2,... v n (n R) linear unabhängig? b) In einem vierdimensionalen reellen Vektorraum gelten die zwischen den Vektoren v, v 2, v 3, v 4 die Beziehungen v = v 2 + v 4 und v 2 = v 3 + v 4. Zeige, dass die drei Vektoren v, v 2, v 3 linear abhängig sind.

17 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.4. (Abitur Bayern Lk Mathematik 23 VI a, 2 a, b, 3 a, b) geg: S ( 6), A (5 ), B ( 4 2), C ( t) mit < t < 6, 8 2 2t g t : x = 6 + λ 4 + t, t, λ R 8 5 a) Gerade g AB = AB: Schnittpunkt mit x 3 = : 5 5 g AB : x = + k 4, + k = k = k R Eingesetzt: 5 5 t = 4 = 4 Schnittpunkt: T ( 4 ) b) Gerade g SA = SA: 5 g SA : x = + k, 6 5 k R Schnittpunkt mit x 3 = : 6 5k = k = 6 5 Eingesetzt: Schnittpunkt: A (6 ) a = = 6 5 Gerade g SB = SB: g SB : x = + k 4, 6 4 k R

18 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.4 Schnittpunkt mit x 3 = : 6 4k = k = 6 4 Eingesetzt: Schnittpunkt: B ( 6 ) b = = Gerade g SC = SC: g SC : x = + k, k ] ; 6[ 6 t 6 Schnittpunkt mit x 3 = : Eingesetzt: 6 + kt k6 = 6 + k (t 6) = k = 6 6 t Schnittpunkt: C ( ) da t 6 c = t = 6 t 6 c) Siehe unten! d) Siehe unten! e) Warum die Punkte P, Q t und R t stets auf einer Geraden liegen: Die Punkte A, B und C spannen die Ebene E ABC auf, in der auch die Geraden AB, AC und BC liegen. deshalb liegen die auf diesen Geraden liegenden Punkte P, Q t und R t in der Ebene E ABC. Die Punkte A, B und C liegen in der Koordinatenebene E 3 : x 3 =. In dieser liegen auch die Geraden A B, A C und B C. Daher liegen die auf diesen Geraden liegenden Punkte P, Q t und R t in der Ebene E 3. Da die Punkte P, Q t und R t jeweils zwei nicht identischen Ebenen angehören, liegen sie auf deren Schnittgerade.

19 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.4 Zu Aufgabe c) t R ' B B x 3 S C ' C A ' A t Q x P

20 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.4 2. (Abitur Bayern Lk Mathematik 22 V 2) a) Determinante: 3 d D = a 5 = 3 ( a) ( + a) + a Für a = ist D. Deshalb hat das Gleichungssystem dann genau eine Lösung. b). Fall: a = : 3x d = 2d () 5x 3 = (2) 22x 3 = 44 (3) Determinanten: Es gibt unendlich viele Lösungen. Geometrische Interpretation: D = (siehe oben) 2d d D = = 3 2d D 2 = = 3 d 2d D 3 = 44 = Die drei Gleichungen können als drei Ebenengleichungen aufgefasst werden. Die ersten beiden Ebenen sind weder identisch noch parallel, haben also eine Schnittgerade. Im Fall a = ist die dritte Ebene mit der zweiten identisch. Die drei Ebenen haben also die unendlich vielen Punkte einer Geraden gemeinsam. 2. Fall: a = : 3x d = 2d () 22 5x 3 = (2) x 3 = 44 (3) Determinanten: Es gibt keine Lösung. D = (siehe oben) 2d d D = 22 5 = 2 2d 44

21 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.4 c) (x x 3 ) = (5 5 22) soll Lösung des Gleichungssystems sein. 3 5 d 5 = 2d () ( a) = (2) ( + a) 22 = 44 (3) Aus (3) folgt + a = 2 a = 999 In (2): In (): ( + 999) = = 3 5 5d = 2d 3d = 45 d = 5 erfüllt! Für a = 999 und d = 5 ergibt sich die verlangte Lösung. 3. (Abitur Bayern Lk Mathematik 996 V ) a) n Vektoren v, v 2,... v n sind genau dann linear unabhängig, wenn aus k v + k 2 v k n v n = o folgt: k = k 2 = = k n = b) Zeige die Abhängigkeit der Vektoren v, v 2, v 3. v = v 2 + v 4 v 4 = v v 2 v 2 = v 3 + v 4 v 4 = v 2 v 3 Damit: v v 2 = v 2 v 3 v 2 v 2 + v 3 = Die drei Vektoren sind linear abhängig.

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