Skript zur Versicherungsmathematik I und II. Manfred Riedel

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1 Skript zur Versicherungsmathematik I und II Manfred Riedel

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3 Inhaltsverzeichnis Einführung 5 1 Zinsrechnung Fall 1: Zinsperiode Konversionsperiode Fall 2: Zinsperiode > Konversionsperiode Kontinuierlicher Fall Vorschüssiger Zins Ewige Renten Zeitrenten Renditenzinssatz Sparpläne und Deckungskapital Lebensdauerverteilung Modellannahmen Gestutzte Lebensdauer Charakterisierungen Populationsmodell Kapitalversicherungen Einführung und einfache Beispiele Stetiger Fall Allgemeine Todesfallversicherung Einige Standardtypen Leibrenten Zeit- und Leibrenten Die einfachsten Leibrenten Allgemeine Leibrenten Varianzen von Leibrenten Einige Standardtypen Rekursionsformeln Prämienberechnung Nettoprämie Berechnung weiterer Nettoprämien Prämienrückgewähr

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 6 Das Nettodeckungskapital Denition des Deckungskapitals Das Deckungskapital Die Zuteilung des Verlustes Der technische Gewinn Das kontinuierliche Modell Verschiedene Ausscheideursachen Das Modell Ganzzahlige Lebensdauer Deckungskapital Das kontinuierliche Modell Versicherungen auf mehrere Leben Zustand mehrerer Versicherungen Der Zustand des letzten Lebens Formel von Schuette-Nesbitt Der allgemeine Zustand

5 Kapitel Einführung Versicherungsmathematik 1762: englisches Versicherungsunternehmen kalkuliert erstmalig Prämien. Bis zum 2. Jahrhundert: deterministische Modelle letzten 6-7 Jahre neue Gebiete: Krankenversicherungsmathematik Unfallversicherungsmathematik Pensionsversicherungsmathematik Kraftfahrzeugversicherungsmathematik Feuerversicherungsmathematik Rückversicherungsmathematik Hauptsächlich werden hierbei Methoden der Stochastik und der Entscheidungstheorie benutzt. Die Methodik dieser Versicherungen wird in der Risikotheorie behandelt. Gliederung der Versicherungsmathematik: Personenversicherung: Leben, Unfall, Kranken Sachversicherung: See, Hagel, Feuer, Kasko, Sturm Haftpichtversicherung Sonderfälle: Luftfahrt, Kredit Rückversicherung Andere Gliederung: Leben-Versicherungsmathematik (Lebensversicherungen): Anzahl der Schäden N, 1 feste Höhe der Schäden X zufällige Zeitpunkte der Schäden Nichtleben-Versicherungsmathematik (Sachversicherungen): zufällige Anzahl der Schäden N 5

6 6 KAPITEL. EINFÜHRUNG zufällige Höhe der Schäden X zufällige Zeitpunkte der Schäden Beispiel..1 Temporäre Todesfallversicherung. Eine Person des Alters x schlieÿt folgende Versicherung ab: Sie zahlt dem Versicherer einen Betrag b monatlich und erhält die Zusicherung, dass ihre Erben am Ende ihres Todesjahres, das x + n ist, den Betrag s erhalten. Wird sie älter als x + n Jahre, so erhält sie nichts. Diese Versicherung ist auch als Risikolebensversicherung bekannt. In diesem Fall gilt: N oder N 1 sowie X oder X s. Zufällig ist nur der Zeitpunkt des Todes. 1-Jahresversicherung: X sn S - Beitrag der Versicherung N - Indikator für die Fälligkeit der Versicherung X - Schadenshöhe { 1 wenn Versicherungsnehmer nicht überlebt N wenn Versicherungsnehmer überlebt P (N 1) q, P (S s) 1 EX sq; V arx s 2 q(1 q). Probleme der Versicherungsmathematik (1) Einschätzung der Lebensdauerverteilung (2) Festlegung der Prämienhöhe (3) Rückstellungen der Versicherungsunternehmer (4) Mehrere Ausscheideursachen (5) Kollektive Versicherungen Wichtige Charakteristika: Lebensdauerverteilung Prämien Deckungskapital

7 Kapitel 1 Zinsrechnung Grundbegrie: Zinssatz Zinsperiode Konversionsperiode 1.1 Fall 1: Zinsperiode Konversionsperiode F k Stand des Fonds am Ende des k-ten Jahres i eektiver jährlicher Zinssatz r k Zahlung im k-ten Jahr (am Ende) Rekursion: F k F k 1 + if k 1 + r k (1 + i)f k 1 + r k, k 1, 2,..., n F n Endwert Spezialfälle: r k F n (1 + i) n F i Aufzinsfaktor v 1 1 v 1+i Abzinsfaktor, i v n (1 + i) n k r k k1 F n (1 + i) n F B v n F n F + n v k r k (1.1.1) k1 B Barwert Andere Interpretation: Rückzahlung einer Schuld S. F n, F S. Somit gilt S n v k r k k1 7

8 8 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG F k : S k wird als Restschuld zum Zeitpunkt k deniert. Deshalb erhalten wir aus (1.1.1) S j v j S j v k j r k k1 Beispiel S 1. Es gelte n v k j r k k1 j v k j r k k1 n kj+1 v k j r k r k i, k 1, 2,..., n 1, r n C Folglich iv 1 vn 1 1 v Beispiel S 1, Es gelte Dann haben wir 1 iv(1 + v + v v n 2 ) + v n C + v n C 1 v n 1 + v n C 1 + v n 1 (vc 1) C 1 + i r k C, k 1, 2,..., n. Folglich C Annuität 1 Cv(1 + v + v v n 1 ) Cv 1 vn 1 v C 1 v i(1 + i)n (1 v n )v (1 + i) n Fall 2: Zinsperiode > Konversionsperiode m Anzahl der Konversionsperioden pro Jahr i eektiver jährlicher Zinssatz i (m) nomineller Zinssatz pro Jahr i (m) nomineller Zinssatz pro Konversionsperiode m Zusammenhang: Folglich Bekanntlich ist ) m (1 + i(m) 1 + i m i (m) m[(1 + i) 1/m 1] y f(x) ex 1 x

9 1.3. KONTINUIERLICHER FALL 9 monoton wachsend. Deshalb ist ( ) ln(1 + i) i (m) ln(1 + i)f m monoton fallend. Somit gilt δ heiÿt Zinsintensität. Es gilt bzw. lim m i(m) ln(1 + i) : δ. e δ 1 + i e δ v. 1.3 Kontinuierlicher Fall F (t) Fondsfunktion r(t) momentane Zahlungsintensität δ(t) momentane Zinsintensität Betrachtung für das Intervall [t, t + dt] Folglich was umgeschrieben werden kann: Folglich df (t) F (t)δ(t)dt + r(t)dt + o(dt) F (t) F (t)δ(t) + r(t), d dt [e t δ(u) du F (t)] e t δ(u) du r(t). e h δ(u) du F (h) F () Hieraus ergibt sich für r(t) d. h für den Barwert gilt h e h δ(u) du F (h) F (), B e h δ(u) du F (h) F () + Analog erhalten wir für den Endwert: Spezialfall δ(t) δ h F (h) e δ(u) du F () + h e t δ(u) du r(t) dt. h e h t e t δ(u) du r(t) dt. δ(u) du r(t) dt. h F (h) e hδ F () + e δh e δt r(t) dt.

10 1 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG 1.4 Vorschüssiger Zins d Vorauszinsrate F F 1 df 1 F 1 (1 d) (1 + i)f (1 d). Folglich i d 1 d, d i 1 + i < i. Gedankliche Konstruktion: Investition von C. C + dc + d 2 C + d 3 C +... C 1 C(1 + i). 1 d Analog wird d (m) eingeführt. Wegen des Ansatzes folgt bzw. Somit gilt 1 1 d (m) /m 1 + i(m) /m (1 + i) 1/m d (m) m[1 (1 + i) 1/m ] d (m) 1.5 Ewige Renten i (m) 1 + i (m) /m < i(m). 1 d 1 (m) m + 1 i. (m) Eine Rente ist ein Zahlungsstrom. Es interessiert der Barwert solcher Renten. vorschüssige Renten: nachschüssige Rente Unterjähriges Experiment: ä (m) ä 1 + v + v v 1 d. a v + v + v v 1 v 1 i 1 m + 1 m v1/m + 1 m v2/m + 1 m v3/m m 1 v 1 1/m Analog ergibt sich für nachschüssige Renten. a (m) Grenzübergang ergibt 1 m v1/m + 1 m v2/m + 1 m v3/m +... ä (m) 1 m 1 i (m) ā e δt dt 1 δ. d (m)

11 1.6. ZEITRENTEN 11 Verallgemeinerung: Zahlungsstrom {r k : k, 1, 2,...} vorschüssiger Barwert: ä v k r k. Unterjährige Zahlungen: m unterjährige Zahlungen. Es sei r(t) eine momentane Zahlungsintensität. Im Intervall [k/m, (k + 1)/m] erfolgen Zahlungen in etwa von r(k/m)1/m. Für den Barwert erhalten wir Grenzübergang: 1.6 Zeitrenten ä (m) ā v k/m r(k/m) 1 m. e δt r(t) dt. Barwert einer vorschüssigen Zeitrente mit jährlichen Zahlungen 1 (sonst als Faktor z zu berücksichtigen) ä n 1 + v + v v n 1 1 vn 1 v 1 vn d Analog: Barwert einer nachschüssigen Zeitrente mit jährlichen Zahlungen 1 Analog gilt: a n v + v v n v 1 vn 1 v 1 vn i ä (m) n a (m) n 1.7 Renditenzinssatz 1 vn d (m) 1 vn i (m) F Investition r k Zahlung zum Zeitpunkt t k Problem: Wie ist die Rendite? Für welches v e δ gilt a(δ) n v t k r k k1 n e δ t k r k F. Renditenzinssatz: i e δ 1. Setze r : r 1 + r r n und betrachte die Hilfsfunktion f(t) ln a(t) r. k1

12 12 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG Es gilt oenbar f(), f (t) a (t) a(t) < ( ) f (t) a (t) a(t) a 2 (t) >. a(t) Folglich ist f < konvex, und es ist f(t) t monoton nicht fallend. Somit gilt f(u) u Dies ist gleichwertig mit d. h. für t δ < f(t) t Deshalb denieren wir rekursiv < f(s) s, < u < t < s. f(t) f(s) s > t > f(t) f(u) u, ln(f /r) ln(a(s)/r s > δ > ln(f /r) ln(a(u)/r u. w k+1 ln(f /r) ln(a(w k )/r) w k f(δ) f(w k ) w k Lemma (1) Ist w < δ, so ist {w k } monoton wachsend. (2) Ist w > δ, so ist {w k } monoton fallend. Beweis: Da f monoton fallend ist, folgt aus w < δ d. h. w 1 > w und w 1 < δ... f(δ) < f(w ), Beispiel F 525, T k k, k 1, 2,..., 9, r k 3, k 1, 2,..., 8, r 9 53, r 77 i 1% ergibt nach 4 Schritten i i 5, 2875% 1.8 Sparpläne und Deckungskapital Vertrag mit der Bank: Sparplan i Zinsrate r 1 + i Aufzinsfaktor v 1/r Abzinsfaktor a) Kapitalplan, Beispiel P j P, j, 1, 2,..., n 1 Prämie C j, j, 1, 2,..., n 1, C n K r j C j P j resultierende Zahlung aus Sicht der Bank Bestimmung der Prämie: n r j v j, j

13 1.8. SPARPLÄNE UND DECKUNGSKAPITAL 13 d. h. Deckungskapital zum Zeitpunkt t: Eigenschaften: V, n V K P K vn K vn (1 v) i ä n 1 v n K r(r n 1) tv Kv n t P (1 + v + + v n t 1 ( Kv n t 1 v t 1 ) vn t 1 v n Denition (prospektive Methode) Deckungskapital t V zum Zeitpunkt t ist gleich der Dierenz der Barwerte der künftigen Leistungen und der künftigen Prämien. Denition (retrospektive Methode) Deckungskapital t W zum Zeitpunkt t ist gleich der Dierenz der Endwerte der schon gezahlten Prämien und der schon gezahlten Leistungen. Beispiel (oben) Deckungskapital zum Zeitpunkt t: Eigenschaften: W, n W K. Zum Kapitalplan tw P (r + r r t ) P rt 1 r i Beispiel K 1, i 6%, n 1 Bestimmung der Prämie: Tabelle: i P K r(r n 1) t tw Allgemeine Analyse: Wir führen das Deckungskapital nach den beiden Methoden wie folgt ein: tv n v j t r j jt t 1 tw r t j ( r j ) j Satz Ist der Barwert des resultierenden Zahlungsstromes, so gilt tw t V, t, 1, 2,...

14 14 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG Beweis: Wegen erhalten wir n t 1 n v j r j v j r j + v j r j j j jt n tv v t v j r j jt t 1 v t v j ( r j ) j t 1 v j t ( r j ) t W j b) Zeitrentenplan Zahlungsplan: P j P, j, 1,...m 1 P j, j m, m + 1,...n C j, j, 1,...m 1 C j C, j m, m + 1,...n Wie groÿ ist P? P Cv m 1 vn m+1 1 v m. Deckungskapital: tv P r rt 1, j, 1,...m 1, i tv C 1 vn t+1, j m, m + 1,..., n. 1 v

15 Kapitel 2 Lebensdauerverteilung 2.1 Modellannahmen Restalter eines x-jährigen: { Alter x falls Person x Jahre gelebt hat T x falls Person nicht x Jahre gelebt hat Alter beim Tod ist also: x + T x {T x : x } Familie von Zufallsgröÿen. Denition Die Funktion G x (t) : P (T x t T x > ) heiÿt Lebensdauerverteilung eines x-jährigen bzw. Sterbewahrscheinlichkeit. Es sei Es gilt G x (). Voraussetzungen: x : sup{x : P (T x > ) > } (2.1.1) (a) Aus x 1 x 2 folgt G x1 G x2 für alle x < x. (b) Wenn T x+s >, so folgt T x+s T x s: Also P (T x+s > t T x+s > ) P (T x > t + s T x > s), x < x.. Setze: T : T und G : G, so gilt T x max(t x, ). Lemma {T x : x } erfülle (b), so folgt bzw. G x+s (t) G x(t + s) G x (s) 1 G x (s) 1 G x+s (t) 1 G x(t + s) 1 G x (s) 15 x, s x, s.

16 16 KAPITEL 2. LEBENSDAUERVERTEILUNG Satz Die Familie {G x : x } erfüllt genau dann die Bedingungen (a) und (b), falls eine Verteilungsfunktion G mit G() existiert, so dass für alle t die Funktion 1 G(t+x) 1 G(x) fallend ist und dass bzw. G x (t) 1 G x (t) G(t + x) G(x) 1 G(x) 1 G(t + x) 1 G(x) x x. Denition Die Sterblichkeitsintensität auch Ausfallrate genannt für die Verteilungsfunktion G ist durch deniert. u [, ) µ u [, ) 1 G(t) e t Bemerkung: a) Ist µ stetig, so folgt µu du µ t [ln(1 G(t)] b) Besitzt G eine stetige Dichte g, so ergibt sich µ t g(t) 1 G(t). Eine etwas allgemeinere Überlegung zeigt, dass die vorhergehende Formel gilt, falls eine Dichte g existiert. Satz Die Familie {G x : x } erfülle die Bedingungen (a) und (b). (1) Existiert eine Sterblichkeitsintensität µ x,t von G x, so gilt (2) µ t ist wachsend, falls µ stetig ist. µ x,t µ x+t Beispiel Sterbegesetz von De Moivre (1724): ω Höchstalter { 1 g x (t) ω x falls < t < ω x sonst. Es gilt dann und Ḡ x (t) µ x+t ω (x + t) ω x 1 ω (x + t).

17 2.1. MODELLANNAHMEN 17 Versicherungsmathematische Gröÿen: tq x x-jähriger überlebt nicht die nächsten t Jahre tp x x-jähriger überlebt die nächsten t Jahre s tq x x-jähriger überlebt die nächsten s Jahre und stirbt innerhalb der darauf folgenden t Jahre p x 1 p x, q x 1 q x, p x 1 Folgerung Es gelten folgende Zusammenhänge (1) t q x G x (t), (2) t p x 1 G x (t), (3) s t q x s p x t q x+s. (4) Es gilt folgende Rekursion: s+t p x t p x s p x+t P (K k T x > ). Weitere analytischen Sterbegesetze: (1) Gompertz (1824): µ t Bc t, (2) Makeham (186): µ t A + Bc t, (3) Weibull (1939): µ t kt n, Schätztheorie: Nach Folgerung gilt kp x p x p x+1 p x+2... p x+(k 1) (2.1.2) Man schätzt aus der Sterbetafel (eine Schätzung von p wird mit ˆp bezeichnet.) (1) ˆp x+j j, 1, 2... (2) Nach (2.1.2) schätzt k ˆp x den Parameter k p x. (3) Nach der Approximation schätzt man ˆµ x+k. µ x+k k+1 q x k q x 1 k q x (4) Mit der Methode der kleinsten Quadrate werden die Parameter der entsprechenden Modelle geschätzt. Erwartungswert: ė x : E(T x T x > ) Lemma Es gilt ė x u g x (u) du up x du u u p x µ x+u du

18 18 KAPITEL 2. LEBENSDAUERVERTEILUNG Beispiel Gompertz (1824): µ t Bc t Somit gilt t Folglich erhalten wir und µ x+u du Bc x t e u ln(c) du Bcx ln(c) (ct 1) tp x e Bc x (c t 1) ln(c) g x (t) t p x µ x+t Bc x+t e Bc x (c t 1) ln(c) der Erwartungswert muss numerisch berechnet werden. 2.2 Ganzzahlige und Bruchteil der Lebensdauerverteilung Im weiteren wird der ganze Teil von T x eine wesentliche Rolle spielen: Denition Die ganzzahlige gestutzte Lebensdauer eines x-jährigen ist als K : [T x ] deniert und der Bruchteil eines Jahres, den der x-jährige im Todesjahr noch erlebt, als S : T x K. Lemma Es gelten folgende Zusammenhänge (a [, 1]): P (S a, K k T x > ) k p x a q x+k, P (K k T x > ) k p x q x+k, k, 1, 2... P (S a T x > ) kp x a q x+k, P (S a K k) a q x+k q x+k. Wir untersuchen nun die Unabhängigkeit von S und K. Lemma Die Zufallsgröÿen K und S sind genau dann unabhängig, falls eine Verteilungsfunktion H mit H() und H(1) 1 existiert, so dass uq x+k H(u)q x+k gilt. Im Fall der Unabhängigkeit ist H die Verteilungsfunktion von S. Beweis:... Weitere Möglichkeiten den Bruchteil eines Jahres durch den Ganzteil zu ersetzen: a) µ x+a C konstant für a < 1. Es folgt dann ap x p a x C a

19 2.2. GESTUTZTE LEBENSDAUER 19 Folglich P (S a, K k T x > ) k p x (1 p a x+k), P (S a T x > ) 1 jp x p a x+j, Folglich besitzt S unter K k die Dichte j P (S a K k) 1 pa x+k 1 p x+k. p S Kk (a) pa x+k ( ln p x+k) 1 p x+k Daraus erhalten wir das erste Moment von S unter K k: m 1 Für p x+k.5 gilt m 1.44 b) Balducci-Voraussetzung: 1 ln p x+k p x+k 1 p x+k 1 1 G(x + t) 1 t 1 G(x) + t 1 G(x + 1) Wir betrachten die Population der Jährigen als Bernoulli-Versuch. Es sei Z x die erste Person, die den Zeitpunkt x überlebt. Es gilt Oensichtlich gilt und wegen erhalten wir P (Z x n) x p ( x q ) n 1, n 1, 2,... EZ x 1 xp Z x Z x+t Z x+1, t 1, EZ x EZ x+t EZ x+1, t 1. Die Voraussetzung von Balducci besagt, dass die monoton wachsende Funktion g(t) : EZ x+t sich als konvexe Linearkombination von g() EZ x und g(1) EZ x+1 darstellen lässt. Satz Die Balducci-Voraussetzung ist gleichwertig damit, dass tp x 1 G x (t) 1 q x 1 (1 t)q x, d. h uq x uq x 1 (1 u)q x,

20 2 KAPITEL 2. LEBENSDAUERVERTEILUNG Beweis: Aufgrund der Balducci-Voraussetzung gilt tp x 1 G x (t) Bemerkung: Insbesondere folgt 1 G(x + t) 1 G(x) 1 uq x+u (1 u)q x, d. h. 1 u q x+u ist linear in u. Denn wir haben 1 (1 t) + t 1 G(x) 1 G(x+1) Sterbeintensität: 1 up x+u 1 p x up x 1 (1 u)q x q x µ x,t 1 (1 t)q x 2.3 Charakterisierungen Bezeichne Satz Die Bedingung Ḡ(t) : 1 G(t). (2.3.3) Ḡ(k + t) (1 t)ḡ(k) + tḡ(k + 1), k ganz t 1 ist genau dann erfüllt, wenn (1) S und K unabhängig sind, (2) G stetig ist und (3) S U(, 1). Beweis: Wegen (2.3.3) gilt Folglich d.h. G ist stetig. Betrachte nun G(k + t) t(g(k + 1) G(k)) + G(k). G(k ) lim G(k 1 + t) G(k), t 1 P (S t K k) t q x+k G(x + k + t) G(x + k) q x+k G(x + k + 1) G(x + k) t Es gilt bekanntlich Ḡ x (k + t) P (T x > k + t T x > ) P (T x > k + t, K k T x > ) + P (T x > k + t, K k + 1 T x > ) P (S > t, K k T x > ) + P (K k + 1 T x > ) P (S > t T x > )P (K k T x > ) + P (T x > k + 1 T x > ) (1 t)g(k + 1) G(k)) + 1 G(k + 1)

21 2.4. POPULATIONSMODELL 21 Satz Die Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn (1) S und K unabhängig sind, und (2) ein < p < 1 existiert, dass d. h. K ist geometrisch verteilt sp x+t s p x P (K k T x > ) (1 p)p k, P (S a K k, T x > ) 1 pa 1 p. Insbesondere gilt µ x,t ln p 2.4 Populationsmodell l Neugeborene einer Population L x Anzahl der x-jährigen der Population Voraussetzung: T,j, j 1, 2,..., l sind unabhängige und identisch nach G verteilte Zufallsgröÿen. Setze { 1 T,j > x Y j : T,j x Dann gilt und somit L x l Y j j1 l x EL x l (1 G(x)) l e x µu du l x p Wir führen nun eine modizierte Statistik ein: nd x Anzahl der Gestorbenen, die älter als x geworden sind, aber nicht älter als x + n. Man sieht analog nd x E( n D x ) l (G(x + n) G(x)) l x l x+n Bestimmung der versicherungsmathematischen Gröÿen durch l x und n d x. Lemma Es gelten folgende Beziehungen: tq x l x l x+t l x t d x l x tp x l x+t l x s tq x l x+s l x+s+t l x t d x+s l x

22 22 KAPITEL 2. LEBENSDAUERVERTEILUNG Beweis: Man benutze x+tp x p t p x Anwendung: Aus der Sterbetafel werden l x durch die entsprechenden Schätzungen ˆl x ersetzt. Weitere Eigenschaften von l x. Lemma Es gilt folgende Beziehung Beweis: Es gilt oenbar x+t x x+t x l x+t l x l u µ u du x+t x x+t x l u µ u du l u p µ u du l g(u) du l (G(x + t) G(x)) l x+t l x.

23 Kapitel 3 Kapitalversicherungen 3.1 Einführung und einfache Beispiele Bei der Kapitalversicherung besteht die Leistung des Versicherungsunternehmens in der Bezahlung einer einzigen Summe, der so genannten Versicherungssumme, falls der Versicherungsfall eintritt. Dabei ist der der Zeitpunkt der Zahlung zufällig. Man unterscheidet diskrete und stetige Kaptitalversicherungen. Tritt der Versicherungsfall ein, so wird bei einer diskreten Kaptitalversicherung die Versicherungssumme am Ende Jahres, in dem der Versicherungsfall eingetreten ist, gezahlt. Also erfolgt die Zahlung nachschüssig. Bei einer stetigen Kaptitalversicherung erfolgt die Zahlung sofort nach Eintritt des Versicherungsfalles. Der Barwert wird wie folgt deniert. Z: Barwert der vereinbarten Summe bezüglich des angenommenen Zinssatzes i Der Erwartungswert des Barwertes eine Kapitalversicherung heiÿt Nettoeinmalprämie. Beispiel (lebenslange diskrete) Todesfallversicherung eines x-jährigen Der Auszahlungsbetrag sei C. Der Barwert der Versicherungssumme, die am Ende des Todesjahres ausgezahlt wird, ist Z Cv K+1 Die Verteilung des Barwertes ist P (Z Cv k+1 ) P (K k) k p x q k+x, k, 1,.. Für die Nettoeinmalprämie erhalten wir CA x : CA x (δ) : EZ C C v k+1 kp x q k+x e δ(k+1) kp x q k+x A x (δ) Die Varianz des Barwertes ergibt sich aus V ar(z T x > ) C 2 ( A x (2δ) A x (δ) 2) 23

24 24 KAPITEL 3. KAPITALVERSICHERUNGEN Beispiel Temporäre Todesfallversicherung eines x-jährigen mit Dauer n Auszahlungsbetrag C 1 Auszahlung von C am Ende des Todesjahres, falls Todesjahr < n vom Abschluss, sonst nichts { v K+1 K < n Z 1 K n P (Z 1 v k+1 ) P (K k) k p x q k+x, K, 1,..., n 1 P (Z 1 ) P (K n) n p x. Analog gilt n 1 A 1 x:n : EZ 1 v k+1 kp x q k+x A 1 x:n (δ) V ar(z 1 T x > ) A 1 x,n(2δ) ( A 1 x,n(δ) ) 2 Beispiel Erlebensfallversicherung eines x-jährigen (Dauer n) Auszahlungsbetrag C 1 Auszahlung von C am Ende des n-ten Jahres, falls Todesjahr n, sonst nichts { K < n Z 2 v n K n Analog erhalten wir für die Varianz: A 1 x:n : EZ 2 v n np x V ar(z 2 T x > ) v 2n np x n q x Beispiel Gemischte Versicherung eines x-jährigen (Dauer n) Auszahlungsbetrag C 1 Auszahlung von C am Ende des n-ten Jahres, falls Todesjahr n sonst am Ende des Todesjahres { v K+1 K < n Z v n K n Folglich und Z Z 1 + Z 2 n 1 A x:n : A 1 x:n + A x:n 1 EZ v k+1 kp x q k+x + v n np x. Varianzermittelung: V ar(z T x > ) V ar(z 1 T x > ) + V ar(z 2 T x > ) + 2Cov(Z 1, Z 2 ) V ar(z 1 T x > ) + V ar(z 2 T x > ) 2A 1 x:n A 1 x:n

25 3.2. STETIGER FALL 25 Beispiel Wir betrachten die aufgeschobene Todesfallversicherung eines x-jährigen um m Jahre. Auszahlungsbetrag C 1. Auszahlung von C am Ende des K-ten Jahres, falls die restliche Lebensdauer K m, sonst nichts. { K < m Z v K+1 K m Folglich Analog m A x : EZ m p x v m A x+m. m A x A x A 1 x:m. 3.2 Stetiger Fall: Auszahlung unmittelbar nach dem Tode Leistung: NEP: Ā x Z v Tx v t g x (t) dt v t tp x µ x+t dt Approximation des stetigen Falls durch den diskreten Fall Lemma Es sei K und S U(, 1) unabhängig. Dann gilt Ā x A x i δ > A x Beweis: Oenbar gilt wegen der Unabhängigkeit von K und S Ā x E(v Tx T x > ) E(v K+S T x > ) E(v K+1+S 1 T x > ) E(v K+1 T x > ) E(v S 1 T x > ) Wegen S U(, 1) folgt weiter Wegen folgt E((1 + i) 1 S T x > ) und somit die letzte Behauptung. A x E((1 + i) 1 S T x > ) 1 e i > 1 + i i > ln(1 + i) δ (1 + i) 1 u du i δ. Wir wenden uns nun zwei Abschätzungen der NEP für verschiedene Zinsintensitäten zu. Wir benötigen dazu folgende Hilfsresultate:

26 26 KAPITEL 3. KAPITALVERSICHERUNGEN Lemma (Jensensche Ungleichung) Es sei g : (, ) (, ) eine konvexe Funktion und A ein Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit. Für die Zufallsgröÿe X existiere E X und E g(x). Dann gilt g[e(x A)] E[g(X A)]. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der Tangenteneigenschaft der konvexen Funktion g. Wir führen nun folgende Funktion ein: f(t) ( Ee ttx) 1/t, t >. Es gilt oenbar Ā x (δ) f(δ) δ. Lemma Die Funktion f ist monoton wachsend. Beweis: Wir wenden die Jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion g(x) x w/u mit < u < w und X e utx an. Dann ergibt sich f(w) w E(e wtx T x > ) E([e utx ] w/u T x > ) E(g(X) T x > ) g(e(x T x > )) [E(e utx T x > )] w/u f(u) w. Wir kommen nun zur ersten Approximationsmethode. Es seien δ 1 < δ 2 zwei Zinsintensitäten, für die NEP Āx(δ j ) j 1, 2 bekannt sind. Es gilt oenbar Somit gilt für δ (δ 1, δ 2 ) Ā x (δ) f(δ) δ f(δ 1 ) < f(δ) < f(δ 2 ), d. h. folgende untere und obere Schranken Beispiel Es sei Ā x (δ 1 ) δ/δ1 < Āx(δ) < Āx(δ 2 ) δ/δ2. Ā 5 (, 4), 41272, Ā 5 (, 5), Dann folgt, 3739 < Ā5(, 45) <, 3794 Zur Ableitung weiterer Schranken benötigen wir Lemma Āx(t) ist monoton fallend und konvex

27 3.3. ALLGEMEINE TODESFALLVERSICHERUNG 27 Beweis: Wir dierenzieren Āx(t) zweifach und erhalten daraus die Behauptungen und Ā x (t) Ā x (t) e tu u g x (u) du e tu u 2 g x (u) du Die zweite Methode beruht darauf, dass wir ausnutzen, dass Āx(t) konvex ist. Oenbar gilt für δ (δ 1, δ 2 ) δ δ 2 δ δ 2 δ 1 δ 1 + (1 δ 2 δ δ 2 δ 1 )δ 2 Folglich ergibt sich die obere Schranke Ā x (δ) δ 2 δ δ 2 δ 1 Ā x (δ 1 ) + δ δ 1 δ 2 δ 1 Ā x (δ 2 ) Sind zusätzlich Āx(δ j ) bekannt, so ergeben sich aus der Tangenteneigenschaft konvexer Funktionen für j 1, 2 die unteren Schranken Ā x (δ) Āx(δ j ) (δ δ j ) + Āx(δ j ). Beispiel Fortsetzung von Beispiel Es folgt Ā 5 (, 45), Allgemeine Todesfallversicherung Wir betrachten zunächst den diskreten Fall. Denition Eine allgemeine Todesfallversicherung liegt vor, falls der Versicherungsnehmer im (im Todesjahr) j-ten Jahr mit den Betrag c j versichert ist. Für den Barwert gilt: Für die NEP erhalten wir EZ Z c K+1 v K+1 c k+1 v k+1 kp x q x+k Die NEP kann mit Hilfe der aufgeschobenen Todesfallversicherung ausgedrückt werden. Wir setzen c : und A x : A x Satz Es gilt folgende Darstellung EZ (c j+1 c j ) j A x, falls j lim k k A x c k+1.

28 28 KAPITEL 3. KAPITALVERSICHERUNGEN Beweis: Wir erinnern daran, dass gilt Oenbar haben wir j A x v k+1 kp x q x+k. (3.3.1) kj k (c j+1 c j ) j A x j k c j+1 j A x j k+1 l1 c l l 1 A x k c j j A x j k c j j A x j k c j ( j 1 A x j A x ) + c k+1 k A x j1 k 1 j c j+1 ( j A x j+1 A x ) + c k+1 k A x Wegen(3.3.1) folgt dann k 1 j k (c j+1 c j ) j A x j c j+1 v j+1 jp x q x+j + c k+1 k A x Nach Grenzübergang k folgt die Behauptung. Beispiel Die allgemeine temporäre Todesfallversicherung mit Dauer n ist deniert durch: Z c K+1 v K+1, K n 1 Sie lässt sich als als allgemeine Todesfallversicherung auassen: Wir setzen c n und führen eine allgemeine Todesfallversicherung mit ein. Dann folgt d j+1 c min(j+1,n) Z d K+1 v K+1. Wenden wir Satz an, so ergibt sich EZ c n 1 n 1 A x + (c n 1 c n 2 ) n 2 A x (c 2 c 1 ) 1 A x + c 1 A x

29 3.3. ALLGEMEINE TODESFALLVERSICHERUNG 29 Verwenden wir nun so folgt j A x A x A 1 xj, EZ c n 1 A 1 x(n 1) + (c n 2 c n 1 )A 1 x(n 2) (c 1 c 2 ) A 1 x2 Wir diskutieren nun den stetigen Fall. Denition Eine allgemeine stetige oder kontinuierliche Todesfallversicherung ist dadurch deniert, dass am Todestag t des Versicherungsnehmers der Betrag c(t) ausgezahlt wird. Wir zeigen nun, dass jede stetige Todesfallversicherung als spezielle diskrete Todesfallversicherung aufgefasst werden kann. Lemma Jede stetige Todesfallversicherung mit Barwert Z c(t x )v Tx hat den gleichen Barwert wie die diskrete Todesfallversicherung mit c k+1 E(c(k + S)(1 + i) 1 S K k, T x > ) Beweis: Nach den Satz der totalen Erwartung folgt E(Z T x > ) E(Z K k, T x ) P (K k T x > ) E(c(k + S)(1 + i) 1 S K k, T x > ) P (K k T x > ) Wir diskutieren nun zwei wichtige Beispiele für die Bestimmung von c j aus Lemma Beispiel Die Sterblichkeitsintensität sei in einem Intervall konstant, d. h. In diesem Fall gilt µ x+k+u µ x+k, < u < 1. P (S U K k, T x > ) 1 pu x+k 1 p x+k Die Zufallsgröÿen K und S U(, 1) seien unabhängig. Auÿerdem gelte Dann folgt nach längerer Rechnung c(t) e τt c k+1 e τk µ x+k e δ p x+k e δ 1 p x+k τ µ x+k δ

30 3 KAPITEL 3. KAPITALVERSICHERUNGEN Beispiel Die Zufallsgröÿen KB und S U(, 1) seien unabhängig. Auÿerdem gelte c(t) e τt Dann folgt nach einfacher Rechnung c k+1 e τk eδ e τ δ τ Insbesondere ergibt sich in dem schon behandelten Spezialfall c(t) 1: c k+1 eδ 1 δ 3.4 Einige Standardtypen Wir beginnen erneut mit den diskreten Fällen. a) Lebenslange Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing Sie ist deniert durch c j j Es gilt dann für den Barwert Für die NEP ergibt sich (IA) x EZ i δ Z (K + 1)v K+1 (k + 1)v k+1 kp x q x+k b) Befristete Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing Dauer n Sie ist deniert durch { j, j n c j j > n Es gilt dann für den Barwert { (K + 1)v K+1, K n 1 Z K n Für die Nettoeinmalprämie ergibt sich n 1 (IA) 1 x EZ (k + 1)v k+1 kp x q x+k Wir sehen leicht folgende Darstellungen: bzw. (IA) 1 x:n A x + 1 A x (n 1) A x n n A x (IA) 1 x:n na1 x:n A1 x:n 1... A1 x:1

31 3.4. EINIGE STANDARDTYPEN 31 c) Befristete Todesfallversicherung vom Typ Standard decreasing Dauer n Sie ist deniert durch { n (j 1), j n 1 c j j n Es gilt dann für den Barwert { (n K)v K+1, K n 1 Z K n Für die Nettoeinmalprämie ergibt sich n 1 (DA) 1 x:n EZ (n k)v k+1 kp x q x+k Wir sehen leicht folgende Darstellungen: (DA) 1 x:n A1 x:n + A1 x:n A1 x:1 d) Stetige Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing Sie ist deniert durch c(t) [t + 1] Es gilt dann für den Barwert Für die Nettoeinmalprämie ergibt sich Z (K + 1)v Tx (IĀ) x EZ Berechnung nur möglich, wenn zusätzliche Voraussetzungen an K und S gestellt werden. Sind z. B. K und S U(, 1) unabhängig, so folgt (IĀ) x (IA) x i δ e) Todesfallversicherung vom Typ Standard increasing, wachse m-mal pro Jahr Es gilt dann für den Barwert Z (K + S (m) )v Tx Ihre Nettoeinmalprämie wird mit (I (m) Ā) x bezeichnet. Es gilt Satz Sind K und S U(, 1) unabhängig, so folgt wobei d (m) m[1 (1 + i) 1/i ] (I (m) Ā) x (IĀ) x Āx + A x i d (m) d (m) δ,

32 32 KAPITEL 3. KAPITALVERSICHERUNGEN Beweis: Wir führen den diskreten Bruchteil S (m) gemäÿ S (m) k m, wenn k 1 < S k und zerlegen den Barwert wie folgt: Z (K + 1)v Tx v Tx + S (m) (1 + i) 1 S v K+1 Für die Nettoeinmalprämie erhalten wir somit (I (m) Ā) x (IĀ) x Āx + E(S (m) (1 + i) 1 S T x > ) E(v K+1 T x > ) (IĀ) x Āx + A x E(S (m) (1 + i) 1 S T x > ) Folglich genügt es E(S (m) (1 + i) 1 S T x > ) i d(m) d (m) δ zu zeigen. Nach dem Satz der totalen Erwartung folgt (3.4.2) E(S (m) (1 + i) 1 S T x > ) E(S (m) (1 + i) 1 S S (m) k m, T x > )P (S (m) k m T x > ) k1 Es gilt nun k/m (k 1)/m Setzen wir ein, so folgt Wegen k1 erhalten wir schlieÿlich k1 k m E((1 + i)1 S S (m) k m ) 1 m E((1 + i) 1 S S (m) k m ) (1 + i) 1 u du m m v(k 1)/m v ln(v) [v1/m 1] E(S (m) (1 + i) 1 S T x > ) 1 v 1/m 1 kv (k 1)/m m v ln(v) k1 kv (k 1)/m mv1+1/m (m + 1)v + 1 (v 1/m 1) 2 Hieraus folgt (3.4.2). E(S (m) (1 + i) 1 S T x > ) 1 m(v 1/m 1) 1 + 1/v ln v m(v 1/m 1)

33 Kapitel 4 Leibrenten 4.1 Zeit- und Leibrenten Neben dem Problem eines Versicherungsunternehmens, den Barwert einer vereinbarten Versicherungssumme zu berechnen, muss natürlich der Preis für eine solche Versicherung ermittelt werden. Auÿer den Ausgaben müssen also die Einnahmen ermittelt werden, und diese Berechnung erfolgt nach dem Äquivalenzprinzip: erwarteter Barwert der eingezahlten Prämien erwarteter Barwert der auszuzahlenden Versicherungssumme. Die auf diese Weise ermittelten Nettoprämien werden dann noch mit Zuschlägen versehen, damit Verwaltungskosten, das übernommenen Risiko etc. gedeckt werden können. Auf diese Weise entstehen dann Bruttoprämien. Wir befassen und hier nur mit der Berechnung der Nettoprämien. Die von dem Versicherungsnehmer zu zahlenden Prämien sind bekanntlich regelmäÿig wiederkehrende Zahlungen konstanter oder variabler Höhe. Wir bezeichnen eine solche Zahlungsfolge als Rente. Denition Eine in gleicher oder variabler Höhe periodisch erfolgende Zahlung heiÿt Rente. Wird die Zahlung zu Beginn (am Ende) einer Periode geleistet, so heiÿt die Rente vorschüssig (nachschüssig). Ist die Dauer der Zahlungen endlich und erfolgt eine feste Anzahl von Zahlungen, etwa n, so sprechen wir von einer Zeitrente. Ist die Dauer der Zahlungen endlich, aber die Anzahl zufällig (vom erreichten Lebensalter einer Person abhängig), so sprechen wir von einer Leibrente. Sind Dauer und damit Anzahl der Zahlungen nicht endlich, so liegt eine ewige Rente vor. 4.2 Die einfachsten Leibrenten a) Vorschüssige, lebenslängliche Leibrente Denition Regelmäÿige vorschüssige Zahlungen der Höhe C, die erst mit dem Tode enden, denieren eine vorschüssige lebenslängliche Rente. 33

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