SCHWINGUNGEN WELLEN. Schwingungen Resonanz Wellen elektrischer Schwingkreis elektromagnetische Wellen

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1 SCHWINGUNGEN WELLEN Schwingungen Resonanz elektrischer Schwingkreis elektromagnetische

2 Schwingungen Federpendel Auslenkung x, Masse m, Federkonstante k 2 H d xt ( ) Bewegungsgleichung: m k x t 2 H () Ansatz über Kräfte auf Masse dt Trägheitskraft = rücktreibende Kraft xt () x sin( t ) Kreisfrequenz H Schwingungsfrequenz gs f= 0 /2 Periodendauer T=1/f k m Amplitude x 0 Energie Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie = konstant 2 kx H 0 E0, ges 2 proportional Quadrat der Auslenkung 2

3 gedämpfte Schwingung z.b. Reibungskraft (proportional v=dx/dt) 2 d xt ( ) d xt ( ) m k () 2 H x t dt dt t xt () x e sin( t ) 0 0 Abklingkoeffizient..., zeit... A =1/ =2m/ Frequenz verschoben: 1 ( 2 m ) 0 0 Energie nimmt exponentiell ab mit Abklingzeit E =m/ Et t / E () Ee 0 2 3

4 Erzwungene Schwingung periodische äußere Kraft Ft () Fcos( t) << 0 : Masse folgt immer der Antriebskraft xt () Ft ()/ k H >> 0 : Massenträgheit überwiegt, Reibung und Rückstellkraft spielen keine Rolle 2 xt () Ft ()/( m ) 0 : Masse nimmt dauernd d Energie egeau auf, nur Reibung begrenzt Amplitude x 0 F m 0 Resonanz, max. Amplitude bei Masse schwingt mit frequenzabhängiger tan m( ) Phase relativ zu Antrieb R 4

5 Überlagerung von Schwingungen Addition der Schwingungen (Addition von Sinusschwingungen) "Schwebung" x() t x () t x () t 1 2 ( x x )sin(( ) t /2)sin(( ) t /2) 0,1 0, Gekoppelte Schwingungen z.b. Pendel: Energie geht von Pendel l1 auf 2 2 unterschiedliche "Schwingungsmoden" (Freiheitsgrade) Molekülschwingungen (C0 2 ) 5

6 Grund, Oberschwingung transversale oder longitudinale Auslenkung gekoppelter Massen Saite Orgelpfeife transversal: Saite, Wasseroberfläche, Balken longitudinal: Schall in Luft, Druckwellen in Wasser, etc. festes Ende: Knoten (keine Auslenkung) offenes Ende: Bauch (max. Auslenkung) "Randbedingungen" 6

7 Ausbreitung von Auslenkungen: während T=1/f breitet sich um eine länge aus: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Phasenlage: /T f c 2 2 Axt (, ) A0 sin t x A sin( t kx) 0 länge..., e vektor...k=2/ e e front: Linien gleicher Phase Überlagerung möglich 7

8 Ausbreitung einer Welle Interferenz: Überlagerung von (Addition) Verstärkung: mit gleicher Phasenlage (=0) Auslöschung: bei entgegengesetzter Auslenkung (=) A( x, t) Asin( tkx) Asin( tkx) 2Asin( tkx) A( x, t) Asin( tkx) Asin( tkx) Asin( t kx ) A sin( t kx ) 0 Prinzip von Huygens Jd Jeder von einer Wll Welle erregte Punkt wird id selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis /Kugelwelle. Überlagerung aller Kugelwellen ergibt neue front 8

9 Beispiel für Huygenssches Prinzip Rfl Reflexion Einfallswinkel = Ausfallswinkel Brechung Brechungsgesetz sin k c sin k c

10 Beugung Schall kann auch hinter Hindernis wahrgenommen werden (ohne Reflexion Baum auf Wiese) Effekt hängt von länge ab Beugung an Kante: Eindringtiefe x D D...Abstand Beugung an Spalt (Breite b): abwechselnd helle, dunkle Bereiche dunkel bei 2 n sin min,,...,,... b b b Beugung an Gitter (Spaltbstand a>>b) Maxima bei n sin wichtigu.a. inoptikbei Auflösungs vermögen optischer Geräte max a 10

11 Dopplereffekt bewegte Quelle (Geschwindigkeit v) nächste front wird von anderer Position ausgelöst Abstand der fronten kürzer in Bewegungsrichtung und größer entgegen der Bewegungsrichtung beobachtete länge B und Frequenz f B geändert gegenüber länge Wll lä S /Frequenz f S der Quelle v f f f 1 v B S s B S 1 v c Tonhöhe ändert sich, wenn z.b.: Einsatzfahrzeug mit Sirene vorbeifährt umgekehrt tritt der Effekt natürlich auch auf, wenn sich der Beobachter relativ zur Signalquelle bewegt 11

12 Akkustik Schall Mechanische Druck inmedien kein Schall in Vakuum Ausbreitung von Schall abhängig von Kräften zwischen Atomen siehe auch Elastizität! 2 c d/..dichte, d~druck*c p /c V, Kompressibilitäts /Elastizitätsmodul Festkörper: transversal/longitudinale c1500 Gewebe /3000 Knochen, poröses Gestein /5100 Aluminium, Eisen /6000 Marmor,Stahl Flüssigkeiten: longitudinale Druckwellen c Wasser Gasen: longitudinale Druckwellen, abhängig von c p /c V (Zahl der Freiheitsgrade) c343 Luft,20 C /981 Helium Energiedichte w kinetische Energie der Teilchen mit Geschw. v 2 2 w mvmax 2 f Pak ca Shllit Schalleistung P ak Schallintensität (Leistung pro Fläche A) I=P ak /A Schall(intensitäts)pegel L=10 lg (I/I 0 ) I 0 Int bei Hörschwelle 12

13 Ultraschalluntersuchungen Schallfrequenzen: Infraschall (<16Hz) Ultraschall (>> 22kHz) Reflexion an Grenzflächen (mit unterschiedl. "Impedanz", bzw. Dichte) Z ft/1,42 Ftt Luft Fett /1,48 Wasser /1,63 Muskel /6,12 Knochen in 10 kgm s R Z Z Z Z Echo Verfahren: kurze Pulse, Messung der Laufzeit Doppler US: Analyse von f gibt Auskunft über bewegte Flüssigkeiten Absorption (Schall regt Schwingungen in Medium an, exponentielle Abnahme) () exp Streuung (abhängig von Größe von Inhomogenitäten) Eindringtiefe begrenzt, von Frequenz abhängig Frequenz: länge (in Muskulatur): Eindringtiefe (einfach): Ortsauflösung lateral: Ortsauflösung axial: 2 15 MHz 0,78 0,1 mm ,6 cm 3,0 0,4 mm 0,8 0,15 mm Ix I x 0 13

14 Seismik: geol. Untersuchungen Erdbeben, globale Tomographie aus Laufzeitmessungen 14

15 5.4. Elektrischer Schwingkreis LC Schwingkreis Wechsel zwischen Verformungsenergie kinetischer Energie el. Energie des Kondensators Energie des magnetischen Feldes Schwingkreis Hertzscher Dipol Übergang zu Antenne Dipol: keine Abstrahlung in Achsenrichtung 15

16 Dipolstrahlung Polarisation: zusätzlich noch zirkulare Polarisation, bzw. jede Überlagerung g dieser beiden Schwingungsarten 16

17 Abstrahlung elektromagnetischer Strahlung Radiowellen, Fernsehsender, Mikrowelle, Mobilfunk, (Infrarot ) Wärmestrahlung, Licht, UV Licht, Röntgen, Strahlung sichtbares Spektrum c 8 mit c 2, m s 17

18 Anhang Schallgeschwindigkeit 18