Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen VORANSICHT. Schiffschaukel. Material zur individuellen Förderung jedes Einzelnen!

Transkript

1 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 1 von 24 Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen Marcel Schmengler, Emmelshausen Heterogene Lerngruppen sind eine Herausforderung des heutigen Unterrichts. Anhand von differenzierten und Freihandexperimenten erarbeiten sich Ihre Schüler die Grundkenntnisse aus dem Bereich der Schwingungen und Wellen. Die Lernenden entscheiden selbst, in welchem Maße sie ihre Kenntnisse vertiefen. Klasse: 9/10 Dauer: Ihr Plus: 6 8 Stunden Freihandexperimente Arbeitsmaterialien auf unterschiedlichen Anforderungsniveaus Glossar auf CD-ROM 36 Lernerfolgskontrolle Schiffschaukel Material zur individuellen Förderung jedes Einzelnen! Der Beitrag im Überblick Inhalt: Darstellung einer Schwingung Schwingungsdauer gedämpfte Schwingung Resonanz Energieumwandlung Foucault-Pendel Foto: Pixelio, Bernd Sterzl

2 2 von Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen Fachliche und didaktisch-methodische Hinweise Periodische Vorgänge, bei denen sich eine physikalische Größe (z. B. Strom, Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) um einen Mittelwert herum periodisch ändert, bezeichnet man als Schwingung. Eine Welle ist die Ausbreitung einer Schwingung im Raum. Sie behandeln dieses Thema laut Lehrplan in Klasse 9/10. Fachliche Hinweise finden Sie unter den beiden ersten in der Mediathek angegebenen Internetadressen. Hinweise zur Gestaltung des Unterrichts Der Beitrag liefert Ihnen ein Grundgerüst, welches Ihr Unterrichtskonzept zu den Schwingungen und Wellen trägt. Dabei liegt ein besonderes Augenmerk auf dem differenzierten Einsatz. Häufig finden Sie auf den Arbeitsblättern einen Hinweis auf eine Zusatzaufgabe, die für die besonders schnellen bzw. leistungsstärkeren Schüler gedacht ist. Des Weiteren sind einige in der Überschrift mit einem bzw. zwei Sternen gekennzeichnet. Die mit zwei Sternen beinhalten Themen, die über das Grundniveau hinausgehen. Grundniveau Auch leistungsschwache Schüler müssen diese Kenntnisse erwerben. Höherer Schwierigkeitsgrad Aufgaben für leistungsstarke Schüler Die orientieren sich an den Anforderungen des mittleren Schulabschlusses. Dies bedeutet, dass Schüler, die das 10. Schuljahr erfolgreich abschließen möchten, alle Inhalte, die mit einem Stern gekennzeichnet sind, erlernen sollten. Dabei ist das Grundniveau selbstständig zu bewältigen. Für solche Schüler erscheint folgender Minimalplan sinnvoll: M 1: Schwingungen und Wellen auf der Spur einfache Experimente M 2: Was ist überhaupt eine Schwingung? Grundlegende Begriffe M 4: Wie sieht eine Schwingung aus? Ein Experiment M 5: Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels M 7: Energieumwandlung M 8: Die gedämpfte Schwingung M 11: Was ist eigentlich eine Welle? M 12: Wellen Begriffe Mediathek Berthold, Clemens u. a.: Physikalische Freihandexperimente Band 1 und 2. Aulis Verlag Deubner. Köln Barth, Michael: Schwingungen und Wellen. Naturwissenschaften im Unterricht Physik 2011 (Heft 125) S Internet-Adressen Tacoma Narrows Bridge Collapse: Zeitraffer Foucault sches Pendel:

3 4 von Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen Materialübersicht V = Vorbereitungszeit SV = Schülerversuch Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt D = Durchführungszeit LV = Lehrerversuch Fo = Folie M 1 SV Schwingungen und Wellen auf der Spur einfache Experimente V: 6 min D: 30 min Lineal Tisch, Stativmaterial Feder Massestück Wäscheklammer Gummi M 2 Ab Was ist überhaupt eine Schwingung? Grundlegende Begriffe M 3 Fo Schwingungen und Wellen im Alltag M 4 SV Wie sieht eine Schwingung aus? Ein Experiment V: 5 min Stativmaterial D: 10 min Muffen Faden Tapete Sand M 5 SV Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels V: 5 min D: 15 min Stativmaterial Massestücke Faden unterschiedlicher Länge Joghurtbecher / Konservendose Stoppuhr Lineal M 6 SV Die Schwingungsdauer eines Federpendels V: 5 min D: 20 min Stativmaterial Massestücke Verschiedene Federn M 7 Ab Energieumwandlung M 8 SV Die gedämpfte Schwingung V: 5 min D: 20 min Stativmaterial Massestücke Faden Stoppuhr Lineal Stoppuhr Lineal M 9 SV Resonanz V: 3 min D: 20 min Stimmgabeln versch. Frequenz Hammer (Kunststoff) M 10 Ab Das Foucault-Pendel ein Pendel zeigt die Drehung der Erde M 11 SV Was ist eigentlich eine Welle? V: 10 min D: 10 min Strohhalme Tesafilm Weiche, lange Feder M 12 Ab Wellen Begriffe M 13 Ab Ein Buchstabenrätsel LEK Die Erläuterungen und Lösungen zu den finden Sie ab Seite 18. Auf CD-ROM 36 finden Sie auch ein Glossar mit den wichtigsten Begriffen.

4 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 5 von 24 M 1 Schwingungen und Wellen auf der Spur einfache Experimente Führe die Experimente durch. Notiere jeweils deine Versuchsbeobachtungen im Heft. Schülerversuch 1 Vorbereitung: 2 min Durchführung: 10 min Lineal Tisch Drücke das eine Ende des Lineals fest auf die Tischkante und zupfe das freie Ende an. Ändere anschließend die Länge des überstehenden Teils und wiederhole den Versuch. Was beobachtest du? Schülerversuch 2 Vorbereitung: 2 min Durchführung: 10 min Feder Massestück Hänge das Massestück an die Feder und halte die Feder in einer Hand. Bringe die Feder mit der gleichen Hand zum Schwingen, in der du die Feder hältst. Welche Beobachtungen kannst du machen? Federschwingung Schülerversuch 3 Vorbereitung: 2 min Durchführung: 10 min Stativmaterial Gummi Wäscheklammern Baue den Versuch, wie er auf dem Foto zu sehen ist, auf. Bringe nun die erste Wäscheklammer durch Verdrehen zum Schwingen. Beobachte! Klammerwelle

5 6 von Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen M 2 Was ist überhaupt eine Schwingung? Grundlegende Begriffe Die Experimente (M 1) zeigen, dass im Alltag vieles schwingen kann. Hier lernst du nun, wann man einen Vorgang überhaupt als Schwingung bezeichnet, sowie Fachbegriffe rund um die Schwingungen. Fadenpendel Merke y max : Amplitude y: Elongation y max y Umkehrpunkt Gleichgewichtslage Definition der Schwingung: Ein Körper, der sich zeitlich periodisch zwischen zwei Umkehrpunkten um eine Gleichgewichtslage bewegt, führt eine Schwingung aus. Amplitude (y max ): Sie gibt die größte Auslenkung der Schwingung an. Elongation (y): Sie gibt den momentanen Abstand des Körpers zur Gleichgewichtslage an. Schwingungsdauer (T): Wird auch Periodendauer genannt. Beschreibt die Zeit, die ein Körper für eine komplette Schwingung benötigt. Frequenz (f): Die Frequenz gibt an, wie viele Schwingungen der Körper in einer Sekunde ausführt. Es gilt: f = 1/T. Die Einheit der Frequenz ist 1/s = 1Hz (Hertz). Aufgaben 1. Finde Beispiele aus deinem Alltag, in denen ein Körper schwingt. Begründe jeweils mithilfe der Definition, warum es sich um eine Schwingung handelt. 2. Ein Fadenpendel schwingt in 40 Sekunden 60-mal. Bestimme die Schwingungsdauer und die Frequenz dieser Schwingung. 3. Die Schwingungsdauer einer Schwingung beträgt 0,6 Sekunden. Wie lange benötigt der schwingende Körper für 180 Schwingungen? 4. Informiere dich über den Physiker Heinrich Hertz, nach dem die Einheit der Frequenz benannt wurde.

6 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 7 von 24 M 3 Schwingungen und Wellen im Alltag

7 8 von Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen M 4 Wie sieht eine Schwingung aus? Ein Experiment Schülerversuch Vorbereitung: 5 min Durchführung: 10 min Stativmaterial Muffen Tapete Sand Faden Joghurtbecher Konservendose Versuchsaufbau Baue den Versuch so wie in der Abbildung dargestellt auf. Bohre vorsichtig ein kleines Loch in den Boden der Dose/des Bechers. Fülle nun den Becher mit Sand und lenke das Pendel aus. Ziehe während der Schwingung langsam und gleichmäßig die Tapete unter dem Becher durch. Wie sieht das Bild auf der Tapete aus? Zeichne die Kurve in dein Heft. Bearbeite anschließend die folgenden Aufgaben. Aufgaben Zugrichtung der Tapete 1. Bestimme anhand des Weg-Zeit-Diagramms im Infokasten die Amplitude, die Schwingungsdauer und die Frequenz der Schwingung. 2. Eine Schwingung hat eine Amplitude von 6 cm und eine Schwingungsdauer von 8 s. Zeichne ein Weg-Zeit-Diagramm und bestimme die Elongation nach 10 s. Info: Das Weg-Zeit-Diagramm Mit Sand gefüllte Dose/gefüllter Becher Die Schwingungskurve lässt sich in einem sogenannten Weg-Zeit- Diagramm darstellen. Dabei wird auf der waagerechten Achse die Zeit (s) abgetragen und auf der senkrechten Achse die Elongation (cm). Beachte: Die Gleichgewichtslage liegt auf der Zeitachse. Aus einem solchen Diagramm lassen sich alle Größen ablesen.

8 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 9 von 24 M 5 Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels Schülerversuch Vorbereitung: 5 min Durchführung: 15 min Stativmaterial Massestücke Faden in unterschiedlicher Länge Stoppuhr Lineal Versuchsaufbau Siehe Abbildung Verändere nacheinander die Parameter Masse des Pendels, Pendellänge und Amplitude (siehe Tabelle). Bestimme jeweils die Schwingungsdauer des Pendels. Miss die Zeit für 10 Schwingungen und bilde den Mittelwert. Versuchsprotokoll Trage deine Ergebnisse in die Tabelle ein. Pendelmasse [kg] Pendellänge [m] Amplitude (max. Elongation) [cm] 0,2 0,5 10 0,3 0,5 10 0,4 0,5 10 0,2 0,3 10 0,2 0,5 10 0, ,2 0,5 15 0,2 0,5 20 0,2 0,5 25 Fadenpendel Zeit für 10 Schwingungen [s] Schwingungsdauer [s] Aufgabe Beschreibe mit eigenen Worten, von welchen Größen die Schwingungsdauer eines Fadenpendels abhängt. Schreibe deine Gedanken in dein Heft. Für Experten: Finde heraus (z. B. durch Internetrecherche!), wie sich die Schwingungsdauer eines Fadenpendels rechnerisch bestimmen lässt.

9 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 11 von 24 M 7 Energieumwandlung Um das Pendel einer alten Uhr in Schwingung zu versetzen, musst du es zunächst auslenken. Durch das Verrichten von Arbeit hat das Pendel an seiner Amplitude die größtmögliche potenzielle Energie. Im Laufe der Pendelbewegung wird diese in eine andere Energieform umgewandelt. Hier geht es um diese Energieumwandlungsprozesse. Aufgabe 1. Ergänze das Schaubild zur Energieumwandlung am harmonischen Fadenpendel. Pendeluhr y max E pot Max nimmt ab E kin Null Max Min nimmt zu 2. Zeichne ein Energie-Zeit-Diagramm, d. h., zeichne den Graphen zur Energieumwandlung in ein Koordinatensystem. Thinkstock / istock, Winai_Tepsuttinun

10 12 von Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen M 8 Die gedämpfte Schwingung Die Schiffschaukel muss immer durch einen Motor angetrieben werden. Wäre dies nicht so, würde sie irgendwann in der Gleichgewichtslage stehen bleiben. Vielleicht ist dir bei den Versuchen schon aufgefallen, dass auch dort die Schwingungen nach einer gewissen Zeit zum Stillstand kommen. Der folgende Versuch veranschaulicht dieses Phänomen. Schiffschaukel Foto: Pixelio, Bernd Sterzl Schülerversuch Vorbereitung: 5 min Durchführung: 20 min Stativmaterial Massestücke Faden Stoppuhr Lineal Versuchsaufbau Siehe Abbildung Gedämpfte Schwingung 1. Bestimme zunächst die Schwingungsdauer des Pendels: T = l Du kannst sie experimentell oder rechnerisch T = 2π g bestimmen. 2. Lenke das Pendel aus und schreibe die Amplitude (y max ) in die Tabelle. Schätze während der Pendelbewegung die maximalen Auslenkungen zu den angegebenen Zeiten ab und schreibe sie ebenfalls in die Tabelle. y max 5 T 10 T 15 T 20 T 25 T Aufgaben 1. Zeichne ein Weg-Zeit-Diagramm der Schwingung in dein Heft. 2. Beschreibe den Verlauf des Graphen. 3. Tausche dich mit deinem Partner aus und versucht zu erklären, warum eine Schwingung zur Ruhe kommen muss. 4. Schreibe deine Ergebnisse in dein Heft.

11 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 13 von 24 M 9 Resonanz Manchmal kommt es vor, dass Gegenstände zu schwingen beginnen, ohne dass man sie bewusst angestoßen hat. Die folgenden Versuche aus der Akustik zeigen dir, unter welchen Voraussetzungen dies geschieht. Schülerversuch Vorbereitung: 3 min Durchführung: 20 min Stimmgabeln versch. Frequenzen Hammer (Kunststoff) Schlage die Stimmgabel mit der Frequenz Hz mit dem Hammer an. Führe die Öffnung des Holzkörpers an die Stimmgabel gleicher Frequenz. Was stellst du fest? Wiederhole den Versuch mit unterschiedlichen Stimmgabeln. Versuchsbeobachtung und -protokoll Halte deine Beobachtung im Heft fest. Info: Was versteht man unter Resonanz? Stimmgabeln Stell dir eine Schaukel auf dem Spielplatz vor. Wenn du die Schaukel anstößt, schwingt sie in einer ganz bestimmten Frequenz, der sogenannten Eigenfrequenz. Durch die Dämpfung kommt die Schwingung irgendwann zur Ruhe. Wird die Schaukel aber in einer ganz bestimmten Weise angeregt, bspw. indem du die Schaukelbewegung ausführst, so wird die Schwingung immer stärker. Diese Verstärkung der Schwingung wird bei einer Anregung mit der Eigenfrequenz erzielt und heißt Resonanz. Gleiches gilt für das Resonanzverhalten der Stimmgabeln aus deinem Versuch. Aufgaben 1. Was versteht man unter der Eigenfrequenz eines Schwingers? 2. Erkläre mithilfe des Begriffes Resonanz deine Beobachtungen aus dem Versuch. 3. Unter welchen Umständen kann eine Hängebrücke theoretisch durch Hin- und Herschaukeln zum Einsturz gebracht werden? 4. Unter findest du ein interessantes und sehr spektakuläres Video. Erkläre mithilfe des Begriffes Resonanz, was dort passiert.

12 14 von Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen M 10 Das Foucault-Pendel ein Pendel zeigt die Drehung der Erde Die Abbildung zeigt das Foucault- Pendel des Instituts für Physik an der Universität Koblenz. In beeindruckender Weise demonstriert es die Rotation der Erde. Lies den folgenden Text und bearbeite anschließend die unten stehenden Aufgaben! Nutze die 5-Gang-Lesemethode. Wenn du die nicht kennst, schau im Internet nach, z. B. unter php?id=501. Foucault-Pendel an der Universität Koblenz Info: Funktionsweise des Foucault-Pendels Das Pendel, das du auf dem Bild siehst, hängt im Treppenhaus eines vierstöckigen Universitätsgebäudes in Koblenz. Durch seine große Länge hat es eine lange Schwingungsdauer, zusätzlich besitzt der Pendelkörper eine hohe Masse, die es sehr träge macht. Beobachtet man das Pendel eine Weile, stellt man Erstaunliches fest: Die Schwingungsebene scheint sich zu drehen. Dies erkennt man daran, dass der Pendelkörper auf dem äußeren Ring mit der Zeit immer andere LEDs streift und diese zum Leuchten bringt. Der französische Physiker Léon Foucault ( ) war der Erste, der dieses Phänomen im Experiment nachwies. Nach ihm ist dieses Pendel benannt. Aus der Beobachtung heraus folgerte er allerdings nicht, dass sich die Schwingungsebene ändert, sondern dass sich die Erde unter dem Pendel dreht. Er erklärte dies unter anderem mit der Trägheit des Pendels. Aufgaben 1. Beschreibe mit eigenen Worten, was man unter der Schwingungsebene eines Pendels versteht. 2. Erkläre mit deinen eigenen Worten, warum das Foucault-Pendel die Drehung der Erde anzeigt. 3. Erstelle einen Steckbrief zu Léon Foucault. Recherchiere dazu im Internet.

13 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 15 von 24 M 11 Was ist eigentlich eine Welle? In Material M 1 hast du bereits einen einfachen Versuch zu einer Welle gemacht. Die Wäscheklammern waren über das Gummiband miteinander gekoppelt. Die erste Klammer, die in Schwingung versetzt wurde, hat die zweite ebenfalls zum Schwingen angeregt. Daraus kann man eine Welle folgendermaßen definieren: Man unterscheidet Wellen am Strand Definition: Wellen Breitet sich eine Schwingung im Raum aus, so spricht man von einer Welle. Damit sich eine Welle ausbreiten kann, müssen die schwingungsfähigen Teilchen miteinander gekoppelt sein. Querwellen (Schwingung der Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) und Längswellen (Schwingung der Teilchen in Ausbreitungsrichtung). Schülerversuch 1 Vorbereitung: 5 min Durchführung: 5 min Strohhalme Tesafilm Klebe die Strohhalme so, wie es im Bild zu sehen ist, auf den Tesafilmstreifen. Lenke nun einen Strohhalm aus und bringe ihn zum Schwingen. Beschreibe deine Beobachtungen. Strohhalmwelle Foto: Pixelio Schülerversuch 2 Vorbereitung: 5 min Durchführung: 5 min Weiche, lange Feder Ziehe die Feder vorsichtig (!) auseinander. Versetze sie anschließend durch Zusammendrücken in Schwingung. Beschreibe auch hier die Beobachtungen. Federwelle Aufgaben 1. Warum kann man bei beiden Versuchen von einer Wellenbewegung sprechen? 2. Welcher Versuch zeigt die Längs-, welcher die Querwelle? Erkläre.

14 25. Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen 17 von 24 M 13 Ein Buchstabenrätsel LEK Aufgabe Zehn Begriffe rund um das Thema Schwingungen und Wellen befinden sich innerhalb des Buchstabengitters. Diese können von links nach rechts oder von rechts nach links, von oben nach unten oder von unten nach oben, diagonal versteckt sein. Finde die Begriffe, markiere sie im Gitter und schreibe zu jedem gefundenen Begriff kurz dessen Bedeutung in dein Heft. A L P J H E N M D F P M B V C W E L S V M G T R A N S V E R S A L I M U K J Q W N S E E R W F K L L B A U B C E W J X S H G Z R E S D Q A M N T L U A C U O F R O G L S U X Y C M M U S G P I R T O J B R Q W A A A S S P G K L M B V U T Z P M Z U M I D W E L L E N L A E N G E T L Z E Q L L S W E R I X C F G K L A U T P O W A S D G C V N T H M S L E O J A Z M U N I N A N J L O U N O P O L L G N O B F D S M M U Z F E D E R P E N D E L U G E A K O G G M F G E E T O B I U H F D E B E R G I N U N I D R I R B Q X Y F U S S M A U G I F M G H E L E E N A Z M R W Q P I G S W B U S B M I R S S W Q A X Y C F T S G H F C K I B F P O S O T M A D D U R S P C R L A M L P B T L S N A Q W E N B H L S A E N E R G I E L P A A A W R G O O G L I J F B M I H M T F C N N S A L E G K L F K M D D W Q R T S H I P Z V Folgende Begriffe verstecken sich im Buchstabengitter: Amplitude Transversal Wellenlänge Foucault Frequenz Federpendel Dämpfung Resonanz Schwingungsdauer Energie

15 18 von Eine Einführung in die Lehre von den Schwingungen und Wellen Erläuterungen und Lösungen M 1 Schwingungen und Wellen auf der Spur einfache Experimente Nutzen Sie diese Freihandexperimente, um in die Thematik Schwingungen und Wellen einzusteigen. Sie können die Experimente auch als vorbereitende Hausaufgabe stellen. Die Versuche sind so gewählt, dass Ihre Schüler bereits einige Phänomene, die später ausführlich behandelt werden, spielerisch erfahren. Schülerversuch 1 Ziel des Versuchs ist es, das Phänomen der Schwingung sichtbar und hörbar zu machen. Zusätzlich erhalten die Schüler hierbei bereits einen ersten Hinweis darauf, von welchen Größen die Schwingungsdauer eines Pendels abhängt. Eine mögliche Schülerbeobachtung lautet: Das Lineal beginnt zu schwingen, wenn es angezupft wird. Man hört einen Ton. Wenn das überstehende Ende kürzer ist, schwingt das Lineal schneller, der Ton ist höher. Schülerversuch 2 Im zweiten Versuch bringen die Schüler eine Feder zum Schwingen. Hierbei erfahren sie, dass sie ihre Hand in einer ganz bestimmten Weise bewegen müssen, damit die Feder überhaupt schwingt. Später (M 9) wird die Resonanz dann untersucht. Folgendes könnten die Schüler in ihr Heft schreiben: Die Feder beginnt zu schwingen, wenn ich meine Hand ganz gleichmäßig auf und ab bewege. Die Schwingung wird dann sogar immer stärker. Schülerversuch 3 Dieser Versuch verdeutlicht auf einfache Weise, dass eine Welle aus einer gekoppelten Schwingung besteht. In Material M 11 wird diese Erfahrung vertieft. Die Schüler werden Folgendes beobachten: Zunächst schwingt die erste Wäscheklammer. Nach kurzer Zeit beginnt auch die zweite Klammer zu schwingen, später auch die dritte. Die Schwingung breitet sich aus. M 2 Was ist überhaupt eine Schwingung? Grundlegende Begriffe Ihre Schüler erarbeiten sich die wichtigsten Begriffe zum Thema Schwingung. Ausgehend von der Definition einer Schwingung finden die Lernenden Schwingungsphänomene in ihrem Alltag. Dieser Alltagsbezug hilft vor allem den Schülern, die eher auf einem unteren Leistungsniveau arbeiten. Die weiterführenden Aufgaben am Ende des Arbeitsblattes fördern u. a. wieder kommunikative Kompetenzen, wie sie in den Bildungsstandards gefordert sind. Lösungen 2. Hier können das eigene Physikbuch, in dem in der Regel etwas über Heinrich Hertz ( ) zu finden ist, aber auch andere Quellen wie die Schulbibliothek oder das Internet herangezogen werden. Diese Aufgabe bietet auch die Möglichkeit eines Kurzreferats. Hier bietet es sich an, eine heterogene Kleingruppe gemeinsam arbeiten zu lassen f = = 1,5 = 1,5 Hz T = = 0,6 s 0,7 s 40 s s f T = 0,6 s = s f = = 1,7 Hz 5 T 3 s Dreisatz: 180 = 5 x = = 108 x 3 5 Der schwingende Körper benötigt für 180 Schwingungen 108 s. 4. siehe Physikbücher, Internet, z. B. etc.