9 Periodische Bewegungen

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1 Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen Mit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T Welle Schwingung breitet sich im Raum aus Zustand y wiederholt sich in Raum und Zeit Raumperiode = Wellenlänge l Zeitperiode = Schwingungsdauer T

2 9.1.1 Harmonische Schwingung 9.1 Schwingungen Beispiele: Schwingung eines Pendels Schallwellen (Schwingung von Luftmolekülen) Elektromagnetische Wellen (Schwingung elektromagnetischer Felder) 9.1 Schwingungen Man unterscheidet grundsätzlich: Harmonische Schwingung (z.b. freie Schwingung) Gedämpfte Schwingung (z.b. durch Reibung) Erzwungene Schwingung (durch äußere Kraft)

3 9.1.1 Harmonische Schwingung 9. Periodische Bewegungen Harmonische Schwingung Harmonische Schwingung Es gilt: y = y 0 cos (wt + d) ω = 2π f - Jedes Objekt ist schwingungsfähig - Harmonische Schwingung bei Auslenkung aus stabilem Gleichgewicht Harmonische Schwingung bestimmt durch zwei Größen: 1. Es wirkt Kraft in Richtung Gleichgewichtslage 2. Es wirkt Trägheit des Systems

4 9. Periodische Bewegungen Man definiert: Harmonische Schwingung Schwingungsdauer T = zeitliche Periode Man definiert: (Eigen-)Frequenz f = Schwingungen pro s Man definiert: Amplitude A = maximale Auslenkung Amplitude Beispiel

5 9. Periodische Bewegungen Beispiel Federschwingung Harmonische Schwingung Rückstellkraft der Feder: F = - kx k: Federkonstante Es gilt: - Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung (Elongation) - Rückstellkraft ruft nach Newton II Beschleunigung hervor: Es gilt: Jede harmonische Schwingung lässt sich durch Dgl. beschreiben: Lösung der Dgl: Beispiel

6 9.1.2 Schwingungsenergie 9. Periodische Bewegungen Harmonische Schwingung Frage: Welche Bedeutung hat w (Eigenfrequenz)? Antwort: w = Kreisfrequenz Es gilt: Zusammenhang mit Schwingungsdauer T Ja was denn nun????? Ach so Beweis: Es gilt: Daraus folgt: Frequenz f

7 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 9. Periodische Bewegungen Schwingungsenergie Schwingungsenergie (harmonisch) Beispiel: Federschwingung Für harmonische Schwingung gilt: Für potentielle Energie gilt: Für kinetische Energie gilt: Für Gesamtenergie gilt:

8 9.1.4 Erzwungene Schwingung 9. Periodische Bewegungen Gedämpfte Schwingun Gedämpfte Schwingung - Luftreibung - Flüssigkeitsreibung - Festkörperreibung usw.

9 9.1.4Erzwungene Schwingung 9. Periodische Bewegungen Erzwungene Schwingung Erzwungene Schwingung Es wirkt zusätzlich äußere Kraft Resonanz falls Eigenfrequenz = Frequenz der äußeren Kraft

10 9.1.4 Erzwungene Schwingung Erzwungene Schwingung

11 9.2 Harmonische Wellen Erzwungene Schwingung

12 9.2 Harmonische Wellen 9.2 Harmonische Wellen 9.2 Harmonische Wellen y = y 0 cos (kx - wt + d) Störung y breitet sich in Raum x und Zeit t aus y = f (x,t) Seilwelle Druckwelle Wasserwelle

13 9.2 Harmonische Wellen Man definiert: Raumperiode l = Wellenlänge 9.2 Harmonische Wellen Man definiert: Zeitperiode T = Schwingungsdauer

14 Phasengeschwindigkeit 9.2 Harmonische Wellen Momentaufnahmen einer Welle bei t = 0 bis t = T v = x/ t = c mit: x = λ t = T = 1/f c = f l Übliche mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle mit ϕ = Phasenverschiebung 9.2 Harmonische Wellen

15 9.2 Harmonische Wellen Wellenarten: Transversale Wellen: Ausbreitung senkrecht zur Störung Longitudinale Wellen: Ausbreitung parallel zur Störung Interferenz

16 9.2.1 Interferenz 9. Periodische Bewegungen Interferenz Interferenz (Überlagerung von Wellen)

17 9.2.2 Schwebung Interferenz Überlagerung von Wellen y 1 + y 2 mit f 1 = f 2 l 1 = l 2 und konstruktive Interferenz destruktive Interferenz

18 9.2.3 Stehende Wellen Schwebung Schwebung Überlagerung zweier harmonischer Wellen y 1 + y 2 mit

19 9.2.3 Stehende Wellen Stehende Wellen Stehende Wellen Betrachten: Überlagerung einer Welle mit seiner reflektierten Stehende Welle Schwingung mit ortsabhängiger Amplitude 2y 0 sin (kx) Beispiel:

20 Beispiel: Eingespanntes Seil der Länge L stehende Welle, falls Nebenbedingungen erfüllt sind Mögliche Wellenlängen: Da Knoten am Ende mit Abstand l/ Stehende Wellen Beachte: Nicht jede Welle passt nur bestimmte l möglich n = 1 Grundschwingung n = 2 1. Oberschwingung n = 3 2. Oberschwingung Stehende Wellen

21 9. Periodische Bewegungen Stehende Wellen Stehende Wellen

22 9.2.3 Stehende Wellen Für Seilwelle gilt (ohne Beweis): Stehende Wellen A: Querschnittsfläche ρ: Dichte F: Kraft auf Seil Anwendung Gitarre:

23 9.2.3 Stehende Wellen Stehende Wellen Grundschwingung 2. Harmonische Resultierende 3. Harmonische

24 9.2.3 Stehende Wellen 9.3 Schallwellen

25 9.3 Schallwellen 9.3 Schallwellen Eigenschaften: - Schallwellen können sich nur in einem Medium ausbreiten - Schallwellen sind longitudinal - Ursache für Schallwellen sind Druckfluktuationen Beachte: Es wird keine Masse transportiert sondern Energie 9.3 Schallwellen

26 7 Periodische Bewegungen 9.3 Schallwellen Schallwelle idealisiert Schallwelle etwas genauer 9.3 Schallwellen

27 9.3 Schallwellen 9.3 Schallwellen Schallgeschwindigkeiten Schallwellen - Hörbar 20 Hz Hz - Ultraschall > 20 khz - Infraschall: < 20 Hz

28 9.3 Schallwellen 9.3 Schallwellen

29 9.4 Dopplereffekt 9.4 Der Dopplereffekt Bewegen sich Sender und Empfänger relativ zueinander, kommt es zu einer Frequenzverschiebung = Dopplereffekt Es gilt: c Schallgeschwindigkeit (Medium ruht) v e Geschwindigkeit des Empfängers v s Geschwindigkeit des Senders f` gehörte Frequenz f 0 ausgesandte Frequenz Vorzeichenkonvention: Richtung Empfänger Sender = positiv 9.4 Dopplereffekt Beachte: Es ist nicht gleichgültig ob Sender oder Empfänger sich bewegen

30 9.4 Dopplereffekt 1. Sender ruht, Empfänger mit v e auf Sender zu 9.4 Dopplereffekt Sender emittiert Welle mit Frequenz f 0 und Wellenlänge l = c/f 0 Wellen erreichen Empfänger mit Geschwindigkeit c + v e 2. Sender ruht, Empfänger mit v e vom Sender weg

31 9.4 Dopplereffekt 3. Empfänger ruht, Sender mit v s vom Empfänger weg 9.4 Dopplereffekt ruht Schallwelle erreicht Empfänger mit c ABER Wellenlänge ändert sich Zeit zur Emission eines Zyklus Während dieser Zeit legt Welle Strecke zurück Sender bewegt sich in dieser Zeit um

32 9.5 Anwendungen l 9.4 Dopplereffekt

33 9.5 Dopplereffekt 9.5 Anwedungen 9.5 Anwendungen Messung der Blutgeschwindigkeit mit Ultraschall f 0 ca. 5 MHz f ca. 6 khz v Blut ca 0,1 m/s

34 Messung der Rotationsgeschwindigkeit von Sternen

35 Messung der Geschwindigkeit von Galaxien Resultat: Das Universum expandiert

36 9.5 Anwendungen 9.5 Anwendungen Frage: Was passiert, wenn v e,s > c? 1. Empfänger auf ruhenden Sender mit v e > c Gleichung zum Dopplereffekt behält Gültigkeit 2. Empfänger von ruhenden Sender mit v e > c weg Wellen holen Empfänger nicht ein 3. Sender bewegt sich mit v s > c Vor dem Sender keine Welle mehr Hinter der Quelle überlagern sich Wellen zu Stoßwelle

37 9.5 Anwendungen Für den Winkel a gilt: v s /c = Machsche Zahl Video

9. Periodische Bewegungen

9. Periodische Bewegungen Inhalt 9.1 Schwingungen 9.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 9.1.4 Erzwungene Schwingung 9.1 Schwingungen 9.1 Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen

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