14. Mechanische Schwingungen und Wellen

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1 14. Mechanische Schwingungen und Wellen Schwingungen treten in der Technik in vielen Vorgängen auf mit positiven und negativen Effekten (z. B. Haarrisse, Achsbrüche etc.). Deshalb ist es eine wichtige Aufgabe der Physik diese Phänomene zu untersuchen. Wir werden uns nachfolgend mit den mechanischen Schwingungen beschäftigen. Die dabei gewonnenen Erkenntnisse können analog auf die elektrischen Schwingungen übertragen werden. Die aus der Mechanik gewonnenen Erkenntnisse (Translation, Rotation, Kinematik, Dynamik = Kap. 2-4) bilden die Grundlage und stellt zugleich eine Wiederholung des dort erlernten Stoffes dar Freie ungedämpfte Schwingung Wird ein Körper aus einer stabilen Gleichgewichtslage ausgelenkt, so beginnt er freie Schwingungen um diese Gleichgewichtslage auszuführen. Wenn Reibungskräfte fehlen, ist diese Schwingung ungedämpft. Beispiel: Schiffschaukel wird aus Ruhelage ausgelenkt, bei einer gewissen Höhe sind nahezu ungedämpfte Schwingung möglich bis der Bremsklotz in Aktion tritt. Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind dabei periodische Funktionen der Zeit. Ist die rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung (Bsp. Fadenpendel, Federkraft) so sind diese Funktionenen Sinusfunktionen. Deshalb werden derartige Schwingungen auch kurz Sinusschwingungen oder harmonische Schwingungen genannt Kinematik der Sinusschwingung Nachfolgend soll die Schwingung eines Federpendels (Massestück an Schraubenfeder) beschrieben werden, das eine freie, ungedämpfte Schwinung ausführt. Die Reibung wird vernachlässigt. In den Grafiken sind dargestellt: a) die Auslenkung y (oberhalb der Nullage positiv) b) die Geschwindigkeit v (pos. Richtung = nach oben) c) die Beschleunigung a (pos. Richtung = nach unten) zu a) Das y(t)-diagramm stellt eine Sinuskurve dar, er schwingt harmonisch um die Nulllage. Da sich die Schwingung kontinuierlich wiederholt handelt es sich um einer periodische Schwingung zu b) Das v(t)-diagramm stellt eine Cosinuskurve dar, Im Nulldurchgang hat der Körper die größte Geschwindigkeit, an den Umkehrpunkten ist diese Null (kurzzeitiger Stillstand) zu c) Das a(t)-diagramm stellt eine invertierte Sinuskurve dar. An den Umkehrpunkten liegt die größte Beschleunigung vor, da ja die Feder auf Spannung ist. Im Nulldurchgang verursacht die Feder keine Beschleunigung.

2 14. Mechanische Schwingungen und Wellen Schwingungen treten in der Technik in vielen Vorgängen auf mit positiven und negativen Effekten (z. B. Haarrisse, Achsbrüche etc.). Deshalb ist es eine wichtige Aufgabe der Physik diese Phänomene zu untersuchen. Wir werden uns nachfolgend mit den mechanischen Schwingungen beschäftigen. Die dabei gewonnenen Erkenntnisse können analog auf die elektrischen Schwingungen übertragen werden. Die aus der Mechanik gewonnenen Erkenntnisse (Translation, Rotation, Kinematik, Dynamik = Kap. 2-4) bilden die Grundlage und stellt zugleich eine Wiederholung des dort erlernten Stoffes dar Freie ungedämpfte Schwingung Wird ein Körper aus einer stabilen Gleichgewichtslage ausgelenkt, so beginnt er freie Schwingungen um diese Gleichgewichtslage auszuführen. Wenn Reibungskräfte fehlen, ist diese Schwingung ungedämpft. Beispiel: Schiffschaukel wird aus Ruhelage ausgelenkt, bei einer gewissen Höhe sind nahezu ungedämpfte Schwingung möglich bis der Bremsklotz in Aktion tritt. Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind dabei periodische Funktionen der Zeit. Ist die rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung (Bsp. Fadenpendel, Federkraft) so sind diese Funktionenen Sinusfunktionen. Deshalb werden derartige Schwingungen auch kurz Sinusschwingungen oder harmonische Schwingungen genannt Kinematik der Sinusschwingung Nachfolgend soll die Schwingung eines Federpendels (Massestück an Schraubenfeder) beschrieben werden, das eine freie, ungedämpfte Schwinung ausführt. Die Reibung wird vernachlässigt. In den Grafiken sind dargestellt: a) die Auslenkung y (oberhalb der Nullage positiv) b) die Geschwindigkeit v (pos. Richtung = nach oben) c) die Beschleunigung a (pos. Richtung = nach unten) zu a) Das y(t)-diagramm stellt eine Sinuskurve dar, er schwingt harmonisch um die Nulllage. Da sich die Schwingung kontinuierlich wiederholt handelt es sich um einer periodische Schwingung zu b) Das v(t)-diagramm stellt eine Cosinuskurve dar, Im Nulldurchgang hat der Körper die größte Geschwindigkeit, an den Umkehrpunkten ist diese Null (kurzzeitiger Stillstand) zu c) Das a(t)-diagramm stellt eine invertierte Sinuskurve dar. An den Umkehrpunkten liegt die größte Beschleunigung vor, da ja die Feder auf Spannung ist. Im Nulldurchgang verursacht die Feder keine Beschleunigung.

3 Begriffe zur freien Schwingung: Schwingungdauer T (Periodendauer) = Zeitspanne für eine volle Schwingung Man erhält geneuere Ergebnisse für T, wenn man die Anzahl z der Schwingungen zählt und parallel dazu die benötigte Zeitspanne t misst. T = t z t = Zeitspanne für z Schwingungen z = Anzahl der gezählten Schwingungen [T] = 1 s Frequenz f = Anzahl der Schwingungen, die in einer Sekunde absolviert werden (z. B. Netzspannung -> 50 Hz) 1 z f = = T t [f] = 1/s = 1 Hz (Hertz) Kreisfrequenz ω = Multiplikation der Frequen f mit dem Faktor 2π (6,28 rad). Gibt an, (omega) welchen Winkel (in Bogenmaß,rad) ein rotierender Zeiger in 1s überstreichen würde. ω = 2 * π * f [ω] = 1/s Diese Größen und die nachfolgenden Formen finden auch in der Beschreibung und Berechnung elektrotechnischer Signale Anwendung. Auslenkung: Mit der Amplitude (= maximale Auslenkung) ŷ und der Kreisfrequenz ω lässt sich die jeweilige Auslenkung (Augenblickswert) eines Schwingungsvorganges berechnen. y = ŷ * sinωt Beispiel: Sie zählen innerhalb von 10,0s eine Anzahl von 15 Schwingungen. Der schwingende Körper hat eine maximale Auslenkung von 1,00 m. Berechnen Sie T, f, ω. An welcher Position befindet sich der nach 3,30 s und nach 5,20s? Geg.: Ges.:

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5 Dynamik der Sinusschwingung Aus der soeben erfolgten- kinematischen Beschreibung von Schwingungbewegungen geht nicht hervor, wodurch Frequenz und Amplitude von Schwingungen bestimmt werden. Um dies zu beantworten, müssen die Kräfte und Energien eines schwingenden Systems untersucht werden. Aus dem Grundgesetz der Dynamik und dem Hookschen Gesetz ergibt sich die Aussage: F = m*a und F Rück = - D*y -> gleichsetzen: m*a = -D*y -> a = -(D/m)*y (I) Nicht hergeleitet wird folgender Zusammenhang: a = -ω 2. y (II) Gleichsetzen von (I) und (II) ergibt: -ω 2. y = -(D/m)*y -> ω 2 = D/m ω = (D/m) ω = (D/m) f o = 1 2 π * (D/m) Erkenntnis: Die Frequnz der Sinusschwingung hängt nur von den Eigenschaften des Systems (hier Masse und Federkonstante) ab. Sie hängt dagegen nicht von der Auslenkung des Systems ab. Man nennt die Frequenz f o Eigenfrequenz des Schwingungssystem (Oszillators) Bedeutung: Wenn man ein schwinungsfähiges System (z. B. Federpendel, Schiffschaukel) mehr auslenkt, so bewegt sich der Körper mit höherer Geschwindigkeit v, jedoch bleibt die Frequenz unabhängig von der Auslenkung- stets konstant. Beispiel: Das abgebildete Federpendel besitzt eine Masse m = 300 g. Die Federkonstante D der Schraubenfeder beträgt 1,00 N/cm Berechnen Sie die Eigenfrequenz des Pendels. Geg.: Ges.:

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7 Mathematisches Pendel Ein mathematisches Pendel besteht idealisiert aus einem puntkförmigen Körper der Masse m an einem masselosen Faden der Länge l. Die Herleitung ergibt für diese Pendel folgende Eigenfrequenz: Daraus ergibt sich, dass die Frequen allein von der Länge (sofern man von irdischen Verhältnissen ausgeht) abhängt. Die Masse spielt keine Rolle. So würden z. B. beim Schiffschaukeln zwei Gondeln gleich schnell pendeln, obwohl die eine mit schweren Erwachsenen, die andere mit leichten Kindern besetzt ist. Hierbei muss jedoch davon ausgegangen werden, dass zum Zeitpunkt der Beobachtung kein Kraftaufwand ( Anschieben ) erfolgen darf, weil ja ansonsten Energie in das System eingebracht wird. Beschreiben Sie mit eigenen Worten, wie sich bei diesem Pendel der Energieerhaltungssatz zeigt: Das ausgelekte Pendel hat seine maximale Lageenergie (Potentielle Energie). Beim Loslassen wird es aufgrund der Erdanziehung beschleunigt > Es gewinnt kinetische Energie. Jedoch verliert es auch an Höhe -> Potentielle Energie geht verloren. Beim Nulldurchgang hat es seine maximale kinetische Energie, die sich jedoch wegen des Ausschlags zur anderen Seite kontinuierlich in Potentielle Energie umwandelt. Beispiel 1: Das oben abgebildete Fadenpendel hat ein Länge l = 0,500 m Berechnen Sie die Eigenfrequenz des Pendels. Geg.: Ges.: Beispiel 2: Ein Fadenpendel schwingt mit einer Frequen von 2,00 Hz. Welche Länge hat der Faden? Geg.: Ges.:

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