2. Wellenausbreitung
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- Edmund Huber
- vor 7 Jahren
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1 2. Wellenausbreitung Die Wellengleihung beshreibt die Bewegung des Stabes: 2 u t 2 =2 2 u x 2 Für die eindeutige Festlegung der Lösung müssen zusätzlih Anfangsbedingungen und Randbedingungen angegeben werden. 2. Stabshwingungen 2.2-1
2 2. Wellenausbreitung Die Anfangsbedingungen geben Vershiebung und Geshwindigkeit des Stabes zu Beginn der Bewegung (t = 0) an: u x,0 =u 0 x, u x, 0 =v 0 x Die Randbedingungen definieren die Verhältnisse an den Rändern des Stabes. 2. Stabshwingungen 2.2-2
3 2. Wellenausbreitung 2.1 d'alembertshe Lösung 2.2 Anfangsbedingungen 2.3 Randbedingungen 2. Stabshwingungen 2.2-3
4 2.1 d'alembertshe Lösung Elementare Lösung: Für die Funktion gilt: 2 t 2 =0, 2 x 2 =0 x,t = x t Sie erfüllt daher die Wellengleihung für beliebige Werte von α und β. 2. Stabshwingungen 2.2-4
5 2.1 d'alembertshe Lösung Weitere Lösungen: Ansatz: u x,t = f x,t Ableitungen: u t = d f d u x =d f d t = d f d, 2 u t 2 = 2 d 2 f d 2 x = d f d, 2 u d f 2 x 2= 2 d 2 2. Stabshwingungen 2.2-5
6 2.1 d'alembertshe Lösung Einsetzen in die Wellengleihung: 2 d 2 f d 2= 2 2 d 2 f d 2 Die Wellengleihung ist für eine beliebige Funktion f erfüllt, wenn gilt: 2 = 2 2 =± 2. Stabshwingungen 2.2-6
7 2.1 d'alembertshe Lösung Ohne Beshränkung der Allgemeinheit kann gewählt werden. Dann lautet die Lösung: =1 u x,t = f 1 x t f 2 x t Dabei sind f 1 und f 2 beliebige Funktionen. Diese Lösung wird als d'alembertshe Lösung bezeihnet. 2. Stabshwingungen 2.2-7
8 2.1 d'alembertshe Lösung Untersuhung der d'alembertshen Lösung: Es gilt: f 1 x t = f 1 x t = f 1 x t Zum Zeitpunkt t+τ hat die Funktion f 1 am Ort x+τ den gleihen Wert wie zum Zeitpunkt t am Ort x. Sie beshreibt also eine Welle, die mit konstanter Geshwindigkeit ohne Änderung der Form in positive x-rihtung läuft. 2. Stabshwingungen 2.2-8
9 2.1 d'alembertshe Lösung Entsprehend beshreibt die Funktion f 2 eine Welle, die mit konstanter Geshwindigkeit in negative x- Rihtung läuft. Δt Δt f 1 f 2 x x 2. Stabshwingungen 2.2-9
10 2.2 Anfangsbedingungen Die Funktionen f 1 und f 2 werden durh die Anfangsbedingungen festgelegt: u x,0 = f 1 x f 2 x =u 0 x u x,0 = f 1 ' x f 2 ' x =v 0 x Integration der zweiten Gleihung führt auf f 1 x f 2 x = 1 x 0 x v 0 d C 2. Stabshwingungen
11 2.2 Anfangsbedingungen x 0 ist ein beliebiger Punkt und C ist eine Konstante. Addition der ersten Gleihung mit der integrierten zweiten Gleihung führt auf 2 f 2 x =u 0 x 1 x 0 x v 0 d C f 2 x = 1 2 [ u 0 x 1 x 0 x v 0 d C ] 2. Stabshwingungen
12 2.2 Anfangsbedingungen Aus der integrierten zweiten Gleihung folgt dann f 1 x = f 2 x 1 x 0 x v 0 d C = 1 2 [ u 0 x 1 x 0 x v 0 d C ] 2. Stabshwingungen
13 2.2 Anfangsbedingungen Damit lautet die Lösung u x,t = f 1 x t f 2 x t u x,t = 1 [ 2 u 0 x t u 0 x t 1 x t x t v 0 d ] Diese Lösung ist rihtig, solange die Wellen auf keine Ränder treffen. 2. Stabshwingungen
14 2.2 Anfangsbedingungen Beispiel: Betrahtet wird ein unendlih langer Stab mit den Anfangsbedingungen u 0 x ={1 os x L, L x L 0, x L v 0 x =0 2. Stabshwingungen
15 2.2 Anfangsbedingungen Die Lösung lautet: u x,t = 1 2 [ u 0 x t u 0 x t ] t = 0 t = t 2 t = t 1 x 2. Stabshwingungen
16 2.3 Randbedingungen Bei einem Stab endliher Länge müssen an den Rändern die Randbedingungen erfüllt sein: Feste Einspannung Freies Ende Vorgegebene Kraft 2. Stabshwingungen
17 2.3.1 Feste Einspannung L x Linkes Ende: x=0 : u 0,t =0 2. Stabshwingungen
18 2.3.1 Feste Einspannung Die nah links laufende Welle trifft auf den linken Rand. Die Randbedingung u = 0 wird erfüllt, wenn der einlaufenden Welle eine nah rehts laufende reflektierte Welle gleiher Form aber mit umgekehrtem Vorzeihen überlagert wird. 2. Stabshwingungen
19 2.3.1 Feste Einspannung u u t 1 t 3 t 2 u t 4 u 2. Stabshwingungen
20 2.3.1 Feste Einspannung Analytish: u x,t = f x t g x t Randbedingung: Also: u 0,t = f t g t =0 g x = f x Ergebnis: u x,t = f x t f t x 2. Stabshwingungen
21 2.3.1 Feste Einspannung Entsprehend muss bei fester Einspannung am rehten Ende der nah rehts laufenden Welle eine nah links laufende reflektierte Welle gleiher Form aber mit umgekehrtem Vorzeihen überlagert werden: u x,t = f x t f 2 L x t 2. Stabshwingungen
22 2.3.2 Freies Ende L x Rehtes Ende: x=l : L,t =0 u x L,t =0 2. Stabshwingungen
23 2.3.2 Freies Ende Die nah rehts laufende Welle trifft auf den rehten Rand. Die Randbedingung u/ x = 0 wird erfüllt, wenn der einlaufenden Welle eine nah links laufende reflektierte Welle gleiher Form mit gleihem Vorzeihen überlagert wird. 2. Stabshwingungen
24 2.3.2 Freies Ende u u t 1 t 3 t 2 u t 4 u 2. Stabshwingungen
25 2.3.2 Freies Ende Analytish: Rehter Rand: u x,t = f x t f 2 L x t Linker Rand: u x,t = f x t f x t 2. Stabshwingungen
26 2.3.3 Vorgegebene Kraft L F(t) x F t Rehtes Ende: L,t =E L,t = u x A L,t = F t EA 2. Stabshwingungen
27 2.3.3 Vorgegebene Kraft Beispiel: Auf einen am linken Ende fest eingespannten Stab aus Aluminium trifft am rehten Ende ein Shlag. Daten: Länge L = 20m Quershnittsflähe A = m 2 Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit = 5000m/s Elastizitätsmodul E = N/m 2 2. Stabshwingungen
28 2.3.3 Vorgegebene Kraft Anfangsbedingung: Der Stab ist am Anfang in Ruhe: u x,0 =0 Randbedingungen: Linkes Ende: Feste Einspannung: u 0,t =0 Rehtes Ende: vorgegebene Kraft t ={ 1 : 0 t T 0 : t T F t = F 0 t mit F 0 = 1000N, T = 0,001s 2. Stabshwingungen
29 2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 1: Es läuft eine Welle von rehts nah links. Zeit bis zum Eintreffen am linken Rand: t 1 = L = Wellenform: 20 m 5000 m/s =0,004 s u x,t = f x t u x x,t = f ' x t 2. Stabshwingungen
30 2.3.3 Vorgegebene Kraft u x L,t = f ' L t = F 0 EA t Substitution: y=l t, t= y L df dy = F 0 EA y L f y = F 0 [ EA y L C ] mit '= 2. Stabshwingungen
31 2.3.3 Vorgegebene Kraft Für t = 0: y=l u L,0 = f L =0 C= 0 Mit der gegebenen Funktion gilt: t ={ 0 : t 0 t : 0 t T T : t T 0 =0 C=0 Ergebnis: u x,t = F 0 EA x t L 2. Stabshwingungen
32 2.3.3 Vorgegebene Kraft 0s t 0,0040s 2. Stabshwingungen
33 2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 2: Die am fest eingespannten Ende reflektierte Welle kommt hinzu Zeit: 0,004s t 0,008s Funktion: u x,t = F 0 EA [ x t L x t L ] 2. Stabshwingungen
34 2.3.3 Vorgegebene Kraft 0,0044s t 0,0080s 2. Stabshwingungen
35 2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 3: Die am freien Ende reflektierte Welle kommt hinzu Zeit: 0,008s t 0,0012s Funktion: u x,t = F 0 [ EA x t L x t L x t 3 L ] 2. Stabshwingungen
36 2.3.3 Vorgegebene Kraft 0,0084s t 0,0120s 2. Stabshwingungen
37 2.3.3 Vorgegebene Kraft Die Lösung für den gesamten Zeitbereih lautet: [ u x,t = F 0 EA 1 x t 2 1 L =1 x t 2 1 L ] 2. Stabshwingungen
38 2.3.3 Vorgegebene Kraft 2. Stabshwingungen
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