INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN FÜR LAGEMAßE UND STREUUNGSMAßE. Inferenzstatistik für Lagemaße Inferenzstatistik für Streuungsmaße

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1 DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK III INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN FÜR LAGEMAßE UND STREUUNGSMAßE Inferenzstatistik für Lagemaße Inferenzstatistik für Streuungsmaße Inferenzstatistik für Lagemaße Standardfehler Konfidenzintervalle Signifikanztest 1

2 INFERENZSTATISTIK FÜR LAGEMAßE Ausgangspunkt: wir haben in einer Studie den Mittelwert eines Merkmals bestimmt diesen wollen wir auf die Population verallgemeinern und eine Angabe über die Güte der Schätzung machen wir beschränken uns hier auf Mittelwerte inferenzstatistische Angaben sind aber auch für Modus und Median möglich (werden aber so gut wie nie verwendet) Beispiel: Wie hoch ist die mittlere Intelligenz der Teilnehmer dieser Vorlesung? Weicht sie signifikant von 100 ab? STANDARDFEHLER FÜR MITTELWERTE als Schätzung für den Populationsparameter μ nutzen wir den Kennwert aus der Stichprobe M den Standardfehler bestimmen wir aufgrund der SD der Stichprobe wobei: Rohwerte: 111,00 100,00 110,00 114,00 123,00 98,00 102,00 104,00 100,00 122,00 μ = M = 108,4 9,12 à 2,88 2

3 Konfidenzintervalle sollen symmetrisch um den gefundenen Mittelwert aufgespannt werden was wir dafür eigentlich tun müssten: eine Stichprobenverteilung für diesen Mittelwert erstellen und die beiden Grenzen des KI ermitteln aber: das müsste für jeden Mittelwert neu gemacht werden und wäre sehr aufwändig Abhilfe: wir verwenden eine bereits standardisierte Stichprobenverteilung, bestimmten dort die Grenzen des KI und rechnen diese wieder in die Rohwerte um die Verteilung für Mittelwerte ist die t-verteilung (auch Student- Verteilung genannt) t-verteilung die t-verteilung unterscheidet sich in der Form nur leicht von der SNV ihre Form ist von der Stichprobengröße abhängig ab etwa n = 30 geht sie in die SNV über 3

4 die beiden Grenzen des KI müssen an der t-verteilung abgelesen werden (bzw. aus der t-tabelle heraus gelesen werden) bei einem 95%-KI suchen wir also diejenigen t-werte, die die mittleren 95% der t-verteilung abschneiden sie werden meist t df;konf genannt (für das Beispiel also t 9;95% ) t 95% der Fläche 0 Welcher t- Wert liegt hier? à Welche beiden t- Werte schneiden 95% ab? à da die Verteilung symmetrisch ist, reicht es, den rechten t- Wert zu besemmen der liegt bei 97,5% (der Wert für 2,5% wäre genauso groß, nur negaev) t-verteilung Alpha- Niveau df = n 1 Beispiel: 10 1 = 9 à t 9;95% = 2,26 4

5 t df;konf beschreibt die Länge des KI, die nun zu beiden Seiten des Mittelwertes abgetragen werden muss dafür muss t df;konf erst wieder auf die Skala der Rohwerte gebracht werden dafür wird der Standardfehler benutzt: die Länge des Intervalls zu beiden Seiten des Mittelwertes beträgt x t df;konf die untere und obere Grenze des Intervalls sind also: für das Beispiel: untere Grenze: 108,4 2,88 x 2,26 = 101,9 obere Grenze: 108,4 + 2,88 x 2,26 = 114,9 nochmal die Logik: der Standardfehler von X dient der Verknüpfung der bekannten t-verteilung mit der uns nicht bekannten Verteilung des Mittelwertes X à daher lohnt sich der Umweg über die t-verteilung t 95% der Fläche X 95% der Fläche 5

6 SEchprobenverteilung um den MiYelwert X SIGNIFIKANZTESTS FÜR MITTELWERTE Weicht der gefundene Mittelwert von 108,4 signifikant vom Wert der Nullhypothese (100) ab (Alpha = 5%)? der Signifikanztest, der das beantworten kann, heißt t-test er wurde von Student entwickelt und verwendet die t-verteilung als Prüfverteilung die Nullhypothese wird hier durch einen vorgegebenen Wert μ (manchmal c genannt ) repräsentiert (meist 0, in unserem Beispiel 100) der Test wird auch t-test für eine Stichprobe genannt (Einstichprobentest) er nutzt ebenfalls den Standardfehler: Formel t-test für eine Stichprobe 6

7 SIGNIFIKANZTESTS FÜR MITTELWERTE Signifikanzprüfung: welcher p-wert entspricht dem berechneten t-wert? eine Statistiksoftware gibt den p-wert ohne Weiteres aus wenn man aber eine Prüftabelle verwendet, findet man nicht alle Werte stattdessen schaut man nach dem kritischen Wert, der für ein Alpha der Größe X mindestens erreicht sein muss danach vergleicht man den gefundenen (empirischen) t-wert mit demjenigen (kritischen) t-wert, der erreicht sein müsste, damit p < α à t empirisch > t kritisch? aber: genau das hat zur Sternchenstrategie geführt: wenn der kritische Wert für Alpha = 5% erreicht wurde, mache ein Sternchen an den t-wert besser ist es aber, den genauen p-wert zu berichten (den das Analyseprogramm ausgibt) SIGNIFIKANZTESTS FÜR MITTELWERTE Signifikanzprüfung: was ist der kritische t-wert für Alpha = 5%? à nachsehen in der t-verteilung bei df t-test für eine Stichprobe bei einsei4gem Testen hier, bei zweisei4gem Testen hier ablesen H0 H0 7

8 SIGNIFIKANZTESTS FÜR MITTELWERTE für das Beispiel: à Vergleich kritischer und empirischer t-wert: der empirische Wert muss extremer sein der kritische (denn bei zweiseitigem Testen kann der t-wert auch negativ sein) à t empirisch = 2,9 und t kritisch = 2,26 à signifikant Ergebnisdarstellung: Die Stichprobe der Studierenden weicht mit 108,4 Punkten (SD = 8,2) signifikant von der durchschnittlichen Intelligenz ab: t(9) = 2.9; p <.05. wenn man ein Programm verwendet hat, hier besser den genauen p- Wert hinschreiben die df werden hinter den t- Wert in Klammern geschrieben SIGNIFIKANZTESTS FÜR MITTELWERTE das gleiche Beispiel in SPSS: das Programm gibt den genauen p- Wert an 8

9 INFERENZSTATISTIK FÜR LAGEMAßE Verwendung der drei Aussagen für Mittelwerte: Standardfehler im Fließtext: eher selten in Abbildungen: Konfidenzintervalle als Fehlerbalken recht häufig im Fließtext: eher selten in Abbildungen: Signifikanztests als Fehlerbalken recht häufig im Fließtext: eher selten in Abbildungen: so gut wie nie IS FÜR LAGEMAßE STECKBRIEF für Lagemaße werden inferenzstatische Aussagen eher selten gemacht (da einzelne Variablen in der Regel kaum von Interessen sind) es können aber SE, KI und Signifikanztest verwendet werden der Standardfehler wird aus der SD der Stichprobe berechnet Konfidenzintervalle nutzen den SE und die t-verteilung und werden dann um den Mittelwert herum aufgespannt der Signifikanztest, der prüft, ob ein Mittelwert von einem vorgegebenen Wert abweicht, ist der t-test für eine Stichprobe 9

10 Inferenzstatistik für Streuungsmaße INFERENZSTATISTIK FÜR STREUUNGSMAßE auch für Streuungsmaße können inferenzstatistische Aussagen getroffen werden allerdings wird das so gut wie nie getan Grund: Streuungsmaße sind selten Gegenstand wissenschaftlicher Fragestellungen einzige (aber trotzdem seltene) Ausnahme: Signifikanztests die die Größe der Streuung mit einem vorgegebenen Wert vergleichen ein Beispiel (siehe Eid et al., 2010, S. 284): Sind Psychologiestudierende homogener in ihrer Perspektivenübernahmefähigkeit als die Gesamtbevölkerung? 10

11 INFERENZSTATISTIK FÜR STREUUNGSMAßE Signifikanztest für die Abweichung einer gefundenen Varianz von einer erwarteten Varianz die H0-Verteilung wird um die erwartete Varianz σ 2 0 konstruiert, die sich aus der H0 ergibt der Test, der die signifikante Abweichung von dieser Varianz prüft, ist ein χ 2 Test (sprich: Chi-Quadrat): geschätzte PopulaEonsvarianz aufgrund der SEchprobe Formel χ 2 Test für Varianzen erwartete Varianz laut Nullhypothese der kritische χ 2 Wert wird in der χ 2 Prüftabelle gesucht bei df χ 2 Test für Varianzen INFERENZSTATISTIK FÜR STREUUNGSMAßE Chi-Quadrat-Verteilung 11

12 INFERENZSTATISTIK FÜR STREUUNGSMAßE Verwendung der drei Aussagen für Varianzen: Standardfehler im Fließtext: so gut wie nie in Abbildungen: so gut wie nie Konfidenzintervalle im Fließtext: so gut wie nie in Abbildungen: so gut wie nie Signifikanztests im Fließtext: sehr selten in Abbildungen: so gut wie nie 12