Analytische Statistik II

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1 Analytische Statistik II Institut für Geographie 1

2 Schätz- und Teststatistik 2

3 Das Testen von Hypothesen Während die deskriptive Statistik die Stichproben nur mit Hilfe quantitativer Angaben charakterisiert, will die Prüfstatistik versuchen zu zeigen, ob diese Kennwerte sich tatsächlich oder zufällig unterschieden. In der Prüfstatistik formuliert man zunächst eine statistische Hypothese. Das ist eine Annahme über die Häufigkeitsfunktion einer beobachtbaren Zufallsvariablen....Dann prüft man auf Grund einer Stichprobenuntersuchung, ob diese Hypothese zutrifft oder nicht (Claus/Ebner 1985, S. 186). Echt ist ein Unterschied nur, wenn er so groß ist, dass er nicht durch die Spannbreite der zufälligen Streuung abgedeckt wird. Er wird mit Hilfe eines Signifikanztestes ermittelt. 3

4 Aufstellung von Nullhypothese und Alternativhypothese a) die Null-Hypothese behauptet, daß es zwischen den beiden Teilstichproben keinen statistisch signifikanten Unterschied gibt. Das bedeutet, daß die Unterschiede zwischen den Teilstichproben so gering sind, dass sie im Rahmen zufälliger Schwankungen liegen. Die Nullhypothese wird mit H 0 bezeichnet. b) die Alternativ-Hypothese H A oder H 1 behauptet, dass die beobachteten Unterschiede größer sind, als sie dem Zufall nach sein dürften. 4

5 Die Rolle der Irrtumswahrscheinlichkeit 100%ig sicher sein kann man sich nicht, der Test erfolgt immer mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit. Die wichtigste Entscheidung trifft man selbst: wie groß soll die Irrtumswahrscheinlichkeit α sein bei der anstehenden Testentscheidung? Gebräuchliche Signifikanzniveuaus bzw. Irrtumswahrscheinlichkeiten 95% signifikant (α = 5%) 99% sehr signifikant (α = 1%) 99,9% hoch signifikant (α = 0,1%) Generell gilt, was Weber 1972 (zit. n. Claus/Ebner 1985, S. 190) bemerkt: Eine Hypothese annehmen, heißt lediglich, diese Hypothese der anderen vorziehen. Es bedeutet nicht, daß wir diese Hypothese für unbedingt richtig halten.... Wenn eine Hypothese abgelehnt wird, so heißt dies nur, daß nach der vereinbarten Vorschrift (die eine subjektive Entscheidung darstellt, Anm. d. Aut.) die andere Hypothese vorzuziehen ist, und schließt nicht die Aussage ein, daß die Hypothese falsch ist. 5

6 Alpha- und Beta-Fehler Bei der Entscheidung über die Gültigkeit der Hypothese können wir unterschiedlich strenge Maßstäbe anlegen. Das hängt davon ab, wie groß unsere Bereitschaft ist, eine Fehlentscheidung zu treffen (CE 1985, 188). Dabei kann man im Prinzip zwei Fehler begehen, die sich gegenseitig zwar ausschließen, aber jeder für sich ein bestimmtes Problem nach sich ziehen: 6

7 Alpha-Fehler Fehler erster Ordnung (α-fehler): Ist man bereit in 5 von 100 Fällen eine Fehlentscheidung zu treffen, dann entscheidet man sich für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 = 5%. In diesem Falle ist das Vertrauensintervall relativ gesehen kleiner als bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%, d.h. es genügen bereits relativ gesehen kleine gemessene Unterschiede, um die Nullhypothese zurückzuweisen und von signifikanten Ergebnissen zu sprechen. Dies kann aber dazu führen, daß eine richtige Nullhypothese vorschnell abgelehnt wird. Möchte man daher die Möglichkeit eines Irrtums geringer halten, kann man sich für eine geringere Irrtumswahrscheinlichkeit von nur 1% oder sogar nur 0,1% entscheiden. In diesem Falle müssen die Unterschiede bei den Merkmalen der zu vergleichenden Stichproben relativ gesehen sehr groß sein, um die Nullhypothese zurückzuweisen. 7

8 Beta-Fehler Fehler zweiter Ordnung (β-fehler): Schraubt man seine Sicherheitsansprüche sehr hoch, d.h. möchte man sich seines Urteils sehr sicher sein, kann es passierten, daß man wegen zu geringer Unterschiede eine Nullhypothese bestehen läßt, obwohl eigentlich die in den Teilstichproben gemessenen Unterschiede erheblich sind. 8

9 Der Chi-Quadrat-Test als Beispiel eines Prüfverfahrens für nicht metrisch skalierte Daten χ 2 = k ( f b f e ) i i f i= 1 e i 2 9

10 Grobes Schema der Schritte zur Durchführung eines Signifikanztests mit Hilfe von Chi 2 1. Formulierung der Nullhypothese und der Alternativhypothese 2. Festlegung des Signifikanzniveaus (kann auch schon früher geschehen) 3. Berechnung der Indifferenztabelle (bei einer theoretischen Gleichverteilung anders als bei einer Kreuztabelle mit zwei Merkmalen) 4. Ermittlung des Chi-Quadrat-Wertes Für jede Beobachtung: Messung der Differenz zwischen dem beobachteten Wert und dem theoretisch erwarteten Wert der Indifferenztabelle Quadrierung der gemessen Differenz Division durch die theoretisch erwarteten Häufigkeit Addition der Ergebnisse aller Einzelbereichnungen ergibt in der Summe den Wert Chi Bestimmung Freiheitsgrade der Tabelle ((Anzahl der Zeilen -1) *( Anzahl der Spalten -1)) 6. Ermittlung des kritischen Wertes für Chi 2 bei gewähltem Signifikanzniveau und vorhandenen Freiheitsgraden (allgemein gilt: Anzahl der Freiheitsgrade = Anzahl der (maximal vorhandenen) Kategorien bei einer der beiden Variablen minus 1). 7. Hypothesenprüfung durch Vergleich von kritischem Wert und tatsächlich ermitteltem Chi2, wieder nach dem Muster: Ist das gemessene Chi 2 kleiner als das kritische, sind die gefundenen Abweichungen zufällig, sie schwanken also im Rahmen des erwartbaren. In diesem Falle Annahme von H0. Ist das gemessene Chi 2 größer als das kritische, sind die Abweichungen entsprechend überzufällig, d.h. die Unterschiede sind als signifikant, als nicht mehr zufällig, anzusehen. In diesem Falle: Zurückweisung von H0, Annahme der Alternativhypothese. 10

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