1 Systematisierung der Verzinsungsarten

Transkript

1 1 Systematisierung der Verzinsungsarten 4 Stetige Verzinsung 5 Aufgaben zur Zinsrechnung Dr. A. Brink 1 1..Syse Systematisierung seugdeve der Verzinsungsarten sugs e Jährliche Verzinsung a Einfache Zinsen d vorschüssige g Zinsen 1 Jahr Zinszahlung Unterjährige Verzinsung 1Quartal 1Jahr b Zinseszinsen e nachschüssige Zinsen h Stetige Verzinsung... permanent 1 Jahr... c Gespaltene Zinsen ombination aus e und d f Zinszahlung Dr. A. Brink 2

2 2.1 Einfache Zinsen 2.2 Zinseszinsen 2.3 Gespaltene Zinsberechnung Exkurs: Wechseldiskontkredit Dr. A. Brink Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Ausgangssituation: Zeitraum der Verzinsung: Zinsvergütung/ -belastung: 1 Jahr am Jahresende (ohne Veränderung der apitalbasis, dh d.h. unverzinsliches apitalkonto) Dr. A. Brink 4

3 2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Formel: n o (1 + n i) Symbole: 0 (Anfangs-) apital zu Beginn der apitalanlage i Zinssatz (-fuß) n Endkapital Dr. A. Brink Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Hausaufgabe: n o (1 + n i ) Drei der vier Größen müssen bekannt sein. Stellen Sie die Formel nach der jeweils gesuchten Größe um! Dr. A. Brink 6

4 2.1. Jährliche Verzinsung mit einfachen Zinsen Beispiel: apital von Verzinsung zu 6% Wie hoch ist der apitalstock nach 5 Jahren? ( ,06) 06) Dr. A. Brink 7 2. mit Zinseszinsen Ausgangssituation: Zeitraum der Verzinsung: Zinsvergütung/-belastung: Zinsen für das t. Jahr: 1 Jahr Jahresende mit Erhöhung der apitalbasis > Zinseszinsen Z t t 1 i Dr. A. Brink 8

5 2. mit Zinseszinsen Formel: n 0 q n Symbole: 0 (Anfangs-) apital zu Beginn der apitalanlage q 1 + Zinssatz (-fuß) n Endkapital Dr. A. Brink Jährliche Verzinsung mit Zinseszinsen Hausaufgabe: n 0 q n Drei der vier Größen müssen bekannt sein. Stellen Sie die Formel nach der jeweils gesuchten Größe um! Dr. A. Brink 10

6 2. mit Zinseszinsen Beispiel: apital von Verzinsung zu 6% Wie hoch ist der apitalstock nach 5 Jahren? ) (1 + 0,06) , Dr. A. Brink 11 Vergleich: Einfache Zinsen und Zinseszinsen apital Zinseszinsen (1+i) n 0 1 Einfache Zinsen n o (1 + 1 i) Monate Dr. A. Brink 12

7 Vergleich: Einfache Zinsen und Zinseszinsen apital Einfache Zinsen Zinseszinsen Laufzeit [Monate] Dr. A. Brink Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Ausgangspunkt: Laufzeit des apitals endet nicht an einem ganzzahligen Zinsberechnungszeitpunkt (z.b. nach 3,5 Jahren) Dr. A. Brink 14

8 2.3. Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Vorgehensweise: 1. Zunächst ähtedk Endkapital itlfür den letzten ltt ganzzahligen Zinsverrechnungszeitpunkt bestimmen (mit itzinseszinsen) i Formel: g 0 (1 + i) g mit g letzter ganzzahliger Zinszeitpunkt Dr. A. Brink Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Vorgehensweise: 2. Dann Endkapital über die Restlaufzeit rl bestimmen (mit einfachen Zinsen) Formel: Symbole: E + E g Z g (1 + s i) s Anteil der Restlaufzeit an der Zinsperiode, mit s rl/zp rl Restlaufzeit (z.b. 3 Quartale) zp Zinsperiode (z.b. 1 Jahr 4 Quartale, bei einem Jahreszins i) Dr. A. Brink 16

9 2.3. Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung graphische Darstellung: apital ,5 4 Laufzeit [Jahre] Dr. A. Brink Jährliche Verzinsung mit gespaltener Zinsrechnung Bi Beispiel: il apital von Verzinsung zu 10% Laufzeit von 3,5 Jahren Wie hoch ist der apitalstock nach 3,5 Jahren? g (1 + 0,1) ,00 Z E (1/2) 01 0, ,55 E 3 + Z E , ,55 Dr. A. Brink 18

10 2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit Wechsel unbedingte Zahlungsanweisung des Ausstellers (Gläubigers) an den Bezogenen (Schuldner), eine bestimmte Geldsumme zu zahlen Dr. A. Brink 19 Wechsel Dr. A. Brink 20

11 2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit Alternativen des Wechselinhabers: 1. Vorlage des Wechsels beim Bezogenen zur Zahlung am Verfalltag 2 Übergabe an einen Dritten zur Begleichung der eigenen Schuld 3 sofortige Weitergabe des Wechsels an eine Bank, die den Gegenwert des Wechsels bei entsprechender Diskontierung sofort auszahlt Dr. A. Brink Exkurs: Wechseldiskontkredit Problem: Bestimmung des Barwertes des Wechsels 1. kaufmännische Diskontierung (z.b. Banken) 0 n n s i n ( 1 s i ) 2. amtliche Diskontierung (finanzmathematisch korrekt) n 0 ( + s i) 1 0 n 1 + s i Dr. A. Brink 22

12 2.4. Exkurs: Wechseldiskontkredit Beispiel: Wechsel in Höhe von Tage vor der Fälligkeit zur Diskontierung eingereicht. Bank verlangt 5% des nominellen Wechselbetrages als Diskont. Wie hoch ist der Barwert? Dr. A. Brink Exkurs: Wechseldiskontkredit 1. bei kaufmännischer Diskontierung durch die Bank , bei finanzmathematisch korrekter Vorgehensweise , ,05 12 Dr. A. Brink 24

13 3.1 Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß 3.2 Einfache Zinsen 3.3 Zinseszinsen 3.4 Gespaltene Zinsberechnung Dr. A. Brink Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Ausgangssituation: Zeitraum der Verzinsung: < 1 Jahr z.b. Halbjahr, Vierteljahr, Monat Dr. A. Brink 26

14 3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Relativer Zinsfuß: Formel: i rel i nom m Symbole: i rel relativer (Perioden-) Zinssatz i nom nomineller Jahreszinssatz m Anzahl der Zinsperioden pro Jahr Dr. A. Brink Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Effektiver Zinsfuß: Formel: i eff i nom 1 + m m 1 Symbol: i eff effektiver (Jahres-) Zinsfuß Dr. A. Brink 28

15 3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Beispiel: einjähriger redit mit einem Zinssatz von 12% (nominell) und monatlicher Verzinsung Wie hoch ist der effektive Zinsfuß? i eff 12 0, , ,68% 12 Dr. A. Brink Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß onformer Zinsfuß: Formel: i kon m 1 + i eff 11 Symbol: i kon konformer Zinsfuß Dr. A. Brink 30

16 3.1. Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Beispiel: effektiver Jahreszins: 12% Wie hoch ist der konforme Zinssatz? i kon ,12 1 0, ,949% Dr. A. Brink Relativer, effektiver und konformer Zinsfuß Abgrenzung: Behandlung der gezahlten Zinsen Zeitraum der Verzinsung Einfache Verzinsung Zinseszinseni Jährliche Verzinsung i nom i eff Unterjährige Verzinsung i rel i kon Dr. A. Brink 32

17 3.2. Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen Ausgangssituation: Zinsen werden zwar mehrmals pro Jahr gutgeschrieben, aber nicht der apitalbasis zugeschlagen (unverzinsliches apitalkonto). Dr. A. Brink Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen Formel: k, t [( t ) m + k] Z p Symbole: k,t apital am Ende der k-ten Zinsperiode des t-ten ten Jahres t Jahresindex k Index der Zinsperiode im Jahr t i p Periodenzinssatz ( i rel bzw. i kon ) Z p Periodenzinsen Dr. A. Brink 34

18 3.2. Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen Beispiel: redit in Höhe von Laufzeit von 4,5 Jahren mit i nom 5% Quartalsweise Verzinsung mit einfachen Zinsen Wie hoch ist das Endkapital? Dr. A. Brink Unterjährige Verzinsung mit einfachen Zinsen i p i m nom 0,05 4 0,0125 % Quartal Z p i 0 p , Quartal [ ( 5 1 ) ] , Dr. A. Brink 36

19 3. mit Zinseszinsen Ausgangssituation: Zinsen werden mehrmals pro Jahr gutgeschrieben und erhöhen die apitalbasis. Formel: k, t q 0 p [( t 1) m+ k ] Dr. A. Brink mit Zinseszinsen Bi Beispiel: il redit in Höhe von Laufzeit von 4,5 Jahren mit i nom 5% Quartalsweise Verzinsung mit Zinseszinsen Beachte: Wie hoch h ist das Endkapital? Banken ermitteln den unterjährigen Zinsfuß stets i durch Division nom m Dr. A. Brink 38

20 3. mit Zinseszinsen ( t 1 ) m + k ( 5 1 ) Zinsperio den q p i 0, nom 1+ 1, 0125 m , , ,77 Dr. A. Brink Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Ausgangssituation: Laufzeit endet nicht an einem Zinsverrechnungs- zeitpunkt z.b. nach 3 Jahren und 2 Monaten (bei quartalsweiser Zinsverrechnung) Dr. A. Brink 40

21 3.4. Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Vorgehensweise: 1. Zinsen zum letzen turnusmäßig vorgesehenen Zinsverrechnungszeitpunkt bestimmen nach der Methode der unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen Dr. A. Brink Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Vorgehensweise: 2. Zinsen für die Restlaufzeit ermitteln nach der Methode einfacher unterjähriger Verzinsung mit i rel Dr. A. Brink 42

22 3.4. Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Formel: mit: E g E + Z + i 1 + Z E i E g g E g g ( E i ) und i E s i m nom sowie s rl z p Dr. A. Brink Unterjährige Verzinsung mit gespaltener Zinsberechnung Symbole: E apital am Ende der Laufzeit i E Zinssatz der Restlaufzeit Z E Zinsen der Restlaufzeit g Index des letzen Zinsverrechnungszeitpunktes s Anteil der Restlaufzeit an der Zinsperiode rl Restlaufzeit (z.b. in Monaten) z p Zinsperiode (z.b. in Monaten) Dr. A. Brink 44

23 4. Stetige Verzinsung 4.1 Vorgehensweise 4.2 Anwendungsbeispiele Dr. A. Brink Stetige Verzinsung 4 Stetige Verzinsung 4.1. Vorgehensweise Ausgangssituation: Berechnungsvorschrift für unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen. Formel: n 0 e n i Dr. A. Brink 46

24 4. Stetige Verzinsung 4 Stetige Verzinsung 4.1. Vorgehensweise Beispiel: redit in Höhe von Laufzeit von 5 Jahren zu i 5% Stetige Verzinsung Wie hoch ist das Endkapital? 5 0, e ,25 Dr. A. Brink Stetige Verzinsung 4 Stetige Verzinsung 4.2. Anwendungsbeispiele Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes von Investitionsobjekten Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer von Investitionsobjekten Bestimmung der ostenreduktion durch Lerneffekte Demographische, physikalische, chemische und biologische Fragestellungen Dr. A. Brink 48

25 5. Übung zu den Zinsrechnungen Aufgaben: Aufgabe 4 Aufgabe 22 Aufgabe 9 Aufgabe 30 Aufgabe 10 Aufgabe 33 Aufgabe 14 Aufgabe 38 Aufgabenheft S Dr. A. Brink 49