Kapitel 6: Spiele mit simultanen und sequentiellen Spielzügen. Kapitel 6 1

Transkript

1 Kapitel 6: Spiele mit simultanen und sequentiellen Spielzügen Kapitel 6

2 Übersicht Teil Kapitel 5 Übersicht Teil

3 Übersicht Einleitung Darstellung von simultanen Spielzügen in extensiver Form Normalform vs extensive Form Nashgleichgewicht und Rückwärtsinduktion Teilspielperfektes Gleichgewicht Kapitel 6 Übersicht 3

4 Einleitung Kapitel 6 Einleitung 4

5 Wir haben zwei verschiedene Sprachen zur Beschreibung und Analyse von strategischen Interaktionen kennen gelernt: Extensive Form, Spielbaum, Rückwärtsinduktion... : für sequentielle Spiele mit perfekter Information. Strategische Form, Auszahlungsmatrix, Nashgleichgewicht,... : für Spiele mit simultanen Zügen. Kapitel 6 Einleitung 5

6 Brauchen wir nun eine dritte Sprache, um Situationen zu beschreiben, in denen es sowohl simultane als auch sequentielle Züge gibt? Kapitel 6 Einleitung 6

7 Nein! Es handelt sich um die beiden Hauptsprachen der (nicht-kooperativen) Spieltheorie. Mit Hilfe einiger neuer Wörter (Informationsmenge, Teilspiel,... ) kann man die extensive Form zur Darstellung und Analyse beliebiger Spiele (inkl. solcher mit simultanen Zügen) nutzen. Kapitel 6 Einleitung 7

8 Man kann jede Spielbeschreibung aus der Sprache der extensiven Form in die Sprache der strategischen Form übersetzen (man tut dann so, als ob es nur simultane Züge gäbe). Auf dieser Grundlage können wir dann unsere bereits erworbenen Kenntnisse auf Spiele mit simultanen und sequentiellen Spielzügen anwenden... und hoffentlich einige neue Erkenntnisse gewinnen. Kapitel 6 Einleitung 8

9 Darstellung von simultanen Spielzügen in extensiver Form Kapitel 6 Extensive Form 9

10 Informationsmengen Das wesentliche an simultanen Zügen ist nicht, dass sie tatsächlich gleichzeitig stattfinden, sondern, dass es keine Möglichkeit für einen Spieler gibt, auf die simultanen Entscheidungen der anderen zu reagieren. Dieses ist der Ausgangspunkt für die Darstellung simultaner Züge in Spielbäumen. Kapitel 6 Extensive Form 0

11 Die Idee ist, willkürlich eine Reihenfolge der simultanen Entscheidungen festzulegen... diese im Spielbaum darzustellen und... durch Informationsmengen darzustellen, dass ein Spieler über die simultanen Züge anderer Spieler nicht informiert ist. Kapitel 6 Extensive Form

12 l r Informationsmengen: (-, ) L R R L (, -)(, -) (-, ) Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} Auszahlungen: (Spieler, Spieler ) Kapitel 6 Extensive Form

13 Identische Darstellung L R Informationsmengen: (-, ) l r r l (, -)(, -) (-, ) Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} Auszahlungen: (Spieler, Spieler ) Kapitel 6 Extensive Form 3

14 Interpretation einer Informationsmenge: der Spieler kann nicht unterscheiden, an welchem der Entscheidungsknoten in seiner Informationsmenge er seine Aktion wählt. Kapitel 6 Extensive Form 4

15 Normalform vs Extensive Form Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form 5

16 Jedes Spiel in extensiver Form lässt sich in Normalform darstellen. Damit diese Überführung gelingt, muss für jeden Spieler die Menge seiner Strategien bestimmt werden. Dazu muss ermittelt werden welche Strategiekombinationen welche Auszahlungen zur Folge haben. Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form 6

17 Bsp. : Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} Strategiekombinationen: {(l, L), (l, R), (r, L), (r, R)} L l R r (0, 5) L R l 3-0 (, 3) (-,0) r Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form 7

18 Bsp. : Strategiemengen: S = {l, r}, S = {L, R} l r Strategiekombinationen: {(l, L), (l, R), (r, L), (r, R)} L R R L L R (-, ) (, -)(, -) (-, ) l - - r - - Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form 8

19 Bsp. 3: K, V b NK 3, 3 a NV K, 4 c NK 4, Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form 9

20 Strategiemenge {V,NV} Strategiemenge {(K, K), (K,NK), (NK,K), (NK,NK)} K, (b, c) (b, c) (b, c) V b NK 3, 3 a NV K, 4 c NK 4, Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form 0

21 Reine Strategiekombinationen {(V,(K, K)), (V,(K,NK)), (V,(NK,K)), (V,(NK,NK)), (NV,(K, K)), (NV,(K,NK)), (NV,(NK,K)), (NV,(NK,NK))} (a, (b, c)) (a, (b, c)) K, b V NK 3, 3 a NV K, 4 c NK 4, Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form

22 Normalform: Auszahlungstabelle für alle reinen Strategiekombinationen. Daraus resultiert für unser Wahlkampf-Beispiel eine x 4 (nicht x ) Matrix mit 8 Zellen. Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form

23 K, V b NK 3, 3 a NV K, 4 c NK 4, K, K K, NK NK, K NK, NK V NV,, 4, 4, 3, 3, 4 3, 3 4, Kapitel 6 Normalform vs Extensive Form 3

24 Nashgleichgewicht vs Rückwärtsinduktion Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 4

25 Nashgleichgewichte Jedes Spiel in extensiver Form lässt sich in Normalform darstellen. Damit hat das Spiel in extensiver Form natürlich auch die gleichen Nashgleichgewichte wie das Spiel in Normalform. Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 5

26 Strategische Form K, K K, NK NK, K NK, NK V NV,, 4, 4, 3, 3, 4 3, 3 4, Nashgleichgewicht : (V,(NK,K)) Nashgleichgewicht : (NV,(K, K)) Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 6

27 Nashgleichgewichte Das Spiel hat also Nashgleichgewichte in reinen Strategien. Welche Lösung gibt und die Rückwärtsinduktion? Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 7

28 Rückwärtsinduktion K, b V NK 3, 3 a NV K, 4 c Lösung: (V,(NK,K)) NK 4, Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 8

29 Wieso gibt es zwei Nashgleichgewichte aber nur eine Rückwärtsinduktionslösung? Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 9

30 Der Grund ist, dass das Nashgleichgewicht (NV,(K, K)) auf einer unglaubwürdigen Drohung beruht. Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 30

31 Unglaubwürdige Drohung K, b V NK 3, 3 a NV K, 4 c Gleichgewicht: (NV,(K,K)) NK 4, Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 3

32 Theorem. Jede Rückwärtsinduktionslösung in einem Spiel mit perfekter Information ist auch ein Nashgleichgewicht. Aber nicht jedes Nashgleichgewicht in einem solchen Spiel ist auch eine Rückwärtsinduktionslösung. Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 3

33 Die Analyse in der strategischen Form geht davon aus, dass die Spieler sich zu Beginn des Spieles auf ihre Strategien festlegen. In einem Nashgleichgewicht hat kein Spieler einen Anreiz von seiner Strategiewahl abzuweichen falls alle Spieler sich an ihre Strategien halten. In einer Rückwärtsinduktionslösung wird zusätzlich überprüft, ob die Entscheidungen der Spieler nach jedem möglichen Verlauf des Spieles optimal sind. Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 33

34 Welches Lösungskonzept sollte man nun verwenden? Es gibt unterschiedliche Ansichten: Nashgleichgewichte, die nicht einer Rückwärtsinduktionslösung entsprechen, beruhen auf unglaubwürdigen Drohungen. Rationale Spieler werden die Unglaubwürdigkeit solcher Drohungen durchschauen. Schlussfolgerung: Betrachte nur die Rückwärtsinduktionslösung. Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 34

35 Das Konzept der Rückwärtsinduktion unterstellt ein Übermass an Rationalität und Kenntnis der Spielsituation. Das Konzept des Nashgleichgewichtes ist hier robuster. Schlussfolgerung: Betrachte alle Nashgleichgewichte und entscheide im Einzelfalle, ob es gute Argumente gibt, eines oder mehrere zu eliminieren. Kapitel 6 Nash GG und Rückwärtsinduktion 35

36 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 36

37 Die Rückwärtsinduktion lässt sich nicht auf Spiele mit nicht perfekter Information anwenden: l r l r (0, 5)? L R R L (, 0) (0, ) (, 3) (3, ) Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 37

38 Eine vergleichbare Lösungsmethode (Teilspielperfektheit) kann jedoch angewandt werden, wenn ein sequentielles Spiel in seine Teilspiele zerlegt wird. Wie die Rückwärtsinduktionslösung eliminiert Teilspielperfektheit alle Nashgleichgewichte, welche auf unglaubwürdigen Drohungen beruhen. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 38

39 Teilspiel: Teil eines Spiels Beginnt an irgendeinem Entscheidungsknoten und endet bei den Ergebnissen. Ganzes Spiel ist auch ein Teilspiel Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 39

40 Beispiel 3: Teilspiele K, V b NK 3, 3 a NV K, 4 c NK 4, Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 40

41 Beispiel 3: Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Nashgleichgewicht (V,(NK,K)) a V b K NK,, 3, 3 NV verhält sich optimal in diesem Teilspiel Teilspielperfektes Gleichgewicht c K NK, 4 4, Dieses Teilspiel wird im NG nicht erreicht. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 4

42 Beispiel 3: Nicht teilspielperfektes Nashgleichgewicht verhält sich nicht optimal in diesem Teilspiel: Kein Teilspielperfektes Gleichgewicht a V b K NK,, 3, 3 Dieses Teilspiel wird im NG nicht erreicht. NV K, 4 Nashgleichgewicht (NV,(K,K)) c NK 4, Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 4

43 Beispiel 3 Das Nashgleichgewicht (NV, (K, K)) ist nicht teilspielperfekt. Wegen der Drohung K, wählt NV. Aber diese Drohung ist nicht glaubwürdig. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 43

44 Definition. Eine Strategienkombination ist ein teilspielperfektes Nashgleichgewicht wenn sie in jedem Teilspiel ein Nashgleichgewicht induziert. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 44

45 Strategien müssen sogar ausserhalb des Gleichgewichtspfades optimal sein. Die Weiterführung der Strategie muss für jeden Spieler in jedem Teilspiel eine beste Antwort auf die Strategien seiner Mitspieler sein. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 45

46 Nashgleichgewicht In einem Nashgleichgewicht ist die Strategie jedes Spielers optimal, gegeben die Strategien der anderen Spieler im gesamten Spiel. Optimal in allen Teilspielen, welche erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen. In Teilspielen, welche nicht erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen, muss sie nicht optimal sein. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 46

47 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht In einem teilspielperfekten Nashgleichgewicht ist die Strategie jedes Spielers optimal, gegeben die Strategien der anderen Spieler im gesamten Spiel. Optimal in allen Teilspielen, welche erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen. Optimal auch in allen Teilspielen, welche nicht erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 47

48 THEOREM Jedes endliche extensive Spiel mit perfekter Information hat ein teilspielperfektes Nashgleichgewicht. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht 48

49 Beispiel: Kampf der Geschlechter Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 49

50 Zwei Spieler: Hannes, Evelyn Sie müssen wählen, was sie am Abend unternehmen. Hannes kommt als erster zum Zuge und entscheidet, ob er Zuhause fernsieht oder ausgeht. Wenn er entscheidet auszugehen, müssen beide Spieler simultan entscheiden, ob sie ein Fussballspiel oder das Ballet besuchen. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 50

51 , TV Ausgang F B F B F B 3, 0, 0 0, 0, 3 Informationsmenge Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 5

52 Strategische Form F B (Ausgang, F) 3, 0, 0 (Ausgang, B) 0, 0, 3 (TV, F),, (TV, B),, Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 5

53 Drei Nashgleichgewichte: {(Ausgang, F), F), ((TV, F), B), ((TV, B), B)} Sind alle diese Nashgleichgewichte glaubwürdig? Anwendung der Teilspielperfektheit. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 53

54 , TV Ausgang F B F B F B 3, 0, 0 0, 0, 3 Teilspiel Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 54

55 F B F 3, 0, 0 B 0, 0, 3 Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 55

56 Ergebnis im letzten Teilspiel (F, F) TV Ausgang, 3, ((Ausgang,F),F) ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 56

57 Ergebnis im letzten Teilspiel (B, B) TV Ausgang,, 3 ((TV,B), B) ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 57

58 Finden teilspielperfekter Gleichgewichte Es gibt zwei teilspielperfekte Gleichgewichte: ((Ausgang, F), F) und (TV, B), B). Das Nashgleichgewicht ((TV, F), B) ist nicht teilspielperfekt: (F, B) ist kein Nashgleichgewicht im letzten Teilspiel. Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Kampf der Geschlechter 58

59 Beispiel: Markteintrittsspiel Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 59

60 Markteintrittspiel zwischen Monopolist und Herausforderer, der sich überlegt im selben Industriezweig einzutreten. Eintritt hat fixe Kosten f zur Folge. Wenn der Herausforderer draussen bleibt, ist sein Gewinn gleich Null. Wenn er eintritt, wählen die Firmen ihren Output simultan, und die Preise passen sich an, um den Markt zu räumen (Cournot Duopol). Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 60

61 Challenger () Kein Eintritt Eintritt (maxπ (q,0), 0) Cournot Duopol q q π (q,q ), π (q,q )-f Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 6

62 Konstante Grenzkosten c. Lineare inverse Nachfragefunktion: Preis(Q) = α - Q Der Gewinn der Firma i beträgt: ( α q q ) q cq i -i i i Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 6

63 Betrachte das erste Teilspiel, welches der Geschichte nicht Eintritt folgt. Der Monopolist wählt seinen Output: max q [( α ) ] q q q α c = cq Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 63

64 Betrachte das Teilspiel, welches der Geschichte Eintritt folgt. Die beste Antwort des Monopolisten: max q [( α ) ] q q q α c = q q cq Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 64

65 Die beste Antwort des Herausforderer: max q [( α ) ] q q q q α c = q cq f Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 65

66 Nashgleichgewicht im Teilspiel, dass der Geschichte Eintritt folgt: Gewinne: q = q π = π = = α c 3 ( α ) c 9 Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 66

67 Gesamtes Spiel Herausforderer Kein Eintritt Eintritt ( α c) (, 0) ( α c) ( α c) ( f 4 9, 9 ) Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 67

68 ( α c) Wenn > f 9 gibt es ein eindeutiges teilspielperfektes Gleichgewicht: Der Herausforderer tritt ein und beide Spieler produzieren q = q = α c 3 Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 68

69 ( α c) Wenn < f 9 gibt es ein eindeutiges teilspielperfektes Gleichgewicht: Der Herausforderer tritt nicht ein. Der Monopolist produziert q c = α Kapitel 6 Teilspielperfektes Nashgleichgewicht Bsp: Markteintrittsspiel 69