2.4 Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen

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1 Definition 2.43 Eine Typ 1 Grammatik ist in Kuroda Normalform, falls alle Regeln eine der folgenden 4 Formen haben: Dabei: A, B, C, D V und a Σ. Satz 2.44 A a, A B, A BC, AB CD. Für jede Typ 1 Grammatik G mit ε L(G) gibt es eine Grammatik G in Kuroda Normalform mit L(G) = L(G ). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 288 / 311

2 Beweis: G = (V,Σ, P, S) mit ε L(G). (1.) Terminalzeichen nur in Regeln der Form A a. (2.) Regel A B 1 B 2...B k (k > 2) : A B 1 C 2, C 2 B 2 C 3,...,C k 1 B k 1 B k mit neuen Variablen C 2,...,C k 1. (3.) Regel A 1...A m B 1...B n (m+n > 4) : A 1 A 2 B 1 C 2 C m B m C m+1 C 2 A 3 B 2 C 3 C m+1 B m+1 C m+2.. C m 1 A m B m 1 C m C n 1 B n 1 B n mit neuen Variablen C 2,...,C n 1 Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 289 / 311

3 Turingmaschine (TM) (vgl. Kapitel 1) unendliches Band... a b c # Lese-/Schreibkopf endliche Kontrolleinheit Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 290 / 311

4 Definition 2.45 Eine nicht-deterministische Turingmaschine (NTM) ist gegeben durch ein 7-Tupel M = (Z,Σ,Γ,δ, z 0,, E): Z endliche Zustandsmenge Σ Eingabealphabet Γ Σ Arbeitsalphabet z 0 Z Startzustand Γ Σ Blank (Leerzeichen) E Z Endzustände δ : Z Γ P(Z Γ {L, R, N}) Überführungsrelation Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 291 / 311

5 Definition 2.46 Eine Konfiguration der NTM M ist ein Wort k Γ ZΓ +. k deckt den von verschiedenen Teil des Bandes ab. Beispiel: 10zabc 1z 0bbc Startkonfiguration für Eingabe x Σ : z 0 x Definition 2.47 Berechnungsrelation : a 1...a m zb 1...b n a 1...a m z cb 2...b n falls (z, c, N) δ(z, b 1 ) (m 0, n 1) a 1...a m cz b 2...b n falls (z, c, R) δ(z, b 1 ) (m 0, n 2) a 1...a m 1 z a m cb 2...b n falls (z, c, L) δ(z, b 1 ) (m 1, n 1) Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 292 / 311

6 Sonderfälle: a 1...a m zb 1 a 1...a m cz falls (z, c, R) δ(z, b 1 ). zb 1...b n z cb 2...b n falls (z, c, L) δ(z, b 1 ). Die Relation ist im Allgemeinen nicht-deterministisch! Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 293 / 311

7 Definition 2.48 Die von einer NTM M = (Z,Σ,Γ,δ, z 0,, E) akzeptierte Sprache ist definiert als T(M) := { x Σ z 0 x αzβ (α,β Γ, z E)}. Satz 2.49 Zu jeder NTM M gibt es eine deterministische TM M, sodass T(M ) = T(M) gilt. Beweis: Eingabe: M = (Z,Σ,Γ,δ, z 0,, E) eine NTM mit δ(z, a) k für alle z Z, a Γ Ziel: Eine TM M, die alle Rechnungen von M der Länge l zur Eingabe x Σ durchführt. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 294 / 311

8 Verfahren 1. Numeriere die Elemente von δ(z, a) von 0 bis r 1, r k, fest durch (für alle z, a). Ist (z, a) aktuell, so sind also r Rechenschritte möglich. 2. Zu 0 z k l sei z l 1...z 1 z 0 die k-näre Darstellung von z, also z = l 1 z i k i, 0 z i < k. i=0 Dann beschreibt z folgende Rechnung der Länge l: Führe im i-ten Schritt den z i -ten Befehl von δ(z, a) aus, falls (z, a) aktuell ist. Hat δ(z, a) weniger als z i Schritte, so stoppe. 3. Das Band habe 3 Spuren: Auf Spur 1 steht x Σ. Auf Spur 2 wird gezählt, z = 0 bis z = k l 1. Auf Spur 3 wird zum z auf Spur 2 die Rechnung ausgeführt. Zur festen Eingabe x Σ gibt es O(k l ) Rechnungen von M der Länge l. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 295 / 311

9 Damit kann M die Sprache T(M) wie folgt akzeptieren: Eingabe: x Σ ; l := 1; LOOP: simuliere alle Rechnungen von M der Länge l zur Eingabe x; if keine dieser Rechnungen akzeptiert then l := l+1; goto LOOP else halt und accept. Dann gilt T(M ) = T(M). Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 296 / 311

10 Linear beschränkte TM (LBA) a b b a b b a Lese-/Schreibkopf endliche Kontrolleinheit Definition 2.50 Eine nichtdeterministische TM M heißt linear beschränkt, wenn für alle a 1 a 2...a n 1 a n Σ + und alle Konfigurationen αzβ mit z 0 a 1 a 2...a n 1 â n αzβ folgendes gilt: Hierbei ist Σ := Σ { â a Σ}. αβ = n. T(M) := { a 1...a n 1 a n Σ z 0 a 1...a n 1 â n αzβ (α,β Γ, z E)}. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 297 / 311

11 Satz 2.51 (Kuroda) Die von linear beschränkten, nichtdeterministischen TMen (LBAs) akzeptierten Sprachen sind genau die kontextsensitiven Sprachen. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 298 / 311

12 Beweis: : Sei L = L(G), G = (V, Σ, P, S) eine Typ 1-Grammatik. Eine TM M, die L akzeptiert: Eingabe: x = a 1 a 2...a n 1 a n Σ +. (W) wähle nichtdet. eine Regel (u v) P aus; suche ein Vorkommen von v auf dem Band; if gefunden then ersetze v durch u; (beachte: u v ) if Bandinhalt = S then accept else goto (W) Dann gilt: x L(G) gdw. gdw. gdw. Ableitung S... x Rechnung von M, die eine Ableitung S... x in umgekehrter Reihenfolge konstruiert x T(M). Offensichtlich ist M linear beschränkt. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 299 / 311

13 : Sei L = T(M) für eine linear beschränkte TM M. Eine kontextsensitive Grammatik G = (V, Σ, P, S) für L: Sei := Γ (Z Γ) : Konfiguration k: Beschreibung k:... a b c d... a(z, b)cd + z Hilfsregeln P (Simulation): (z, b, L) δ(z, a) : c(z, a) (z, c)b P (c Γ) (z, b, R) δ(z, a) : (z, a)c b(z, c) P (c Γ) (z, b, N) δ(z, a) : (z, a) (z, b) P Dann gilt: Konfigurationen : k k gdw. k k. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 300 / 311

14 V := {S, A} ( Σ) P :={ S A(â, a) a Σ} (1) { A A(a, a) a Σ} (2) { A ((z 0, a), a) a Σ} (3) {(α 1, a)(α 2, b) (β 1, a)(β 2, b) α 1 α 2 β 1 β 2 P, a, b Σ} (4) {(α, a) (β, a) α β P, a Σ} (5) {((z, a), b) b z E, a Γ, b Σ} (6) {(a, b) b a Γ, b Σ} (7) S (1 3) ((z 0, a 1 ), a 1 )(a 2, a 2 )...(a n 1, a n 1 )(â n, a n ) (4,5) (γ 1, a 1 )...(γ k 1, a k 1 )((z,γ k ), a k )(γ k+1, a k+1 )...(γ n, a n ) (6,7) a 1...a k 1 a k a k+1...a n. Also: x = a 1...a n T(M) gdw. x L(G). Offensichtlich ist G kontextsensitiv. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 301 / 311

15 Satz 2.52 Die durch allgemeine TMen akzeptierbaren Sprachen sind genau die Typ 0-Sprachen. LBA-Problem: Kann jede kontextsensitive Sprache von einer linear beschränkten, deterministischen TM (DLBA) akzeptiert werden, d.h. gilt L(LBA) = L(DLBA)? Satz 2.53 (Immerman, Szelepcsényi) Die Klasse der kontextsensitiven Sprachen ist unter Komplementbildung abgeschlossen. Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 302 / 311

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