Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem

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1 Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem

2 Agenda Motivation Reduzierbarkeit Definition Bedeutung Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Beispiele Zusammenfassung Simon Ochsenreither 2

3 Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken Simon Ochsenreither 3

4 Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken Simon Ochsenreither 4

5 Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken Simon Ochsenreither 5

6 Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken Simon Ochsenreither 6

7 Reduzierbarkeit Definition Mit L Σ* und L' Γ* seien 2 Sprachen gegeben. L ist genau dann auf L' reduzierbar, falls eine totale Funktion f : Σ* Γ* mit folgenden Eigenschafen existiert: f ist berechenbar ω L f(ω) L'... dann ist L L' Simon Ochsenreither 7

8 Reduzierbarkeit Satz Ist L eine unentscheidbare Sprache, so ist jede Sprache L' mit L L' ebenfalls unentscheidbar Simon Ochsenreither 8

9 Reduzierbarkeit Demo Simon Ochsenreither 9

10 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) 1946 durch Emil Leon Post formuliert Wichtiges unentscheidbares Problem Einfache Reduktion auf andere Probleme Instrument zum Führen von Unentscheidbarkeitsbeweisen Simon Ochsenreither 10

11 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₁ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? Simon Ochsenreither 11

12 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Demo mit ein-elementigem Alphabet Simon Ochsenreither 12

13 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Für ein-elementige Alphabete trivial lösbar Durch math. Gleichungssystem berechenbar Entscheidbar! Gilt dies auch für zwei-elementige Alphabete? Gilt dies auch für mehr-elementige Alphabete? Simon Ochsenreither 13

14 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Demo mit zwei-elementigem Alphabet Simon Ochsenreither 14

15 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Mehr-elementige Alphabete durch Gödelisierung auf zwei-elementige Alphabete abbildbar Reduktion! Simon Ochsenreither 15

16 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn eine der Komponenten nicht einholbar ist, z. B. (011, 100) ( 11, (010, 110) 011) Simon Ochsenreither 16

17 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn eine der Komponenten nicht einholbar ist, z. B. (011, 100) ( 11, (010, 110) 011) Simon Ochsenreither 17

18 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn ein Symbol nur in den ersten oder nur in den zweiten Komponenten vorkommt, z. B. ( 01, 1) ( 0, 000) (01000, 01) Simon Ochsenreither 18

19 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn ein Symbol nur in den ersten oder nur in den zweiten Komponenten vorkommt, z. B. ( 01, 1) ( 0, 020) (01000, 01) Simon Ochsenreither 19

20 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 000) (01000, 01) Simon Ochsenreither 20

21 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 100) (01000, 11) Simon Ochsenreither 21

22 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 100) (01000, 11)... oder Suffix gibt ( 01, 1) ( 0, 000) (01000, 01) Simon Ochsenreither 22

23 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 100) (01000, 11)... oder Suffix gibt ( 00, 1) ( 0, 001) (01000, 01) Simon Ochsenreither 23

24 Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₂ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? Simon Ochsenreither 24

25 Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₁ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? Simon Ochsenreither 25

26 Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₂ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? Simon Ochsenreither 26

27 Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Einziger Unterschied zwischen PKP und MPKP: PKP: Start mit beliebigem Wortpaar MPKP: Start mit dem ersten Wortpaar (x ₁, y₁) Simon Ochsenreither 27

28 Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Vermutung: MPKP PKP Simon Ochsenreither 28

29 Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Demo: Reduktion von MPKP auf PKP Simon Ochsenreither 29

30 Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Beweis: Unentscheidbarkeit Simon Ochsenreither 30

31 Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Simon Ochsenreither 31

32 Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Demo: Beweis durch Reduktion Simon Ochsenreither 32

33 Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Satz Das Schnittproblem ist für kontextfreie Grammatiken unentscheidbar Simon Ochsenreither 33

34 Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Simon Ochsenreither 34

35 Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Demo: Beweis durch Reduktion Simon Ochsenreither 35

36 Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Satz Das Mehrdeutigkeitsproblem ist für kontextfreie Grammatiken unentscheidbar Simon Ochsenreither 36

37 Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken Simon Ochsenreither 37

38 Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Demo: Beweis durch Reduktion Simon Ochsenreither 38

39 Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Satz Das Leerheitsproblem ist für kontextsensitive Spachen unentscheidbar Simon Ochsenreither 39

40 Zusammenfassung Allgemeines Halteproblem Halteproblem auf leerem Band Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem Post'sches Korrespondenzproblem Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Leerheitsproblem Mehrdeutigkeitsproblem kontextsensitiver kontextfreier Grammatiken Grammatiken Simon Ochsenreither 40

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