Dr. Michael Gieding ph-heidelberg.de/wp/gieding. Skript zur gleichnamigen Vorlesung im Wintersemester 2006/2007

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1 Dr. Mihel Gieding h-heidelerg.de/w/gieding Einführung in die Geometrie Skrit zur gleihnmigen Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 Kitel 3: Prllelität Vo r l e s u n g 1 1 : D e r I n n e n w i n k e l s t z f ü r D r e i e k e

2 1.1 Winkelmessung 1 Der Innenwinkelstz für Dreieke 1.1 Winkelmessung Die Reltion < uf der Menge ller Winkel Wenn die eiden Winkel und einen Shenkel gemeinsm hen und der zweite Shenkel von im Inneren des Winkels liegt, dnn ist der Winkel kleiner ls der Winkel. Im llgemeineren Fll, in dem die eiden Winkel und keinen Shenkel gemeinsm hen, git es nh der Existenz und Eindeutigkeit des Winkelntrgens genu einen zu kongruenten Winkel, S r q dessen einer Shenkel mit einem Shenkel von zusmmenfällt und dessen nderer Shenkel im Inneren von liegt. Definition P.1: (Reltion < uf der Menge der Winkel) Es seien und zwei Winkel. Wenn zu eine kongruenter Winkel existiert, der mit einen Shenkel gemeinsm ht und dessen nderer Shenkel im Inneren von liegt, dnn ist der Winkel kleiner ls der Winkel. In Zeihen: < Winkelmessung Im Gegenstz zur Strekenmessung läßt sih sih zur Winkelmessung eine Klsse zueinnder kongruenter Winkel uszeihnen: Die Klsse ller rehten Winkel. Dieser Klsse wird die Winkelgröße 90 zugeordnet. Mn knn jetzt zeigen, dss llen nderen Winkeln eine ositive reelle Zhl zugeordnet werden knn, die der in der Shule ülihen Winkelmessung entsriht. Die entsrehenden eweise findet mn im Filler uf S. 97ff. Wir gehen im folgenden dvon us, dss Winkel in der ülihen rt gemessen werden können. Üungsufge: Definieren Sie die egriffe: Sitzer Winkel und Stumfer Winkel einml üer die Definition P.1 und einml üer die ülihen Winkelgrößen. 1.2 Der shwhe ußenwinkelstz us der Shule ist der ußenwinkelstz für Dreieke in der folgenden Form eknnt: Jeder ußenwinkel eines Dreieks ist so groß wie die Summe der eiden niht nliegenden Innenwinkel. Diesen Stz können wir mit unseren isherigen Mitteln niht eweisen. llerdings reihen unsere Mittel für einen eweis des so gennnten shwhen ußenwinkelstz us: 1

3 1.2 Der shwhe ußenwinkelstz Stz P.1: (shwher ußenwinkelstz) In jedem Dreiek ist jeder Innenwinkel kleiner ls jeder nihtnliegende ußenwinkel. Wir formulieren den Stz in der Wenn-Dnn-Form. Wir gehen im folgenden von einem Dreiek us. Wenn ein Innenwinkel von und ein ußenwinkel von ist und der Winkel dem Winkel niht nliegt, dnn ist kleiner ls. Gegeen sei ein Dreiek. o..d.. etrhten wir die eiden folgenden Innen- zw. ußenwinkel des Dreieks : Innnenwinkel: = + ußenwinkel: = (, ehutung (zu zeigen): < eweisidee: ) Wir konstruieren einen zu kongruenten Winkel, dessen einer Shenkel der Strhl + ist und dessen nderer Shenkel im Inneren von liegt. Konstruktion des Winkels : Nr. eweisshritt egründung (1) uf existiert der Punkt M mit M M. Existenz und Eindeutigkeit des Strekenmittelunktes (2) uf M existiert der Punkt P mit MP M. xiom vom Linel (3) MP M Sheitelwinkelstz (4) M MP (1), (2), (3) und SWS (5) = P (4), einnder zugehörige Winkel Setzen = P. Der Winkel ht mit dem ußenwinkel den Shenkel + gemeinsm. Wenn wir gezeigt hen, dss der zweite Shenkel P + von im Inneren des Winkels liegt, sind wir fertig. Hierfür genügt es zu zeigen, dss der Punkt P im Inneren von liegt. Hierzu vergegenwärtigen wir uns noh einml, ws ds Innere I des Winkels ist: I = +. 2

4 1.2 Der shwhe ußenwinkelstz ls uh in der Hl- Wir hen lso zu zeigen, dss P sowohl in der Hleene + eene liegt. Nhweis, dss P in der Hleene liegt: Wir müssen zeigen, dss P und uf vershiedenen Seiten der Gerden liegen. Hierzu müssen wir wiederum zeigen, dss ein Punkt der Gerden existiert, der zwishen den Punkten und P liegt: Nr. eweisshritt egründung (6) P gehört zu M Konstruktion des Punktes P entsrehend (2) (7) M gehört zu M ist Mittelunkt der Streke und dmit ein Punkt der Gerden (1) (8) Zw(,M,P) (5) und (7) + Nhweis, dss P in der Hleene liegt: Wir müssen zeigen, dss P und uf ein und derselen Seite der Gerden liegen. Wir gliedern diesen Nhweis in zwei Shritte: (i) zeigen, dss P und M uf ein und derselen Seite von liegen, (ii) zeigen, dss und M uf ein und derselen Seite von liegen. Wenn (i) und (ii) gezeigt wurde, müssen uh und P uf ein und derselen Seite von liegen (der Leser egründe diese ussge). Wir eginnen mit (ii): Wir hen den eweis geführt, wenn wir gezeigt hen, dss kein Punkt der Gerden zwishen den Punkten und M liegt. Nr. eweisshritt egründung (9) Die Gerde ht mit der Gerden höhstens einen Punkt gemeinsm. (10) Der Punkt gehört zur Gerden und zur Gerden. (11) Der Punkt M liegt zwishen den Punkten und. (12) Der Punkt könnte der einzige Punkt der Gerden sein, der zwishen und M liegt., und sind drei nihtkollinere Punkte (Ekunkte eines Dreieks). Die Gerden und sind dmit niht identish. Zwei nihtidentishe Gerden hen höhstens einen Punkt gemeinsm. Trivil nh Konstruktion der eiden Gerden M ist lut (1) der Mittelunkt der Streke. Entsrehend (9) und (10) ist der einzige Punkt den die Streke M ls Teilmenge der Gerden mit der Gerden gemeinsm hen könnte. 3

5 1.3 Winkel n geshnittenen Gerden (13) Der Punkt knn jedoh niht zwishen den Punkten und M liegen. (11) Es liegt kein Punkt der Gerden zwishen den Punkten und M. D nh (11) M ereits zwishen und liegt und von den drei Punkten, und genu einer zwishen den nderen eiden liegt. (12) und (11) Jetzt eweisen wir (i): Üungsufge! Hinweise: Der eweis knn in nloger Weise zu dem Nhweis von (ii) geführt werden: Es gilt: () M liegt zwishen P und (wrum?) () ist der einzige Shnittunkt den die Gerde P mit der Gerden gemeinsm hen knn. Der shwhe ußenwinkelstz ist dmit ewiesen. Stz P.2: (Folgerungen us dem shwhen ußenwinkelstz) () In jedem Dreiek sind mindestens zwei Winkel sitze Winkel. () Die Summe zweier Innenwinkel eines elieigen Dreieks ist stets kleiner ls ein gestrekter Winkel. Üungsufge 1.3 Winkel n geshnittenen Gerden Zum trditionellen Stoff des Geometrieunterrihts der SI gehören die egriffe Stufenwinkel, Wehselwinkel und entgegengesetzt liegende Winkel. Derrtige Winkel entstehen dnn, wenn zwei niht identishe Gerden und durh eine dritte Gerde geshnitten werden. Entsrehend der Shulerfhrungen ist mn geneigt, für die Definition der gennnten Winkelrten die Prllelität der eiden Gerden und voruszusetzen. Diese ist jedoh niht so. Stufen- und Wehelwinkel entstehen uh eim Shnitt zweier niht rlleler Gerden. llerdings sind sie dnn niht kongruent zu einnder. Stufenwinkel 4

6 1.3 Winkel n geshnittenen Gerden Wehselwinkel entgegengesetzt liegende Winkel Üungsufge: () Ergänzen Sie die oige Telle durh eigene Zeihnungen für weitere egriffsreräsentnten. () Entwerfen Sie ein reitsltt mittels dessen die Shüler n den egriff des Stufenwinkels herngeführt werden (Reräsentnten, Gegeneisiele). () Definieren Sie die egriffe Stufenwinkel, Wehselwinkel und entgegengesetzt liegenden Winkel mthemtish exkt. 5

7 1.4 Die Umkehrung des Stufenwinkelstzes 1.4 Die Umkehrung des Stufenwinkelstzes Der Stufenwinkelstz lutet Wenn zwei rllele Gerden durh eine dritte Gerde geshnitten werden, dnn sind die entstehenden Stufenwinkel kongruent zu einnder. Dieser Stz ist uf der Grundlge ller unserer isher ufgestellten xiome niht möglih. Es edrf hierzu des Euklidishen Prllelenxioms. lle unseren isherigen Folgerungen wren unhängig von diesem xiom. Die Geometrie, die keine ussgen üer die Eindeutigkeit von Prllelen mht, heißt solute Geomtrie. In der soluten Geometrie läßt sih die Umkehrung des Stufenwinkelstzes eweisen. Stz P.3: (Umkehrung des Stufenwinkelstzes) Wenn eim Shnitt zweier vershiedener Gerden und durh eine dritte Gerde zu einnder kongruente Strufenwinkel entstehen, dnn sind die eiden Gerden und zu einnder rllel. Wir führen den eweis so, wie er etw in der Shule formuliert werden könnte und nehmen dei kleinere mthemtishe Unsuerkeiten in Kuf. Einen völlig sueren eweis findet mn ei Filler S Der eweis ezieht sih uf die oige Skizze: Vorussetzung: Die eiden luen Winkel sind kongruent zu einnder. ehutung: Die Gerden und sind rllel zu einnder. nnhme: Die eiden Gerden und sind niht rllel und shneiden sih in dem Punkt. 6

8 1.5 Ds Euklidishe Prllelenxiom Nr. eweisshritt egründung (1) lu ei + gel = 180 Neenwinkel (2) lu ei + gel = 180 Die eiden luen Winkel sind kongruent zu einnder. (und (1)) (3) Widersruh: lu ei + gel < 180 Folgerung us dem shwhen ußenwinkelstz: Die Summe zweier Innenwinkel eines Dreiks ist immer kleiner ls 180. us der Umkehrung des Stufenwinkelstzes folgt sofort die Existenz von zueinnder rllelen Gerden: Es sei g eine Gerde und P ein Punkt ußerhl von g. uf g existiert ein elieiger weiterer Punkt G. Durh P und Q ist eindeutig die Gerde PQ estimmt. n den Strhl PQ + knn eindeutig ein Winkel derrt ngetrgen werden, dss kongruente Stufenwinkel entstehen. Nh der Umkehrung des Stufenwinkelstzes ist jetzt eine zu g rllele Gerde estimmt, die durh den Punkt P geht. 1.5 Ds Euklidishe Prllelenxiom Der Stufenwinkelstz gilt genu dnn, wenn zu einer gegeenen Gerden g und einem Punkt P ußerhl dieser Gerden genu eine Prllele zu g existiert, die durh den Punkt P geht. Lnge glute mn, dss mn diese doh sehr elementre ussge us den xiomen der soluten Geometrie folgern können müßte. Es wren insesondere die Herren Guss, Lotshevski und olyi, die herusfnden, dss oige ussge unhängig von den xiomen der soluten Geometrie ist. Johnn rl Friedrih Guss, Nikoli Ivnovih Lohevsky, János olyi, Euklidishes Prllelenxiom : Zu jeder Gerden g und zu jedem Punkt P ußerhl von g existiert genu eine Gerde, die zu g rllel ist und durh den Punkt P geht. 7

9 1.6 Der Stufenwinkelstz 1.6 Der Stufenwinkelstz Stz P.4: (Stufenwinkelstz) Stufenwinkel n geshnittenen Prllelen sind kongruent zueinnder. Üungsufge Hinweis: Nehmen Sie n, dss die Stufenwinkel niht kongruent sind. Üer die eindeutige Winkelntrgung ergit sih ein Winkel, der zu einem der etrhteten Winkel kongruent ist. uf dieses neue Winkelr wird die Umkehrung des Stufenwinkelstzes ngewendet. Dieser liefert einen Widersruh zum Prllelenxiom. 1.7 Der Stz üer die Innenwinkelsumme im Dreiek Stz P.5: (Innenwinkelstz) In jedem Dreiek eträgt die Summe der Innenwinkel 180. Es sei ein Dreiek mit den Innenwinkeln =, = und =. Zu zeigen: + + = 180. Nr. eweisshritt Zeihnung egründung (1) Zu existiert genu eine Prllele, die durh geht. Euklidishes Prllelenxiom (2) etrhten die Verlängerungen üer hinus. xiom vom Linel (3) ( +, + ) = ' ' Sheitelwinkelstz 8

10 1.8 Die ülihe Plusiilitätsetrhtung zum Nhweis des Innenwinkelstzes (4) D sei ein elieiger Punkt uf, der mit uf ein und derselen Seite ezüglih liegt. ' D xiom vom Linel, Eenenteilungsxiom (5) (, D + ) = ' ' ' D Stufenwinkelstz (6) ( D, ) = ' ' ' ' D Stufenwinkelstz (7) ' + ' + ' = 180 ilden zusmmen einen gestrekten Winkel (8) + + = 180 (4), (5), (6), (7) 1.8 Die ülihe Plusiilitätsetrhtung zum Nhweis des Innenwinkelstzes ls esonders innovtiv und shülernh gilt der folgende eweis des Innenwinkelstzes: (1) Die Shüler zeihnen ein Dreiek und ezeihnen es in der ülihen rt und Weise. (2) Ds Dreiek wird usgeshnitten. (3) Die Winkel und werden gerissen und (4) n den Winkel in geeigneter Weise ngelegt: (5) Siehe d: es entsteht ein Winkel von 180. (s. Flsh-liktion) Üungsufge: Wrum ist dieser eweis definitiv flsh? 1.9 Der strke ußenwinkelstz Stz P.6: (strker ußenwinkelstz) In jedem Dreiek ist jeder ußenwinkel genu so groß wie die Summe der eiden niht nliegenden Innenwinkel. Üungsufge 9

11 1.10 Innenwinkelsumme von Viereken 1.10 Innenwinkelsumme von Viereken Stz P.7: (Innenwinkelstz für Viereke) Für Viereke eträgt die Innenwinkelsumme 360 Üungsufge 1.11 Sehnenviereke Sehnenviereke Definition P.2: (Sehnenvierek) Ein Vierek dessen Seiten Sehnen ein und desselen Kreises sind, heißt Sehnenvierek Der Stz üer die gegenüerliegenden Winkel im Sehnenvierek s. Vorlesung 10