Definitionen: spitzer Winkel, stumpfer Winkel

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1 Definitionen: spitzer Winkel, stumpfer Winkel Die in der Schule üblichen Definitionen über den Vergleich mit 90 dürften klar sein. Wir geben hier die Definitionen ohne die Verwendung von Zahlen für die Winkelgrößen an. Definition 1: (spitzer Winkel) Ein Winkel, für den ein rechter Winkel derart existiert, dass der eine Schenkel des Winkels mit einem Schenkel des rechten Winkels zusammenfällt und dessen anderer Schenkel im Inneren dieses rechten Winkels liegt, heißt spitzer Winkel. Definition 2: (stumpfer Winkel) Ein Winkel, für den ein rechter Winkel derart existiert, dass einer seiner Schenkel mit einem Schenkel dieses rechten Winkels zusammenfällt und in dessen Inneren der andere Schenkel des rechten Winkels liegt, heißt stumpfer Winkel. emerkungen: (1) Weil die Schenkel eines Winkels nicht zu seinem Inneren gehören, ist eine bgrenzung vom Nullwinkel in der Definition 1 nicht nötig. (2) naloges gilt für die bgrenzung vom getreckten Winkel in Definition 2. (3) In der von uns betriebenen Geometrie treten keine überstumpfen Winkel auf. us diesem Grund muss die ansonsten notwendige bgrenzung zu dieser Winkelart in der Definition 2 nicht beachtet werden. (4) Der ezug auf rechte Winkel in den Definitionen ist völlig unabhängig davon, ob in einer entsprechenden Skizze rechte Winkel eingezeichnet wurden oder nicht. Die Formulierung es existiert bedeutet anschaulich gesehen, dass man einen entsprechenden rechten Winkel zeichnen könnte. (5) Die Definitionen 1 und 2 wurden aus Übungsgründen so ausführlich formuliert. Unter Verwendung der bereits definierten Relation < auf der Menge aller Winkel, kann man die Definitionen 1 und 2 noch einfacher formulieren: Definition 1 : Ein vom Nullwinkel verschiedener Winkel, der kleiner als ein rechter Winkel ist, heißt spitzer Winkel. Definition 2 : Ein vom gestreckten Winkel verschiedener Winkel, der größer als ein rechter Winkel ist, heißt stumpfer Winkel. Fehlender Teil zum eweis des schwachen ußenwinkelsatzes Entsprechen der bereits durchgeführten Schritte gehen wir von der folgenden eweisfigur aus: M β' P Es ist zu zeigen, dass die Punkte P und M auf derselben Seite der Geraden liegen. (1) Der Punkt M war nach Konstruktion der Mittelpunkt der Strecke.

2 (2) Der Punkt P wurde auf dem Strahl M - konstruiert. Dementsprechend sind die Punkte, M und P kollinear. (3) Wir nehmen jetzt an, dass P und M auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen. (4) Diese nnahme besagt nichts anderes, als dass die Strecke MP die Gerade in einem Punkt S schneidet. (5) Da bereits auf der Geraden liegt und nun mit dem Punkt S ein weiterer Punkt gegeben wäre, der sowohl zur Geraden als auch zur Geraden M gehört und durch zwei Punkte genau eine Gerade bestimmt wird, müssen die Geraden und M zusammenfallen. (6) Damit wäre auch der Punkt M ein Punkt der Geraden. (7) Da Punkt M auch zur Strecke gehört und diese Strecke nur den Punkt mit der Geraden gemeinsam hat, müssen die Punkte M und jetzt identisch sein. (8) Wegen dieser Identität der beiden Punkte M und könnte der Punkt M nicht der Mittelpunkt der Strecke sein. Die nnahme, dass die beiden Punkte M und P auf verschiedenen Seiten von liegen, ist also zu verwerfen. Satz P.2: Folgerungen aus dem schwachen ußenwinkelsatz Die folgenden Folgerungen waren zu beweisen: (a) In jedem Dreieck gibt es mindestens zwei spitze Winkel. (b) Die Summe zweier Innenwinkel eines jeden Dreiecks ist stets kleiner als 180. Wir beginnen mit (b): Es sei ein Dreieck mit den Innenwinkeln (bei ), β (bei ) und γ (bei ). Ferner seien die entsprechenden ußenwinkel mit, β und γ bezeichnet. Wir haben Folgendes zu zeigen: (1) +β<180 (2) +γ<180 (3) β+γ<180 Wir zeigen exemplarisch (1). Die restlichen eweise lassen sich analog führen. Variante 1: P Nr. eweisschritt egründung (i) β+β =180 Nebenwinkel (ii) <β schwacher ußenwinkelsatz (iii) Es existiert im Inneren von β ein Strahl P + derart, + + dass (, P ) gilt. (ii) und Definition < auf der Menge der Winkel (iv) + + β und (, P ) sind zusammen kleiner als ein (iii) P + innerhalb von β gestreckter Winkel. (v) β und sind zusammen kleiner als ein gestreckter Winkel (ii) β β'

3 Variante 2: (i) <β (schwacher ußenwinkelsatz) (ii) β+β =180 (Nebenwinkel) (iii) +β<180 (folgt aus (i) und (ii)) Wir zeigen jetzt (a): Zum eweis von (a) können wir den schon bewiesenen Teil (b) verwenden. Es gilt nach (b): (1) +β<180 (2) +γ<180 (3) β+γ<180 us (1) folgt, dass und β nicht gleichzeitig jeweils größer oder gleich 90 sein könnten, weil die Summe ihrer Winkelgrößen sonst gleich oder größer 180 wäre. naloge Folgerungen ergeben sich aus (2) und (3). Damit müssen wenigstens zwei der drei Winkel, β und γ spitze Winkel sein. Definition der egriffe: Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel Definition: (Stufenwinkel) Es seien a und b zwei verschiedene Geraden, die durch eine dritte Gerade c in den Punkten a und b geschnitten werden. Es sei ein Winkel mit dem Scheitelpunkt und β ein Winkel mit dem Scheitelpunkt. und β sind heißen Stufenwinkel an den durch c geschnittenen Geraden a und b, wenn (a) entweder ein Schenkel von eine Teilmenge eines Schenkels von β oder ein (b) Schenkel von β eine Teilmenge eines Schenkels von ist, die jeweils anderen Schenkel von und β in derselben Halbebene bezüglich c liegen. Definition: (Wechselwinkel) Es seien und β zwei Stufenwinkel. Ferner sei der Scheitelwinkel von und β der Scheitelwinkel von β. Die Winkelpaare und β bzw. und β sind Wechselwinkel. Definition: (entgegengesetzt liegende Winkel) Es seien und β zwei Stufenwinkel. bildet mit jedem Nebenwinkel von β ein Paar entgegengesetzt liegender Winkeln. Ebenso bildet β mit jedem Nebenwinkel von ein Paar entgegengesetzt liegender Winkeln. eweis von Satz P.4 (Stufenwinkelsatz) Stufenwinkelsatz: Wenn zwei verschiedene Geraden a und b parallel zueinander sind, dann sind die bei einem Schnitt von a und b durch eine dritte Gerade c entstehenden Stufenwinkel kongruent zueinander. eweis:

4 c β ' a b' b Es seien a und b zwei verschiedene Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Ferner seien und β zwei Stufenwinkel, die bei diesem Schnitt entstehen. Der Punkt sein der Scheitel von, der Punkt sei der Scheitel von β. O..d.. sei der auf c liegende Schenkel von eine Teilmenge eines Schenkels von β (s. Skizze). Zu zeigen: β nnahme: und β sind nicht kongruent zueinander Nr. eweisschritt (1) Es existiert ein zu kongruenter Winkel, der den Strahl + als einen Schenkel hat und dessen anderer Schenkel auf derselben Seite bezüglich c liegt, wie der nicht auf c liegende Schenkel von. egründung Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens (2) Durch den nicht auf c liegenden Schenkel von nordnungs- und Inzidenzaxiome wird genau eine Gerade b bestimmt. (3) b geht durch den Punkt (2) und ist Scheitel von (4) b ist parallel zu a (1) und Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (5) b und b sind identisch eide gehen durch, Parallelenaxiom (6) ist kongruent zu β (5) die nicht auf c liegenden Schenkel von und β fallen zusammen (7) und β sind kongruent zueinander (6), (1) und Transitivität der Relation kongruent (8) (7) ist ein Widerspruch zur nnahme Die nnahme und β sind nicht kongruent zueinander ist demnach zu verwerfen. Plausibilitätsbetrachtung zur Innenwinkelsumme von Dreiecken Wie wir sehen, bilden die abgerissenen Winkel und β zusammen mit γ eine Gerade, sie müssen zusammen also 180 haben. lle Mathematiklehrer mit Hang zur Erleichterungspädagogik klopfen einander auf die Schulter: - das Ganze ist so wunderbar schülerzentriert, - selbst aktiv entdeckend sind die Schüler zum Innenwinkelsatz gekommen. ll diesen Kollegen wünsche ich wenigstens einen Schüler, der kritisch hinterfragt: Könnte es nicht sein, dass durch das nlegen der Winkel gar keine Gerade entsteht, sondern ein ganz kleiner Knick? Dann wären es doch vielleicht nur 179,9999 oder etwa 180,00001?

5 Zugegeben, die Wahrscheinlichkeit einer solchen Frage durch einen Schüler ist heutzutage selbst am Gymnasium recht gering. Grundschuleiapopeia und die Mathematik verbiegende, falsch verstandene didaktische Reduktionen in den weiterführenden Klassenstufen, gewöhnen den Schülern recht bald derartige Fragen ab. Recht bald geht es nur noch um sinnloses Einsetzen in nicht verstandene Formeln. Wir erziehen die Schüler zur Kritiklosigkeit gegenüber sich selbst und demgegenüber was selbsternannte utoritäten ihnen suggerieren. Danach freuen wir uns, dass wir die Schüler dort abgeholt haben, wo sie stehen, was mit Sicherheit nicht wirklich der Fall ist. Was aus solchen Persönlichkeiten (?) später wird, interessiert uns nicht mehr, weil es gar nicht um die Schüler, sondern um uns selbst geht: Sind wir nicht tolle Typen, die den Schülern die Mathematik so wunderbar einfach vermitteln können? Ist doch auch gar nicht so schlimm, wenn man unsere Schüler später mit norwegischen Formeln, astingshows, Telenovelas und neoliberalen Phrasen verarschen kann: Hier werden Sie geholfen. Überprüfen Sie sich selbst: Wie würden Sie auf die oben genannte Schülerfrage reagieren? Hätten Sie die nötige Kompetenz, um den Schüler in seiner Persönlichkeit wirklich ernst nehmen zu können, oder würden Sie ihn mittels allgemeinen Gewäschs abwürgen? Nach dem nlegen der Winkel sind wir ganz dicht an einen echten eweis herangekommen. Erkennen Sie ihn? Könnten Sie ihn schülergemäß formulieren? Das breißen und geschickte nlegen der Innenwinkel und β entspricht der Generierung von zueinander kongruenten Wechselwinkeln. j k ' γ β' (1) wird angelegt: es entstehen zueinander kongruente Wechselwinkel und. (2) bestimmt die durch gehende Gerade j. (3) β wird angelegt: es entstehen zueinander kongruente Wechselwinkel β und β. (4) β bestimmt die durch gehende Gerade k. (5) weil die angelegten Winkel zu ihren Originalen kongruent sind, müssen die Geraden j und k parallel zur Geraden sein (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes). (6) Durch kann es aber nur eine einzige Gerade geben, die zu parallel ist. (7) Die Geraden j und k müssen also zusammenfallen. (8), γ und β bilden also einen gestreckten Winkel, weshalb die Summe ihrer Winkelgrößen 180 betragen muss. (9) Wegen der schon betrachteten Winkelkongruenzen müssen somit auch, β und γ zusammen ein Winkelgröße von 180 ergeben. Starker ußenwinkelsatz Satz: In jedem Dreieck ist jeder ußenwinkel so groß, wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. eweis: β

6 Wir betrachten ein Dreieck mit den Innenwinkeln, β und γ. Die diesen Winkeln entsprechenden ußenwinkel seien mit, β und γ bezeichnet. Wir zeigen: β =+γ Für die anderen ußenwinkel würde der eweis analog verlaufen. (1) +β+γ=180 (Innenwinkelsumme im Dreieck) (2) β+β =180 (Nebenwinkel) (3) +β+γ=β+β ((1) und (2)) (4) +γ=β (3) Satz über die Innenwinkelsumme in Vierecken Satz: In jedem Viereck beträgt die Innenwinkelsumme 360. eweisidee: Zerlegung des Vierecks in zwei Teildreiecke. Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck Satz: In jedem Sehnenviereck beträgt die Summe zweier gegenüberliegender Innenwinkel 180. schülergemäßer eweis: zu zeigen: 1 blauer Winkel + 1 gelber Winkel + 1 roter Winkel + 1 grüner Winkel = 180 (1) Nach der Innenwinkelsumme im Viereck gilt: D 2 blaue Winkel + 2 gelbe Winkel + 2 rote Winkel + 2 grüne Winkel = 360 (2) lle gleichfarbigen Winkel haben dieselbe Größe, weil sie asiswinkel in gleichschenkligen Dreiecken sind. M (3) Wegen dieser Gleichheit gilt: 1 blauer Winkel + 1 gelber Winkel + 1 roter Winkel + 1 grüner Winkel = 180