Hans Marthaler Benno Jakob Katharina Schudel. Mathematik II. Geometrie für die Berufsmaturität

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1 Hans arthaler Benno Jakob Katharina Schudel athematik II Geometrie für die Berufsmaturität

2 VORWORT athematik ist ein wichtiges Hilfsmittel und Werkzeug für künftige Fachhochschulstudierende und Berufsleute. Die beiden Bände athematik I und II enthalten die für das Studium vorausgesetzten Inhalte und fachliche Kompetenzen, wie sie im Rahmenlehrplan für die technische Berufsmaturität gefordert sind. Das bewährte und weit verbreitete Lehrmittel wurde im Hinblick auf die Einführung des RLP 2012 ergänzt und angepasst. Im vorliegenden Band wurde insbesondere der Teil Vektorgeometrie vollständig überarbeitet, und behandelt neu auch die Parametergleichungen von Geraden und Ebenen. Zudem wurde das Buch ergänzt durch ein Kapitel über Polarkoordinaten. Im Band athematik II wird das Grundwissen der Geometrie anschaulich und praxisnah vermittelt. Das Lehrmittel eignet sich als Lehr- und Arbeitsbuch im Unterricht oder für das Selbst studium. it zahlreichen Abbildungen und vielen gelösten Beispielen werden mathematische Zusammenhänge verdeutlicht und vertieft. Anhand der vielen Übungen kann der theoretische Lehrinhalt in zahlreichen Situationen angewendet werden. Die Lösungen der Übungsaufgaben stehen kostenlos zur Verfügung unter und Das Buch macht die Lernenden mit spezifischen ethoden der athematik vertraut. Die heutigen technischen Hilfsmittel ermöglichen die Veranschaulichung der athematik und unterstützen die Erforschung von mathematischen Sachverhalten. Viele Aufgaben ermöglichen deshalb den sinnvollen Einsatz von Taschenrechner und Computer, andere können problemlos ohne Hilfsmittel gelöst werden. Juni 2014 Hans arthaler, Benno Jakob, Katharina Schudel Dr. Hans arthaler unterrichtete athematik an verschiedenen Berufsmaturitätsschulen in den Kantonen Bern, Luzern und Aargau. Heute ist er Rektor am Berufsbildungszentrum Fricktal in Rheinfelden. Benno Jakob, Reto Reuter und atthias Burkhardt sind langjährige athematiklehrer an der Berufsmaturitätsschule der GIBB in Bern und haben grosse Erfahrung in unterschiedlichen Berufsmaturitätsausrichtungen. Katharina Schudel unterrichtet seit vielen Jahren athematik in verschiedenen Ausrichtungen der Berufsmaturität an mehreren Schulen im Kanton Zürich, seit 2005 an der Berufsmaturitätsschule Strickhof Lindau. 5

3 INHALTSVERZEICHNIS Planimetrie Winkel Grundlagen essen von Winkeln Orientierte Winkel Winkelkategorien Winkel an Geraden Winkel an sich schneidenden Geraden Winkel an geschnittenen Parallelen Winkel am Dreieck Beliebige Dreiecke Spezielle Dreiecke Winkel am Kreis Bezeichnungen Kreiswinkelsätze Satz des Thales Übungen Dreiecke Das allgemeine Dreieck Besondere Punkte und Linien am Dreieck Berechnung des Flächeninhalts Dreieck und Kongruenz Satzgruppe des Pythagoras Das rechtwinklige Dreieck Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz Anwendungen des Satzes des Pythagoras Spezielle Dreiecke Vermischte Aufgaben Übungen

4 3 Viereck und Vieleck Das allgemeine Viereck essen und Berechnen von Vierecksflächen Spezielle Vierecke Viereck und Kreis Vielecke Winkelsummen Regelmässige Vielecke Übungen Kreis und Kreisteile Kreis Bezeichnungen Kreisumfang Kreisfläche Kreisteile Kreisring Kreisbogen und Kreissektor Kreissegment Übungen Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Zentrische Streckung Strahlensätze Ähnliche Figuren Ähnlichkeitsabbildungen Ähnliche Figuren Ähnliche Dreiecke Ähnlichkeit am rechtwinkligen Dreieck Teilung von Strecken Teilung einer Strecke Goldener Schnitt Übungen

5 INHALTSVERZEICHNIS Trigonometrie Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Das Bogenmass Bekannte Voraussetzungen aus der Planimetrie Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Definition der Arcusfunktionen Ausgewählte Anwendungen Übungen Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck Trigonometrische Funktionen und Einheitskreis Winkel und Einheitskreis Sinus und Cosinus Tangens Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinussatz Cosinussatz Flächensatz Berechnungen am Kreis Kreissektor (auch Kreisausschnitt) Kreissegment (auch Kreisabschnitt) Übungen Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen Herleitung der Graphen Eigenschaften der Graphen Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion Kongruenz zwischen Sinus und Cosinus Der Graph der Tangensfunktion Transformationen der Sinusfunktion Allgemeine Sinusfunktion Harmonische Schwingungen Übungen

6 9 Polarkoordinaten Definition der Polarkoordinaten Beziehung zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten Graphen im Polarkoordinatensystem Spiralen Übungen Goniometrie Grundlagen Additionstheoreme Das Additionstheorem für den Cosinus Das Additionstheorem für den Sinus Additionstheoreme für Sinus, Cosinus und Tangens Winkelfunktion für doppelte Winkel Summen und Differenzen der Funktionen zweier Winkel Goniometrische Gleichungen Übungen Stereometrie Grundlagen Darstellungsarten von Körpern Schiefe Parallelprojektion Netz oder Abwicklung eines Körpers Punkt, Gerade und Ebene Punktmengen im Raum Lage von Punktmengen Winkel im Raum Grundlagen der Körperberechnungen Oberfläche und Volumen Satz des Cavalieri Übungen

7 INHALTSVERZEICHNIS 12 Prisma und Zylinder Prisma Quader Würfel Allgemeines Prisma Zylinder Schrägbild und Netz des geraden Kreiszylinders Zylindervolumen und Zylinderoberfläche Übungen Spitze Körper Pyramide Definition und Bezeichnungen Herleitung der Volumenformel Schiefe Pyramide Tetraeder Kegel Definition und Bezeichnungen Herleitung der Volumenformel Herleitung der Oberflächenformel Übungen Stumpfe Körper Pyramidenstumpf Definition und Begriffe Volumen und Oberflächeninhalt Kegelstumpf Definition und Begriffe Berechnung des Volumens Berechnung der Oberflächeninhalte Übungen Kugel und Kugelteile Kugel Berechnung des Kugelvolumens Berechnung der Kugeloberfläche Kugelsegment und Kugelkappe Kugelsektor Kugelschicht und Kugelzone Übungen

8 Vektorgeometrie Vektorbegriff und Vektoroperationen Zum Vektorbegriff Vektorielle und skalare Grössen Vektoren und Translationen Vektoroperationen Addition und Subtraktion uliplikation mit einem Skalar Linearkombinationen Übungen Komponentendarstellung von Vektoren Komponentendarstellung in der Ebene Vektoren in der Ebene Ortsvektoren in der Ebene Betrag eines Vektors in der Ebene Komponentendarstellung im Raum Das räumliche Koordinatensystem Vektoren im Raum Ortsvektoren im Raum Betrag eines Vektors im Raum Vektoroperationen in Komponentenschreibweise Addition und Subtraktion ultiplikation mit einem Skalar Linearkombinationen Einheitsvektoren Einheitsvektor in Richtung eines beliebigen Vektors Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen Übungen

9 INHALTSVERZEICHNIS 18 Das Skalarprodukt Einführung Definition Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Rechenregeln für das Skalarprodukt Winkel Orthogonalität zweier Vektoren Winkel zwischen Vektoren und Koordinatenachsen Normalprojektion eines Vektors Flächeninhalt von Rechteck und Parallelogramm Anwendung in Ökonomie und Physik Übungen Vektorielle Darstellung von Geraden Die Parametergleichung der Geraden Parameter- und Funktionsgleichung der Geraden Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade Lagekriterium Abstand zwischen Punkt und Gerade Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden Schnittwinkel zwischen zwei Geraden Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden Anwendung: odellierung von geradlinigen Bewegungen Übungen Vektorielle Darstellung der Ebene Die Parametergleichung der Ebene Lagebeziehungen zwischen Punkt und Ebene Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene Gegenseitige Lage von zwei Ebenen Übungen

10 WINKEL 1 Planimetrie Die Planimetrie (griech. Flächenmessung) befasst sich mit der Geometrie der Ebene. Ausgehend von Punkten und Geraden werden weitere Objekte wie Strecken, Strahlen und Winkel definiert und ihre Lagebeziehungen analysiert. Ein weiterer Gegenstand der Planimetrie ist die Untersuchung von zweidimensionalen Figuren wie Dreiecke, Vierecke oder Kreise. 1 Winkel 1.1 Grundlagen Definition Winkel Zwei Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt S bilden einen Winkel. Der Punkt S heisst Scheitelpunkt. Die Strahlen p und q sind die Schenkel des Winkels. S q B A p Kommentar Winkel können auf drei Arten bezeichnet werden: mit griechischen Buchstaben: a, b, g, durch Angabe der Schenkel: /(p, q) durch Angabe von drei Punkten: /ASB. Den Scheitelpunkt schreibt man immer in der itte und die Abfolge der Punkte erfolgt im Gegenuhrzeigersinn essen von Winkeln Die Grösse von Winkeln kann man in verschiedenen assen angeben. In der Planimetrie verwenden wir meistens Altgrad. Definition Altgrad Einen Winkel der Grösse 1 (Grad) erhält man, wenn man einen Kreis durch Radien in 360 deckungsgleiche Teile (Kreissektoren) zerlegt. Kommentar Für eine feinere Unterteilung kann man inuten und Sekunden verwenden: 1 = 60 (inuten), 1 = 60 (Sekunden). Die Teilung des Kreises in 360 Teile hat ihren Ursprung bei den Sumerern, die ein Zahlensystem mit Basis 60 verwendet haben. Teilt man einen Kreis durch Radien in 400 deckungsgleiche Teile, erhält man einen Winkel der Grösse 1 Gon (Neugrad). Dieses ass wird in der Vermessungstechnik verwendet. Ein weiteres Winkelmass ist das Bogenmass, welches wir in Teil II kennenlernen werden. 13

11 I PLANIETRIE Orientierte Winkel Wird ein Strahl um seinen Anfangspunkt S gedreht, so entsteht ein orientierter Winkel. Bei einem positiv orientierten Winkel erfolgt die Drehung im Gegenuhrzeigersinn und die Grössenangabe hat einen positiven Wert. Hier wird der Ausgangsstrahl p gedreht, bis er die Endposition q erreicht hat. Bei einem negativ orientierten Winkel erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn und die Grössenangabe hat einen negativen Wert. Hier wird der Ausgangsstrahl q gedreht, bis er die Endposition p erreicht hat. S S q (p, q) = 40 p q (q, p) = 40 p Kommentar Wenn nichts ausdrücklich erwähnt wird, spielt die Orientierung des Winkels keine Rolle und es werden ausschliesslich positive Winkelwerte verwendet Winkelkategorien Winkel können in verschiedene Kategorien unterteilt werden. Die gebräuchlichsten sind: Nullwinkel spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel = 0 0 < < 90 = < < 180 gestreckter Winkel überstumpfer Winkel Vollwinkel = < < 360 = Winkel an Geraden Winkel an sich schneidenden Geraden Winkel an zwei sich schneidenden Geraden haben folgende Eigenschaften: Scheitelwinkel und Nebenwinkel Scheitelwinkel sind gleich gross: a = g und b = d (1) Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel: δ a + b = b + g = g + d = d + a = 180 (2) 14

12 WINKEL Winkel an geschnittenen Parallelen Wenn zwei parallele Geraden h 1 und h 2 von einer dritten Geraden g geschnitten werden, dann entstehen bei jedem der beiden Schnittpunkte vier Winkel. Vergleicht man die Lage von zwei Winkeln eines Winkelpaares, so kann man die drei Typen Stufenwinkel, Wechselwinkel und Gegenwinkel unterscheiden, die folgende Eigenschaften haben: Winkel an Parallelen Stufenwinkel sind gleich gross: a = a, b = b, g = g, d = d (3) Wechselwinkel sind gleich gross: a = g, b = d, g = a, d = b (4) Gegenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel: δ δ ' ' g ' ' h 2 h 1 a + d = b + g = g + b = d + a = 180 (5) Kommentar an kann innere und äussere Wechselwinkel unterscheiden. Die inneren Winkel liegen innerhalb dem Parallelenpaar h 1 und h 2, die äusseren ausserhalb. Das gleiche gilt für die Gegenwinkel. Gegenwinkel werden exakter auch als entgegengesetzt liegende Winkel bezeichnet. Die Sätze über Winkel an Parallelen können am elegantesten mit abbildungsgeometrischen Überlegungen (Translation, Punktspiegelung) bewiesen werden. 1.3 Winkel am Dreieck Beliebige Dreiecke Ein Dreieck entsteht, wenn man drei Punkte miteinander verbindet, die nicht auf einer Geraden liegen. Bezeichnungen am Dreieck Die Eckpunkte A, B, C werden im Gegenuhr zeigersinn bezeichnet. Die Winkel werden mit den griechischen Buchstaben a, b, g bezeichnet. Die Seiten a, b, c liegen den entsprechenden Eckpunkten gegenüber. Die Höhen stehen senkrecht auf der jeweils im Index benannten Seite und gehen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt. A b C h c c a B 15

13 I PLANIETRIE Winkel am Dreieck haben die folgenden Eigenschaften: Winkel am Dreieck Innenwinkel Die Innenwinkelsumme beträgt in jedem beliebigen Dreieck 180 : a + b + g = 180 (6) Aussenwinkel Ein Aussenwinkel ist gleich der Summe der nicht anliegenden (gegenüberliegenden) Innenwinkel: A μ λ C B ϕ w = a + g, m = b + g und λ = a + b (7) Spezielle Dreiecke Es gibt drei Arten von speziellen Dreiecken mit folgenden Eigenschaften: Gleichschenkliges Dreieck Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang und die beiden Basiswinkel gleich gross: r h r a = b (8) b Kommentar Die beiden gleich langen Seiten r werden als Schenkel, die dritte Seite als Basis b bezeichnet. Deshalb heissen die Winkel a und b Basiswinkel. Die Gleichheit der Basiswinkel folgt aus der Tatsache, dass die Höhe h Symmetrieachse ist. Rechtwinkliges Dreieck Im rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der nicht rechten Winkel 90 : a + b = 90 (9) Kommentar Dies folgt direkt aus der Innenwinkelsumme im allgemeinen Dreieck: a + b + 90 = 180 a + b = 90 16

14 WINKEL 1 Gleichseitiges Dreieck Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten und alle drei Winkel gleich gross. Jeder Innenwinkel beträgt 60 : a = b = g = 60 (10) s s s Beispiele (1) Gegeben ist der Winkel a. Berechnen Sie d. Lösung: Die Winkel a und /OP sind Wechselwinkel und deshalb gleich gross: /OP = a Wir zeichnen die Hilfslinie O }} ein. Das Dreieck nop ist gleichschenklig ( O }} = P }} = Kreisradius), also gilt: /OP = /OP = a /OP und /ON sind Wechselwinkel und deshalb gleich gross: /ON = /OP = a Das Dreieck nno ist gleichschenklig ( N }} = O }} = Kreisradius), deshalb gilt: /NO = }}}} 180 a 2 Der Winkel d setzt sich aus den Winkeln /NO und /OP zusammen. Durch Einsetzen und Vereinfachen ergibt sich: d = /NO + /OP = }}}} 180 a + a = 90 } 2 a 2 + a = 90 + } a 2 (2) Gegeben sind die Winkel a und b. Berechnen Sie λ. Lösung: Das Teildreieck napc ist gleichschenklig ( AP }} = CP }} = Kreisradius): /PCA = a /CPQ ist Aussenwinkel von napc: /CPQ = 2a A P P λ O δ Q C N B 17

15 I PLANIETRIE Das Teildreieck nqbc ist gleichschenklig ( }} BQ = }} CQ = Kreisradius): /BCQ = b /PQC ist Aussenwinkel von nqbc: /PQC = 2b Im Teildreieck npqc beträgt die Innenwinkelsumme 180, also kann der gesuchte Winkel berechnet werden: λ = 180 2a 2b = (a + b) Übungen 1 S Winkel am Kreis Bezeichnungen b ' Wir wählen zwei Punkte A und B auf der Kreislinie. Die beiden Punkte unterteilen die Kreislinie in einen Kreisbogen b und einen Ergänzungsbogen b. Eine Gerade durch A und B heisst Sekante s, die Strecke AB Sehne. Eine Gerade durch einen der Punkte an den Kreisbogen heisst Tangente t und steht senkrecht auf dem Berührradius r. s A b r B t Am Kreis kommen verschiedene Winkel vor. Die beiden wichtigsten sind der Zentri- und der Peripheriewinkel: Definition Zentriwinkel (ittelpunktswinkel) Ein Winkel mit Scheitel im Kreismittelpunkt heisst Zentriwinkel. Zu jedem Kreisbogen gehört ein Zentriwinkel: w gehört zum Bogen b w gehört zum Ergänzungsbogen b b ' A ϕ ' ϕ b B 18

16 WINKEL 1 Definition Peripheriewinkel (Umfangswinkel) Ein Winkel mit Scheitel auf der Kreislinie heisst Peripheriewinkel, wenn seine Schenkel die Kreislinie schneiden. Zu jedem Bogen gehören beliebig viele Peripheriewinkel: g und g gehören zum Bogen b d und d gehören zum Ergänzungsbogen b b ' δ ' b δ' Kreiswinkelsätze Zwischen den Winkeln am Kreis bestehen folgende Beziehungen: Peripheriewinkelsätze Alle Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen b sind gleich gross. g = g (11) b ' ' Ein Peripheriewinkel über dem Bogen b und ein solcher über dem Ergänzungsbogen b ergeben zusammen einen gestreckten Winkel. g + d = 180 (12) ϕ Zentriwinkelsatz Ein Peripheriewinkel über dem Bogen b ist halb so gross wie der zum Bogen b gehörende Zentriwinkel. δ b g = w } 2 (13) Kommentar Der Satz über den Sehnentangentenwinkel wurde weggelassen. Er ist sowohl für die Ortsbogen- Konstruktion wie für das Berechnen von Winkeln nicht unbedingt nötig. Die Sätze werden häufig auch anders formuliert: es wird von Winkeln über der gleichen Sehne statt über dem gleichen Bogen gesprochen. 19

17 I PLANIETRIE Satz des Thales Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes. Da der Bogen nun ein Halbkreis ist, beträgt der Zentriwinkel w = 180 und jeder Peripheriewinkel damit g = 90. Satz des Thales Liegt ein Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser }} AB, so ist der Winkel /BCA ein rechter Winkel: C /BCA = g = 90 (14) Umkehrung Hat das Dreieck nabc bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf dem Kreis über AB }}. A B Beispiele (1) Berechnen Sie den Winkel b aus a. Lösung: Wir zeichnen ein paar wichtige Hilfslinien ein, um zum Lösen der Aufgabe wesentliche Eigenschaften besser zu erkennen. /QRS ist Peripheriewinkel und /QS ist Zentriwinkel über dem Bogen QS: /QS = 2b Die Dreiecke npq und nps sind S kongruent, da alle drei Seiten gleich lang sind (eine gemeinsame Seite, zwei Paare gleicher Kreisradien): /PQ = } a und /QP = b 2 Das Dreieck npq ist gleichschenklig ( PQ }} = P }} = Kreisradius): P /QP = /PQ = b Q Aus der Innenwinkelsumme des Dreiecks npq folgt: a } b = 180 a + 4 b = b = 360 a b = 90 } a 4 R 20

18 WINKEL 1 (2) Berechnen Sie die Winkel a, b und g. C Lösung: Das Dreieck nac ist gleichseitig ( AC }} = A }} = C }} = Kreisradius). So gilt für b: b = 60 a ist der Peripheriewinkel, der zum Zentriwinkel b gehört. Also gilt für a: A D B a = } b 2 = }} 60 2 = 30 Die Dreiecke nbc und nbcd sind gleichschenklig (gleiche Kreisradien): /BC = a /CDB = /BCD = g + a Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck nbcd folgt: (g + a) + (g + a) + a = 180 (g + 30 ) + (g + 30 ) + 30 = 180 2g = 90 g = 45 Übungen 2 S. 24 Terminologie Altgrad Aussenwinkel Basiswinkel Ecken Gegenuhrzeigersinn Gegenwinkel gleichschenklig gleichseitig Höhe Innenwinkel Kreisbogen Kreislinie Kreismittelpunkt Nebenwinkel orientierter Winkel Peripheriewinkel rechtwinklig Satz des Thales Scheitelpunkt Scheitelwinkel Schenkel Sehne Seiten Sekante Stufenwinkel Symmetrieachse Tangente Uhrzeigersinn Wechselwinkel Winkel Zentriwinkel 21

19 I PLANIETRIE 1.5 Übungen Übungen 1 1. Zeigen Sie mit der Figur und den Sätzen über Winkel an Geradenkreuzungen und Parallelen, dass a) die Innenwinkelsumme im Dreieck 180 beträgt, b) ein Aussenwinkel gleich der Summe der beiden gegenüberliegenden Innenwinkel ist. ϕ 2. Berechnen Sie jeweils die bezeichneten Winkel. a) b) c) d) Ein Kugellager besteht aus 18 Kugeln. Welchen Winkel schliessen die ittellinien zweier aufeinander folgender Kugeln ein? (ittellinie = Linie durch das Zentrum einer Kugel und das Zentrum des Kugellagers) 4. Drücken Sie ε durch a aus. Wie gross ist ε für a = 76? ε ε 5. Berechnen Sie jeweils die bezeichneten Winkel. w g ist die Winkelhalbierende von g. a) b) w w 22

20 WINKEL 1 c) d) Bestimmen Sie jeweils b aus a (allgemein) sowie b für a = 38. a) b) x x x 7. Gegeben seien die Winkel a und bei b) zusätzlich b. Bestimmen Sie ε. a) b) ε ε 8. Eine Billardkugel prallt bei einem Stoss auf zwei Banden und legt die in der Skizze eingezeichnete rote Bahn zurück. ε a) Der Winkel g zwischen den Banden beträgt 40. Bestimmen Sie den Winkel ε. b) Drücken Sie aus, wie der Winkel ε allgemein vom Winkel g zwischen den Banden abhängt. c) Ein Billardtisch hat einen Eckwinkel von g = 90. Setzen Sie diesen Wert in die unter b) gewonnene Formel ein. Wie interpretieren Sie das Ergebnis? d) g sei nun stumpfwinklig, zum Beispiel 130. Setzen Sie diesen Wert in die unter b) gewonnene Formel ein. Wie interpretieren Sie das Ergebnis? 23

21 I PLANIETRIE Übungen 2 9. a) Zeigen Sie anhand der abgebildeten Figur, dass der Zentriwinkel w zu einer Sehne s gleich dem Zweifachen des Peripheriewinkels g derselben Sehne ist. Als Hilfe sind die beiden Winkel a und a eingezeichnet. ' ϕ s b) Zeigen Sie in Anlehnung an Aufgabe 9a), dass sämtliche Peripheriewinkel g zu einer Sehne s gleich gross sind. s c) Zeigen Sie in Anlehnung an Aufgabe 9a), dass der Peripheriewinkel g zu einem Kreisbogen b und der Peripherie winkel δ des Ergänzungsbogens b zusammen einen gestreckten Winkel ergeben. b s δ b ' 24

22 WINKEL Bestimmen Sie jeweils die bezeichneten Winkel. a) b) c) d) δ 11. Gegeben sei Winkel a. Bestimmen Sie b. 12. Bestimmen Sie jeweils die bezeichneten Winkel. a) b) 4 25