b) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4

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1 Westermann Seite 52 Aufgabe 2 b) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4 Nach dem Einzeichnen des Urdreiecks und des Punktes A erkennt man: Der Vektor verschiebt den Punkt A um 3 Längeneinheiten nach rechts und um 5 Längeneinheiten nach unten. Man schreibt daher: Jetzt können auch B und C durch Parallelverschiebung mit dem Vektor auf B und C abgebildet werden. (man verschiebt beide Punkte um 3 LE nach rechts und um 5 LE nach unten)

2

3 b) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 c) Nach dem Einzeichnen des Bildpunktes P muss überlegt werden, wie man auf den Urpunkt P kommt: Von P aus würde (nach obiger Parallelverschiebung) um 3 LE nach rechts und um 5 LE nach unten abgebildet werden. Das heißt, dass nun von P um 5 LE nach oben und um 3 LE nach links abgebildet werden muss, um den Urpunkt P zu erhalten!

4 Der Urpunkt P liegt bei der x-koordinate und bei der y-koordinate. Man schreibt:!

5 d) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 R kann nicht durch obige Parallelverschiebung auf R abgebildet werden, da und nicht parallel und gleich lang sind. Zusatz: Westermann Seite 53 Aufgabe 6

6 b) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 c)

7 d) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009

8 Westermann Seite 53 Aufgabe 7 Der Vektor bildet jeden Urpunkt auf einen Bildpunkt ab, dessen x- Koordinate um 3 LE kleiner ist und dessen y-koordinate um 2 LE größer ist. Nach dieser Abbildungsvorschrift wird der Punkt M auf den Punkt M abgebildet. Anschließend wird ein Kreis k mit einem Radius von 2 LE gezeichnet.

9 b) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 Zunächst wird der Punkt C auf den Punkt C über den Vektor abgebildet. Anstatt den Punkt D abzubilden (es sollen möglichst wenig Punkte abgebildet werden), wird der Winkel übertragen: Die Länge der Strecke wird mit einem Zirkel (gestrichelte Kreislinie) auf den Schenkel übertragen. (So kann im folgenden zweiten Schritt mit dem Zirkel die Länge der Sehne s abgegriffen werden)

10 Anschließend wird um C ein gestrichelter Kreis mit dem Radius gezogen. Der Punkt Z ist Schnittpunkt des gestrichelten Kreises mit der Geraden CC. Vom Punkt Z aus wird nun die Sehnenlänge angetragen (gepunkteter Kreis). D ist Schnittpunkt beider Kreise. c) Der Punkt F wird über Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Bildpunkt F abgebildet. Anschließend wird der Schenkel [FG parallel zu F verschoben. Hierzu wird der Winkel übertragen, so dass der Winkel entsteht. (H und H werden nur als Hilfspunkte für diesen Konstruktionsschritt benötigt) Nun wird im zweiten Schritt der Winkel vom Schenkel [FG an den Schenkel [F G angetragen. Achtung: Der Schnittpunkt des Kreises um F (mit dem Radius ) mit dem Schenkel [F I ist nicht der gesuchte Punkt E, sondern ein Punkt I, der von F ebenso weit entfernt ist, wie der Punkt G!

11 Im letzten Schritt wird die Strecke mit einem Zirkel auf den Schenkel [F I abgetragen. Der Schnittpunkt ergibt den gesuchten Punkt E! (Aufgrund der Längentreue muss gelten: [EF]=[E F ]!) d) Zunächst wird der Urpunkt B durch Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Bildpunkt B abgebildet. Anschließend wird der Winkel an den Schenkel [B B übertragen. (Aufgrund der Winkeltreue gilt: ) H und H dienen erneut als Hilfspunkte für diese Abbildung des Winkels.

12 Westermann Seite 56 Aufgabe 1 Sowohl als auch haben als x-koordinate +3 und als y Koordinate +1. Somit sind beide Pfeile Repräsentanten des Vektors. b) Mit der Regel Spitze minus Fuß gilt für den Vektor : Somit ist kein Repräsentant des Vektors, da die y Koordinate letzterer verschieden ist! Westermann Seite 56 Aufgabe 3 b) 5 verschiedene Vektoren! (Koordinatendarstellungen: siehe oben) c) Der Fußpunkt des Pfeils liegt auf der x-achse bei x = 20 LE. Von dort aus geht man 1,5 LE nach rechts und 2 LE nach oben. Also liegt P bei: d) P (21,5 2) Westermann Seite 57 Aufgabe 1 o Zur Berechnung von könnte er die x-koordinate des Punkte P (Spitze) von der x-koordinate des Punktes P (Fuß) subtrahieren: o Zur Berechnung von könnte er die y-koordinate des Punkte P (Spitze) von der y-koordinate des Punktes P (Fuß) subtrahieren: Schneller rechnet man mit der Regel Spitze minus Fuß :

13 Westermann Seite 57 Aufgabe 2 b) und

14 Westermann Seite 57 Aufgabe 3 Der Pfeil hat mit dem Fußpunkt O (0 0) dieselben Koordinaten wie die Spitze. Einen solchen Pfeil nennt man Ortspfeil des Punktes A. (Selbes gilt für und!)

15 Westermann Seite 57 Aufgabe 4 b)

16 Westermann Seite 58 Aufgabe 1 Ein Vektor, der die Verschiebung eines Punktes mit dem Vektor wieder rückgängig macht, heißt Gegenvektor. Die Abbildung heißt Umkehrabbildung. Die Koordinaten von Vektor und Gegenvektor haben entgegengesetzte Vorzeichen. Vektor: Gegenvektor:

17 Westermann Seite 58 Aufgabe 2 b) c) d) e) f) Westermann Seite 58 Aufgabe 3 b) c) d) e)

18 Westermann Seite 58 Aufgabe 4 b)

19 c) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 d) Man erkennt: Nach der Regel Spitze minus Fuß gilt somit für den Vektor : Analog gilt: Man stellt fest, dass die Koordinaten doppelt so groß sind wie die des Vektors.

20 Westermann Seite 59 Aufgabe 1 b)

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22 c) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009

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24 d) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009

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26 Westermann Seite 59 Aufgabe 2 Koordinaten des Vierecks ABCD: (bereits angegeben) (bereits angegeben)

27 b) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 Koordinaten des Vierecks ABCD: (bereits angegeben) (bereits angegeben) Die Länge beträgt 4 LE. Damit die Fläche des Rechtecks ABCD 6 FE beträgt, muss die Länge der Seiten und 1,5 LE betragen, denn:

28 c) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 Koordinaten des Vierecks ABCD: (bereits angegeben) (bereits angegeben) Die Länge beträgt 2 LE. Damit der Umfang des Rechtecks ABCD 10 LE beträgt, muss die Länge der Seiten und 3 LE betragen, denn:

29 Westermann Seite 59 Aufgabe 3 Die Straße wird mit dem Vektor verschoben. A, B und P sind Elemente der Straße. Also gilt:

30 b) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 c) Der Vektor ist Repräsentant des Pfeils. Für diesen gilt nach der Regel Spitze minus Fuß :

31 Westermann Seite 60 Aufgabe 1 b) c)

32 Westermann Seite 60 Aufgabe 2 b) c)

33 Westermann Seite 61 Aufgabe 1 b) c)

34 Westermann Seite 61 Aufgabe 3 o o o b) o o o c) o o o

35 Westermann Seite 61 Aufgabe 4 Aus dem Koordinatensystem können die Punkte des Urdreiecks ABC gewonnen werden: o o o Die Urpunkte A, B und C können aber auch über folgende Pfeilkette berechnet werden: Dabei ist der Gegenvektor zu. Also: Somit muss der Punkt C beim x-wert 0 und beim y- Wert -2 liegen:

36 b) o Über Spitze minus Fuß wird der Vektor berechnet: Dieser Pfeil ist Element der Pfeilmenge (=Vektor)! o Um die Urpunkte A und C zu berechnen, muss der Gegenvektor berechnet werden: c) o Über Pfeilketten können nun die Koordinaten der Urpunkte berechnet werden: Somit liegen folgende Koordinaten für A vor: o Analog gilt für die Koordinaten von C: o o analog gilt: o Zusatz am Ende der Seite: Es sind 35 Schüler und Schülerinnen. o

37 Westermann Seite 62 Aufgabe 1 b) Westermann Seite 62 Aufgabe 2 b) Siehe Kommutativ- und Assoziativgesetz der Vektoraddition S 62 Mitte!

38 Westermann Seite 62 Aufgabe 3 Es gilt: Die Endpunktskoordinaten des Bilddreiecks A B C können nun leicht abgelesen werden: b) Zum selben Ergebnis, denn: Also wird bei beiden Verschiebungen jeder Urpunkt mit dem Pfeil abgebildet.

39 Westermann Seite 62 Aufgabe 4 b) Der Vektor bildet die Punkte A, B und C auf die Punkte A, B und C ab. Dabei vergrößern sich die X-Koordinaten der Urpunkte um 3 und die Y- Koordinaten um 2: c) Aufgrund des Assoziativ- und Kommutativgesetzes der Vektoraddition ergibt sich bei dieser Parallelverschiebung mit dasselbe Ergebnis ( d) Der Pfeil ist Element der Vektormenge!

40 Westermann Seite 63 Aufgabe 3 1. Möglichkeit: Vektorkette 2. Möglichkeit: fertige Formel S. 63 => M ( 0,5-2 ) b) => M ( 0,5-2 ) => M ( 20,5-7,5 ) => M ( 20,5-7,5 ) c) M ( 10 1 ) d) M ( ) e) M ( 5 3 )

41 Westermann Seite 63 Aufgabe 4 b) oder: F ( 3,5 4,75 ) G ( -1,5 6,5 ) H ( -1 3,75 ) => E ( 4 2 )

42 c) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 Vergleich: und

43 d) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009

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45 Westermann Seite 69 Aufgabe 7 b)

46 c) Westermann ISBN Druck A / Jahr 2009 d) e) Der Abstand vom Punkt B zur Geraden s beträgt 4 LE. Der Abstand vom Punkt B zur Geraden s beträgt 4 LE. f) Die Länge der Strecke 5 LE. Die Länge der Strecke 10 LE. beträgt beträgt

47 Westermann Seite 70 Aufgabe 3 d) e) (Gegenwinkel) (Nebenwinkel) (Gegenwinkel) (Stufenwinkel bzw. F-Winkel) (Wechselwinkel bzw. Z-Winkel) (Stufenwinkel bzw. F-Winkel) (Wechselwinkel bzw. Z-Winkel) f) siehe e)

48 Westermann Seite 71 Aufgabe 6 (Stufenwinkel bzw. F-Winkel) (Nebenwinkel) b) (Wechselwinkel bzw. Z-Winkel) c) (Wechselwinkel bzw. Z-Winkel) d) (Wechselwinkel bzw. Z-Winkel) Westermann Seite 72 Aufgabe 2 b) c) d) e) f) g) h) i)

49 Westermann Seite 72 Aufgabe 4 (Gegenwinkel) (Gegenwinkel) (Nebenwinkel) (Z-Winkel) (Gegenwinkel) (Innenwinkelsumme Dreieck) (Gegenwinkel) (Nebenwinkel) (Gegenwinkel) (F-Winkel) (F-Winkel)

50 Westermann Seite 72 Aufgabe 5 (Nebenwinkel) (F-Winkel) (Gegenwinkel) (Gegenwinkel) (Nebenwinkel) b) (F-Winkel) (Nebenwinkel) c) (Z-Winkel) (F-Winkel) (Nebenwinkel) (Nebenwinkel)

51 Westermann Seite 72 Aufgabe 6 b), denn der Nebenwinkel zu 68,5 ist kein F-Winkel zu 112,5!, denn der Z-Winkel zu besitzt ebenso ein Maß von 60! c), denn der F-Winkel zu hat ein Maß von!

52 Westermann Seite 76 Aufgabe 7 rechtwinkliges Dreieck; b) gleichschenkliges Dreieck; ; c) rechter Giebel: gleichschenkliges Dreieck mit Westermann Seite 76 Aufgabe 8 Nein, denn zwei stumpfe Winkel haben zusammen ein Winkelmaß. Diese beiden Winkel würden also bereits die Winkelsumme dreier Winkel eines Dreiecks überschreiten! b) Nein, weil die Summe der drei Winkel dann wäre! c) In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Daraus folgt, dass auch die drei Winkel das gleiche Maß haben! Also: Damit gilt: d) Hat der Winkel, der an den beiden gleich langen Schenkeln anliegt, das Maß 68, dann gilt: Die beiden anderen Innenwinkel haben das Maß. Hat einer der beiden gleich großen Winkel das Maß 68, dann gilt: Der Winkel, der an beiden gleich langen Schenkeln anliegt, hat das Maß. Analog gilt für 84 im 1. Fall: 48. Der 2. Fall ist nicht möglich.

53 Westermann Seite 76 Aufgabe 9 b) c) d) e) Es gilt: und Also: Damit gilt: f) Damit gilt:

54 Westermann Seite 76 Aufgabe 10 b) Westermann Seite 77 Aufgabe 1 und b) Außenwinkelsatz Seite 77 Mitte und Arbeitsblatt!!! c) Westermann Seite 77 Aufgabe 1 Berechne mit dem Außenwinkelsatz, wenn möglich! b) c) d) e) f) (Stufenwinkel bzw. F-Winkel)

55 Westermann Seite 78 Aufgabe 1 Summe der Winkel im Viereck b) Summe der Winkel im Viereck Westermann Seite 78 Aufgabe 2 b) Das Viereck ABCD besteht aus zwei Dreiecken. Damit ist die Summe der Innenwinkelmaße 360. ( )

56 Westermann Seite 78 Aufgabe 3 b) c) d) kein Viereck möglich! e) f) kein Viereck möglich! g)

57 Westermann Seite 78 Aufgabe 4 Iris hat 3 Dreiecke in ihr Fünfeck gezeichnet b) Dodo zeichnet in ihr Fünfeck 5 Dreiecke. Anschließend addiert er die Innenwinkel der 5 Dreiecke und subtrahiert die Winkel der Dreiecke, die in der Mitte des Fünfecks liegen (Summe roter Winkel = 360 ) c) Vieleck Summe der Innenwinkelmaße Rechenweg 3-Eck Eck 360 oder 5-Eck Eck Eck Eck 1080 d) n-eck

58 Westermann Seite 79 Aufgabe 1 b) (Nebenwinkel des Z-Winkels) c) (Basiswinkel des gleichschenkligen Trapezes) d) (Drachenviereck) Westermann Seite 79 Aufgabe 2 b) c) Das Rechteck ABCD besteht aus 4 gleichschenkligen Dreiecken =>

59 Westermann Seite 79 Aufgabe 3 b) damit auch: Damit gilt: Die Basiswinkel der gleichschenklichen Dreiecke haben das Maß 45, die Winkel an den Spitzen haben das Maß 90.

60 Westermann Seite 79 Aufgabe 4 b) c)

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