Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe

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1 Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe I. Symmetrie und Grundkonstruktionen Jede Raute hat die Eigenschaften: a, b, d, e, g. 3. Der gesuchte Treffpunkt befindet sich dort, wo die Mittelsenkrechte der Strecke den Fluss trifft. 4. Jedes Trapez hat die Eigenschaften: b, d, e, f. 5. Ohne Lösungsskizze. a) Kontrolle durch Messen: = 159 b) Kontrolle durch Messen: 6,9 c) Individuelle Lösungen. 6. a) (0 5) b) (1,2 2,7)

2 c) Summieren zweier Dreiecksflächen mit gemeinsamer Grundseite und jeweiliger Höhe. Alternativ die Grundseite und die zugehörige Höhe abmessen. Fläche im II.Quadranten: 5 1,7 4,25 Gesamtfläche: 20 Bruchteil: ",# $ = % &$ 7. a) '(0 0), ((1 1), )(2 2) b) *(+,, ) 4,2 c) ' -./0 = ' -./ + ' -/0 = ,5 = 13,5 ' -.40 = 2 ' -./ = = 185 II. Winkelbetrachtungen 8. a) Wäre der 90 -Winkel, dann gälte: 6 = 180 und damit + 6 = 270 > 180, was die Winkelsumme im Dreieck wäre. b) 1) 6 = 90, = 45, 8 = 45. 2) 8 = 90, 6 = 60, = a) Es muss gelten: + 6 < 90. Denn dann gilt: + 6 < 180. b) Es gilt: + 6 > < 8 c) 8 = 180 ( + 6 ) = 180 (2 + 26)

3 10. Alle vier Winkel ergeben 360. D.h. die Größe des einen Winkels beträgt 120. Der gegenüberliegende Winkel ist damit bei einem Parallelogramm ebenfalls 120 groß. Die anderen beiden Winkel müssen dann jeweils 60 groß sein, was möglich ist. 11. a) Nebenwinkel b) Scheitelwinkel c) Wechselwinkel = = 8 = 52 (Scheitelwinkel) 8 = = 128 (Nebenwinkel) > = 180 ( + 8 = ) = 60 (Winkelsumme im Dreieck) 6 = 8 = 52 (Stufenwinkel) 6 = = 6 = 52 (Scheitelwinkel) 6 " = 180 (6 + 6 ) = 27 (gestreckter Winkel)? = > = 60 (Stufenwinkel) oder? = 180 ( + 6 = ) = 60 (Winkelsumme im = 180? = 120 (Nebenwinkel) A = " ) = 33 (Winkelsumme im Dreieck) B = 360 (> + 8 = + 6) = 147 (Winkelsumme im Viereck) oder Nebenwinkel zu A C = 180 (6 + 8 = ) = 27 (Winkelsumme im Dreieck) oder Wechselwinkel zu 6 " D = 180 C = 153 (Nebenwinkel) III. Terme und Termumformungen 13. a) 1-1, ,25 b) -3, , ,5 14. E8,5F G = H 3 = FIJ + 5,5H E4,5F G2 = F + K HIJ = = E8,5F = H + 3 = FJ + 5,5H E4,5F 2 = F K HJ = = 8,5F = H + 3 = F + 5,5H 4,5F + 2 = F + K H = = 3 = F + 2 = F + 5,5H + K H = H = 6F + 5,5H K H = LM + N O P Q 15. a) G = F HI = ( 2F) = H = 2 = FK H = ( 2FH) = = & % FK H = + 8F = H = % = FK H = + 8F = H = = = NN ST ML Q P + OLM P Q P b) (2U + 3V) + (2a 3V) (2a + 3V)(2a 3b) = = 4U UV + 9V 2 + 4U 2 12UV + 9V 2 4U 2 + 9V 2 = YZ S + ST[ S

4 16. a), = 4F 6F 1,5F = PLM P b) ' = 2 (4F 6F + 1,5F 6F + 4F 1,5F) = 2 (24F + 9F + 6F ) = 2 39F = T\M S c),(2,5) = 36 (2,5) = = NLS, N] P '(2,5) = 78 (2,5) = Y\T, N] S 17. a) F + 17 Summe. b) 3^ (^ + 1) Produkt. c) F H (F + H) Differenz. d) (F + F ): 16 Quotient 18. a),(f) = F # F # F + 1,1F # F # F = 2,1F # F # F = O OT SN MP b) = `, = 19,3 a bc d " # (1,5)= = 109,431e Ofgh 19. a) Die beiden weißen Dreiecke kann man zusammensetzen und erhält ein Viertel des Quadrats. Also ist die grüne Fläche f, TNZ S. b) Es ist ein Quadrat mit Seitenlänge 1,5U, also ist es S, SNZ S nachdem 1,5 = 2,25. c) Die beiden grünen Dreiecke lassen sich zu einem Viertel des Quadrats zusammensetzen. Die Fläche des Quadrats beträgt 0,5U, der gesuchte Term ein Viertel davon, also f, OSNZ S. 20. a) (F) = =K =% b) (H) = K # c) = (i) = 0 L N < f < PL PT 21. a) 11F 19 b) 30U 64 c) = U d) a) juhl b) juhl c) munh d) juhl IV. Lösen von Gleichungen 23. a) Addition oder Subtraktion eines Terms oder einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung. Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit einer Zahl ungleich Null oder Division beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich 0. b) F = 1 # oder z.b. F 1 = 2 # 24. a) Gesuchte Zahl: F Gleichung: F = 4.5F + % b) Alter der Mutter: M = S

5 Gleichung: 127 = + + ( 3) + G 2I ] = YS D.h. Alter der Mutter ist 42, des Vaters 45, des jüngeren Kindes 19, des älteren 21. c) Rechtecksbreite: V Gleichung: V 5V + 16 = (V + 2)(5V + 2) D.h. die Breite beträgt 1cm, die Länge 5cm. d) Eine Seite: U, die andere Seite: U + 8,2 Gleichung: 2U + 2 (U + 8,2) = 45,6 [ = O Z = T, Po], [ = ON, No] 25. Am Anfang: Anna hat 2F Chips, Bert hat F Chips. Danach: Anna hat (2F 11) Chips, Bert hat (F + 11) Chips. Gleichung: 2F 11 = F F = 14. Anfangs hatte Berti 11 Chips. 26. a) p = q 7 K r b) p = q2 r c) p = s16t % = d) p = s t e) p = q 1 # r f) p = s0t K 27. F = u Setzt man F = 0 ein, ergibt sich: 6 = 60. Das ist falsch, weshalb F = 0 keine Lösung ist. 28. a) F + 0,5F + 31 = F + F + 25,5 M = OO b) U = v = + v = + 39 Z = OOT c) * + 14 = 39 w = N 29. F F 3F = 24 = F = 2. Der Quader ist also 6 lang, 2 breit und 2 hoch. ' = 2 ( ) = NLo] S

6 V. Daten, Diagramme und Prozentrechnung 30. a) Jahr Absoluter Zuwachs Relativer Zuwachs 14,3% 6,3% 5,9% 11,1% -20,0% b) 20,0 10,0 0,0-10, ,0-30,0 31. Preis am Anfang: F Preis nach der Preissteigerung: 1,5F Preis nach der Preissenkung: 1,2F Senkung in %: $,=y,#y = = # = Sf% 32. a) Mittelwert: 51: 6 = 8,5 > 8, also muss die zweite Kasse besetzt werden. b) Woche Abweichung 17,6% -17,6% 52,3% 5,9% -17,6% -41,2% 33. Zinsertrag: 0, ,5 = a) Preis im Januar: 1, = Preis im August: 0, = b) $K" =#$$$ 3%. Die Neuwagen waren im August ca. 3% teurer als im Dezember des Vorjahrs.

7 VI. Kongruenz und Dreieckskonstruktionen 35. ) ( 7 1) 36. (} ~}( (} = (} ( = }~ '(} = (}) Dreiecke sind kongruent wegen SWS-Satz 37. Kontrolle durch Messung: a) juhl b) juhl c) juhl d) munh 39. a) Zeichne die Strecke (). Trage in C einen 70 -Winkel an. Trage am freien Schenkel 7cm an und erhalte '. Verbinde die Punkte ' und (. Fläche ' = 7 6,6 = 23,1

8 b) Zeichne die Strecke U = (). Zeichne um ( und ) jeweils einen Kreis mit Radius 7 und erhalte den Schnittpunkt ). Verbinde die Punkte. Fläche ' = 7 6,1 = 21,35 c) Zeichne die Strecke = '(. Zeichne einen Kreis um ( mit Radius U = 4,8. Trage an c einen 36 -Winkel an. Der Schnitt des freien Schenkels mit dem Kreis ist ). Fläche ' = 4,8 2,8 = 6,7

9 40. a) Das Dreieck ist nicht konstruierbar, da sich kein Schnittpunkt ergibt. b) Das Dreieck ist zwar konstruierbar, jedoch nicht eindeutig, da der gegebene Winkel nicht der größeren Seite gegenüberliegt. 41. Konstruierbar sind 360, 180, 90, 60, mit Mittelsenkrechte auf Gerade, 60 mit Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks. Daraus (nur jeweils Lösungsalternativen): a) = oder = oder = 90 + K$ 6 = 60 + K$ " oder 6 = oder 6 = b) 330 : 60 -Winkel konstruieren und halbieren ergibt 30. Damit hat man den 330 -Winkel. 22,5 : 90 -Winkel zweimal halbieren. 225 : 90 -Winkel konstruieren und halbieren und an einen gestreckten Winkel antragen. 42. Maßstab 1:25000, d.h.: 1,5 = ,5 10 Zeichne (z.b.) die Strecke '(. Zeichne einen Kreis um A mit Radius ') Zeichne einen Kreis um B mit Radius () Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist ).

10 43. Skizze: Wie in der Skizze rechts dargestellt gilt: ') = '}( = ƒ )( = }() = ƒ (Stufenwinkel) (Wechselwinkel) Im Dreieck BCD sind zwei Winkel gleich groß. Dreieck BCD ist gleichschenklig. 44. Mit Winkelsumme im Dreieck gilt: 2 ( ) + 8 = = 52, = 6 = '( ist Durchmesser eines Thaleskreises um. Deshalb ((8 6) und )(7 7) Mit falschem Umlaufsinn gäbe es auch noch ) (7 1).

11 46. (ohne Planfigur). Idee: Ich zeichne die Strecke () an die ich den 60 -Winkel antrage. Auf dem freien Schenkel muss ' liegen. Nun muss ich noch den Umkreismittelpunkt finden, um mit Hilfe des Umkreises dann ' genau zu bestimmen. Dazu konstruiere ich die Mittelsenkrechte zu () und schneide sie mit einem Kreis um ' mit Radius 4, Der Flächeninhalt beträgt etwa 44,3.

12 48. (Jeweils ohne Planfigur) a) Zeichne einen Winkel von 52 mit Scheitel ) und halbiere diesen. Ziehe einen Kreis um ) mit Radius l = 6 und erhalte. Errichte in ein Lot auf die Winkelhalbierende. Die beiden Schnittpunkte mit den Schenkeln von 8 sind ' und (. b) Zeichne die Strecke () = 6,5. Trage in ( den Winkel 6 = 70 an. Zeichne/Konstruiere eine Parallele zu () im Abstand 4,5. Der Schnittpunkt des freien Schenkels mit der Parallelen ist '.

13 c) Zeichne die Strecke '( = 7,8. Trage in ' den Winkel = 25 an. Da l = b liegt der Umkreismittelpunkt auf. Zeichne einen Kreis um mit Radius l = 3,9. Der Schnittpunkt des freien Schenkels mit der Kreislinie ist ). 49. (Jeweils ohne Planfigur.) a) Da alle Seiten gleich lang sind muss das Viereck eine Raute sein. Da außerdem die Diagonalen gleich lang sind ist es ein Quadrat. Also beginnt man mit einer Diagonalen der Länge 6, konstruiert die Mittelsenkrechte, zieht einen Kreis um mit Radius 3 und hat alle vier Eckpunkte.

14 b) Da jeweils zwei benachbarte Winkel gleich groß sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges bzw. achsensymmetrisches Trapez. Also beginnt man mit der Seite U = 5,1 und trägt an beiden Endpunkten jeweils einen Winkel von 70 an. Anschließend zieht man um ' und ( jeweils einen Kreis mit Radius l = 4,1 und erhält ) und }. c) Da U = und + 6 = 180, handelt es sich um ein Parallelogramm. Also beginnt man mit der Seite U = 6 und trägt an den Endpunkten ' bzw. ( die Winkel = 100 bzw. 6 = 80 an. Anschließend zieht man um ' und ( jeweils einen Kreis mit Radius l = 3 und erhält ) und }. 50. a) munh b) juhl c) juhl d) juhl e) juhl

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