Stoffübersicht Mathematik. 1. Grundlagen der Algebra. Zahlenmengen

Transkript

1 Stoffübersicht Mathematik Diese Stoffübersicht ist in drei Hauptteile gegliedert: 1. Grundlagen der Algebra (Zahlenmengen, Rechenarten, Rechengesetze); 2. Gleichungen; 3. Geometrie; 4. Darstellung, Kombinatorik und Beziehungen zwischen Größen Quellen: Unterricht am Thomas-Mann-Gymnasium München in den Klassen 5c (2003/04), 6c (2004/05), 7c (2005/06); delta Mathematik für Gymnasien (hrsg. von Ulrike Schätz und Franz Eisentraut) 1. Grundlagen der Algebra Zahlenmengen Die wichtigen Zahlenmengen (jeweils größer) Natürliche Zahlen N: N = {1; 2; 3; 4;...}, N 0 = {0; 1; 2; 3;...} Die natürlichen Zahlen sind die Menge aller positiven ganzen Zahlen. Ganze Zahlen Z: Z = {... -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;...} Die ganzen Zahlen sind die Menge der positiven ganzen Zahlen, der 0 und die Menge der negativen ganzen Zahlen. Rationale Zahlen Q: Die rationalen Zahlen sind die Menge aller Zahlen, die sich durch Brüche + darstellen lassen. Teilmengen von Q sind: Q 0 (positive rationale Zahlen und Null); Q- (negative rationale Zahlen); Q \ {0} (rationale Zahlen ohne Null); Für Terme in Q gelten dieselben Rechengesetze wie bei der Menge der ganzen Zahlen Weitere Zahlenmengen (Beispiele) Quadratzahlen: {1; 4; 9; 16;...} Sie entstehen, wenn man eine Zahl im Quadrat nimmt Primzahlen: {2; 3; 5; 7;...} Primzahlen sind Zahlen, die genau 2 Teiler haben (=> 1 ist keine Primzahl) Stufenzahlen: Stufenzahlen des Zehnersystems = {1; 10; 100; 1000;...} Rechnen mit Termen - Grundlagen Die Rechenarten Allgemein: Jedes Termglied (Summand, Subtrahend, Faktor etc.) kann aus einer Zahl, aus einem Buchstaben oder aus einem weiteren Term (eventuell in Klammern) bestehen. Addition: 1. Summand + 2. Summand (auch weitere Summanden möglich) = Summe(-nwert) Additionen gleicher Summanden lassen sich auch als Multiplikation darstellen: = 4 5 = 20 Subtraktion: Minuend Subtrahend = Differenz(-wert); Die Subtraktion kann man als Summe eines positiven und eines negativen Summanden sehen. Multiplikation: 1. Faktor 2. Faktor (auch weitere Faktoren möglich) = Produkt(-wert); Das Mal -Zeichen kann zwischen Klammer Klammer, Zahl Klammer, Zahl Buchstabe, Buchstabe Klammer etc. weggelassen werden, bei Zahl Zahl muss er jedoch geschrieben werden. Besondere Produkte: Ist einer der Faktoren 0, so ist das Produkt immer 0. Ist einer der Faktoren 1, so ist das Produkt gleich den anderen Faktoren. Faktor 1 kann man weglassen. Ist ein Faktor - 1, so ist das Produkt die Gegenzahl (siehe weiter unten: weitere Grundbegriffe zum Rechnen mit Termen Betrag) der anderen Faktoren bzw. ein Vorzeichen eines anderen Faktors wird verkehrt. 1

2 Produkte gleicher Faktoren lassen sich auch als Potenzen darstellen: = 5³ = 125 (siehe weiter unten (Potenz)) Division: Dividend : Divisor = Quotient(-enwert); Quotienten lassen sich auch als Brüche darstellen. Besondere Quotienten: Wird eine Zahl durch 1 geteilt, so bleibt sie gleich. (a : 1 = a) Ist der Dividend gleich dem Divisor, ist der Quotientenwert 1. Ist der Dividend 0, ist der Quotientenwert ebenfalls 0. Für Divisionen, bei denen der Divisor 0 ist, ist der Quotientenwert mathematisch nicht definiert. Brüche: Brüche sind eine in vielen Fällen nützliche Schreibweise für Quotienten. (siehe weiter unten) Potenz: Beispiel 2 5 : = 2 5 zwei hoch fünf = 32; Bei 2 5 : 2 5 ist die Potenz, 2 ist die Basis und 5 der Exponent (Hochzahl) Besondere Potenzen: Ist der Exponent 0, ist der Potenzwert immer 1. (a 0 = 1) Ist der Exponent 1, so ist der Potenzwert gleich der Basis. (a 1 = a) Ist der Exponent 2, so spricht man z.b. bei (im) Quadrat. Ist die Basis 10, liegt eine sogenannte Zehnerpotenz vor. Dabei ist der Exponent gleich der Anzahl der Nullen des Potenzwertes. (10 5 = ) Rechengesetze Für Terme (und Gleichungen) gelten folgende Rechengesetze: Kommutativgesetz: Summanden und Faktoren lassen sich vertauschen. a + b = b + a; a b = b a Assoziativgesetz: Klammern lassen sich auflösen, falls sie ausschließlich Summen oder ausschließlich Produkte beinhalten: a + (b + c) = a + b + c; a (b c) = a b c; Bei Subtraktionen werden alle Vorzeichen in der Klammer verkehrt: a (b + c) = a (-b) c = a + b c KLAPPS -Regel: Reihenfolge der Termausrechnung: innerste KLAmmer vor Potenz vor Punkt vor Strich Distributivgesetz (ausmultiplizieren und ausklammern): Liegt eine Multiplikation oder Division mit einer/mehreren Klammer(n) vor, die eine/mehrere Addition(en) beinhaltet, lässt sich die Klammer auflösen, d. h. ausmultiplizieren (?): a (b + c) = ab + ac; a (b c) = ab ac; (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd; (a b) (c d) = ac ad bc + bd (aus minus mal minus wird plus); Dies alles kann man natürlich auch umkehren. Besitzen Summanden eines Terms alle den gleichen 1. Faktor, lässt sich dieser vor eine Klammer schreiben und alle 2. Faktoren in die Klammer, d. h. ausklammern (?): 2a + 2b + 2c = 2 (a + b + c); 2a 2b 2c = 2 (a b c); 2a + 3a + 4a = a (2+3+4) = a 9 = 9a; oft muss man die Faktoren zerlegen, um ausklammern (?) zu können: 2a + 4b + 10c = 2a + 2 2b + 2 5c = 2(a + 2b + 5c) weitere Grundbegriffe zum Rechnen mit Termen Betrag: Der Betrag der Zahl ist sein Abstand zur 0, z. B. der Betrag von -4 ist gleich dem Betrag von +4. Man stellt Beträge mit Hilfe von Betragsstrichen dar: -4 = 4 = 4; allgemein a = -a ; Zahlen mit dem gleichen Betrag und unterschiedlichen Vorzeichen (z. B. a und -a; 4 und 4) nennt man Gegenzahlen. Kehrwert eines Bruchs: Siehe Brüche Spezielle Brüche Koeffizienten Brüche und Dezimalzahlen Form eines Bruchs: a/b = a : b; Ein Bruch besteht aus Zähler (in diesem Fall a) und Nenner (b). Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das ganze zerlegt wird und der Zähler, wie viele solche Teile vorliegen. Man kann jede rationale Zahl als Bruch, aber auch als Dezimalzahl schreiben. 2

3 Spezielle Brüche: Stammbrüche: Ein Bruch ist ein Stammbruch, wenn der Zähler 1 ist. Echte Brüche: Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner. Unechte Brüche: Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. Diese kann man als gemischte Zahlen schreiben: 7/5 = 1 2/5; Vorsicht: 1 2/5 = 1 + 2/5 = 7/5 und nicht 1 2/5 = 1 2/5 = 2/5 Scheinbruch: Ein Bruch ist ein Scheinbruch, wenn man ihn auch als normale Zahl (ohne Dezimalstellen) schreiben kann: 0/8 = 0; 8/4 = 2; 100/20 = 5; 5/1 = 5 : 1 = 5; Ist der Nenner gleich 1, kann man ihn weglassen und der Zähler ist eine ganze Zahl. Kehrwert eines Bruchs: Vertauscht man Zähler und Nenner, hat man den Kehrwert des Bruchs. b/a ist der Kehrwert von a/b Gleichwertige Brüche: Da verschiedene Quotienten die gleichen Ergebnisse haben können (z.b. 10 : 2 = 5; 25 : 5 = 5), können auch verschiedene Brüche das gleiche Ergebnis / den gleichen Wert haben. Das heißt, man kann Brüche durch gleichwertige andere Brüche ersetzen. Damit ein Bruch übersichtlich ist, sollten die Zahlen möglichst klein sein, er sollte auf der Grundform sein und nicht mehr kürzer geschrieben werden können. Dieses Kürzerschreiben nennt man Kürzen. Manchmal ist es aber auch nötig, Brüche zu Erweitern, d. h. größere Zahlen zu verwenden. Kürzen und Erweitern von Brüchen: Man formt einen Bruch zu einem gleichwertigen, anderen Bruch um, indem man Zähler und Nenner jeweils einer gleichen Zahl multipliziert bzw. durch sie dividiert. Dabei hilft die Primzahlzerlegung, sodass man die Zahl im Zähler und die Zahl im Nenner jeweils so weit in Faktoren zerlegt, sodass alle Faktoren Primzahlen sind. Aus diesen Faktoren kann man nun zwei gleiche Faktoren im Zähler und Nenner streichen. Beispiel: 72/9 = (9 8) / (3 3) = ( ) / (3 3); Das war die Primzahlzerlegung. Nun wird gekürzt: ( ) / (3 3) = ( ) / 3 = / 1 = = 8; Das geht aber auch schneller: 72/9 = (9 8) / 9 = 8 Addition von Brüchen: Um zwei Brüche addieren zu können, müssen sie den gleichen Nenner haben. Dann kann man die Zähler addieren und den Nenner beibehalten. 5/2 + 3/2 = 8/2 = 4; Bei Brüchen mit verschiedenen Nennern bringen, muss man sie erst durch Kürzen oder Erweitern auf den gleichen Nenner bringen. Diesen Nenner nennt man Hauptnenner. Beispiel: 5/3 + 3/2 = 10/6 + 9/6 = 19/6 Subtraktion von Brüchen: Bei der Subtraktion geht man vor wie bei der Addition, jedoch subtrahiert man die Zähler voneinander, anstatt sie zu addieren. 5/3 3/2 = 10/6 Multiplikation von Brüchen: Brüche werden multipliziert, indem man die beiden Zähler multipliziert und die beiden Nenner multipliziert: a/b c/d = (a c)/(b d); 7/9 81 = 7/9 81/1 = (7 81)/(9 1) = 567/9; man kann auch den Zähler des zweiten Bruchs (hier 81) durch den Nenner des ersten Bruchs dividieren, dies mit dem Zähler des ersten Bruchs multiplizieren und das wiederum durch den Nenner des zweiten Bruchs dividieren. Das empfiehlt sich aber nur dann, wenn der Nenner des zweiten Bruchs 1 ist, d. h. man einen Bruch mit einer normalen Zahl multipliziert: 7/9 81 = 81/9 7 = 9 7 = 63; Hierbei ist es sehr hilfreich, erst zu kürzen, bevor man mit großen Zahlen rechnet. Bei (7 81)/(9 1) kann man beispielsweise bei 81 und 9 kürzen: (7 9)/(1 1) = 63/1 = 63 anstatt zu rechnen (7 81)/(9 1) = 567/9 und erst dann zu kürzen. Ein Endergebnis einer Bruchrechnung wird immer in Grundform angegeben, d. h. vollständig gekürzt, oder in Form einer Dezimalzahl. Dividieren von Brüchen: Brüche werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert: a/b : c/d = a/b d/c = (a d)/(b d) (siehe Multiplikation von Brüchen) Dezimalzahlen die Kommaschreibweise: Brüche kann man auch als Dezimalzahlen schreiben und umgekehrt. Der Vorteil der Kommaschreibweise ist eine bessere Vorstellung. Unter dem Bruch 21/50 kann man sich nicht so viel vorstellen wie unter der Dezimalzahl 0,42. 3

4 Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen: Um einen Bruch in eine (gleichwertige) endliche Dezimalzahl umzuformen, muss der Nenner des Bruchs eine Zehnerstufenzahl sein. Lässt er sich nicht in eine Zehnerstufenzahl erweitern/kürzen, ist die Dezimalzahl periodisch, d. h. unendlich (siehe periodische Dezimalzahlen). Beispiel: Der Bruch 5/8 soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Daher muss der Nenner erst zu einer Zehnerstufenzahl gekürzt oder erweitert werden. Ob ein Nenner auf eine Zahl erweitert werden kann, findet man heraus, indem man die Zahl, auf die er erweitert werden soll, durch den Nenner der Grundform des Bruchs dividiert. Ist das Ergebnis eine ganze Zahl und kein Bruch oder Dezimalzahl, kann man den Nenner auf diese Zahl erweitern, indem man den Bruch mit jenem Ergebnis erweitert. Hierbei erkennt man, dass sich 8 nicht auf 100 erweitern lässt (100/8 = 12,5), jedoch auf 1000 (1000/8 = 125). 5/8 mit 125 erweitert ist 625/1000. Nun kann man den Bruch in eine Dezimalzahl umformen, indem man abliest, wie viele Nullen die Zehnerstufenzahl im Nenner hat. So viele Dezimalstellen (= Kommastellen) hat die Zahl. In diese Kommastellen schreibt man nun die Zahl im Nenner. Füllt er nicht alle Stellen aus, werden die restlichen Nullen direkt hinter das Komma gestellt. 625/1000 = 0, /1000 wäre 0,063. Ist der Bruch eine gemischte Zahl, wird die ganze Zahl vor das Komma gestellt und der Bruch in die Kommastellen. 15 7/10 = 15,7. Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche: Man zählt bei einer Dezimalzahl die Dezimalstellen, auch die Nullen direkt hinter dem Komma. So viele Nullen hat die Zehnerstufenzahl im Nenner des Bruchs. Danach schreibt man die Zahl in den Dezimalstellen in den Zähler des Bruchs. Die Nullen, die direkt hinter dem Komma stehen, werden weggelassen. 0,625 ist also 625/1000; 0,065 = 65/1000. Die Prozentschreibweise: Für Brüche mit dem Nenner 100 gibt es die Prozentschreibweise. Wichtig: 100 % = 1; Beispiel: 14/25 = 56/100 = 56 %. Periodische Dezimalzahlen: Dezimalzahlen, bei denen sich eine Ziffernfolge in den Dezimalstellen immer wiederholt, nennt man periodische Dezimalzahlen. Sie sind unendlich. Um sie schreiben zu können, wird angezeigt, welche Ziffernfolge sich immer wiederholt, d. h. welche die Periode ist. Dazu wird in der Dezimalzahl über die komplette Ziffernfolge, die sich wiederholt, ein Strich gesetzt. Beispiel: 15/22 = 0, = 0,681 (gesprochen: Null Komma sechs Periode acht eins). Umrechnen von periodischen Dezimalzahlen in Brüche: Um mit periodischen Dezimalzahlen rechnen zu können, z. B. 0,681 2, muss man sie zuerst in Brüche umwandeln. Der Nenner von periodischen Dezimalzahlen ist keine Zehnerstufenzahl, sondern eine Zehnerstufenzahl, von der 1 subtrahiert wird außer bei Zahlen, bei denen nur ein Teil der Dezimalstellen periodisch sind. Bei Diesen lässt sich die Zahl vorerst nur in zwei Brüche aufgeteilt in Bruchschreibweise schreiben: Hat eine periodische Zahl n Dezimalstellen, von denen k Stellen nicht periodisch sind, so ist der Zähler des ersten Bruchs die Ziffernfolge der nicht periodischen Dezimalstellen und der Nenner eine Zehnerstufenzahl mit k Nullen. Im Zähler des zweiten Bruchs steht die Ziffernfolge der periodischen Dezimalstellen (d. h. der Periode) und im Nenner eine Zahl mit n-k Neunen und danach k Nullen. Beide Brüche addiert sind gleich der periodischen Dezimalzahl. Diese können dann addiert und gekürzt werden. Beispiel: 0,681 = 6/ /990 = 66/ /110 = 75/110 = 15/22 Nun kann man mit periodischen Dezimalzahlen rechnen: 0,681 2 = 15/22 2 = 30/22 = 15/11 Schriftliches Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen: (Endliche) Dezimalzahlen werden schriftlich addiert/subtrahiert, indem man genauso wie bei der schriftlichen Addition/Subtraktion von natürlichen Zahlen die Zahlen untereinander schreibt. Bei Dezimalzahlen muss man beachten, dass das Komma untereinander steht. Beispiel: 39, ,444 39, 78 4

5 + 183, 444 = 223, 224 Multiplikation von Dezimalzahlen: (Endliche) Dezimalzahlen werden multipliziert, indem man sie wie natürliche Zahlen multipliziert, als hätten sie kein Komma, und danach das Komma so setzt, dass das Ergebnis so viele Dezimalstellen hat, wie beide Faktoren zusammen. Division von Dezimalzahlen: (Endliche) Dezimalzahlen werden schriftlich dividiert, indem man bei Dividend und Divisor das Komma um so viele Stellen nach rechts verschiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Dann wird schriftlich dividiert, als sei kein Komma vorhanden. Sobald man das Komma im Dividenden überschreitet, wird ein Komma im Ergebnis gesetzt. Rechnen mit Variablen Terme Variable: Eine Variable ist eine veränderliche Größe. Grundmenge: Die Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden dürfen, bilden zusammen die Grundmenge G. Termwert: Wird in einen Term eine Zahl aus der Grundmenge eingesetzt, lässt sich der zugehörige Termwert berechnen. Äquivalenz: Zwei Terme mit Variablen heißen äquivalent, wenn bei jeder möglichen Einsetzung für die Variablen stets beide Terme den gleichen Wert haben. Man kann einen Term mit Hilfe von Rechengesetzen in einen anderen, ihm äquivalenten Term umformen. Addition und Subtraktion: Gleichartige Glieder (z. B. 7x + 9x) werden addiert/subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten addiert/subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält: 7x + 9x = 16x Auflösen von Klammern bei der Addition und Subtraktion: Man kann Klammern, wie z. B. 5x + (6x + 3x) auflösen, indem man die Klammer weglässt, ohne dass sich der Wert des Terms ändert. Steht vor der Klammer jedoch ein Minuszeichen (5x (6x + 3x 2x), so wird beim Auflösen der Klammer jedes Pluszeichen zu einem Minus und jedes Minuszeichen zu einem Plus, d. h. der ganze Klammerinhalt wird (-1) genommen. (5x (6x + 3x 2x) = 5x 6x 3x + 2x = -2x Multiplikation und Division: Man multipliziert/dividiert ein Produkt mit einer Zahl, indem man nur einen der Faktoren mit/durch diese(r) Zahl multipliziert/dividert. 12x 2 = 24x; 12x : 2 = 6x; Multiplikation von Summen und Differenzen: Möchte man eine Summe oder eine Differenz, z. B x, mit einer Zahl oder einem Buchstaben multiplizieren/divideren, z. B. mit 2 multiplizieren, so setzt man den Term, in dem die Summe/Differenz steht, in Klammern, und verbindet den anderen Faktor mit einem bzw. einem : nach der Klammer: (12 + 4x) 2. Diese Klammer löst man nun auf, indem man sie ausmultipliziert. Möchte man dividieren und nicht multiplizieren, so multipliziert man mit dem Kehrwert: (12 + 4x) : 2 = (12 + 4x) 1/2 und multipliziert dann aus. Ausmultiplizieren von Klammern: Man multipliziert eine Summe/Differenz mit einer Summe/Differenz, indem man jedes Glied der ersten Summe/Differenz mit jedem Glied der zweiten Summe multipliziert. Dabei müssen die Vor- und Rechenzeichen beachtet werden. Die Teilprodukte können dann addiert werden. Beispiel: (2x + 5) (3x 7) = 6x 2 14x + 15x 35 = 6x 2 + x 35 Ausklammern: Durch Ausklammern eines (gemeinsamen) Faktors wird aus einer Summe/Differenz ein Produkt. 2x + 2y = 2 (x + y); 2x + 5x = x (2 + 5) = x 7 = 7x: 2abx + 6abc = 2ab (x + 3c). Hier könnte der Malpunkt zwischen Klammer und Buchstabe/Zahl auch weggelassen werden. 5

6 2. Gleichungen Lineare Gleichungen Gleichung: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, verbunden durch ein Gleichheitszeichen (=). Wenn man für die Variablen einer Gleichung konkrete Zahlen einsetzt, kann eine wahre oder eine falsche Aussage entstehen. Durch Umformen der Gleichung kann man herausfinden, welche Zahlen für die Variable eingesetzt werden können, damit eine wahre Aussage entsteht. (siehe Lösungsmenge) Grundmenge: Die Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden dürfen, bilden zusammen die Grundmenge G. Lösungsmenge: Alle Zahlen aus der Grundmenge, die bewirken, dass, wenn sie für die Variablen eingesetzt werden, die Gleichung eine wahre Aussage liefert, bilden die Lösungsmenge L. (L G (L ist eine Teilmenge von G)) Gibt es keine Zahl aus der Grundmenge, die die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, ist die Lösungsmenge eine leere Menge, geschrieben {}. Umformungen: Man kann Gleichungen umformen, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert, indem man - auf beiden Seiten dieselbe Zahl / denselben Term addiert/subtrahiert. - beide Seiten mit derselben, von Null verschiedenen, Zahl/Term multipliziert / beide Seiten durch dieselbe (von Null verschiedenen) Zahl/Term dividiert. Man kann diese Umformungen hinter einen hinter die Gleichung schreiben, bevor man sie ausführt. Beispiel: Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung 4x 5 = 2; G = Q? 4x 5 = x = x = 7 :4 x = 7 : 4 x = 1,75 Q L = {1,75} Probe: 4x 5 = 2 4 1,75 5 = = 2 2 = 2 6

7 3. Geometrie Punkt, Gerade und Winkel Punkt und Gerade Punkte: Ein Punkt wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel Punkt P. Geraden: Eine Gerade hat keine Enden, sie ist unendlich. Sie verläuft aber konstant gerade. Sie ist durch mindestens zwei Punkte, durch die sie verläuft, definiert. Eine Gerade wird entweder durch einen Kleinbuchstaben, zum Beispiel Gerade g, oder durch zwei Punkte, durch die sie verläuft, bezeichnet: Gerade AB. Strecken: Eine Strecke ist die kürzeste/direkte Verbindung zwischen zwei Punkten. Sie endet an den beiden Punkten. Sie wird durch die beiden Punkte, an denen sie endet, bezeichnet: Strecke [AB]. Die Länge von Strecken kann gemessen werden. Ein Strich über dem AB bedeutet, dass die Länge der Strecke gemeint ist. Beispiel: AB = 6 cm Halbgerade: Eine Halbgerade (auch Strahl genannt) hat nur ein Ende. Sie wird nach dem Punkt, in dem sie anfängt, und dem Punkt, durch den sie verläuft, bezeichnet: Halbgerade [AB. Abstand: Der Abstand z.b. von einem Punkt zu einer Gerade heißt d. Schreibweise: d(e;s) =... der Abstand von E zu s beträgt... Kreise: Ein Kreis wird definiert durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius. Alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Diesen Abstand nennt man Radius. Der doppelte Radius, 2r, wird auch Durchmesser bezeichnet. Der Durchmesser ist eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. d = 2r Parallel: Haben zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken an jedem Punkt den gleichen Abstand zueinander, so sind sie parallel. Parallelen scheiden sich in keinem Punkt. Schreibweise s und t sind zueinander parallel : s t Senkrecht: Bilden zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken an ihrem Schnittpunkt einen rechten Winkel, so liegen sie senkrecht aufeinander. Schreibweise q und t stehen aufeinander senkrecht : q t Winkel Winkel: Zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken, die sich schneiden, bilden an ihrem Schnittpunkt Winkel. Größe von Winkeln: Die Größe jedes Winkels kann in (Grad) angegeben werden. Umso kleiner (spitzer) ein Winkel, desto weniger Grad ist er groß. Messen von Winkeln: Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Arten von Winkeln: Spitz: Unter einem spitzen Winkel versteht man einen Winkel, der kleiner als 90 und größer als 0 ist. Rechter Winkel: Ein Winkel, der genau 90 groß ist, nennt man rechten Winkel. Stumpf: Ein Winkel, der größer als 90, aber kleiner als 180 ist, ist ein stumpfer Winkel. Gestreckt: Ist ein Winkel genau 180 groß, ist er gestreckt. Überstumpf: Ist er größer als 180 und kleiner als 360, ist er überstumpf. Vollwinkel: Ein Winkel, der genau 360 groß ist, ist ein Vollwinkel. Bezeichnungen für Winkel: Winkel werden oft mit griechischen Buchstaben bezeichnet (z.b. α (alpha), β (beta), γ (gamma)) oder durch Punkte, durch die die Geraden/Strecken verlaufen: Winkel ABC bedeutet z.b. der Winkel zweier Strecken, von denen die erste Strecke durch B und A verläuft und die zweite durch B und C. Die Geraden schneiden sich hier in B. Winkel werden auch oft mit dem Zeichen gekennzeichnet. Beziehungen zwischen Winkeln: 7

8 Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Die Winkel, die sich gegenüberliegen, bilden Scheitelwinkelpaare. Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Die Winkel, die nebeneinander liegen, bilden Nebenwinkelpaare. Ein Nebenwinkelpaar ist immer 180 groß. Wenn man den einen Nebenwinkel α kennt, kann man mit 180 α die Größe des anderen Winkels herausfinden. Liegen zwei Geraden parallel und schneidet eine dritte Gerade beide, so entstehen an jedem Schnittpunkt je vier Winkel. Von den Größen der Winkel beim ersten Schnittpunkt lassen sich Schlüsse auf die Größe der Winkel ziehen. In der obigen Zeichnung sind δ und α gleich groß. Sie sind Stufenwinkel (bildlich: F-Winkel). Genauso sind β und γ gleich groß. Zudem sind auch φ und γ gleich groß. Sie sind Wechselwinkel (bildlich: Z-Winkel). Genauso sind δ und ε gleich groß. Winkelsumme: Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180. Im Viereck beträgt sie 360. Im n-eck beträgt sie (n-2) 180. Figuren Hinweis: In dieser Stoffübersicht werden Figuren als Oberbegriff für Flächen und Körper verwendet. Figuren wird außerhalb der Stoffübersicht jedoch auch oft als Begriff für Flächen verwendet, insbesondere ebene Figuren. Flächen Einleitung: Flächen sind zweidimensionale Figuren. Sie haben keinen Rauminhalt, jedoch kann man den Flächeninhalt und die Umfangslänge berechnen. Näheres zur Symmetrie von Vierecken in Symmetrie Zusammenhänge zwischen symmetrischen Vierecken. Flächeninhalt: Die Größe dieser Fläche heißt Flächeninhalt. Den Flächeninhalt einer Figur misst man durch aufteilen der Fläche in Formen, von denen man den Flächeninhalt leicht berechnen kann. Solche sind z. B. Dreieck und Rechteck. Den Flächeninhalt bezeichnet man oft mit dem Buchstaben A, z. B. den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD: A ABCD = Umfangslänge: Die Umfangslänge einer Fläche ist die Summe der Länge aller Strecken, aus denen er besteht. Rechteck: Ein Rechteck ist eine Fläche, die von vier Seiten begrenzt wird und deren vier Innenwinkel jeweils 90 groß sind. Das Rechteck ist ein Viereck. Zwei gegenüberliegende Seiten sind jeweils gleich lang (Länge und Breite). Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen (-> achsensymmetrisch; sie verlaufen jeweils in der Mitte der Breite bzw. in der Mitte der Länge und parallel zur Länge bzw. parallel zur Breite) und ein Symmetriezentrum (punktsymmetrisch). Die beiden Symmetrieachsen schneiden sich zudem im Symmetriezentrum (Mitte des Rechtecks). 8

9 Flächeninhalt eines Rechtecks: A Rechteck = l b (Länge mal Breite) Umfangslänge eines Rechtecks: U Rechteck = 2l + 2b = 2(l+b) (2 mal die Länge der ersten Seite (Länge) und 2 mal die Länge der zweiten Seite (Breite)) Quadrat: Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem Länge und Breite gleich lang sind, d. h. alle vier Seiten sind gleich lang. Diese Seite nennt man oft a. Die Innenwinkel sind alle 90 groß, genauso wie im Rechteck. Das Quadrat besitzt zusätzlich zu den Symmetrieachsen des Rechtecks diagonale Symmetrieachsen. Sie schneiden sich ebenfalls im Symmetriezentrum, das beim Quadrat auch in der Mitte liegt. Flächeninhalt eines Quadrats: A Quadrat = a 2 (Seite im Quadrat) Umfangslänge eines Quadrats: U Quadrat = 4a (4 mal die Länge der Seite) Parallelogramm: Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die beiden gegenüberliegen Seiten jeweils parallel und gleich lang sind. Die Innenwinkel müssen jedoch nicht 90 groß sein, was den Unterschied zum Rechteck ausmacht. Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Die Distanz von zwei parallelen Seiten zueinander nennt man Höhe. Flächeninhalt eines Parallelogramms: A Parallelogramm = g h (g ist eine Seite, h die dazugehörige Höhe) Dreieck: Ein Dreieck ist eine Fläche, die von drei Punkten (die nicht auf einer Geraden liegen) und den Strecken zwischen den Punkten begrenzt wird. Der Abstand von einer Seite zum gegenüberliegenden Punkt nennt man Höhe (sie liegt senkrecht auf der Seite). Näheres zu Dreiecken in Besondere Dreiecke (weiter unten)) Flächeninhalt eines Dreiecks: A Dreieck = ½ g h; oder: A Dreieck = (g h)/2 (-> 1/2 mal Grundlinie mal Höhe = Grundlinie mal Höhe geteilt durch 2) Trapez: Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem ein Paar von gegenüberliegenden Seiten parallel liegen. Sie müssen nicht gleich groß sein. Die größere Seite nennt man im Allgemeinen Basis (oft mit dem Buchstaben a). Der Abstand zwischen den parallelen Seiten nennt man Höhe (oft h). Die beiden übrig bleibenden Seiten nennt man Schenkel. Sind sie gleich lang und haben den gleichen Basiswinkel (der Winkel zwischen Schenkel und Basis), liegt ein gleichschenkliges Trapez vor. Ein gleichschenkliges Trapez hat eine Symmetrieachse, die die Basis senkrecht halbiert. Flächeninhalt eines Trapezes (zwei parallele Seiten a und c mit dem Abstand h): A Trapez = ½ (a + c) h Kreis: Alle Punkte einer Kreislinie haben den selben Abstand zum Mittelpunkt. Diesen Abstand nennt man Radius. Der doppelte Radius, d. h. die längstmögliche Strecke innerhalb des Kreises nennt man Durchmesser, weil er den kompletten Kreis durchmisst. Für die Berechnung des Flächeninhalts sowie der Umfangslänge verwendet man die Kreiszahl π (gesprochen: Pi), eine Konstante. Sie ist keine rationale Zahl. Flächeninhalt eines Kreises: A Kreis = r 2 π (Die Länge des Radius im Quadrat mal Pi ( 3,14 oder 22/7); π Q) Umfangslänge eines Kreises: U Kreis = 2 r π (2 mal die Länge des Radius mal Pi ( 3,14 oder 22/7); π Q) Körper Einleitung: Körper sind dreidimensionale Figuren. Sie haben einen Rauminhalt, den man berechnen kann (Volumen). Außerdem kann man den Oberflächeninhalt berechnen. Oberflächeninhalt: Alle Flächen, die einen geometrischen Körper begrenzen, bilden zusammen eine Oberfläche. Der Flächeninhalt aller dieser Flächen bilden zusammen den Oberflächeninhalt. Er ist die Summe aller Flächeninhalte der Oberflächen. Für den Oberflächeninhalt verwendet man oft A oder O. Volumen = Rauminhalt eines Körpers. Für das Volumen verwendet man oft V. Quader: Quader sind Körper, der aus sechs Flächen besteht, von denen gegenüberliegende 9

10 Paare jeweils gleich groß sind. Alle Flächen sind Rechtecke; die Rechtecke stehen mit rechten Winkeln zueinander. Volumen eines Quaders: V Quader = l b h (Länge mal Breite mal Höhe) Oberflächeninhalt eines Quaders: A Quader = 2 l b + 2 b h + 2 l h = 2 (l b + b h + l h) Würfel: Ein Würfel ist ein Quader, dessen alle Flächen Quadrate sind. Alle Flächen sind somit gleich groß, haben die gleiche Form und stehen mit rechten Winkeln zueinander. Volumen eines Würfels: V Würfel = a a a = a 3 (Seite hoch 3) Oberflächeninhalt eines Würfels: A Quader = 6 s 2 Prisma: Ein Prisma ist ein Körper, der ein Vieleck als Grund- und Deckfläche hat (Grund- und Deckfläche sind gleich, sowohl von Form als auch Größe; sie liegen parallel zueinander), die von Seitenflächen verbunden werden. Liegen Grund- und Deckfläche deckungsgleich übereinander, nennt man es gerades Prisma und alle Seitenflächen sind Rechtecke. Oberflächeninhalt eines Prismas: A Prisma = Grundfläche + Deckfläche + Mantelfläche = 2 Grundfläche + Mantelfläche = 2 Grundfläche + Umfang der Grundfläche Höhe = 2 G + u h (Kreis-)Zylinder: Ein Zylinder ist ein Körper, der einen Kreis als Grund- und Deckfläche hat (Grund- und Deckfläche sind gleich, sowohl von Form als auch Größe; sie liegen parallel zueinander), die einem Mantel verbunden werden. Liegen Grund- und Deckfläche deckungsgleich übereinander, nennt man ihn geraden Zylinder. Ein Zylinder besitzt unendlich viele Mantellinien. (da auf einem Kreis unendlich viele Punkte liegen) Pyramide: Verbindet man die Ecken eines n-ecks mit einem Punkt S außerhalb der n- Ecksebene durch Strecken, entsteht eine n-seitige Pyramide. Die Höhe der Pyramide ist die Lotstrecke von der Pyramidenspitze auf die Grundebene. Der (Kreis-)Kegel: Verbindet man jeden Punkt des Umfangs eines Kreises (Grundfläche) mit einem Punkt (Spitze) außerhalb der Kreisebene durch Strecken (Mantellinien), so entsteht ein Kreiskegel. Liegt die Spitze senkrecht über dem Kreismittelpunkt, so entsteht ein gerader Kreiskegel. Symmetrie Achsensymmetrie: Eine Figur, die man so falten kann, dass ihre beiden Teile genau aufeinander passen, nennt man achsensymmetrisch. Die Faltlinie nennt man Symmetrieachse. Eigenschaften von achsensymmetrischen Figuren: Zwei zueinander symmetrische Punkte/Geraden/Figuren sind gleich weit von der Symmetrieachse entfernt. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte von zwei zueinander symmetrischen Punkten. Die Hälfte des Abstandes von zwei zueinander symmetrischen Punkten ist der Abstand der Punkte zur Symmetrieachse. Die Verbindungsstrecke zweier symmetrischer Punkte wird von der Symmetrieachse halbiert. Der Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke mit der Symmetrieachse hat einen rechten Winkel. Symmetrisch liegende Strecken sind stets gleich lang. Symmetrisch liegende Winkel sind stets gleich groß (Achtung: Drehsinn ist entegegengesetzt!). Symmetrisch liegende Geraden schneiden einander auf der Symmetrieachse, wenn sie nicht parallel zu ihr sind. Jeder Punkt auf der Symmetrieachse ist zu sich selbst symmetrisch, man nennt sie Fixpunkte. Man nennt den zu A symmetrischen Punkt oft A' (A Strich), die zu g symmetrische Gerade g'. Punktsymmetrie: Eine Figur, die bei einer Drehung um einen Punkt Z (Symmetriezentrum) mit sich selbst zur Deckung kommt, nennt man punktsymmetrisch. Eigenschaften von punktsymmetrischen Figuren: Zueinander punktsymmetrische Strecken sind gleich lang und zueinander parallel. Zueinander punktsymmetrische Winkel sind gleich groß und haben den gleichen Drehsinn. Die Verbindungsstrecke zueinander symmetrischer Punkte wird vom Symmetriezentrum halbiert. Zusammenhänge zwischen symmetrischen Vierecken: Das Drachenviereck ist diagonalsymmetrisch, das Parallelogramm punktsymmetrisch, das gleichschenklige Trapez 10

11 mittensymmetrisch. Die Raute hat sowohl die Eigenschaften des Drachenviereckes als auch des Parallelogramms, aber nicht die des gleichschenkligen Trapezes, es ist sowohl diagonalsymmetrisch als auch punktsymmetrisch, aber nicht mittensymmetrisch.. Das Rechteck hat auch sowohl die Eigenschaften des Parallelogramms als auch des gleichschenkliges Trapezes, aber nicht die des Drachenviereckes, es ist sowohl punktsymmetrisch als auch mittensymmetrisch, aber nicht diagonalsymmetrisch. Das Quadrat hat alle drei Eigenschaften, es ist sowohl diagonalsymmetrisch als auch punktsymmetrisch als auch mittensymmetrisch. Besondere Dreiecke Gleichschenklige Dreiecke: Dreiecke mit einer Symmetrieachse heißen gleichschenklig. Eigenschaften: Zwei Seiten sind gleich lang, man nennt sie Schenkel. Die der Basis (die Seite, die nicht gleich lang ist wie eine andere Seite) anliegenden Winkel heißen Basiswinkel und sind gleich groß. Die Symmetrieachse halbiert den Winkel an der Spitze (der Punkt, wo sich die beiden Schenkel treffen) und halbiert die Basis rechtwinklig. Gleichseitige Dreiecke: Dreiecke, deren Seiten alle gleich lang sind, heißen gleichseitig. Eigenschaften: Jeder Innenwinkel ist 60 groß. Jedes gleichseitige Dreieck besitzt drei Symmetrieachsen, diese halbieren die Innenwinkel und halbieren die Dreiecksseiten rechtwinklig. Rechtwinklige Dreiecke: Dreiecke, bei denen ein Innenwinkel 90 misst, heißen rechtwinklig. Dabei nennt man die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, Katheten, und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse. Eigenschaften von rechtwinkligen Dreiecken: Der Scheitel des rechten Winkels (der Punkt, bei dem der Innenwinkel 90 misst) liegt auf dem Kreis, der die Hypotenuse als Durchmesser hat. Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC auf dem Kreis liegt, der die Seite [AB] als Durchmesser hat, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig und C der Scheitel des rechten Winkels. Spezielle Geraden Mittelsenkrechte: Die Gerade, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke zweier Punkte A und B steht, heißt Mittelsenkrechte der beiden Punkte. Alle Punkte, die von den zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten ihrer Verbindungsstrecke. Die Mittelsenkrechte nennt man auch Mittellot oder m [AB]. In einem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten stets alle im Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der alle drei Ecken des Dreiecks berührt. Die Ecken des Dreiecks sind vom Punkt M alle gleich weit entfernt (Radius). Merkhilfe: Mittelsenkrechte Umkreis Höhe: Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt eines Dreiecks verläuft und die gegenüberliegende Seite senkrecht schneidet, heißt Höhe h des Dreiecks. Jedes Dreieck ABC besitzt somit drei Höhen h A, h B und h C. Sie schneiden einander im Höhenschnittpunkt H. Höhe kann sowohl eine Gerade als auch einen Strahl, eine Strecke oder eine Länge bedeuten. Winkelhalbierende: Eine Gerade, die durch einen Innenwinkel in einem Dreieck verläuft und ihn halbiert, heißt Winkelhalbierende dieses Dreiecks. Jedes Dreieck besitzt somit drei Winkelhalbierende w α, w β und w γ. Sie schneiden einander alle im Punkt W. Dieser Punkt ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. Der Inkreis eines Dreiecks berührt alle Dreiecksseiten in genau einem Punkt, die Dreiecksseiten sind Tangenten des Inkreises. (-> Geraden am Kreis) Der Punkt W hat von allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand d (Radius). Winkelhalbierende kann sowohl eine Gerade als auch einen Strahl, eine Strecke oder eine Länge bedeuten. 11

12 Merkhilfe: Winkelhalbierende Inkreis Geraden am Kreis: Für Geraden am Kreis gibt es spezielle Bezeichnungen und Eigenschaften: - Passante: Eine Gerade, die einen Kreis nicht schneidet, heißt Passante. - Sekante: Eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante. Die Verbindungsstrecke der beiden Schnittpunkte heißt Sehne. - Tangente: Eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt, heißt Tangente. Der Punkt, den die Gerade und der Kreis gemeinsam haben, heißt Berührpunkt. Die Strecke [BM] vom Berührpunkt B zum Mittelpunkt M des Kreises k heißt Berührradius und liegt senkrecht auf der Tangente. Sie ist halb so lang wie der Durchmesser des Kreises. 12

13 4. Darstellung, Kombinatorik und Beziehungen zwischen Größen Kongruenz und Ähnlichkeit Kongruenz kongruent: Lassen sich zwei Figuren vollständig miteinander zur Deckung bringen, heißen sie deckungsgleich oder zueinander kongruent. Kongruenzsätze: Haben zwei Dreiecke bestimmte Eigenschaften gleich, lässt sich sagen, dass sie kongruent sind. Diese Gruppen von Eigenschaften nennt man Kongruenzsätze. Kongruenzsätze für Dreiecke: Zwei Dreiecke sind kongruent, - SSS-Satz: wenn die Längen der drei Seiten übereinstimmen. - SWS-Satz: wenn die Längen zweier Seiten und die Größe des Zwischenwinkels (der Winkel am Scheitel der beiden übereinstimmenden Seiten) übereinstimmen. - WSW-Satz: wenn die Länge einer Seite und die Größe beider anliegenden Seiten übereinstimmen. - SsW-Satz: wenn die Länge zweier Seiten und die Größe des der längeren Seite gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen. - SWW-Satz: wenn die Länge einer Seite, die Größe des anliegenden und des gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen. Größen Geometrische Einheiten Strecke: 1 km = 1000 m; 1 m = 10 dm; 1 dm = 10 cm; 1 m = 100 cm; 1 cm = 10 mm Flächeninhalt: 1 km² = 100 ha = a = m² = dm² = cm²; 0,01 km² = 1 ha = 100 a = m² usw; Zusammenfassung: Bei der Umrechnung von einer Flächeneinheit in die nächst kleinere/größere, d. h. die Einheit, die bei Strecken um das Zehnfache kleiner/größer ist, muss das Komma um zwei Stellen nach rechts / um zwei Stellen nach links verschoben werden. Volumen: 1 km³ = m³; 1 m³ = 1000 dm³; 1 dm³ = 1000 cm³; 1 cm³ = 1000 mm³; Zusammenfassung: Bei der Umrechnung von einer Volumeneinheit in die nächst kleinere/größere, d. h. die Einheit, die bei Strecken um das Zehnfache kleiner/größer ist, muss das Komma um drei Stellen nach rechts / um drei Stellen nach links verschoben werden. Weitere Volumeneinheiten: 1 hl (Hektoliter) = 100 l; 1 ml (Milliliter) = 1/1000 l Zeit: Jahr (a?), Tag (d), Stunde (h), Minute (min), Sekunde (sek) Masse: Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg); 1 t = 1000 kg = g = mg; 1 g = 1000 mg Maßstab Aufbau: a:b; Dabei steht a für das Modell und b für die Wirklichkeit. Meistens ist eins von beiden 1. Verkleinerung: Ist a < b, also das Modell kleiner als die Wirklichkeit, handelt es sich um eine Verkleinerung. (Beispiel: Landkarten, Modellbau) Vergrößerung: Ist a > b, also das Modell größer als die Wirklichkeit, handelt es sich um eine Vergrößerung. (Beispiel: Mikroskop) Umrechnungen: 1. Kennt man den Maßstab und einen Wert des Modells, so kann man den Wert in der Wirklichkeit dazu anderen ausrechnen, indem man den Wert des Modells mit (b:a) multipliziert. 13

14 Beispiel: Landkarte mit Maßstab 1 : ; Wie viel entspricht 1 cm im Bild? - 1cm : 1 = 1 cm = cm = 2km 2. Kennt man den Maßstab und einen Wert in der Wirklichkeit, so kann man den Wert des Modells dazu ausrechnen, indem man den Wert der Wirklichkeit mit (a:b) multipliziert. Beispiel: Landkarte mit Maßstab 1 : ; Wie viel entspricht 3 km in der Wirklichkeit? - 3 km 1:25000 = cm : = 12 cm Kennt man einen Wert aus dem Modell und den zugehörigen Wert aus der Wirklichkeit, kann man den Maßstab ausrechnen, indem man den Wert aus dem Modell in den Zähler und den Wert aus der Wirklichkeit in den Nenner schreibt und den kleineren der beiden Werte auf null bringt. Beide Werte müssen auf die gleiche Einheit gebracht werden, dann wird die Einheit weggelassen. Beispiel: 22 cm im Bild entsprechen 121 m in Wirklichkeit. 22 cm : cm = 1 cm : 550 cm => 1 : 550 Darstellung Diagramme Wichtige Arten von Diagrammen: Säulendiagramm, Bilddiagramm, Balkendiagramm, Strichoder Liniendiagramm (Punktdiagramm), Kreisdiagramm, Streifen-/Blockdiagramm, Vierfeldertafel Kreisdiagramm: Um ein Kreisdiagramm zu zeichnen, muss man die Mittelpunktswinkel der Sektoren kennen. Diese findet man heraus, indem man den Vollwinkel (360 ) als 100% schreibt und den Anteil der Sektoren am Ganzen (Prozent) kennt. Beispiel: Ein Sektor soll 27% groß sein. Wie groß muss der Mittelpunktswinkel α sein? Lösung: % => α = /100 = 97,2. Somit lässt sich auch die Größe der Sektoren in Prozent ausrechnen. Streifen-/Blockdiagramm: Hierbei muss man ähnlich vorgehen wie bei einem Kreisdiagramm, man muss jedoch anstatt 360 die Länge des Streifens schreiben. Beispiel: Ein Sektor soll 27% groß sein. Wie lang muss er sein (Länge x), wenn das Blockdiagramm die Länge 10cm hat? Lösung: 10cm 100% => x = 10cm 27/100 = 2,7cm. Somit lässt sich auch die Größe der Sektoren in Prozent sowie die Gesamtlänge des Blockdiagramms ausrechnen. Irreführende Diagramme: Beim Lesen von Diagrammen muss sehr gut aufgepasst werden, wenn die y-achse nicht bei Null beginnt. Das Diagramm suggeriert sonst größere Unterschiede zwischen den Werten. Das zweidimensionale Koordinatensystem Die Achsen: Es gibt die waagrechte Achse, die x-achse, und die senkrechte Achse, die y-achse. Der Schnittpunkt der beiden Geraden heißt Ursprung O. Definition eines Punktes: Ein Punkt im Koordinatensystem wird durch die x-koordinate (Abszisse) und die y-koordinate (Ordinate) beschrieben. Man schreibt P(3 2), wenn der Punkt vom Ursprung O (0 0) 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben verschoben ist. Quadranten: Ein Koordinatensystem hat 4 Quadranten. Als 1. Quadranten bezeichnet man den Quadranten rechts oben. Als 2. Quadranten bezeichnet man den Quadranten links oben. Als 3. Quadranten bezeichnet man den Quadranten rechts unten. Als 4. Quadranten bezeichnet man den Quadranten rechts unten. Darstellung von Termen Rechenbaum: Terme kann man in Rechenbäumen darstellen. Vereinbarung: Zwischen Klammer und Klammer, Zahl und Klammer, Klammer und Zahl, Zahl und Buchstabe, Buchstabe und Zahl, Buchstabe und Buchstabe, Buchstabe und Klammer, 14

15 Klammer und Buchstabe können Multiplikationspunkte ( ) weggelassen werden. Mit Zahl sind auch Brüche und Dezimalzahlen gemeint. Kombinatorik Permutation Allgemein: Möchte man die Anzahl der Möglichkeiten herausfinden, in welcher Reihenfolge man bestimmte Dinge anordnen kann, kann man ein Baumdiagramm zeichnen. Dabei muss man beachten, ob Dinge wiederholt werden können oder nur einmal vorkommen dürfen. Ohne Wiederholung: Möchte man zum Beispiel ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, fünf Personen in einer Reihe aufzustellen, gibt es keine Wiederholung. Man muss also rechnen: Am Anfang hat man die Auswahl zwischen fünf Personen. 5. Danach hat man die Auswahl zwischen nur noch vier Personen Dann gibt es nur noch 3 Personen zur Auswahl: Dann nur noch zwei und am Ende bleibt nur eine Person übrig: = 5! (Fakultät) = 120. Mit Wiederholung: Möchte man zum Beispiel ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es für eine vierstellige Pin gibt (Zahlen 0 bis 9, also jeweils 10 Möglichkeiten), muss man die Anzahl der Möglichkeiten hoch die Anzahl der Stellen rechnen: 10 4 = = Relative Häufigkeit Zufallsexperiment: Zufallsexperimente sind Vorgänge, deren Ergebnis zufällig, also nicht vorhersehbar, ist. Alle Möglichen Ergebnisse kann man meistens in eine Menge zusammenfassen: Eine Münze wird zweimal geworfen. Ergebnismenge: {AA, AZ, ZA, ZZ} Absolute Häufigkeit: Die absolute Häufigkeit eines Versuchsergebnisses ist die Anzahl, wie oft es aufgetreten ist. Relative Häufigkeit: Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit k im Verhältnis zur Gesamtanzahl n der Durchführungen des Zufallsexperimentes. Relative Häufigkeit = k/n; Beispiel: Ein Würfel wird 50-mal geworfen. Die Augenzahl 4 wird neunmal geworfen. Die absolute Häufigkeit der Augenzahl 4 ist 9. Ihre relative Häufigkeit ist 9/50. Darstellung: Ergebnisse von Zufallsexperimenten können in Strichlisten, Tabellen und Diagrammen (siehe Darstellung Diagramme) ausgewertet werden. Statistik statistische Erhebung: Aus der Grundgesamtheit (Population) werden Stichproben genommen, mit dem Ziel, Informationen (Daten) über die Gesamtheit zu gewinnen. Jede Beobachtungseinheit (z. B. Schüler) besitzt verschiedene Merkmale (z. B. Haarfarbe), die wiederum verschiedene Merkmalausprägungen haben können (z. B. rot). Merkmale können qualitativ (z. B. Haarfarbe), quantitativ (z. B. Temperatur) oder ordninal (z. B. Zustand) sein. Stichproben sollten immer möglichst repräsentativ (= typisch für die Population) sein. Unter anderem weil Stichproben oft nicht representativ sind, müssen wir bei der Interpretation von Daten aus Stichproben sehr aufpassen, da sehr leicht falsche Schlussfolgerungen gezogen werden. arithmetisches Mittel = (Summe aller Einzelwerte) : (Anzahl aller Einzelwerte); Beispiel: Was ist der Durchschnitt von den Körpergrößen 1,52 m, 1,70 m und 1,78 m? Lösung: (1,52 m + 1,7 m + 1,78 m) : 3 = 5 m : 3 = 1 2/3 m 1,66 m. 15

16 Beziehungen zwischen Größen Prozentrechnung Allgemein: Ein Anteil von einer Größe ist ein Teil der Größe. Dabei gilt: Ursprünglicher Wert Faktor = Neuer Wert. In diesem Fall ist die Größe der ursprüngliche Wert, der Anteil der Faktor und der Teil der Größe der neue Wert. Diese Formel lässt sich umformen und sich somit sowohl der Teil als auch die ganze Größe als auch der Anteil berechnen. Oft wird auch geschrieben: AW (Alter Wert) F (Faktor) = NW (Neuer Wert) Prozentrechnung: Oft muss man z. B. bei der Zinsrechnung den zugehörigen Wert einer Prozentanzahl eines Grundwertes berechnen. Auch hier gilt die Formel AW F = NW; Dabei ist AW der Grundwert bzw. ursprüngliche Wert, F der Prozentsatz bzw. Anteil und NW der Prozentwert. Beispiel: Wie viel sind 40% von 360? AW F = NW => % = NW => NW = 144; Somit lässt sich durch Umformen der Formel auch der Prozentsatz und der Grundwert berechnen. Wachstums- und Abnahmefaktor: Wird der Grundwert um p geändert, so ändert er sich auf 1 ± p. Erhöht sich der Grundwert, gilt 1 + p. 1 + p heißt Wachstumsfaktor. Vermindert sich der Grundwert, gilt 1 p. 1 p heißt Abnahmefaktor. Beispiel: Welchem Wachstumsfaktor entspricht eine Steigerung von 15,2 %? Lösung: 15,2 % = 0,152; 1 + p = 1 + 0,152 = 1,152. Dreisatz Proportionalität: Im Alltag findet man häufig folgenden Zusammenhang zwischen zwei Größen: Zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,... einer Größe gehört das Doppelte, Dreifache, Vierfache,... einer anderen Größe. Ein dazugehöriges Liniendiagramm zeigt eine Halbgerade durch den Ursprung. Beispiel: Der Preis für 30g Gummibärchen ist 60ct. Der Preis für 60g ist also 120ct, für 90g 180ct usw. Siehe auch Beziehungen zwischen Größen Funktionale Zusammenhänge Direkte Proportionalität. Dreisatz: Besteht ein solcher Zusammenhang zwischen zwei Größen, lässt sich mit Hilfe des Dreisatzes von einer Vielfachheit auf eine andere schließen. Beispiel: 30g Gummibärchen kosten 60ct. Wie viel kosten 200g? Lösung: 1. Schritt: Gegebenes und zusammengehöriges Paar hinschreiben: 30g 60ct 2. Schritt: Schluss auf die Einheit : 1g (60/30)ct = 2ct 3. Schritt: Schluss auf die Vielfachheit : 200g 2ct 200 = 400ct 16