p, i, u = f (t) p u Wechselstromgenerator mit ohmscher Last (Zeitverläufe)

Transkript

1 11 6 Dreiphasen-Wechselsrom (Drehsrom) Im vorangegangenen Kapiel haben wir gesehen, dass die Leisung p() im Wechselsromnez pulsier. Sie schwing mi der doppelen Frequenz von Srom und Spannung. Nur der zeiliche Mielwer P is aber für den Verbraucher relevan. Is ein Generaor mi einer ohmschen Las belase, ergib sich ein Verlauf der Leisung wie in Bild 6.1. p p, i, u = f () p u i p i u ω Bild 6.1: Wechselsromgeneraor mi ohmscher Las (Zeiverläufe) Wir gehen der Einfachhei halber von einer verluslosen Energiewandlung aus. Für das Drehmomen an der Welle des Generaors heiß das, da die Drehzahl eine Konsane is p () m () = = M( 1 cos ω) Ω Das Drehmomen sez sich zusammen aus einem Gleichaneil und einem Wechselaneil, dessen Ampliude gleich dem Gleichaneil is. Das Spizenmomen is doppel so groß wie das milere Momen. Wenn die Las eine reine Kapaziä oder eine reine Indukiviä is, wird im Miel keine Leisung überragen. Der Gleichaneil des Drehmomenes an der Welle verschwinde. Der Wechselaneil bleib aber! Sein Berag is abhängig vom Effekivwer des Blindsroms. Ein belaseer Wechselsromgeneraor, der eine Frequenz von 5 Hz liefer, brumm mi 1 Hz! Nun schauen wir uns einmal einen Generaor an, der nich nur eine Wechselspannung erzeug, sondern drei Wechselspannungen gleichzeiig. Das wird dadurch erreich, dass man in das Magnefeld drei räumlich gegeneinander verseze Spulen bring. Diese Spulen schließen mieinander jeweils einen Winkel von 6 ein und sind mechanisch gleich aufgebau.

2 113 Definier man für die Spulen noch einen Plus- und einen Minus-Anschluss und miß man von Plus-Anschluss der einen zum Plus-Anschluss der anderen, is der räumliche Versaz 1. Bring man das Sysem in oaion, ensehen drei zeilich gegeneinander verseze Wechselspannungen. N B W1 V1 V W 1 S Bild 6.: Dreiphasiger Drehsrom-Generaor (Prinzipbild) Die drei induzieren Spannungen sind u () = u! sinω u () = u! sin( ω 1 ) 1 u () = u! sin( ω 4 ) 3 Die drei Spulen sind zunächs einmal nich elekrisch mieinander verbunden. Man kann also drei gerenne Sromkreise aufbauen. Wir belasen jez alle drei Quellen mi dem gleichen ohmschen Widersand. Es kommen drei Sröme zusande, die den gleichen Effekivwer haben. Man sprich von einer symmerischen Belasung. ~ 1 u 1 () i 1 () W ~ u 3 () ~ V V1 u () i () i 3 () W1 Bild 6.3: nverkeees Drehsromsysem

3 Die Wellenleisung des Generaors is nun 114 u! p () = p1() + p() + p3() = + + u! = ( 3 cosω cos( ω 4 ) cos( ω 48 )) 3 u! u! = cosω + cosω + sinω + cosω sinω 3 u! p () = = 3 = P = cons. ( sin ω sin ( ω 1 ) sin ( ω 4 )) Die pulsierenden Leisungen in den drei Phasen kompensieren sich zu Null. Übrig bleib eine konsane Leisung, die gleich der Summe der Mielwere der drei Einzelleisungen is. Der Generaor läuf ruhig. Man kann sich relaiv leich klarmachen, dass die Zahl der Phasen mindesens m = 3 sein muß, wenn man bei symmerischer Belasung keine Momenenwelligkei haben will. Mi m = is eine Eliminaion der 1 Hz-Schwingung unmöglich. Die drei erzeugen Spannungen lassen sich naürlich auch in der komplexen Ebene darsellen. Hier is 1 der Bezugszeiger. Er is reell. im 3 1 re Bild 6.4: Spannungszeiger des Drehspannungs-Sysems 6.1 Das verkeee Drehsromsysem Wenn man in dem oben dargesellen unverkeeen Sysem zwischen zwei Anschlußklemmen unerschiedlicher Spulen miß, is keine Spannung meßbar. Man kann daher, wenn man will, die Spulen auch mieinander verbinden, allerdings ohne sie kurzzuschließen oder unmielbar parallel zu schalen. Das ha den Voreil, dass man nun, je nachdem, zwischen welchen beiden Punken man miß, zwei unerschiedlich hohe Spannungen messen kann.

4 115 Wir berachen zunächs die Sernschalung des Generaors. Die Anschlüsse, V und W werden mieinander verbunden. Jez besiz der Generaor nich mehr sechs, sondern nur noch vier Anschlüsse. Mi diesen vier Anschlüssen kann man das gleiche erreichen, wie mi der unverkeeen Schalung. Man ha aber zwei Leiungen gespar. Der Leier, der mi dem Sernpunk verbunden is, bekomm die Bezeichnung N für Neuralleier. Die drei anderen erhalen den Namen Außenleier und werden mi L1, L und L3 bezeichne. ~ 1 L1 N I 1 3 ~ ~ I L I N L3 I 3 Bild 6.5: Generaor und Las im Sern geschale Es fließen die gleichen Sröme wie in der unverkeeen Schalung, weil in jeder Masche nach wie vor nur eine Quelle und ein Widersand liegen (wenn man den Maschenumlauf richig wähl!). Im Neuralleier fließ die Summe der drei Einzelsröme I I I I ( ) e j e j( 1 ) e j( 4 ) = + + = + + = N 1 3 Das is ein ersaunliches Ergebnis! Bei symmerischer Las kann man den Neuralleier auch weglassen, weil in ihm kein Srom fließ. Wenn man genau weiß, dass die Las symmerisch is, u man das auch. Dieses Ergebnis gil auch für gemische Lasen und reine Blindlasen. In dem Fall haben die Sröme alle die gleiche Phasenverschiebung gegenüber der verursachenden Spannung und das gleichseiige Dreieck der Sröme wird in der komplexen Ebene nur gedreh.

5 116 im I 3 3 ϕ I I 3 1 ϕ re I ϕ I 1 Bild 6.6: Srom im Neuralleier bei symmerischer ohmsch-indukiver Las: I N = Kommen wir nun zurück zu den Spannungen: Wenn man zwischen einen Außenleier und dem Sernpunk miss, erhäl man die in einer Spule des Generaors induziere Spannung (Phasenspannung). Man kann aber auch zwischen zwei Außenleiern messen. Dann miss man eine höhere Spannung. j( 1 ) = = e = ( 1 (cos( 1 ) + jsin( 1 ))) j3 = ( + j ) = 3 e Die zwischen zwei Außenleiern gemessene verkeee Spannung (Leierspannung) besiz einen Effekivwer, der um den Fakor!3 größer is als der Effekivwer der Phasenspannung. im re 1 Bild 6.7: Zeigerbild aller Spannungen bei Sernschalung

6 117 Beispiel: In unserem Niederspannungsnez is die Spannung an der Wechselsrom-Seckdose 3V. Ein Pol der Seckdose is mi dem Neuralleier verbunden. Dieser is übrigens geerde. Der andere Pol is einer der Außenleier. Wir messen also eine Phasenspannung. In einer Krafseckdose sind alle Außenleier und der Neuralleier verfügbar. Hier miss man dreimal eine verkeee Spannung von 4V und dreimal eine Phasenspannung von 3V. An die Krafseckdose schließ man Drehsromverbraucher an (z.b. Mooren ab kw). Der wichigse Leier in beiden Seckdosen is übrigens noch nich erwähn worden. Er erhäl beim Einsecken als erser Konak und verlier ihn beim Herausziehen des Seckers als lezer. Es is der Schuzleier. Er überräg keine Leisung, sondern schüz unser Leben. Er is ebenfalls geerde und wird mi dem Körper (dem Gehäuse) des Verbrauchers verbunden, falls dieses leifähig is. So is es jederzei ungefährlich, meallische Oberflächen elekrischer Geräe zu berühren, solange der Schuzleier inak is(!). Vorsich bei beschädigen Kabeln! Is der Schuzleier durchrenn, was man nich immer gleich sieh, funkionier das Gerä möglicherweise immer noch. Einen Schuz gib es aber nich mehr! Wenden wir uns nun der Dreieckschalung von Generaor und Las zu. Wie wir schon bei der Sern-Dreieck-Transformaion gesehen haben, verschwinde nun ein Knoenpunk, der Sernpunk. Aus dem Vierleier-Drehsromsysem wird ein Dreileier-Drehsromsysem. L1 I 1 I Sr3 3 ~ ~ ~ 1 L I 1 I Sr1 L3 I 3 Bild 6.8: Generaor und Las im Dreieck geschale Jez is der Leiersrom nich mehr gleich dem Srangsrom (Spulensrom) im Generaor. Die Srangspannung is gleich der verkeeen Spannung. Für die Las gil das gleiche. m den Zusammenhang zwischen Srangsrom und Leiersrom zu finden, berachen wir die Las. 1 I I e j = = Sr1 ; = = Sr3 j I = I I = e e 1 Sr1 Sr3 ( 1 ) = j( 3 ) Der Leiersrom is um den Verkeungsfakor!3 größer als der Srangsrom.

7 118 im I 1 I 3 I Sr3 I Sr1 re I Sr I Bild 6.9: Zeigerbild aller Sröme bei Dreieckschalung Die Kombinaion eines im Sern geschaleen Generaors mi einer im Dreieck geschaleen Las is ebenso denkbar wie umgekehr. Allerdings kann dann nur das Dreileier-Drehsromsysem verwende werden. Wenn ein Drehsromsysem verwende wird, is die Nennspannung (abzulesen auf dem Typenschild des Generaors oder der Las) immer die verkeee Spannung (Leierspannung).Der Nennsrom is immer ein Leiersrom. Zusammenfassung: Srangspannung Leierspannung Srangsrom Leiersrom Sernschalung N /!3 N I N = N /(!3Z) I N Dreieckschalung N N I N /!3 I N =!3 N /Z 6. Die Leisung im Drehsromsysem Am einfachsen is es, zunächs einmal von einem Vierleiersysem und von Sernschalung auszugehen. Wenn wir den Neuralleier verdreifachen, können wir aus dem verkeeen Sysem wieder ein unverkeees machen. Dann haben wir es mi drei gerennen Wechselsromkreisen zu un. Die gerenne Berechnung der Schein-, Wirk- und Blindleisung is einfach durchzuführen. Bei Symmerie muss dreimal das gleiche Ergebnis herauskommen. S = P+ jq = 3 I*; P = 3 I cos ϕ ; Q = 3 I sinϕ Sr Sr Sr

8 119 Bei Dreieckschalung rechnen wir auch zunächs für jeden der drei Einzel-Verbraucher gerenn und addieren die Ergebnisse. * S = P+ jq = 3 I : P = 3 I cos ϕ ; Q = 3 I sinϕ Sr Sr Sr Was aber un, wenn man die Srukur der Las gar nich kenn und nur Klemmenspannung und Klemmensrom I bekann sind? Die Berechnung der Einzelleisungen is dann nich möglich. I 1 L1 Nez 1 1 L L3 Las N Bild 6.1: Symmerische Drehsromlas als Black Box Der Berag der Scheinleisung is schnell errechne. nabhängig von der Schalungsar gil: S = 3 I Beim Phasenwinkel wird es komplizierer. Schon bei rein ohmscher Las sind und I gegeneinander phasenverschoben. Der Winkel zwischen diesen beiden darf also nich als Phasenverschiebungswinkel eingesez werden! Der Phasenverschiebungswinkel muß aus Sranggrößen besimm werden (z.b.!( 1,I 1 )). Dami ergib sich für die allgemeine Berechnung der Leisungen im Drehsromsysem: jϕ S = P+ jq = 3 I e ; P = 3 I cos ϕ ; Q = 3 I sinϕ 6.3 Sern-/Dreieck-mschalung Wenn man eine Las ha, die von Sern- auf Dreiecksrukur umschalbar is, kann man durch die mschalung die aufgenommene Leisung verändern. Die drei Sränge seien symmerisch. Der Einfachhei halber nehmen wir an, sie seien rein ohmsch. Im Falle der Sernschalung gil: = ; I = I = ; P = 3 = 3 3

9 Im Falle der Dreieckschalung gil: 1 I I P = ; = ; = 3 ; = 3 Durch mschalung von Sern auf Dreieck verdreifach sich die aufgenommene Leisung. Der aufgenommene Srom verdreifach sich ebenfalls. Nimm man eine gemische Las an, z.b. ohmsch/indukiv, verdreifach sich auch die Blindleisung. Das Verfahren der Sern-/Dreieck-mschalung wird angewand zur sufigen Leisungsversellung oder aber zur edukion der Anlaufsröme von Asynchronmaschinen. Man fähr die Maschinen im Sern hoch, bis die Leerlaufdrehzahl erreich is und der aufgenommene Srom klein is. Dann schale man um auf Dreieck. Jez kann man belasen. Is die Belasung kleiner als ein Driel der Nennleisung, kann man auch von Dreieck auf Sern zurückschalen. Dadurch wird die Blindleisungsaufnahme auf ein Driel reduzier.

10 11 7 Elekrodynamische Ausgleichsvorgänge Bisher haben wir immer eingeschwungene Zusände berache. Wir sind davon ausgegangen, dass Ein- / Aus- oder mschalvorgänge wei genug zurückliegen und ihre Auswirkungen nich mehr messbar sind. Wir werden uns jez mi ransienen Vorgängen befassen. Dazu definieren wir zunächs, was eine ideale Spannungsquelle und was eine ideale Sromquelle is: Die ideale Spannungsquelle liefer eine definiere Klemmenspannung, die unabhängig von der Belasung is. Der Srom sell sich in Abhängigkei von der Belasung frei ein und ha keine ückwirkung auf die Klemmenspannung. Der Leerlauf der idealen Spannungsquelle is unkriisch. Bei Kurzschluss allerdings muss sie einen unendlich großen Srom liefern. Die ideale Sromquelle liefer einen definieren Srom, der unabhängig von der Belasung is. Die Spannung sell sich in Abhängigkei von der Belasung frei ein und ha keine ückwirkung auf den Srom. Der Kurzschluss der idealen Sromquelle is unkriisch. Bei Leerlauf allerdings muss sie eine unendlich hohe Spannung liefern. S = cons. I = cons. S Bild 7.1: Ideale Spannungsquelle und ideale Sromquelle 7.1 Ein- und Ausschalvorgänge mi idealen Baueilen 1. Der ohmsche Widersand Schale man eine konsane Spannung zum Zeipunk = auf einen ohmschen Widersand, so fließ vom ersen Augenblick an der durch das ohmsche Gesez vorgegebene konsane Srom I = /. Der Sromverlauf is also im Zeipunk = nich seig. Er spring von auf den Endwer. Beim Einschalen einer Sromquelle auf einen ohmschen Widersand geschieh ewas ähnliches. Die Spannung spring im Einschalaugenblick auf den Endwer.

11 1 = I = i u I (a) (b) Bild 7.: Einschalen einer Spannungsquelle (a) bzw. einer Sromquelle (b) auf einen ohmschen Widersand. Der ideale Kondensaor Wenn man eine konsane Spannung auf einen ungeladenen Kondensaor schale, wird der Srom im Einschalaugenblick unendlich groß. Der Kondensaor läd sich in unendlich kurzer Zei auf die Klemmenspannung auf, nimm dann aber keinen Srom mehr auf. Beim Kurzschließen des geladenen Kondensaors geschieh das umgekehre. Er enläd sich schlagarig. Danach is der Srom gleich Null. Schale man eine Sromquelle auf einen Kondensaor, so seig seine Ladung und dami seine Klemmenspannung linear an. Hier geh die Klemmenspannung im Laufe der Zei gegen unendlich. = I = u i i u Q = du d = I (a) (b) Bild 7.3: Einschalen einer Spannungsquelle (a) bzw. einer Sromquelle (b) auf einen idealen Kondensaor

12 13 Zu Bild 7.3(a) kann man noch folgendes präzisieren: Die Fläche uner dem Sromverlauf is gleich der aufgenommenen Ladung. Die Ladung wiederum is durch die Klemmenspannung gegeben. Q = Q = i () d + Q Q is die Anfangsladung. Nur wenn die Anfangsladung zufällig pass, gib es keinen Sromsoß. 3. Die ideale Spule Schale man eine konsane Spannung auf eine Indukiviä, so seig der Srom linear an. Er geh im Laufe der Zei gegen unendlich. Schale man eine Sromquelle auf eine Indukiviä, so wird die Spannung im ersen Augenblick unendlich. Danach wird sie wieder zu Null. Wird der Schaler anschließend wieder geschlossen, so fließ der Srom in L unverminder weier. = L I L = u L i L i L u L di L d = L Ψ = L I = (a) (b) Bild 7.4: Einschalen einer Spannungsquelle (a) bzw. einer Sromquelle (b) auf eine ideale Spule Anmerkung: Bisher kam ein wenig häufig das Wor unendlich vor. In der ealiä gib es zwar sehr hohe Spannungen und Sröme, aber keine unendlich hohen. Die Ausgleichsvorgänge laufen auch bei realen Baueilen selen in unendlich kurzer Zei ab. Dazu wäre nämliche im Falle von Kondensaor und Spule eine unendlich hohe Leisung erforderlich. Wir werden uns die Vorgänge uner Verwendung realer Baueile nun genauer anschauen. 7. eale Schalvorgänge In realen Schalungen reen der ohmsche Widersand, der Kondensaor und die Spule in wechselnden Kombinaionen auf. Z.B. kann die Ladung eines Kondensaors nich unendlich schnell erfolgen, da seine Zuleiungen einen, wenn auch geringen, ohmschen Widersand haben.

13 14 Außerdem gib es keine idealen Spannungs- und Sromquellen. Sie besizen, wie wir wissen, einen Innenwidersand. 1. Gleichspannungsquelle und Kondensaor Ein realiäsnahes Schalbild für das Aufladen eines Kondensaors is das folgende: u i() u Bild 7.5: Einschalen einer Spannung auf ein -Glied Durch einen Maschenumlauf erhalen wir eine Besimmungsgleichung für den Srom: 1 u u i id u = () + () = () + () + () u () is dabei die Anfangsspannung des Kondensaors, die er aufweis, wenn er zu Beginn schon eine Ladung ha. Wenn man diese Inegralgleichung in die Differenialform überführ, ergib das d d i 1 () + i () = oder d d i () + i () = Es handel sich um eine homogene Differenialgleichung erser Ordnung. Für ihre Lösung sezen wir an Eingesez ergib das i () = Ae und d d i A () = e + 1= =

14 15 Zur Besimmung von A brauchen wir noch eine Anfangsbedingung: Im Einschalaugenblick kann der Srom nich unendlich groß werden. Er ergib sich aus der Spannung am Widersand. Diese is im Einschalaugenblick: u( ) = u( ) i A u ( ) ( ) = = Wir haben die Lösung für den Srom gefunden. i () = u () e Dami is auch die Spannung an und bekann. ( ) u / ) = i( ) = u ( ) e u () = u () = ( 1 e ) + u ( ) e Zu Beginn lieg u () am Kondensaor. Nach ausreichender Warezei (ewa 5 Zeikonsanen) lieg am Kondensaor. Dann is der Sromfluß nahezu Null. i() u () u () i() Q Bild 7.6: Spannung und Srom am Kondensaor nach dem Einschalen von

15 . Gleichspannungsquelle und Spule 16 Als nächses berachen wir das Einschalen einer Spannung auf eine eihenschalung von und L. Eine Anfangsladung der Spule wie eben beim Kondensaor nehmen wir diesmal nich an. D.h. anfangs is der Srom in der Spule Null. u i() u L L Bild 7.7: Einschalen einer Spannung auf ein L-Glied Jez gil = u () + u () = i() + L d d i () L L d = d i () + i () Diesmal haben wir es mi einer inhomogenen Differenialgleichung 1. Ordnung für den Srom zu un. Dazu wählen wir einen anderen Ansaz für die Lösung. i () = Ae + B d d i A () = e Dami gehen wir in die Differenialgleichung für den Srom. A e B L A = + e Nach ausreichend langer Warezei sind die abklingenden e-funkionen verschwunden. Dann bleib die Besimmungsgleichung für B übrig. B = o

16 17 Zur Besimmung von vergleichen wir die Koeffizienen der e-funkion. L 1 = L = Im Zeipunk = muß der Srom bei i() = beginnen, denn bei begrenzer Spannung kann der Srom in einer Indukiviä sich nich sprunghaf ändern. i() = = A+ A = B = Dami is die Lösung für den Srom und die beiden Spannungen an und L gefunden. i () = e 1 u () = i() = 1 e u () = u () = e L i() u L () Bild 7.8: Spannung und Srom an der Indukiviä nach dem Einschalen von Nach ausreichend langer Warezei besimm nur noch der Widersand den Srom. Die Sromänderung in der Indukiviä is nahezu Null und an ihren Klemmen is keine Spannung mehr zu messen. Es is, als sei sie gar nich da.

17 3. Gleichsromquelle und Kondensaor 18 Als nächses schauen wir uns einmal eine Schalung mi einer Sromquelle an. Eine reale Sromquelle speis einen Kondensaor. i I Bild 7.9: Einschalen eines Sromes auf einen Kondensaor Es gil die Knoenpunkgleichung I u () du () = + d I = u () + d d u () Dies is eine inhomogene Differenialgleichung 1. Ordnung. Ansaz: Eingesez in die Differenialgleichung u () = A e + B d d u A () = e I Ae B A = + e Wenn gegen unendlich geh, bleib die Besimmungsgleichung für B übrig: B = I Die Zeikonsane is =. A wird wieder aus der Anfangsbedingung gewonnen. = : Der Kondensaor is ungeladen, also u() =. u() = = A+ I A =I u () = I 1 e i du () c () = = Ie d u () i () = = I 1 e

18 19 I I u() i () Bild 7:1: Spannung und Srom am Kondensaor nach Einschalen von I 4. Gleichsromquelle und Spule Die nächse Schalung is ewas komplizierer, weil zwei ohmsche Widersände und eine Spule enhalen sind. Die ohmschen Widersände sind der Innenwidersand der Sromquelle und der Kupferwidersand der Spule. i 1 i I 1 u() u L L Bild 7.11: Einschalen eines Sromes auf eine Indukiviä Die von der Sromquelle zu liefernde Spannung is u i i L di () () = 1() 1 = () + d I = i () + i () 1 u ( ) = ( I i L d 1) + ( I i1) d I i L di 1 = 1 d L di 1 + i1( 1 + ) = I d

19 13 Es handel sich wieder um eine inhomogene Differenialgleichung 1. Ordnung. Ansaz: gegen unendlich liefer i () = A e + B 1 d d i A 1() = e LA e + ( + )( A e + B ) = I B = I Die Zeikonsane is = L + 1 Zum Zeipunk = fließ in der Spule kein Srom. Die Spannung an den Klemmen der Sromquelle is dann u() = I 1. Der gesame Srom I muss über 1 fließen. i1() = I = A+ I A = I 1 + i I e 1 1() = i() = I i1() = I 1 e + u () = i() = I 1 1 L 1 1 e u () = L d d i () = I e 1 1 Erläuerung des Ergebnisses: Zu Beginn is i 1 = I und i =. Nach ausreichend langer Zei is die Spannung an der Spule auf Null abgesunken. Es is, als sei die Spule gar nich mehr da. Dann bleib die Parallelschalung der beiden Widersände übrig. Der Srom I vereil sich auf die beiden Zweige nach der Sromeilerregel.

20 Zahlenwere: 1 = 5Ω; = Ω. 131 I 5 7 I i () I 1 i 1 () u L () 7 I Bild 7.1: Spannung und Sröme an der realen Spule nach Einschalen von I 5. Wechselspannungsquelle und Kondensaor Als Beispiel zum Wechselsrom schalen wir eine Wechselspannungsquelle auf ein -Glied. i() u ~ u() u () ω ϕ u Bild 7.13: Einschalen einer Wechselspannung auf ein -Glied Anfangsbedingung: u () =. u! sin( ω + ϕ ) = i( ) + u ( ) u () u! sin( ) du ω + ϕu = + u d Als erses lösen wir die homogene Differenialgleichung mi dem bekannen Ansaz () u () = A e ; = H

21 13 Die inhomogene Differenialgleichung lösen wir durch Variaion der Konsanen. u () = A() e d d u da() A () () = e e d Das in die ursprüngliche Differenialgleichung eingesez ergib da() u! sin( ω + ϕu ) = A( ) e + e d Diese Gleichung wird nun nach Trennung der Variablen inegrier u! + da() = e sin( ω + ϕu ) d A() e u! e 1 A () = sin( ω + ϕu) ωcos( ω + ϕu) + A + ω u! u () = A() e = 1 + ( ω) u! = 1 + ( ω) 1 1 ( sin( ω ϕ ) ω cos( ω ϕ )) Ae u u 1 sin( ω + ϕ + ϕ) + Ae u 1 mi ϕ =arcanω Aus der Anfangsbedingung u () = ergib sich u () = A u! = 1+ ( ω) u! 1 1+ ( ω) sin( ϕ + ϕ) u sin( ω + ϕu + ϕ) e sin( ϕu + ϕ) Der Dauerschwingung is ein Einschalvorgang überlager. Wenn man den Anfangswinkel der Spannung günsig wähl (Einschalaugenblick), verschwinde jedoch der Einschwingvorgang. Im ungünsigsen Fall wird der Spannungsverlauf u () = π ϕu + ϕ = u! π sin( ω + ) e 1+ ( ω)

22 133 Der größe Momenanwer nach dem Einschalen is im ungünsigsen Fall fas doppel so groß wie die Maxima im späeren eingeschwungenen Zusand. u () ω Bild 7.14: Kondensaorspannung beim Einschalen einer Wechselspannung auf ein - Glied 6. Gleichspannungsquelle und eihenschwingkreis Als lezes Beispiel wählen wir einen eihenschwingkreis, den wir durch einen Schalvorgang anregen. L i() u () Bild 7.15: Einschalen einer Gleichspannung auf einen gedämpfen eihenschwingkreis Wir wollen nun den Zeiverlauf der Spannung am Kondensaor berechnen. Es gil = i() + L d d i () + u () i () = d d u () d d i () = d d u () = u () + d d u () + Ld d u () c Hier handel es sich zum ersen mal um eine Differenialgleichung. Ordnung. Wir lösen zuers wieder die homogene Differenialgleichung. = u () + d + d u () Ld d u ()

23 Der Lösungsansaz is 134 λ1 λ u () = K e + K e + K 1 3 d d u K e λ K e () = λ + λ 1 1 d d u K e λ1 K e λ () = 1 λ1 + λ λ 1 Eingesez in die homogene DGL: λ1 = K e + K λ e + L K λ e λ λ λ λ 1 λ = K e ( 1+ λ + L λ ) + K e ( 1+ λ + L λ ) + K K e + K e + L K e + K λ λ λ λ 3 3 Daraus läß sich die charakerisische Gleichung ablesen: 1 λ + λ + = L L λ 1, = + L L 1 mi δ = ω = L und : L λ = δ+ δ ω 1, Da im Kreis eine Indukiviä enhalen is, muß im Schalaugenblick in allen Fällen gelen: d i ( = ) = ; d u K K ( ) = ; 1λ1 + λ = 1 L Die Anfangsspannung des Kondensaors sei gleich Null. Da der Anfangssrom auch Null is, fäll die gesame Spannung zu Beginn an L ab.

24 135 K 1 u () = ; u () = = L d d i () ; K + K + K = = Lλ ( λ λ ) 1 1 L 1 3 d L d u K K = K ( ) = 1λ1 + λ = 1λ1( λ1 λ) K1λ1 ; K = = ; K3 = K1 λ Lλ( λ1 λ) λ λ 1 1 λ λ u () = e e + 1 Lλλ 1 λ1 λ λ1 λ λ1 λ i () = ( e e ) L( λ λ ) 1 λ1 λ λ = Lλ λ 1 Jez is eine Fallunerscheidung erforderlich. Abhängig davon, wie groß, L und gewähl werden, kommen unerschiedliche Ergebnisse heraus. Für die Wurzel gib es zwei Möglichkeien: 1. Die Differenz uner der Wurzel wird posiiv. Die Differenz uner der Wurzel wird negaiv 1.Fall: Die Wurzel wird reell. u () = λ 1, = δ+ κ δ κ ( δ κ) δ κ ( δ κ) + + e e + 1 L ( δ ( δ ω )) κ κ δ κ ( δ κ) δ κ ( δ κ) = + + e e + 1 κ κ δ κ κ = e ( ( δ κ) e + ( δ κ) e ) + κ κ κ κ κ δ δ e e e + e δ = 1 e e κ δ δ = 1 e sinhκ + coshκ κ Der Endwer der Kondensaorspannung is die Quellenspannung. Der Zeiverlauf der Kondensaorspannung wird durch Hyperbelfunkionen besimm, die aber mi der Dämpfungskonsanen δ abklingen.

25 .Fall: Die Wurzel wird imaginär. 136 λ = δ+ jω 1, mi ω = ω δ δ jω δ ω δ ω ( ) ( δ ω) () = + + j j j u e e + 1 jω jω ω ω ω ω δ j j δ j j δ = 1 ω + e e e e e e j δ δ = 1 e sinω + cosω ω Der Endwer der Kondensaorspannung is auch hier die Quellenspannung. Der Zeiverlauf wird durch eine abklingende Schwingung besimm. Ob der erse oder der zweie Fall einri, häng vom Verhälnis δ ω ab. Wird dieses Verhälnis größer als 1, handel es sich um Fall 1, wird es kleiner, is es Fall. Genau in der Mie lieg der sogenanne aperiodische Grenzfall. Im folgenden Bild sind vier Fälle dargesell. u () 1,6 1,4 1, 1,8,6,4, δ ω = 1 δ ω =,5 δ ω = δ ω =,5,5 1 1,5 T Bild 7.16: Spannungsverlauf am Kondensaor bei Schwingkreisanregung Aperiodischer Grenzfall: ω ( 1 ( 1 ω )) u ()= e + c

26 Lieraur: 137 [1] Linse, H.; Fischer,.: Elekroechnik für Maschinenbauer. B.G. Teubner Sugar [] Flegel, G.; Birnsiel, H.: Elekroechnik für Maschinenbauer. arl Hanser Verlag, München [3] Busch,.: Elekroechnik und Elekronik. B. G. Teubner Sugar [4] Möller, F.; Fricke, H.: Grundlagen der Elekroechnik. B. G. Teubner Sugar