Grundproblem der Inferenzstatistik

Transkript

1 Grudproblem der Iferezstatistik Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Ateil icht zufällig p... beobachtete Ateil zufällig? Statistik für SoziologIe 1 Iferezschluss

2 Kofidezitervall für Ateile (Wiederholug)... "wahre", ubekate Ateil i der Grudgesamtheit p beobachtete Ateil i eier Zufallsstichprobe mit Umfag p ist eie erwartugstreue Schätzug für p ist aber eie Zufallsvariable die eier Schwakug uterliegt Die Variaz vo p ergibt sich bei große Stichprobe ud kleiem Auswahlsatz durch: / Die Stadardabweichug vo p et ma de Stadardfehler: p (1 ) Statistik für SoziologIe 2

3 Grudproblem der Iferezstatistik Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Ateil icht zufällig p... beobachtete Ateil zufällig? Statistik für SoziologIe 3 Iferezschluss

4 I Worte Wir erhalte ei Kofidezitervall für de wahre Ateil i der Grudgesamtheit durch folgede Formel: Ateil i der Stichprobe plus/mius dem geschätzte Stadardfehler des Stichprobeateils p multipliziert mit dem zugehörige Quatil der Normalverteilug Stichprobeateil ±z*geschätzte Stadardfehler P pz ˆ pz ˆ 1 1 /2 p 1 /2 Die Wahrscheilichkeit, dass dieses Itervall de ubekate, wahre Ateil i der Grudgesamtheit überdeckt beträgt eis mius alpha. Statistik für SoziologIe 4 p

5 Beispiele aus de Medie Statistik für SoziologIe 5

6 =1022 = 1022 X= 491 p= 48,0% = Ateil i der Stichrobe (1-p)= 0,5196 var(p)= 0,0002 sigma(p)= 0,0156 = 0,05 Tab= 1,9600 Tab*sigma= 3,06% =emax UG 44,98% OG 51,11% l= 6,13% =Läge des Kofidezitervalls Statistik für SoziologIe 6

7 Statistik für SoziologIe 7

8 = 401 X= 213 p= 53,1% = Ateil i der Stichrobe (1-p)= 0,4688 var(p)= 0,0006 sigma(p)= 0,0249 = 0,05 Tab= 1,9600 Tab*sigma= 4,88% =emax UG 48,23% OG 58,00% l= 9,77% =Läge des Kofidezitervalls Statistik für SoziologIe 8

9 Methodology This survey was fielded Jue 14 & 15, 2007 as part of the Hays Research Group Alaska Statewide Opiio Couts Survey. 401 respodets were iterviewed. The margi of error for the data collected is +/- 4.9 % for a 401 respose survey for the data aalyzed i its etirety with a 95% cofidece level; meaig that we ca be 95% sure that if every residet of the State was actually surveyed, the results would vary by o more tha 4.9% i either directio. The survey sample used was a computer geerated radom list derived from a database of all households withi the State of Alaska with workig telephoe umbers who have at least oe member who has voted i at least two of the last four statewide electios. The sample frame was desiged to accurately reflect the actual populatio percetages. Respodets were screeed to cofirm they were over 18 ad each household was attempted at least four times over a period of several days to accout for o-respose bias. Data was aalyzed utilizig SPSS Quacept Software. Iterviews were coducted by traied staff with o-site supervisio utilizig state of the art computer assisted telephoe iterviewig (CATI). Radom iterviews were moitored to assure quality cotrol measures were followed. Dialig results were aalyzed daily to assure statistically accurate distributio of call dispositio i order to accout for o-respose variables. Statistik für SoziologIe 9

10 Beispiele: Kofidezitervall für Ateile Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe vo =600 Befragte ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde. Welche Aussage köe Sie für de Ateil i der Grudgesamtheit treffe, we Sie bereit sid mit eier 5%-Irrtumswahrscheilichkeit zu argumetiere? P p p( 1 p) p( 1 p) z p z 1 Statistik für SoziologIe 10

11 Beispiele: Kofidezitervall für Ateile Stichprobe mit p=0,30 ud =600 p*(1-p)=0,3*0,7=0,21 z=1,96 p =0,0187 P(26,33%<<33,67%)=0,95 Die Wahrscheilichkeit, dass der ubekate Ateilswert i der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 26,33% bis 33,67% überdeckt wird, beträgt 95%. Falls Sie bereit sid Ihre Irrtumswahrscheilichkeit auf 10% zu erhöhe komme Sie zu folgedem Ergebis: z=1,64 P(26,92%<<33,08%)=0,90 Statistik für SoziologIe 11

12 Ivertierte Fragestelluge (1a) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe vo =600 Befragte ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit daher durch ei Itervall vo 29% bis 31% abgedeckt wird. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass diese Aussage korrekt ist? e=0,01...maximaler Fehler e=z. p z= e/ p ==> z=0,5345 ==> =0,296 Wahrscheilichkeit eier korrekte Aussage 40,7% Statistik für SoziologIe 12

13 Ivertierte Fragestelluge (1b) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe vo =600 Befragte ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit daher durch ei Itervall vo 28% bis 32% abgedeckt wird. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass diese Aussage korrekt ist? e=0,02 z= e/ p ==> z=1,0690 ==> =0,143 Wahrscheilichkeit eier korrekte Aussage 71,5% Statistik für SoziologIe 13

14 Ivertierte Fragestelluge (2a) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus mit 95%- Sicherheit abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 29% bis 31% abgedeckt wird. Wie groß muss die Stichprobe gewese sei? e=0,01 z=1,96 > p(1-p)*z²/e² ==> > 8067,04 Die Stichprobe muß 8068 Respodete ethalte. Statistik für SoziologIe 14

15 Ivertierte Fragestelluge (2b) Sie lese i eier Publikatio, dass i eier Stichprobe ei empirischer Ateil vo p=30% erhobe wurde, ud dass daraus mit 95%- Sicherheit abgeleitet werde ka, dass der ubekate Ateil i der Grudgesamtheit durch ei Itervall vo 28% bis 32% abgedeckt wird. Wie groß muss die Stichprobe gewese sei? e=0,02 z=1,96 > p(1-p)*z²/e² ==> > 2016,76 Die Stichprobe muß 2017 Respodete ethalte habe. Statistik für SoziologIe 15

16 Grudproblem der Iferezstatistik Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit icht zufällig? x... beobachtete Ateil zufällig Statistik für SoziologIe 16 Iferezschluss

17 für de Erwartugswert Wir betrachte eie quatitative Zufallsvariable X mit wahrem Erwartugswert X sei etweder ormalverteilt oder Der Stichprobeumfag sei geüged groß (Faustregel: >30) Da gilt für das Stichprobemittel: 2 x ~ N( ; ) Ziehe mit N N1 Statistik für SoziologIe 17 2 x 2 x 2 2 x Zurücklege Ziehe ohe Zurücklege

18 Itervalle bei bekater Variaz ip ) ( z1 /2 xz1 /2 ) 1 durch Umformug : ii) P( x z1 /2 x z1 /2 ) 1 i)zetrales Schwakugsitervall für x ii)kofidezitervall für μ Statistik für SoziologIe 18

19 Iterpretatio Das Zetrale Schwakugsitervall gibt bei Ketis des Erwartugswertes a, wie viel Prozet der Werte der Stichprobefuktio Arithmetisches Mittel bei wiederholter Stichprobeziehug i diesem Itervall zu liege komme werde. Das Kofidezitervall gibt aus der Stichprobe abgeleitete Greze a, durch die der ubekate Parameter mit eier vorgegebee Irrtumswahrscheilichkeit überdeckt oder eigeschlosse wird. Statistik für SoziologIe 19

20 Kozept zetraler Schwakugsitervalle alpha/2 1-alpha alpha/ Statistik für SoziologIe 20

21 Zetrale Schwakugsitervalle Sei X~N(,²) so ergibt sich das zetrale Schwakugsitervall für das arithmetische Mittel eier Stichprobe, welches eie Wahrscheilichkeit vo 1- abdeckt durch: P( z1 /2x xz1 /2x) 1 P( z1 /2 xz1 /2 ) 1 Für =0,1 (=0,05; =0,01) ergibt sich aus der Tabelle für z 1-/2 d.h. P(- 1,6449 < Z < + ) = 0,9 P(- 1,96 < Z < + ) = 0,95 P(- 2,5758 < Z < + 2,5758) = 0,99 Statistik für SoziologIe 21

22 Beispiel Sei ei IQ-Test so ormiert, dass gilt IQ~N(100,15²) Gesucht ist ei zetrales Schwakugsitervall, für das arithmetische Mittel des IQ eier Stichprobe vo =30 Persoe, welches eie Wahrscheilichkeit vo 0,95 aufweist. P( z1 /2 x z1 /2 ) 1 = 0,05 1-/2 = 0,975 P(100-1,96*2,74 < < ,96*2,74) = 0,95 x P(94,63 < < 105,37) = 0,95 15 x 2,74 30 Statistik für SoziologIe 22

23 Excel-Sheet: Kofidez Mittelwert Grudgesamtheit E(X)= 100 V(X)= 225 (X)= 15 Legede: xq...arithmetisches Mittel (x-quer) Stichprobeumfag = 30 E(xq)= 100 V(xq)= V(X)/30= 7,5 (xq)= 2,74 Irrtumswahrscheilichkeit alpha= 0,05 z-wert= 1,96 Greze des zetrale Schwakugsitervalls für das arithmetische Mittel UG= 94,63 OG= 105,37 Statistik für SoziologIe 23

24 Zetrales Schwakugsitervall für Eizelbeobachtuge Uterscheide zwische dem zetrale Schwakugsitervall für Eizelbeobachtuge ud dem zetrale Schwakugsitervall, für das arithmetische Mittel Sei X~N(,²) so ergibt sich das zetrale Schwakugsitervall für Eizelbeobachtuge, welches eie Wahrscheilichkeit vo 1- abdeckt durch: [P(- z 1-/2 < X < + z 1-/2 ) = 1- I userem Beispiel: P(100-1,96*15 < X < ,96*15) = 0,95 P(70,6 < X < 129,4) = 0,95 Statistik für SoziologIe 24

25 Kofidezitervall bei bekater Variaz Durch Iversio der Formel für das Schwakugsitervall ergibt sich die Formel für das Kofidezitervall bei bekater Variaz. Px ( z1 /2 xz1 /2 ) 1 Allerdigs ist das Awedugs-Szeario Ziehe eier Stichprobe aus eier Grudgesamtheit mit bekater Variaz im Kotext sozialwisseschaftlicher Fragestelluge extrem selte, weshalb wir us direkt mit dem Fall ubekater Variaze beschäftige. Statistik für SoziologIe 25

26 Ubekate Variaz x Ersetze des ubekate Wertes vo ² durch die Stichprobeschätzug 1 ˆ ( ) 2 2 xi x 1 i1 Zusätzliche Usicherheit muss bei kleie Stichprobe kompesiert werde Statistik für SoziologIe 26

27 Exkurs Studet-Verteilug (t-verteilug) Dichtefuktio Freiheitsgrade=10 Freiheitsgrade=30 Normalverteilug Statistik für SoziologIe 27

28 Statistik für SoziologIe 28 Kofidezitervall bei ubekater Variaz 1 ) ˆ ˆ ( auch mit der Normalverteilug arbeite : köe wir 30 ) (Faustregel : ist groß Falls ubekater Variaz μ bei Kofidezitervall für 1 ) ˆ ˆ ( 2 / 1 2 / 1 2 / 1;1 2 / 1;1 z x z x P t x t x P ˆ ( ) 1 i i x x

29 I Worte Wir erhalte ei Kofidezitervall für de wahre Mittelwert i der Grudgesamtheit durch folgede Formel: Mittelwert der Stichprobe plus/mius dem geschätzte Stadardfehler multipliziert mit dem zugehörige Quatil der Normalverteilug (Studetverteilug) Stichprobemittelwert plus/mius Tabellewert mal geschätzter Stadardfehler Statistik für SoziologIe 29

30 Kofidezitervall für Mittelwert Eie Stichprobeutersuchug uter =300 Agestellte eier bestimmte Brache ergab folgedes Ergebis: Durchschittseikomme = Stadardabweichug = 140 Gesucht ist ei Kofidezitervall, für das Durchschittseikomme i der Grudgesamtheit Ubekate Variaz; großes ; zetraler Grezwertsatz ˆ ˆ Px ( z 1 /2 x z1 /2 ) 1 Statistik für SoziologIe 30

31 Kofidezitervall für Mittelwert Z=1,96 ˆ 140 8, P(1200-1,96*8,08<<1200+1,96*8,08)=0,95 P(1184,16<<1215,84)=0,95 Bei Verwedug der t-verteilug: P(1184, 09 << 1215,91)=0,95 Ei Itervall vo [1184, 09; 1215,91] überdeckt de ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit mit 95%-iger Wahrscheilichkeit. Statistik für SoziologIe 31

32 Excel-Sheet: Kofidez Mittelwert Legede: xq...arithmetisches Mittel (x-quer) Stichprobeergebisse s...stadardabweichug der Stichprobewerte = 300 ur bei großem azuwede xq= 1200 s= 140 s(xq)= 8, Irrtumswahrscheilichkeit alpha= 0,05 t-wert= 1,9679 z-wert 1,960 Kofidezitervall für de Erwartugswert (Mittelwert der Grudgesamtheit) UG= 1184,09 UG= 1184,16 OG= 1215,91 OG= 1215,84 Statistik für SoziologIe 32

33 Kofidezitervall für Mittelwert Stichprobe uter 50 Haushalte eier Stadt mit Kategorie-A Wohuge zwische m² ergab: Kaltmiete pro m²: Arithm. Mittelwert: 8,30 Stadardabweichug: 2,10 90%-Kofidezitervall z=1,645 Stadardfehler: 2,10/wurzel(50)=0,297 P(8,30-1,645*0,297 < < 8,30+1,645*0,297 )=0,90 P(7,81<<8,79)=0,90 ˆ ˆ P( x z1 / 2 x z1 / 2 ) 1 Statistik für SoziologIe 33

34 Ivertierte Aufgabe Bestimmug des Stichprobeumfages, um eie vorgegebee Geauigkeit erziele zu köe Bei der Messug vo Reaktioszeite schätzt ei Psychologe die Stadardabweichug auf 0,05sec. Wie groß muss die Stichprobe sei, damit er zu A) 95% bzw. B) 99% davo ausgehe ka, dass der maximale Schätzfehler icht größer als 0,01sec sei wird? e max z ² z ˆ / ˆ ² / e max ² A) >1,96²*0,05²/0,01² =96,04 ==> =97 B) >2,58²*0,05²/0,01² =166,4 ==> =167 Statistik für SoziologIe 34