Statistik II. Sommersemester PD Dr. Michael Krapp Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie. Universität Augsburg

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1 Statistik II Sommersemester 2005 PD Dr. Michael Krapp Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Klausur und Unterlagen Klausur: Spielregeln : Wie Statistik I Nachholklausur im WS 2005 / 2006 Hilfreiche Unterlagen: Foliensatz Übungsaufgabensammlung Klausuraufgabensammlung Klausur Statistik II vom Wintersemester 2004 / 2005 ) Download: Rubrik Downloads Literatur: Bamberg/Baur: Statistik, Oldenbourg, 12. Aufl Bamberg/Baur: Arbeitsbuch Statistik, Oldenbourg, 7. Aufl (optional) Statistik II 138

2 Zusätzliche Veranstaltungen Übung zu Statistik II Mittwoch 8:30 10:00 HW 1001 Paul Mittwoch 8:30 10:00 FW 2101 Papatrifon Mittwoch 10:15 11:45 HW 1003 Krapp Mittwoch 10:15 11:45 FW 1109 Klein Mittwoch 12:30 14:00 HW 1003 Baur Mittwoch 12:30 14:00 FW 1106 Bamberg Mittwoch 12:30 14:00 FW 1109 Klein Mittwoch 14:15 15:45 HW 1004 Baur Statistik II mit Excel Grundkurs Mittwoch 14:15 15:45 FW 2113 Paul Mittwoch 16:00 17:30 FW 2113 Paul Statistik II mit Excel Vertiefungskurs Mittwoch 17:45 19:15 FW 2113 Paul Übung zu Statistik I Mittwoch 17:45 19:15 FW 1106 Klein/Papatrifon Statistik II 139 Gliederung 10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 11. Grundlagen der induktiven Statistik 12. Punkt-Schätzung 13. Intervall-Schätzung 14. Signifikanztests 18. Stichprobenplanung Statistik II 140

3 Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz Gegeben: Zufallsvariablen X 1,...,X n unabhängig und identisch verteilt ( iid ) E(X i ) = µ Var(X i ) = σ 2 Gesucht: Verhalten von X i bzw. X n = 1 n wenn n laufend erhöht wird. Beachte (vgl. Folie 125): E( X n ) = µ Var( X n ) = σ2 n X i 10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz Gesetz der großen Zahlen Tschebyscheff-Ungleichung angewandt auf P( X E(X) c) Var(X) (93) c 2 X n = 1 n X i ergibt P( X n µ c) σ2 n c 2 Nun: n Gesetz der großen Zahlen: lim P( X n µ c) = 0 bzw. lim P( X n µ c) = 1 (95) n n 10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 142

4 10.1 Gesetz der großen Zahlen 0.4 x n n 10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz Zentraler Grenzwertsatz BB S. 130: Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die mithilfe der Summe von iid Zufallsvariablen gebildet werden, lassen sich für großes n mittels der Normalverteilung hinreichend genau berechnen. Beispiel (Übungsaufgabe 47): X 1, X 2, X 3 in [0; 1] gleichverteilt; Z 1 = X 1, Z 2 = X 1 +X 2, Z 3 = X 1 +X 2 +X 3 1 f(z 1 ) 1 f(z 2 ) 3 4 f(z 3 ) 1 z z z Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 144

5 10.2 Zentraler Grenzwertsatz Approximativ gilt: Standardisierung: Y n = X i N(nµ; σ n) (96) X i nµ σ n Zentraler Grenzwertsatz: = X n µ 1 = X n µ σ n σ n N(0; 1) P(Y n x) n Φ(x) (97) 10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz Zentraler Grenzwertsatz Beispiel (BB-Beispiel 61): X i B(1; p) X = n X i B(n; p) (Folie 93) E(X) = np; Var(X) = np(1 p) (Fig. 36) ( ) P np(1 p) X np x Φ(x) (Brauchbar, falls np 5 und n(1 p) 5.) 10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 146

6 10.2 Zentraler Grenzwertsatz Beispiel (BB-Aufgabe 76): X 1,..., X 12 gleichverteilt in [0; 1] E(X i ) = 1 2 ; Var(X i) = 1 12 (Fig. 36) Mit (87), (88), (91), (92) folgt: E(Y) = 12 Var(Y) = 12 Y = 12 X i 6 E(X i ) 6 = = 0 Var(X i ) = = 1 Y N(0; 1) (approximativ) 10. Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz 147 Grundlagen der induktiven Statistik Vollerhebung of unmöglich, deshalb: Beobachte Teilgesamtheit schließe auf Grundgesamtheit Beispiel: Warensendung von 1000 Stück; darunter M Stück Ausschuss. M ist unbekannt. Zufällige Entnahme von n = 30 Stück ( Stichprobe ). Darunter 2 Stück Ausschuss. Denkbare Zielsetzungen: 2 Schätze M durch eine Zahl (z.b = 66,67) 30 Schätze ein Intervall für M (z.b. M [58; 84]) Teste die Hypothese, dass M > 50 ist. 11. Grundlagen der induktiven Statistik 148

7 Grundbegriffe Grundgesamtheit (G): Menge aller relevanten Merkmalsträger. Verteilung von G: F(x) = P(X x) = W keit, dass ein Merkmalsträger ausgewählt wird, der beim untersuchten Merkmal maximal die Ausprägung x aufweist. Uneingeschränkte (reine) Zufallsauswahl: Jedes Element von G hat die selbe Chance, ausgewählt zu werden. Stichprobenumfang (n): Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe. Einfache Stichprobe: Uneingeschränkte Zufallsauswahl und unabhängige Ziehung. Alle Stichprobenvariablen X 1,..., X n sind iid. 11. Grundlagen der induktiven Statistik Grundbegriffe Stichprobenergebnis: n-tupel der Realisationen der Stichprobenvariablen, (x 1,...,x n ). Stichprobenraum: Menge aller möglichen Stichprobenergebnisse. Likelihoodfunktion: Verteilgungsklasse, der F (Vtlg. von G) angehört, ist bekannt; Verteilungsparameter ϑ aber unbekannt (z.b. N(µ; σ)). Einfache Stichprobe X 1,..., X n. Die gemeinsame Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion von X 1,...,X n in Abhängigkeit von ϑ, f(x 1,..., x n ϑ), heißt Likelihoodfunktion. 11. Grundlagen der induktiven Statistik 150

8 Grundbegriffe Beispiel: G ist B(1; p)-verteilt, p unbekannt; zu x i : f i (x) = p x (1 p) 1 x (BB S. 99) Einfache Stichprobe mit n = 2 Likelihoodfunktion f(x 1,x 2 p) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) (wegen Unabhängigkeit) = p x 1 (1 p) 1 x1 p x 2 (1 p) 1 x 2 = p x 1+x 2 (1 p) 2 x 1 x 2 Stichprobenergebnis (0, 1) f(0, 1 p) = p(1 p) = p p 2 (Welcher Wert p passt am besten zu (0, 1)?) Stichprobenfunktion: Zufallsvariable V, die sich als Funktion der Stichprobenvariablen ergibt: V = g(x 1,...,X n ), z.b. V = 1 n X i = X (vgl. Folie 141) 11. Grundlagen der induktiven Statistik 151 Wichtige Stichprobenfunktionen (Fig. 38) Gegeben: Einfache Stichprobe X1,...,Xn Beliebige Verteilung mit E(Xi) = µ, Var(Xi) = σ 2 Wichtige Stichprobenfunktionen: Herleitungen: BB S. 140 Besonders wichtige Zusammenhänge Grundlagen der induktiven Statistik 152

9 Wichtige Stichprobenfunktionen (Fig. 38) ( E 1 n ) (X i X) 2 = n 1 n σ2, aber: E(S 2 ) = σ 2 Auf Grund der jensenschen Ungleichung (Folie 120) gilt E(S) σ. Grund: E(S) = E( S 2 ) E(S 2 ) = σ 2 = σ, da g(x) = x konkav ist. Verschiebungssatz für S 2 : [ ] S 2 = n 1 (X i X) 2 n 1 n = 1 n 1 [ ] X 2 i n X 2 [ = n 1 n 1 n = 1 n 1 ] X 2 i X 2 X 2 i n n 1 X Grundlagen der induktiven Statistik Testverteilungen ➀ Chi-Quadrat-Verteilung: Sind X 1,...,X n iid N(0; 1)-verteilte ZV, so wird die Verteilung von Z = als Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet. Kurzschreibweise: Z χ 2 (n) Es gilt: E(Z) = n und Var(Z) = 2n Fraktile: Bis n 30 in Tabelle 5 (BB S. 322 ff.); ab n > 30 Näherung: x α = 1 2 ( x α + 2n 1) 2 X 2 i wobei x α das α-fraktil der N(0; 1)-Verteilung ist. 11. Grundlagen der induktiven Statistik 154

10 Testverteilungen Beispiel: x 0,975 aus... χ 2 (30): x 0,975 = 46,98 χ 2 (50): x 0,975 = 1,96 x 0,975 = 1 2 (1, ) 2 = 70, Grundlagen der induktiven Statistik 155 χ 2 -Verteilung (BB Tab. 5, S. 324) 11. Grundlagen der induktiven Statistik 156

11 Standardnormalverteilung (BB Tab. 3, S. 319) 11. Grundlagen der induktiven Statistik Testverteilungen ➁ t-verteilung: Ist X N(0; 1), Z χ 2 (n), X, Z unabhängig, so wird die Verteilung von T = X 1 n Z als t-verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet. Kurzschreibweise: T t(n) Es gilt: E(T) = 0 und Var(T) = n n 2 Fraktile: n > 30: verwende N(0; 1)-Fraktile; bis n 30: Tabelle 4 (BB S. 320 f.) Achtung: Nur α 0,6 vertafelt. Ggfs. Symmetrie ausnutzen: x α = x 1 α für α < 0,5 11. Grundlagen der induktiven Statistik 158

12 Testverteilungen Beispiel: Bestimme folgende Fraktile für t(10)... x 0,6 = 0,260 x 0,5 = 0 x 0,1 = x 0,9 = 1, Grundlagen der induktiven Statistik 159 t-verteilung (BB Tab. 4, S. 320) 11. Grundlagen der induktiven Statistik 160

13 Testverteilungen ➂ F-Verteilung: Ist X χ 2 (m), Y χ 2 (n), X, Y unabhängig, so wird die Verteilung von Z = 1 m X 1 n Y als F-Verteilung mit den Freiheitsgraden m und n bezeichnet. Kurzschreibweise: Z F(m, n) Es gilt: E(Z) = n n 2 und Var(Z) = 2n2 (n+m 2) m(n 4)(n 2) 2 Fraktile: 0,95- und 0,99-Fraktile: Tabelle 6 (BB S. 325 f.); ggfs. interpolieren. Für 0,01- und 0,05-Fraktile: x α = 1 x 1 α mit x 1 α aus F(n,m) (98) 11. Grundlagen der induktiven Statistik Testverteilungen Beispiel: Bestimme x 0,05 für F(2, 5): F(5, 2): x 1 0,05 = x 0,95 = 19,30 F(2, 5): x 0,05 = 1 x 0,95 = 1 19,30 = 0, Grundlagen der induktiven Statistik 162

14 F-Verteilung (BB Tab. 6, S. 325) 11. Grundlagen der induktiven Statistik Verteilungen von Stichprobenfunktionen Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,...,X n aus N(µ;σ)-Verteilung: Stichprobenfunktion Verteilung X i N(nµ; σ n) X X µ σ 1 σ 2 1 σ 2 X µ S N(µ; σ n ) n N(0; 1) (X i µ) 2 χ 2 (n) (X i X) 2 = n 1 S 2 χ 2 (n 1) σ 2 n t(n 1) Bei bel. Verteilung von G sind X µ σ n und X µ S n approx. N(0; 1)-verteilt. 11. Grundlagen der induktiven Statistik 164

15 Punkt-Schätzung Ein unbekannter Parameter ϑ der Verteilung von G (z.b. σ von N(10; σ)) soll auf Basis einer Stichprobe geschätzt werden. Schätzwert: ˆϑ Vorgehen: Verwendung einer Schätzfunktion ˆΘ = g(x 1,..., X n ) Beachte: Der Schätzwert ˆϑ ist die Realisierung der ZV (!) ˆΘ. Frage: Welche Stichprobenfunktion ist zur Schätzung geeignet? Kriterien für die Beurteilung/Konstruktion von Schätzfunktionen! Im Folgenden: Vorliegen einer einfachen Stichprobe, d.h. X 1,..., X n iid. 12. Punkt-Schätzung Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen Eine Schätzfunktion ˆΘ = g(x 1,...,X n ) heißt erwartungstreu oder unverzerrt für ϑ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: Gilt E( ˆΘ) = ϑ (99) lim E( ˆΘ n ) = ϑ n so heißt ˆΘ n asymptotisch erwartungstreu für ϑ. 12. Punkt-Schätzung 166

16 12.1 Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen Beispiel: Sind ˆΘ = X, ˆΘ = X 1+X n 2, ˆΘ = 1 n 1 a) ˆΘ: E( X) = µ (Fig. 38) ˆΘ ist erwartungstreu. X i erwartungstreu für µ? b) ˆΘ : E ( X 1 +X n ) (87),(88) 2 = 1 2 [E(X 1) + E(X n )] = 1 2 (µ + µ) = µ ˆΘ ist erwartungstreu. ( c) ˆΘ : E 1 n 1 X i ) (87),(88) = 1 n 1 E(X i ) = 1 n 1 µ = n n 1 µ µ ˆΘ ist nicht erwartungstreu, aber wegen ( lim n n n 1 µ) = µ asymptotisch erwartungstreu. Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ ist besser? 12. Punkt-Schätzung Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen Von zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen ˆΘ, ˆΘ für ϑ heißt ˆΘ wirksamer als ˆΘ, wenn unabhängig vom numerischen Wert von ϑ gilt: Var( ˆΘ) < Var( ˆΘ ) Beispiel: Wegen Var( ˆΘ) = Var( X) = σ2 n < Var( ˆΘ ) = Var ( X 1 +X 2 ) (91),(92) 2 = 1 4 (σ2 + σ 2 ) = σ2 2 (falls n > 2) ist ˆΘ wirksamer als ˆΘ. 12. Punkt-Schätzung 168

17 12.1 Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen Allgemein: Diejenige Schätzfunktion, die die gerinste Varianz aller im Rahmen eines bestimmten Schätzproblems erwartungstreuer Schätzfunktionen besitzt, heißt die wirksamste Schätzfunktion. Die Bestimmung der wirksamsten Schätzfunktion ist relativ schwierig. 12. Punkt-Schätzung Erwartungstreue und wirksamste Schätzfunktionen Verteilung von G ϑ wirksamste e.treue Schätzfkt. unbekannt µ X B(1; p) p (= µ) X Gleichverteilung in [0; 2a] a (= µ) n+1 2n max{x 1,...,X n } N(µ; σ) (σ bekannt oder unbekannt) µ X N(µ; σ), µ bekannt σ 2 1 (X n i µ) 2 N(µ; σ), µ unbekannt σ 2 S Punkt-Schätzung 170

18 12.2 Konsistente Schätzfunktionen Eine Folge von Schätzfunktionen ˆΘ n gemäß ˆΘ 1 = g 1 (X 1 ) ˆΘ 2 = g 2 (X 1, X 2 ). ˆΘ n = g n (X 1,...,X n ) heißt konsistent für ϑ, wenn für alle c > 0 gilt: P( ˆΘ n ϑ c) 0 (100) n (Die Wahrscheinlichkeit, ϑ deutlich zu verfehlen, geht gegen 0.) 12. Punkt-Schätzung Konsistente Schätzfunktionen Aus der Tschebyscheff-Ungleichung P( X E(X) c) Var(X) c 2 (93) resultiert folgende hinreichende (nicht notwendige) Konsistenzbedingung: ( lim n ) E( ˆΘ n ) = ϑ und lim n Var( ˆΘ n ) = 0 Beispiel: Ist X n konsistent für µ? Aus Fig. 38 folgt... E( X n ) = µ, d.h. X n ist erwartungstreu für µ. Var( X n ) = σ2 n 0, d.h. die Varianzen bilden eine Nullfolge. n X n ist konsistent für µ. 12. Punkt-Schätzung 172

19 12.4 Das Maximum-Likelihood-Prinzip (ML-Prinzip) Gegeben: Ergebnis einer einfachen Stichprobe (x 1,...,x n ) Likelihoodfunktion (vgl. Folie 150) f(x 1,...,x n ϑ) Beispiel: G ist B(1; p)-verteilt, p unbekannt; zu x i : f i (x) = p x (1 p) 1 x (BB S. 99) Einfache Stichprobe mit n = 2 Likelihoodfunktion f(x 1,x 2 p) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) (wegen Unabhängigkeit) = p x 1 (1 p) 1 x1 p x 2 (1 p) 1 x 2 = p x 1+x 2 (1 p) 2 x 1 x 2 Stichprobenergebnis (0, 1) f(0, 1 p) = p(1 p) = p p 2 Gesucht: Schätzwert ˆϑ, der am besten zu (x 1,...,x n ) passt 12. Punkt-Schätzung Das Maximum-Likelihood-Prinzip (ML-Prinzip) ML-Prinzip: Wähle ˆϑ so, dass für alle möglichen ϑ-werte gilt: f(x 1,...,x n ˆϑ) f(x 1,...,x n ϑ) Maximierung meist durch Nullsetzen der 1. Ableitung (2. Abl. < 0 prüfen!) Maximierung für... konkretes Stichprobenergebnis (z.b. (0, 1)) ML-Schätzwert allgemeines Stichprobenergebnis (z.b. (x 1,x 2 )) ML-Schätzfunktion Die Maximierung der logarithmierten Likelihoodfunktion liefert dasselbe Ergebnis, ist aber meist einfacher: ln f(x 1,...,x n ˆϑ) lnf(x 1,...,x n ϑ) Grund: ln(x) wächst streng monoton mit x. 12. Punkt-Schätzung 174

20 Typische Vorgehensweise bei ML-Schätzung 1. Likelihoodfunktion aufstellen: f(x 1,..., x n ϑ) 2. Likelihoodfunktion logarithmieren (optional): ln f(x 1,...,x n ϑ) 3. Erste Ableitung nullsetzen: ϑ [ln]f(x 1,..., x n ϑ) =! 0 4. Vorzeichen der zweiten Ableitung prüfen: 2 [ln]f(x ϑ 2 1,...,x n ˆϑ) <? 0 Im Beispiel auf Folie 173: f(x 1,x 2 p) = p x 1+x 2 (1 p) 2 x 1 x 2 bzw. f(0, 1 p) = p p 2 a) Konkreter Schätzwert: p f(0, 1 p) = 1 2p! = 0 ˆp = p 2 f(0, 1 p) = 2 < 0 ˆp = 1 2 ist ML-Schätzwert 12. Punkt-Schätzung 175 Typische Vorgehensweise bei ML-Schätzung b) Schätzfunktion: Logarithmieren sinnvoll (um Produktregel usw. zu vermeiden)! ln f(x 1,x 2 p) = (x 1 + x 2 ) ln(p) + (2 x 1 x 2 ) ln(1 p) p ln f(x 1,x 2 p) = x 1+x 2 2 x 1 x 2 p 1 p! = 0 (x 1 + x 2 )(1 p) = (2 x 1 x 2 )p x 1 + x 2 = 2p ˆp = x 1+x ln f(x p 2 1,x 2 p) = x 1+x 2 2 x 1 x 2 < 0 p 2 (1 p) 2 ˆp = 1 2 (x 1 + x 2 ) (= x) ist ML-Schätzfunktion (passt auch zu a). Achtung: Lösung meist per Ableitung; es gibt aber Ausnahmen! 12. Punkt-Schätzung 176

21 Klausuraufgabe 156 (gekürzt) Ein bestimmtes Produkt wird von genau zwei Firmen A, B hergestellt. Jedes der produzierten Stücke kann auf Grund äußerer Merkmale eindeutig einer von zwei möglichen Güteklassen I, II zugeordnet werden. Bekannt ist, dass die von Firma A (bzw. Firma B) erzeugten Stücke zu 35 % (bzw. zu 50 %) der Güteklasse I entsprechen. Aus der Produktion einer der beiden Firmen wurde eine einfache Stichprobe vom Umfang 9 entnommen; alle 9 Stücke stammen also von ein und derselben Firma, wobei nicht erkennbar sei, von welcher. In der Stichprobe gehören 4 der 9 Stücke zu Güteklasse I. Zu welcher Antwort auf die Frage nach der Herkunft der Stichprobe kommt man nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip? 12. Punkt-Schätzung 177 Maximum-Likelihood-Schätzfunktionen Verteilung von G ϑ ML-Schätzfunktion B(1; p) p (= µ) X Exp(λ) µ X Exp(λ) σ 2 X 2 P(λ) λ (= µ = σ 2 ) X N(µ; σ) (σ bekannt oder unbekannt) µ X N(µ; σ), µ bekannt σ 2 1 n (X i µ) 2 N(µ; σ), µ unbekannt σ 2 1 n (X i X) Punkt-Schätzung 178

22 Maximum-Likelihood-Schätzfunktionen Für die ML-Schätzung von σ (und anderem) ist folgender Satz hilfreich: Ist h eine streng monotone Funktion (gleichgültig ob wachsend oder fallend) und ist ˆΘ eine Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den Parameter ϑ, so ist die Stichprobenfunktion h( ˆΘ) eine Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den transformierten Parameter h(ϑ). Beispiel: Ist ˆΘ ML-Schätzfunktion für σ 2, so ist ˆΘ ML-Schätzfunktion für σ. Ist G Exp(λ), so ist ML-Schätzfunktion für λ. 1 X (λ = 1 µ = h(µ) mit h str. mon. fallend; ML-Schätzfkt. für µ: X h( X) = 1 X ) 12. Punkt-Schätzung Bayes-Schätzfunktionen Gegeben: Ergebnis einer einfachen Stichprobe (x 1,...,x n ) Likelihoodfunktion (vgl. Folie 150) f(x 1,..., x n ϑ) Vorinformation über ϑ (Einschätzung eines Sachkundigen) in Form einer a priori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion ϕ(ϑ) Vorinformation Stichprobe Bayes-Schätzung a posteriori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion ψ(ϑ x 1,...,x n ) 12. Punkt-Schätzung 180

23 12.5 Bayes-Schätzfunktionen Hilfsmittel: Formel von Bayes: P(A j B) = P(B A j) P(A j ) P(B A i ) P(A i ) wobei nun P(A j B) ersetzt wird durch ψ(ϑ x 1,...,x n ) P(B A j ) ersetzt wird durch f(x 1,..., x n ϑ) P(A j ) ersetzt wird durch ϕ(ϑ) f(x 1,..., x n ϑ i )ϕ(ϑ i ) im diskreten Fall f(x 1,...,x n ϑ j )ϕ(ϑ j ) j ψ(ϑ x 1,..., x n ) = f(x 1,..., x n ϑ)ϕ(ϑ) im stetigen Fall f(x 1,..., x n ϑ)ϕ(ϑ) dϑ i 12. Punkt-Schätzung 181 (65) Vorgehensweise bei Bayes-Schätzung 1. Likelihoodfunktion aufstellen: f(x 1,...,x n ϑ) 2. a priori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion (ist bekannt): ϕ(ϑ) 3. a posteriori Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion ermitteln: ψ(ϑ x 1,...,x n ) 4. Lageparameter der a posteriori Verteilung berechnen, z.b. Modus Median Erwartungswert 12. Punkt-Schätzung 182

24 Klausuraufgabe 131 In A-Stadt wird über den Bau einer neuen Straße durch eine Volksabstimmung abgestimmt. Ein Fachmann schätzt den Anteil der Stimmen für den Bau der Straße folgendermaßen ein: Stimmenanteil für den Bau a priori Wahrscheinlichkeit für diesen Anteil 35 % 0,4 45 % 0,3 55 % 0,3 a) Geben Sie den a priori Erwartungswert des Stimmenanteils für den Bau der Straße an. Eine Wahlumfrage bei 120 (zufällig ausgewählten) wahlberechtigten Einwohnern ergab 70 Stimmen für den Bau der Straße. 12. Punkt-Schätzung 183 Klausuraufgabe 131 b) Ermitteln Sie das Maximum-Likelihood-Schätzergebnis für den Stimmenanteil der Wähler, die für den Bau stimmen. c) Ermitteln Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeitsfunktion für den Anteil der Wählerstimmen für den Bau der Straße. d) Geben Sie den a posteriori Erwartungswert des Stimmenanteils für den Bau der Straße an. 12. Punkt-Schätzung 184

25 Intervall-Schätzung Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer Stichprobe ein Intervall geschätzt werden. Verwendung der Stichprobenfunktionen V u, V o, so dass V u V o und P(V u ϑ V o ) = 1 α (102) stets gelten. [V u ; V o ] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum Konfidenzniveau 1 α. Beachte: Das Schätzintervall [v u ; v o ] ist Realisierung der ZV (!) V u, V o. Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.r. α 0,1) Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet? Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter (µ, σ 2 ) ab! Im Folgenden: Einfache Stichprobe X 1,...,X n mit E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ Intervall-Schätzung 185 Intervall-Schätzung Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern übereinstimmende W keiten für Über-/Unterschreiten des KI, d.h. P(V u > ϑ) = P(V o < ϑ) = α 2 (103) Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des KI. 13. Intervall-Schätzung 186

26 Überblick Intervallschätzung (BB S. 172) 13. Intervall-Schätzung KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ 2 Vorgehensweise: Grund für N(0; 1)-Verteilung: Betrachte z.b. V u = X σc n : V u > µ X σc n > µ X µ σ n > c n N(0; 1) (vgl. Folie 164) X µ σ 13. Intervall-Schätzung 188

27 KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ Intervall-Schätzung KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ 2 Beispiel (BB-Beispiel 73): Normalverteilung mit σ = 2,4 (x 1,...,x 9 ) = (184,2; 182,6; 185,3; 184,5; 186,2; 183,9; 185,0; 187,1; 184,4) Gesucht: KI für µ zum Konfidenzniveau 1 α = 0, α = 0,99 2. N(0; 1): c = x 1 α 2 = x 1 0,01 = x 0,995 = 2,576 (Tab. 3; Interpolation) 2 3. x = 1 (184, ,4) = 184,8 9 σc 4. n = 2,4 2,576 9 = 2,06 5. KI = [184,8 2,06; 184,8 + 2,06] = [182,74; 186,86] Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ [182,74; 186,86]. 13. Intervall-Schätzung 190

28 Wichtige Fraktilswerte Wichtige N(0; 1)-Fraktilswerte: 0,9 1, ,95 1, ,975 1, ,99 2, ,995 2, (I.d.R. genügen drei Nachkommastellen.) α x α 13. Intervall-Schätzung 191 Intervalllänge Im Fall gilt offenkundig L = V o V u = 2σc n (106) Welcher Stichprobenumfang n sichert eine vorgegebene (Maximal-)Länge L? (106) nach n auflösen! n ( ) 2 2σc (107) L Eine Halbierung von L erfordert eine Vervierfachung von n! Im BB-Beispiel 73: L = 4 n ( ) 2 2,4 2, = 9,556 n Intervall-Schätzung 192

29 KI für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ 2 Vorgehensweise: Zu Schritt 2: Falls n 1 > 30 wird die N(0; 1)-Verteilung verwendet. 13. Intervall-Schätzung KI für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ 2 Beispiel (BB-Aufgabe 92): Wie BB-Beispiel 73 (vgl. Folie 190), jedoch σ unbekannt α = 0,99 2. t(8): c = x 1 α 2 = x 1 0, x = 1 9 s = (184, ,4) = 184, sc n = 1,31 3,355 = x 0,995 = 3,355 (Tab. 4) 8 [(184, ,4 2 ) 9 184,8 2 ] = 1,31 9 = 1,47 5. KI = [184,8 1,47; 184,8 + 1,47] = [183,33; 186,27] Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ [183,33; 186,27]. 13. Intervall-Schätzung 194

30 KI für µ bei beliebiger, insb. dichotomer Verteilung Voraussetzung: n > 30, bzw. falls G dichotom: 5 n x i n 5 Vorgehensweise: Zu Schritt 3: Manchmal kann ein anderer Schätzwert ˆσ sinnvoller sein. 13. Intervall-Schätzung KI für µ bei beliebiger, insb. dichotomer Verteilung Beispiel (BB-Beispiel 74): Poisson-Verteilung mit λ (= µ = σ 2 ) unbekannt. (x 1,...,x 40 ) = (3; 8;... ; 6) Gesucht: KI für λ zum Konfidenzniveau 1 α = 0, α = 0,9 2. N(0; 1) : c = x 1 α 2 = x 1 0,1 = x 0,95 = 1,645 (Folie 191) 2 3. x = 1 ( ) = 6,5 40 ˆσ = x = 6,5 = 2,55 (da σ 2 = λ) 4. ˆσc n = 2,55 1, = 0,66 5. KI = [6,5 0,66; 6,5 + 0,66] = [5,84; 7,16] 13. Intervall-Schätzung 196

31 Intervalllänge Falls σ bekannt verwende (107). Sonst hängt L = 2 ˆσc n (wegen n kann i.a. nicht ermittelt werden. ˆσ) vom Stichprobenergebnis ab. Ausnahme: Obere Schranke d für ˆσ ist bekannt, d.h. ˆσ d gilt immer. L 2dc ( ) 2 2dc n n L Beispiel: G B(1; p) ˆσ = x(1 x) = x x 2 x [0; 1] x x 2 maximal bei x = 1 2 x x ( ) = 1 4 ˆσ 1 n ( c L x x 2 4 = 1 2 ) = d 2 x 0,5 13. Intervall-Schätzung KI für σ 2 bei Normalverteilung Vorgehensweise, falls µ unbekannt: Falls µ bekannt: Schritt 2: Ersetze χ 2 (n 1) durch χ 2 (n). Schritte 3 und 4: Ersetze (n 1) s 2 durch n (x i µ) Intervall-Schätzung 198

32 13.2 KI für σ 2 bei Normalverteilung Beispiel: G N(2; σ); (x 1,..., x 5 ) = (1; 1,5; 2,5; 3; 2) Gesucht: KI für σ 2 zum Konfidenzniveau 1 α = 0, α = 0,99 2. χ 2 (5) : c 1 = xα 2 = x 0,005 = 0,41; c 2 = x 1 α 2 = x 0,995 = 16, (x i µ) 2 = (1 2) 2 + (1,5 2) 2 + (2,5 2) 2 + (3 2) 2 + (2 2) 2 = 2,5 4. v u = 2,5 16,75 = 0,15; v o = 2,5 0,41 = 6,10 5. KI = [0,15; 6,10] (Extrem groß, da n klein.) 13. Intervall-Schätzung 199 Unsymmetrisches KI bei Binomialverteilung Voraussetzung: G B(1; p) mit 5 n x i n 5 a) Überschätzung vermeiden (z.b. kleine Partei nahe 5 %-Hürde): 1. Ein Konfidenzniveau 1 α wird festgelegt. 2. Das (1 α)-fraktil c der N(0; 1)-Verteilung wird bestimmt. 3. Das Stichprobenmittel x und ˆσ = x(1 x) werden errechnet. 4. Der Wert v o = x + ˆσc n wird berechnet. 5. Als Ergebnis der Intervall-Schätzung wird [0; v o ] angegeben. b) Unterschätzung vermeiden (z.b. Anteil militanter Demonstranten): Wie oben, aber Der Wert v u = x ˆσc n wird berechnet. 5. Als Ergebnis der Intervall-Schätzung wird [v u ; 1] angegeben. 13. Intervall-Schätzung 200

33 Unsymmetrisches KI bei Binomialverteilung Beispiel: Eine Umfrage unter 200 Erstwählern hat einen mittleren Stimmenanteil von 4,5 % für eine bestimmte Partei ergeben. Bestimmen Sie ein unsymmetrisches Konfidenzintervall für den erwarteten Stimmenanteil dieser Partei zum Konfidenzniveau 95 %. n = 200; x = 0, x i = 200 0,045 = 9 [5; 200 5] Vorauss. erfüllt 1. 1 α = 0,95 2. N(0; 1) : c = x 1 α = x 0,95 = 1,645 (Folie 191) 3. x = 0,045; ˆσ = 0,045 (1 0,045) = 0,21 4. v o = 0, ,21 1, = 0,07 5. KI = [0; 0,07] 13. Intervall-Schätzung 201