Statistik II. Statistische Tests. Statistik II

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1 Statistik II Statistische Tests Statistik II

2 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen (2 Klassen) für die gilt: Betrachte nun die Stärke der ersten Klasse: Statistik II

3 Die Summe n- unabhängiger Bernoulli Variablen ist binomialverteilt und das arithmetische Mittel ist ein Anteil (relative Häufigkeit). Damit: wobei Als Teststatistik bietet sich daher an. Die Quantile der Binomialverteilung können anhand von Tabellen bestimmt werden. Statistik II

4 Wir betrachten nun das Testproblem wird verworfen, falls Für wird Für nahe 0 bzw. 1, wähle kleiner bzw. größer als. Statistik II

5 Einseitige Tests: lehne ab, falls lehne ab, falls Statistik II

6 n wird groß Mit Hilfe eines ZGW kann gezeigt werden: Mit Damit kann bei großen Stichproben als Prüfgröße verwendet werden und der kritische Wert anhand der Standardnormalverteilung bestimmt werden. Statistik II

7 Siehe Skript Tabelle 9.4, S.54 für das Testschema Beispiel Schira S.483 Statistik II

8 Test auf Varianz Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch und normal verteilter ZV. Wir möchten überprüfen, ob die Varianz der Grundgesamtheit nicht von einem bestimmten Wert abweicht: Wir wissen, dass die Zufallsvariable verteilt ist, deshalb ist sie als Prüfgröße geeignet. Damit kennen wir die Verteilung und können die Quantile anhand der Tabellen bestimmen. Statistik II

9 Da die Verteilung nicht symmetrisch ist, müssen bei zweiseitigen Testproblemen zwei kritische Werte bestimmt werden. Quelle: Schira Statistik II

10 wird verworfen, falls: Der Erwartungswert ist nicht in der Teststatistik enthalten. Statistik II

11 P-Wert / P-Value Bisher: gegebenes Signifikanzniveau Manchmal stellt man sich aber die Frage: bis zu welchem Signifikanzniveau würde gerade nicht verworfen? Die Überschreitungswahrscheinlichkeit (sog. P-Wert, empirisches Signifikanzniveau) entspricht gerade einem Signifikanzniveau, bei dem die Prüfgröße auf den kritischen Wert fällt. Es ist das maximale Signifikanzniveau, zu dem gerade nicht verworfen werden kann. Statistik II

12 Damit gilt bei gegebenem : Falls dann lehne zum Niveau ab. Grosse P-Werte sprechen also dafür, dass die Empirie mit der Hypothese vereinbar sind. Kleine P-Werte hingegen sagen, dass das Auftreten der beobachteten Realisation der Teststatistik unwahrscheinlich ist, wenn stimmt. Computerprogramme geben in der Regel den P-Wert an. Gefahr, dass man nachträglich das Signifikanzniveau ändert, damit die gewünschte Testentscheidung erzeugt wird. Statistik II

13 Beispiele: Wie bestimmt man den P-Wert? Quelle:Schira Statistik II

14 Gütefunktion/Machtfunktion Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art ist, d.h. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2.Art ist, d.h. i.d.r. gilt nicht wir wollen und minimieren. Statistik II

15 Tatsächlich sind und Funktionen von Die Gütefunktion eines Tests über den Parameter ist als die folgende Ablehnwahrscheinlichkeit definiert: Sie stellt damit Gegenwahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art dar. Wir betrachten im folgenden den Test auf bei bekannter Varianz. Die Prüfgröße lautet: Statistik II

16 Sei Sei der kritische Wert von, sodass und sei. Dann folgt : Statistik II

17 Graphische Darstellung Quelle: Schira Statistik II

18 Es folgt weiterhin wegen der Symmetrie: Die Gütefunktion entspricht hier also der Verteilungsfunktion der Normalverteilung Es gilt ferner: Die Gütefunktion wird immer steiler, wenn n groß wird. Statistik II

19 Definition: Ein Signifikanztest zum Niveau heißt unverfälscht, wenn gilt: d.h. die WS, abzulehnen, wenn falsch ist, muss immer mindestens so groß sein wie die WS, abzulehnen, obwohl sie richtig ist. Statistik II

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