Mathematik für Biologen

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1 Mathemati für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 22. Dezember 2010

2 1 Binomialtests Einseitiger unterer Binomialtest Zweiseitiger Binomialtest Beispiel BSE Normalapproximation Versuchsplanung Der p-wert Data Snooping

3 Einseitiger unterer Binomialtest zum Niveau α Gegeben sind unabhängige B(1, p)-verteilte Zufallsvariable X 1,..., X n mit unbeanntem p sowie ein Signifianzniveau α Getestet wird die Nullhypothese H 0 = {p p 0 } gegen die Alternative H 1 = {p < p 0 } Der ritische Wert c ist so zu wählen, dass c 1 ( ) n p0 (1 p 0 ) n α c ( ) n p0 (1 p 0 ) n > α

4 Einseitiger unterer Binomialtest, Fortsetzung Der Annahmebereich ist K 0 = Der ritische Bereich ist K 1 = { (x 1,..., x n ) { (x 1,..., x n ) n j=1 n j=1 } x j c } x j < c Das bedeutet: Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls die Anzahl der Erfolge echt leiner als c ist, andernfalls wird sie angenommen.

5 Zweiseitiger Binomialtest zum Niveau α Gegeben sind unabhängige B(1, p)-verteilte Zufallsvariable X 1,..., X n mit unbeanntem p sowie ein Signifianzniveau α Getestet wird die Nullhypothese H 0 = {p = p 0 } gegen die Alternative H 1 = {p p 0 } Der ritischen Wert c 1 und c 2 sind so zu wählen, dass c 1 1 ( n c 1 ( n c 2 ( n c 2 1 ) p 0 (1 p 0 ) n α 2 ) p 0 (1 p 0 ) n > α 2 ) p 0 (1 p 0 ) n 1 α 2 ( ) n p0 (1 p 0 ) n < 1 α 2

6 Zweiseitiger Binomialtest, Fortsetzung Der Annahmebereich ist K 0 = { (x 1,..., x n ) Der ritische Bereich ist K 1 = { (x 1,..., x n ) n x j c 1 und j=1 n x j < c 1 oder j=1 n } x j c 2 j=1 n } x j > c 2 j=1 Das bedeutet: Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die Anzahl der Erfolge zwischen c 1 und c 2 liegt, andernfalls abgelehnt

7 Zweiseitiger Binomialtest, Beispiel Bei 250 Würfen eines Würfels fiel 55 mal eine Sechs. Kann man zu 98% sicher sein, dass der Würfel gezint ist? Sei p die unbeannte Wahrscheinlicheit des Würfels für eine Sechs Zweiseitiger Binomialtest mit Nullhypothese: H 0 = { p = 1 } 6 Alternative: H 1 = { p 1 } 6 Signifianzniveau ist α = 0.02

8 Tabelle von n B 250, 1/6() r p r p

9 Beispiel, Fortsetzung c 1 = 28 und c 2 = 56 Die Nullhypothese ann zum Niveau α = 0.02 abgelehnt werden, wenn höchstens 27 oder mindestens 57 Sechsen fallen Bei 55 Sechsen ann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden

10 Effetive Fehlerwahrscheinlicheit im Beispiel Der Fehler erster Art wird gemacht, wenn p = p 0 = 1/6 und 27 oder 57 Sechsen fallen 27 ( ) 250 P(X 27) = p0 (1 p 0 ) n = ( ) 250 P(X 57) = 1 p0 (1 p 0 ) n = = Die effetive Fehlerwahrscheinlicheit erster Art ist die Summe α 0 = =

11 Fehlerwahrscheinlicheit zweiter Art im Beispiel Der Würfel ist gezint mit Wahrscheinlicheit p = 1 5, eine Sechs zu werfen Mit welcher Wahrscheinlicheit wird das nicht entdect? X sei verteilt gemäß B 250, 1/5 Gesucht ist 56 ( ) 250 P(28 X 56) = p (1 p) ( ) 250 p (1 p) 250 = = Mit einer Wahrscheinlicheit von fast 85% wird der gezinte Würfel nicht entdect

12 Tabelle von n B 250, 1/5() r p r p

13 Beispiel BSE In einem Versuch wurden 275 Mäuse mit Milch von Kühen ernährt, welche an BSE errant waren In einem Fall wurde die Kranheit auf die Maus übertragen Was schließen wir daraus?

14 BSE, Fortsetzung Sei p die Wahrscheinlicheit, dass BSE über die Nahrung von Kühen auf Mäuse übergeht Was ist die Nullhypothese? Die Ungefährlicheit des Übertragungswegs soll gezeigt werden Die Nullhpothese ist also, dass der Übertragungsweg gefährlich ist Die Nullhypothese H 0 = {p > 0} macht einen Sinn Eine onrete Schrane muss her Wähle p 0 = 0.01 Es handelt sich also um einen einseitigen unteren Binomialtest. Als Signifianzniveau wählen wir 5%

15 Einseitiger unterer Binomialtest zum Niveau α Der ritische Wert c ist so zu wählen, dass c 1 ( ) n p0 (1 p 0 ) n α c ( ) n p0 (1 p 0 ) n > α Der Annahmebereich ist { K 0 = (x 1,..., x n ) Der ritische Bereich ist { K 1 = (x 1,..., x n ) n j=1 n j=1 } x j c } x j < c

16 Tabelle von r B 275, p() r p

17 Beispiel BSE, Fortsetzung Zum Signifianzniveau α = 0.05 ist der ritische Bereich leer Mit 275 Experimenten ist daher eine Aussage möglich Wir önnen zu diesem Signifianzniveau aber die folgende, veränderte Nullhypothese ablehnen H 0 = {p 0.011} Mit 95%-tiger Sicherheit önnen wir sagen, dass das Risio einer Übertragung von BSE auf Mäuse leiner als 1.1% ist

18 Normalapproximation Bei großen Stichprobenumfängen verwende Normalapproximation zur Bestimmung des ritischen Werts Beispiel: einseitiger oberer Binomialtest zum Niveau α Dann ist c die leinste ganze Zahl, für die c ( ) n p0 (1 p 0 ) n 1 α Ersetze die umulierte Binomialverteilung durch die Normalapproximation

19 Normalapproximation, Erinnerung Die Zufallsvariable X sei B(n, p)-verteilt mit n p (1 p) > 9 Dann gilt näherungsweise für natürliche Zahlen a < b ( P(a X b) = b Φ n p ( a 1 2 ) Φ n p ) n p (1 p) n p (1 p) Wenn a = 0 oder b = n ist, braucht man nur einen Term ( P(a X ) = a Φ n p ) n p (1 p) ( P(X b) = b Φ n p ) n p (1 p)

20 Normalapproximation Gesucht ist also die Lösung c der Gleichung ( ) P(X c) = c + 1/2 n p 0 Φ = 1 α n p0 (1 p 0 ) Die so gefundene Zahl ist in der Regel nicht ganz. Man wählt dann als c die nächstgelegene ganze Zahl Die Voraussetzung für die Anwendbareit der Normalapproximation ist zu beachten n p 0 (1 p 0 ) > 9

21 Beispiel: Saatgut Die Keimfähigeit eines Saatguts betrage p mit unbeanntem p [0, 1]. Bei p 0.75 lohnt es nicht, das Saatgut auszubringen Um die Qualität des Saatguts zu testen, werden n = 200 Körner ausgesät. Nach gegebener Zeit wird die Zahl der geeimten Körner bestimmt Wie lässt sich zum Signifianzniveau α = 0.05 sicher stellen, dass p > 0.75 gilt? Die Nullhypothese ist bei dieser Fragestellung, dass das Saatgut nichts taugt, dass also p p 0, wobei p 0 = 0.75 Es handelt sich um einen einseitigen oberen Binomialtest

22 Saatgut, Fortsetzung Prüfe die Anwendbareit der Normalapproximation: n p 0 (1 p 0 ) = = 37.5 n p = 150 und 37.5 = 6.12, also bestimme c durch ( ) c + 1/2 150 Φ = D. h. ( ) c Φ = Das 0.95-Quantil der Standard-Normalverteilung ist c = 1.645

23 Saatgut, Fortsetzung Löse Gleichung nach c auf c = = Die nächstgelegene ganze Zahl ist c = 160 Bei 161 oder mehr Keimerfolgen wird die Nullhypothese abgelehnt und das Saatgut azeptiert

24 Versuchsplanung Die Normalapproximation ann zur Versuchsplanung benutzt werden Ein Beispiel hatten wir in der Vorlesung vom 24. November betrachtet

25 Normalapproximation zur Bestimmung eines Stichprobenumfangs Zwei Würfel: Einer ist fair, einer gezint; bei dem gezinten ist die Wahrscheinlicheit einer 6 gleich 1 5 Will herausbeommen, welchen ich in der Hand habe Die Anzahl n der nötigen Würfe soll bestimmt werden Wahrscheinlicheit, den fairen Würfel für gezint zu halten, soll höchstens 1% betragen Wahrscheinlicheit, den gezinten Würfel für fair zu halten, soll höchstens 5% betragen

26 Interpretation des Beispiels als Binomialtest Im Prinzip hatte ich damals einen einseitigen oberen Binomialtest vorgestellt H 0 : p 1 6 H 1 : p > 1 6 Als Signifianzniveau hatte ich 0.01 vorgeschrieben Bei p = 1 5 sollte die Fehlerwahrscheinlicheit zweiter Art bei 0.05 liegen Normalapproximation ergab n = 2093 Bei 389 oder mehr Sechsen ist zum Signifianzniveau der Nachweis geführt, dass der Würfel gezint ist Der ritische Wert war also 388

27 Der p-wert, Idee Gelegentlich ist nicht ganz lar, welches Signifianzniveau α angemessen ist Man macht dann seinen Versuch und gibt das beste Signifianzniveau an, für das die Nullhypothese abgelehnt werden ann Der p-wert eines Experiments ist das leinste Signifianzniveau, zu dem die Beobachtungsdaten die Annahme der Alternative rechtfertigen

28 Der p-wert Es sei Θ eine Menge von Parametern. Zu jedem θ Θ gebe es eine Verteilung P θ. Die Zufallsvariablen X 1,..., X n seien unabhängig und alle nach demselben P θ verteilt H 0 Θ bezeichne die Nullhypothese Für jedes mögliche Signifianzniveau α sei eine Testvorschrift festgelegt. Ihr Annahmebereich sei K 0,α und ihr ritischer Bereich sei K 1,α Es seien x = (x 1,..., x n ) die Beobachtungsdaten Das leinste α mit x K 1,α bezeichnet man als als p-wert der Beobachtungsdaten p ist also das leinste Signifianzniveau, zu dem die Nullhypothese noch abgelehnt werden ann Das bedeutet, dass die Beobachtungsdaten x genau dann zur Ablehnung der Nullhypothese führen, wenn ihr p-wert höchstens α beträgt

29 Der p-wert, Beispiel Im Beispiel Saatgut haben 158 Körner geeimt. Was ist der p-wert? Vorüberlegung: Jedenfalls p > 0.05, denn für α = 0.05 haben wir bereits ausgerechnet, dass der ritische Bereich erst bei 161 Keimungen beginnt. Beim oberen Binomialtest ist c die leinste Zahl, für die c ( ) n p0 (1 p 0 ) n 1 α Bei der Bestimmung des p-werts ennen wir das c. Das zugehörige α ist der p-wert Im Beispiel muss c = 157 sein oder noch leiner, damit 158 im ritischen Bereich ist

30 Beispiel, Fortsetzung Das α, das zu c = 157 gehört, ist der p-wert Also 157 ( ) p = Verwende Normalapproximation 157 ( ) ( ) / = Φ (1 0.75) Der p-wert beträgt 11% ( ) 7.5 = Φ = Φ(1.23) =

31 Data Snooping Snooping = Schnüffeln Data Snooping bedeutet, dass man den Test für dieselben Daten rechnet, die man auch für die Formulierung der Hypothese benutzt hat Die nächste Folie stammt aus einem schlechten Buch (und wird daher am Netz nicht gezeigt)